SZEREGI POTĘGOWE

DEF. 1. Szeregiem potęgowym nazywamy szereg funkcyjny postaci
, gdzie a₀,a₁,a₂,..., a_n ,...to współczynniki szeregu zaś x₀ to środek szeregu potęgowego.

UWAGA 1. Szereg potęgowy, którego środkiem jest 0 jest postaci
.

Poniżej podane zostaną własności szeregu potęgowego o środku w 0.

Zbieżność szeregu potęgowego.

UWAGA 2. Każdy szereg potęgowy jest zbieżny w swoim środku.

UWAGA 3. Wyrazy szeregu potęgowego są określone dla wszystkich x rzeczywistych więc każda liczba rzeczywista x jest dla szeregu potęgowego albo punktem zbieżności albo punktem rozbieżności.

TWIERDZENIE 1. Jeśli szereg potęgowy
jest zbieżny w pewnym punkcie x = c ≠ 0, to jest zbieżny bezwzględnie w otwartym przedziale (-|c|, |c| ) oraz zbieżny jednostajnie w każdym domkniętym podprzedziale tego przedziału.

TWIERDZENIE 2. Jeśli szereg potęgowy
jest rozbieżny w pewnym punkcie x = w ≠ 0, to jest rozbieżny na zewnątrz przedziału (-|w|, |w| ).

DEF 2.. Obszarem zbieżności szeregu potęgowego
jest zbiór K=(-r, r), gdzie liczba r jest promieniem zbieżności szeregu.

UWAGA 4.W konkretnych przypadkach obszarem zbieżności szeregu potęgowego
może być

zbiór K=[- r , r) lub K=(- r , r] lub K=[- r , r]. Obszar K będziemy nazywać przedziałem zbieżności.

Podamy teraz dwa twierdzenia dzięki, którym będzie można wyznaczyć promień zbieżności a tym samym obszar zbieżności konkretnego szeregu potęgowego.

TWIERDZENIE 3 Jeżeli mamy dany szereg potęgowy
i jeżeli
, to:

1. jeżeli p ≠ 0 wtedy
   ,

2. jeżeli p = 0 wtedy r = ∞,

3. jeżeli p = ∞ wtedy r = 0.

TWIERDZENIE 4.Jeżeli mamy dany szereg potęgowy
i jeżeli
, to:

1. jeżeli p ≠ 0 wtedy
   ,

2. jeżeli p = 0 wtedy r = ∞,

3. jeżeli p = ∞ wtedy r = 0.

Przykład 1. Rozważmy szereg potęgowy
. Zastosujemy twierdzenie 5.

Mamy
, więc r = 1. Aby ostatecznie ustalić przedział zbieżności tego szeregu należy za x podstawić 1 a następnie -1 . Dla x=1 dostajemy następujący szereg liczbowy
, który jest szeregiem rozbieżnym, oraz dla x=-1 mamy
również szereg jest rozbieżny, więc obszar zbieżności K=(-1, 1).

Przykład 2. Rozważmy szereg potęgowy
. Zastosujemy twierdzenie 5.

Mamy
, więc
. Aby ostatecznie ustalić przedział zbieżności tego szeregu należy za x podstawić 1 a następnie -1 . Dla x=1 dostajemy następujący szereg liczbowy
, który jest szeregiem rozbieżnym, natomiast dla x=-1 mamy
szereg anharmonicznym zbieżny, więc obszar zbieżności K=[-1, 1).

Przykład 3. Rozważmy szereg potęgowy
. Zastosujemy twierdzenie 5.

Mamy
, więc
. Aby ostatecznie ustalić przedział zbieżności tego szeregu należy za x podstawić 1 a następnie -1 . Dla x=1 dostajemy następujący szereg liczbowy
, który jest szeregiem zbieżnym, oraz dla x=-1 mamy
szereg zbieżny, więc obszar zbieżności K=[-1, 1].

Przykład 4. Weźmy szereg potęgowy
. Ponownie zastosujemy to samo kryterium,
Wobec tego promień zbieżności
. Przedziałem zbieżności jest zbiór
. Oczywiście należy jeszcze sprawdzić co dzieje się na końcach tego przedziału, podstawiając w szeregu za x liczby
i
.

