AM sem II wykład 2
29.02.2012
5
S
ZEREGI POTĘGOWE
Wersja wstępna
Niech
n
a
będzie dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych, zaś
0
x
ustaloną liczbą rzeczywistą.
D
EFINICJA
Szeregiem potęgowym o środku w punkcie
0
x
nazywamy szereg postaci
n
n
n
n
n
x
x
a
x
x
a
x
x
a
a
x
x
a
)
(
)
(
)
(
)
(
0
2
0
2
0
1
0
0
0
gdzie x jest zmienną rzeczywistą.
Liczby
,
,
,
3
2
1
a
a
a
nazywamy współczynnikami szeregu.
D
EFINICJA
Zbiór tych
R
x
, dla których szereg potęgowy
0
0
)
(
n
n
n
x
x
a
jest zbieżny nazywamy obszarem
(przedziałem) zbieżności szeregu.
Niech Z oznacza zbiór tych liczb rzeczywistych x, dla których szereg potęgowy jest zbieżny.
Zbiór ten nie jest pusty, gdyż
Z
x
0
.
Można wykazać, że zbiór Z jest
- albo zbiorem jednoelementowym
0
x
.
- albo przedziałem skończonym o środku w punkcie
0
x
- albo zbiorem
)
,
(
Zauważmy, że można zająć się tylko badaniem szeregu potęgowego o środku
0
0
x
.
Wprowadzając nową zmienną
0
x
x
t
otrzymamy szereg
0
n
n
n
t
a
o środku w punkcie 0.
D
EFINICJA
Promieniem zbieżności szeregu potęgowego
0
n
n
n
x
a
nazywamy liczbę równą kresowi górnemu
zbioru wartości bezwzględnych wszystkich liczb x, dla których szereg ten jest zbieżny.
Promień zbieżności oznaczmy R (
R
0
).
T
W
:
(
O PROMIENIU ZBIEŻNOŚCI
)
Jeżeli istnieje granica (skończona lub niewłaściwa)
g
a
a
n
n
n
1
lim
g
a
n
n
n
lim
,
to promień zbieżności szeregu
0
n
n
n
x
a
jest równy
0
0
1
0
g
dla
g
dla
g
g
dla
R
AM sem II wykład 2
29.02.2012
6
T
W
:
(
C
AUCHY
’
EGO
-
H
ADAMARDA
)
!!!
1. Jeżeli
0
R
, to szereg
0
0
)
(
n
n
n
x
x
a
jest zbieżny tylko w punkcie
0
x
x
.
2. Jeżeli
R
0
, to szereg
0
0
)
(
n
n
n
x
x
a
jest zbieżny bezwzględnie w przedziale otwartym
)
,
(
0
0
R
x
R
x
, rozbieżny na zbiorze
)
,
(
)
,
(
0
0
R
x
R
x
. Dla
R
x
x
0
oraz
R
x
x
0
szereg może być zbieżny jak i rozbieżny.
3. Jeżeli
R
, to szereg
0
0
)
(
n
n
n
x
x
a
jest zbieżny w przedziale
)
,
(
. (dla każdej liczby
rzeczywistej x).
Z
ADANIE
Wyznaczyć promień i przedział zbieżności szeregów
a)
0
1
2
)
1
(
n
n
n
n
x
,
b)
0
!
n
n
n
x
R
,
)
,
(
.Wyciągnij wniosek ile wynosi
!
lim
n
x
n
n
dla
R
x
.
Oznaczmy przez S funkcję będącą sumą szeregu potęgowego
0
0
)
(
)
(
n
n
n
x
x
a
x
S
dla
)
,
(
0
0
R
x
R
x
x
.
F
AKT
: Suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą na przedziale
)
,
(
0
0
R
x
R
x
tzn.
0
0
0
0
0
0
)
(
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
n
n
n
n
n
n
c
x
n
n
n
c
x
c
x
x
c
a
x
x
a
x
x
a
x
S
dla
)
,
(
0
0
R
x
R
x
c
inaczej, można przestawić operację przechodzenia do granicy z operacją sumowania.
Dodatkowo jeżeli szereg jest zbieżny w punkcie
R
x
x
0
, to suma S jest ciągła w punkcie
R
x
x
0
prawostronnie tzn.
)
(
)
(
lim
0
)
(
0
R
x
S
x
S
R
x
x
. Analogicznie dla punktu
R
x
x
0
Rozważamy szereg potęgowy
0
n
n
n
x
a
o promieniu zbieżności
R
0
.
