8. SZEREGI POT

,

EGOWE

1. Wyznaczy´

c promie´

n zbie˙zno´sci szeregu pot

,

egowego

a)

∞

X

n=1

n!

n

n

z

n

b)

∞

X

n=1

c

n

z

n

gdzie c

n

=

 m je´sli n = 2

m

0 w przeciwnym przypadku

2. Niech R b

,

edzie promieniem zbie˙zno´sci szeregu pot

,

egowego

P

∞
n=0

c

n

z

n

. Wykaza´

c, ˙ze

R = sup{|z| : c

n

z

n

→ 0 gdy n → ∞}.

3. Funkcj

,

e

f (z) =

1

az + b

,

gdzie a, b ∈ C \ {0}

rozwin

,

a´

c w szereg pot

,

egowy o ´srodku w punkcie z

0

= 0. Poda´

c promie´

n zbie˙zno´sci otrzyma-

nego szeregu.

4. Zbada´

c zbie˙zno´s´

c podanych szereg´

ow na brzegu ko la zbie˙zno´sci

a)

∞

X

n=1

z

n

(1 − i)

n

b)

∞

X

n=1

z

n

n

c)

∞

X

n=1

(z − 1 + i)

n

n

√

n

d)

∞

X

n=1

(−1)

n

ln(n + 2)

z

2n

.