1
O
PRACOWANIE DOKUMENTACJI POMIARÓW
WSTĘP TEORETYCZNY DO ĆWICZENIA
LABORATORYJNEGO
Nieodzowną częścią kaŜdego eksperymentu me-
trologicznego jest sporządzenie właściwej jego do-
kumentacji. Z uwagi na róŜnorodność zadań pomia-
rowych, wyposaŜenia i organizacji pracy danego
laboratorium, nie jest moŜliwe podanie tylko jedne-
go, szczegółowego schematu postępowania przy jej
wykonywaniu; moŜna jedynie sformułować pewne
zalecenia, które w miarę moŜliwości powinny być
spełnione. Z reguły zbiór podstawowych dokumen-
tów obejmuje wypełniany w trakcie wykonywania
pomiarów protokół oraz sporządzone na jego pod-
stawie sprawozdanie lub raport, stanowiące osta-
teczne podsumowanie przeprowadzonego ekspery-
mentu.
1.
P
ROTOKÓŁ POMIARÓW
Protokół pomiarowy jest dokumentem, który na-
leŜy prowadzić na bieŜąco z wykorzystaniem wcze-
ś
niej przygotowanego formularza. Powinien on być
zwięzły, ale jednocześnie zawierać taką ilość infor-
macji o przeprowadzanym eksperymencie i warun-
kach w jakich się on odbywał, aby mógł być zrozu-
miały przez inne osoby nie biorące bezpośredniego
udziału w pomiarach.
Wyniki odczytane z przyrządów powinny być
natychmiast notowane. Z uwagi na moŜliwość po-
wstania błędów, niedopuszczalne jest jakiekolwiek
przeliczanie ich w pamięci przed wpisaniem do
protokołu. Kolejność czynności powinna być nastę-
pująca: odczyt – zapis – sprawdzenie odczytu z
zapisem. Niewskazane jest równieŜ przepisywanie
protokołu, głównie ze względu na powstające wów-
czas pomyłki, przeinaczenia, pomijanie tych wyni-
ków, które wydają się mniej waŜne lub błędne. Na
odrzucenie danego wyniku moŜna decydować się
dopiero na etapie ostatecznego sprawozdania, po
wykonaniu stosownych obliczeń i rozwaŜeniu
wszystkich warunków wykonania eksperymentu.
Mimo wymogów wypełniania na bieŜąco, proto-
kół powinien być prowadzony starannie. Niechlujne
lub nieczytelne notowanie wyników jest częstym
powodem błędnych interpretacji i świadczy o niskiej
kulturze technicznej eksperymentatora.
Do podstawowych informacji, które z reguły
powinny znaleźć się w kaŜdym protokole naleŜą:
1)
dane dotyczące osoby lub osób przeprowadza-
jących pomiary, miejsce, data i temat, zestawio-
ne najczęściej w formie odpowiedniej tabeli na-
główkowej,
2)
cel pomiarów,
3)
niezbędne dane teoretyczne o przeprowadza-
nych pomiarach (jeśli wymagane),
4)
wykaz aparatury, najlepiej sporządzony w for-
mie odpowiedniej tabeli, np. tabela 1,
Tabela 1.
Przykład wykazu aparatury
Lp.
Nazwa i
typ przy-
rządu
Numer punktu
pomiarowego
Oznaczenie
na schema-
cie
Uwagi
5)
ponumerowane schematy układów pomiaro-
wych, umieszczone pod odpowiednimi punkta-
mi pomiarowymi,
6)
wyniki pomiarów sporządzone, o ile to jest
tylko moŜliwe, w postaci tabeli zaopatrzonej w
numer i tytuł – np. tabela 2. Tabela jest najbar-
dziej jasną i zwartą formą zapisu. KaŜda ko-
lumna lub kaŜdy wiersz w tabeli powinny być
oznaczone symbolem wielkości, której wartości
one zawierają, symbolem jednostki, w której te
wartości są podawane oraz numerem porząd-
kowym.
2
Tabela 2.
Wyniki pomiaru pewnej charaktery-
styki częstotliwościowej
U
z
=
±
15V
Lp.
f
U
1
U
2
-
Hz
mV
mV
1
1
100
238
2
10
100
241
3
100
100
239
4
1000
100
175
Wartość uzyskana z pomiaru jest zawsze liczbą
przybliŜoną (trudno wyobrazić sobie przyrząd po-
miarowy z wyświetlaczem kilkunastopozycyjnym).
Stopień tego przybliŜenia określa liczba tzw. cyfr
znaczących. Cyframi znaczącymi są cyfry 0
÷
9, przy
czym liczy się je począwszy od pierwszej cyfry
nierównej zeru z lewej strony; np. liczba 0,0067 ma
dwie cyfry znaczące, zaś liczba 156,08 – pięć cyfr
znaczących. Dla zaznaczenia ilości cyfr znaczących,
wygodnie jest posługiwać się mnoŜnikiem 10
n
lub
stosować odpowiednie jednostki pochodne danej
wielkości. W tabeli 3 zestawiono przykłady określa-
nia cyfr znaczących.
Tabela 3.
Przykłady cyfr znaczących
Wartość liczbowa
Liczba cyfr znaczących
812
trzy
1520 = 1,52
⋅
10
3
trzy
0,032 = 32
⋅
10
-3
dwie
0,320 = 32
⋅
10
-2
dwie
MoŜe się jednak zdarzyć, Ŝe w pewnej sytuacji
naleŜy uwzględnić takŜe zero podane na ostatniej
pozycji wartości liczbowej. Sytuacja taka nastąpi
jeśli będziemy mieli do czynienia z serią pomiaro-
wą, w której jeden z wielu z wyników kończy się
zerem. Zapis wszystkich wyników powinien się
odbywać z dokładnością do tej samej liczby miejsc
znaczących. Stosowanie się do tej zasady daje pew-
ność - jaka jest wartość ostatniej cyfry znaczącej i
nie ma obaw, Ŝe wpisujący zapomniał ją na przykład
dopisać. Przykład pokazano w tabeli 4.