T
W
.(
O RÓŻNICZKOWANIU SZEREGU POTĘGOWGO
)
Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zbieżności szeregu
0
n
n
n
x
a
, to
1
1
0
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
na
x
a
x
a
dla
)
,
(
R
R
x
Krótko:
Można przestawić operację obliczania pochodnej z operacją sumowania.
AM sem II wykład 2
29.02.2012
7
Szereg potęgowy
0
n
n
n
x
a
w przypadku
0
R
można różniczkować wyraz po wyrazie, a otrzymany
szereg potęgowy jest zbieżny w przedziale
)
,
(
R
R
, ma taki sam promień (przedział) zbieżności.
W
NIOSEK
Suma szeregu potęgowego ma wszystkie pochodne na przedziale
)
,
(
R
R
.
ZADANIE
Zastosuj tw. o różniczkowaniu do szeregu
0
n
n
x
.
Wykorzystaj wynik do obliczenia sumy szeregu liczbowego
1
2
n
n
n
.
odp.
1
2
1
)
1
(
1
n
n
x
nx
,
2
2
1
n
n
n
T
W
.(
O CAŁKOWANIU SZEREGU POTĘGOWGO
)
Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zbieżności szeregu
0
n
n
n
x
a
, to
0
1
0
0
0
0
1
n
n
n
x
n
x
n
n
n
n
n
x
n
a
dt
t
a
dt
t
a
)
,
(
R
R
x
.
Krótko:
Szereg potęgowy
0
n
n
n
x
a
w przypadku
0
R
można całkować od 0 do x wyraz po wyrazie, a
otrzymany szereg potęgowy jest zbieżny w przedziale
)
,
(
R
R
.
Zastosuj tw. o całkowaniu do szeregu
0
)
1
(
n
n
n
x
, a następnie uzasadnij równość
2
ln
)
1
(
1
1
n
n
n
.
AM sem II wykład 2
29.02.2012
8
D
EFINICJA
Jeżeli funkcja f ma w punkcie x
0
pochodne dowolnego rzędu , to szereg potęgowy postaci
0
0
0
)
(
2
0
0
0
0
0
!
)
(
)
)(
(
!
2
1
)
)(
(
)
(
n
n
n
x
x
n
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie
0
x
. Jeżeli
0
0
x
to szereg ten
nazywawamy szeregiem Maclaurina funkcji f.
ZADANIE
Wyznaczyć szereg Taylora funkcji
x
x
f
1
)
(
w punkcie
1
0
x
.
T
W
.
(
O ROZWIJANIU FUNKCJI W S ZEREG
T
AYLORA
)
Jeżeli
1. funkcja f ma w otoczeniu U punktu x
0
pochodne dowolnego rzędu ,
2. dla każdego punktu x
U zachodzi równość
0
)
(
lim
x
R
n
n
gdzie
)
(x
R
n
oznacza resztę wzoru
Taylora z n-tą pochodną
n
n
n
x
x
n
c
f
x
R
)
(
!
)
(
)
(
0
)
(
gdzie c jest punktem odcinka o końcach
0
x
,
x
to
0
0
0
)
(
!
)
(
)
(
n
n
n
x
x
n
x
f
x
f
dla każdego x
U.
T
W
.
(
O JEDNOZNACZNOŚ CI ROZWINIECIA W S ZEREG POTĘGOWY
)
Jeżeli funkcja f jest w pewnym otoczeniu U punktu x
0
sumą szeregu potęgowego
1
0
)
(
)
(
n
n
n
x
x
a
x
f
dla
U
x
to
!
)
(
0
)
(
n
x
f
a
n
n
dla
,
2
,
1
,
0
n
...
Krótko
Jeżeli funkcja f jest w pewnym otoczeniu punktu x
0
sumą szeregu potęgowego, to jest to jej szereg
Taylora.
ZADANIE
Pokazać, że
0
!
n
n
x
n
x
e
dla każdego
R
x
.
Jaka jest suma szeregu
0
!
2
n
n
n
?
R
OZWINIĘCIA WYBRANYCH FUNKCJI W SZEREGI
M
ACLAURINA
!
1
2
1
!
7
!
5
!
3
sin
1
2
7
5
3
n
x
x
x
x
x
x
n
n
dla
R
x
!
2
1
!
6
!
4
!
2
1
cos
2
6
4
2
n
x
x
x
x
x
n
n
dla
R
x