Przykład 5. Aby ustalić promień zbieżności szeregu
zastosujemy twierdzenie 4. Mamy
, więc r= ∞ i przedziałem zbieżności tego szeregu jest zbiór (-∞,∞)=R. Oznacza to, że szereg potęgowy jest zbieżny dla każdej liczby rzeczywistej x.

Przykład 6. Promień zbieżności szeregu
obliczamy ponownie stosując
, więc r= ∞ i przedziałem zbieżności tego szeregu jest zbiór (-∞,∞)=R.

Przykład 7. Promień zbieżności szeregu
obliczamy ponownie stosując
, więc r=0 i szereg jest zbieżny tylko dla x=0

TWIERDZENIE 5. Jeżeli promieniem zbieżności szeregu potęgowego
jest liczba r, to obszarem zbieżności szeregu funkcyjnego
, gdzie y = g(x) - dowolna funkcja jest zbiór K={x∈R: |g(x)| < r}.

Przykład 8

Rozpatrzmy szereg funkcyjny
. Po podstawieniu t=x² - 2x +5 dostajemy szereg potęgowy
ze względu na t. Jak łatwo sprawdzić promieniem zbieżności tego szeregu jest liczba r=5. Jeżeli teraz za t wstawimy liczbę 5, to dostaniemy szereg rozbieżny, jeżeli za t wstawimy liczbę -5, to otrzymamy szereg zbieżny, więc przedziałem zbieżności jest zbiór [-5,5). Aby ustalić obszar zbieżności szeregu
rozwiązać układ nierówności -5≤ x² - 2x +5≤5. Rozwiązaniem tego układu jest przedział
.

W związku z tym obszarem zbieżności szeregu funkcyjnego
jest zbiór K=(0,2).

TWIERDZENIE 6. Dwa szeregi potęgowe
i
można do siebie dodać w następujący sposób:
.

TWIERDZENIE 7. Szereg potęgowy
można pomnożyć przez liczbę:
, gdzie λ≠0 i λ∈R.

TWIERDZENIE 8 Jeżeli przedziałem zbieżności szeregu potęgowego
jest zbiór K=( - r , r ) oraz jego suma jest równa f(x) , to szereg ten w zbiorze K można różniczkować wyraz po wyrazie tzn.:

. Po zróżniczkowaniu otrzymujemy szereg potęgowy, którego promień zbieżności nie ulega zmianie oraz suma jego g(x) jest pochodną sumy szeregu pierwotnego.

Przykład 9. Rozważmy szereg potęgowy
. Z przykładu 3 wiemy, że obszarem zbieżności jest K=[-1,1]. Rozpatrzmy szereg utworzony z pochodnych wyrazów szeregu pierwotnego

Zastosujemy twierdzenie 5. Mamy
, więc r=1. Aby ostatecznie ustalić przedział zbieżności tego szeregu należy za x podstawić 1 a następnie -1 . Dla x=1 dostajemy następujący szereg liczbowy
, który jest szeregiem rozbieżnym, oraz dla x=-1 mamy
szereg zbieżny, więc obszar zbieżności K=[-1, 1). Zauważmy, że oba obszary zbieżności różnią się na krańcach przedziałów .

TWIERDZENIE 9 Jeżeli przedziałem zbieżności szeregu potęgowego
jest zbiór K=( - r , r ), to szereg ten w zbiorze K można całkować wyraz po wyrazie tzn.:

.

Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy

DEF.3. Funkcję y = f (x) nazywamy klasy Cⁿ jeżeli jest n-krotnie różniczkowalna i n-ta pochodna jest funkcją ciągłą.

DEF.4. Funkcję y = f (x) nazywamy gładką jeżeli klasy Cⁿ dla każdego n∈N. Inaczej mówiąc jest funkcją klasy C^∞.

TWIERDZENIE 10 (Taylor)

Jeżeli funkcja y = f (x) jest klasy Cⁿ w otoczeniu (a- h , a+ h) punktu a∈R, h > 0, to dla każdego x∈R zachodzi następujący wzór Taylora:

.Ostatni składnik
będziemy nazywać resztą, gdzie c_x ∈(x, a ) lub c_x ∈(a, x )

TWIERDZENIE 11

Jeżeli funkcja y = f(x) jest gładka w otoczeniu (a- h , a+ h) punktu a∈R, h > 0 i
, to funkcja przedstawia się w postaci szeregu potęgowego Taylora postaci:

. Przyjmujemy, że

Dla a=0 szereg potęgowy Taylora jest szeregiem potęgowym Maclaurina i
, gdzie
.

Przykład 10 Rozwiniemy w szereg Maclaurina funkcję
. Pochodna dowolnego rzędu tej funkcji jest tą samą funkcją, tzn.
czyli funkcja jest gładka oraz
, więc wzór jest następujący:

.

Wyznaczymy promień zbieżności powstałego szeregu potęgowego.

Mamy
, czyli r= ∞ i przedziałem zbieżności jest cała oś liczbowa, więc funkcja
rozwija się w szereg potęgowy postaci
na całej osi liczbowej.

W szczególności jeśli za x podstawimy 1 to otrzymamy wartość liczby e.

.

a jeśli chcemy obliczyć wartość e z dokładnością do 0.001 sumujemy wyrazy których wartość bezwzględna jest większa od 0.001. Stąd
ponieważ
<0.001 .

Aby policzyć wartość
z dokładnością do 0,01 należy w rozwinięciu
za x=-2 , stąd

wystarczy dodać osiem kolejnych razów gdyż
<0.01.

Przykład 11

Rozwiniemy w szereg potęgowy Maclaurina funkcję y=sinx.

Policzmy pochodne i ich wartości w zerze.

,

,

,

,

,

,

,

...

Widać, że powtarzają się sekwencje liczb 0,1,0,-1, 0,1,0,-1, ....

W związku z tym mamy

.

Łatwo sprawdzić, że przedziałem zbieżności tego szeregu jest również cała oś liczbowa, więc dla każdego x rzeczywistego prawdziwy jest wzór
.

Przykład 12

Podobnie rozwijając w szereg potęgowy Maclaurina funkcję y=cosx otrzymamy prawdziwy na całej osi liczbowej wzór
.

Przykład 13

Rozwiniemy w szereg potęgowy Maclaurina funkcję

Policzymy kolejne pochodne i ich wartości w zerze.

,

,

,

,

,

,

...

Mamy

Sprawdzimy w jakim zbiorze jest prawdziwy powyższy wzór. W tym celu wyznaczymy promień zbieżności. Policzmy
, więc przedziałem zbieżności tego szeregu jest zbiór (-1,1). Łatwo można sprawdzić, że dla x=-1 i dla x=1 szereg potęgowy jest rozbieżny. Wobec tego wzór
jest prawdziwy tylko dla
.

Przykład 14

Aby rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję
wykorzystamy przykład 13.

W szeregu
zamiast x wstawimy
i dostaniemy
i ostatecznie
.Obliczamy promień zbieżności powstałego szeregu :
, więc
. Korzystając twierdzenia 5 dostajemy, że
, więc
, czyli wzór
jest prawdziwy dla
.

Czyli
dla

Przykład 15

Aby rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f(x)=
wykorzystamy rozwinięcie

dla |x|<1

Zajmijmy się najpierw rozwinięciem
. A teraz f(x)=
.Obliczamy promień zbieżności powstałego szeregu :
, więc r=3. Czyli szereg
jest zbieżny dla |x|<3

Przykład 16

Posługując się twierdzenia 9 rozwiniemy w szereg Maclaurina funkcję y=arctgx. Proszę zwrócić uwagę, że pochodna tej funkcji
.

Z poprzedniego przykładu wiemy, że
.

Całkując obustronnie w obrębie przedziału zbieżności
dostajemy :

Podstawiając do obu stron równania
x=0 dostajemy, że C=0.

Ostatecznie, więc
w przedziale (-1,1), ponieważ przy całkowaniu promień zbieżności a tym samym przedział zbieżności nie zmienia się.

ZADANIA

1.Obliczyć promień zbieżności szeregu i zbadać zbieżność na krańcach przedziałów zbieżności

2.Zbadać zbieżność szeregów

oraz zbieżność szeregów utworzonych z pochodnych wyrazów tego szeregu.

3.Rozwinąć w szereg potęgowy Maclaurina funkcję

4.Rozwinąć w szereg potęgowy Taylora funkcję

(a) f(x)=1/x w punkcie a=3 (b)f(x)=cos²x w punkcie a=ၰ/3

5.Obliczyć:

1. sin
   z dokładnością do 0,0001,

2. cos
   z dokładnością do 0,00001

3. 
   z dokładnością do 0,001

posługując się rozwinięciem odpowiedniej funkcji w szereg potęgowy .