Tabela 4.
Przykład zapisu serii pomiarów
Zły zapis serii pomia-
rowej
Dobry zapis serii po-
miarowej
1234,1
1234,4
1235,1
1234
1234,2
1234,1
1234,4
1235,1
1234,0
1234,2
2.
S
PRAWOZDANIE
Sprawozdanie (lub inaczej raport) z przeprowa-
dzonych pomiarów tworzy się na podstawie orygi-
nalnego protokołu pomiarów. W zaleŜności od wy-
magań stawianych autorowi, moŜe ono przybierać
róŜne formy. Najczęściej jednak obejmuje następu-
jące części składowe:
1)
tabelę nagłówkową zawierająca dane o autorze,
dacie wykonania i tytuł,
2)
streszczenie będące zwięzłą prezentacją całej
treści,
3)
krótki opis podstaw teoretycznych przeprowa-
dzanego doświadczenia (lub doświadczeń przy-
pisanych do odpowiednich punktów pomiaro-
wych protokołu) z uwzględnieniem zwięzłej
prezentacji zastosowanych metod pomiarowych,
4)
opracowane wyniki pomiarów – wyniki wyko-
nanych obliczeń, przykładowe obliczenia, wy-
kresy,
5)
dyskusję otrzymanych wyników.
Opracowanie wyniku pomiaru polega na podaniu
pary liczb: najbardziej prawdopodobnej wartości
wielkości mierzonej oraz przedziału zwanego błę-
dem, w którym z określonym prawdopodobień-
stwem zawiera się rzeczywista wartość mierzonej
wielkości. Ich poprawne wyznaczenie warunkowane
jest znajomością podstawowych pojęć i zasad ra-
chunku błędów występujących w pomiarach.
2.1. Klasyfikacja bł
ę
dów i podstawowe
oznaczenia.
KaŜdy pomiar jest obarczony błędem i kaŜdy
eksperymentator ma obowiązek oszacować jego
poziom. W innym przypadku pomiar jest niewiary-
godny gdyŜ pojęcia pomiar i błąd są nierozerwalne.
Przyczyny powstawania błędów mogą być róŜne
i mogą mieć róŜny charakter. W związku z tym
błędy moŜna podzielić na przypadkowe, systema-
tyczne, nieczułości i nadmierne (tzw. grube).
Błędy przypadkowe – spowodowane są oddzia-
ływaniem na układ pomiarowy wielu niezaleŜnych
czynników, które zmieniają się w czasie w trudny do
przewidzenia sposób, oraz subiektywnych właści-
wości osób wykonujących pomiar.
Błędy systematyczne – spowodowane są oddzia-
ływaniem na układ pomiarowy czynników, które
podczas pomiaru są stałe lub zmieniają się według
określonej zaleŜności.
Błędy nadmierne – ich charakter jest w zasadzie
podobny do błędów przypadkowych, ale ze względu
na znaczną róŜnicę wartości dokonuje się ich zróŜni-
cowania, a wyniki pomiarów nimi obarczone odrzu-
ca się.
Błędy nieczułości – występują tylko przy pomia-
rach przeprowadzanych metodami zerowymi, przy
których wykorzystuje się wskaźniki równowagi
charakteryzujące się pewną właściwością nazywaną
czułością przyrządu (zdolność przyrządu do reago-
wania na zmianę wartości wielkości mierzonej do-
piero powyŜej pewnej minimalnej wartości tej wiel-
kości).
Błąd jest miarą określającą jak bardzo wynik
pomiaru róŜni się od wartości rzeczywistej mierzo-
nej wielkości.
RóŜnicę między wartością uzyskaną z pomiaru
X
m
, a wartością rzeczywistą X
r
mierzonej wielkości
nazywamy błędem bezwzględnym
∆
X i zapisujemy
w postaci:
r
m
X
X
X
−
=
∆
(1)
3
Błąd bezwzględny jest wyraŜany w jednostkach
miary mierzonej wielkości. JeŜeli jest to moŜliwe,
moŜna go wyeliminować przez zastosowanie po-
prawki p o znaku przeciwnym:
X
p
∆
−
=
(2)
Błąd względny (rzeczywisty)
δ
X
jest stosunkiem
błędu bezwzględnego do wartości rzeczywistej mie-
rzonej wielkości:
r
X
X
X
∆
=
δ
(3)
Błąd względny (procentowy)
δ
%
X
jest równy błę-
dowi względnemu wyraŜonemu w procentach:
%
100
%
⋅
∆
=
r
X
X
X
δ
(4)
Dokładność przyrządu pomiarowego jest wyra-
Ŝ
ana za pomocą klasy dokładności przyrządu lub za
pomocą błędu podstawowego (względnego) albo
bezwzględnego błędu podstawowego
przyrządu (w
przypadku przyrządów z odczytem analogowym), a
w przypadku przyrządów z odczytem cyfrowym
tylko za pomocą bezwzględnego błędu podstawo-
wego
.
Klasa dokładności przyrządu pomiarowego jest
wyznaczana na podstawie jego błędu podstawowego
wyraŜanego w procentach, obliczanego jako stosu-
nek maksymalnej wartości bezwzględnego błędu
pomiaru i wartości nominalnej zakresu pomiarowe-
go. Klasą analogowego przyrządu pomiarowego jest
najmniejsza z liczb naleŜąca do ciągu liczbowego
określonego przez Polską Normę i spełniającą za-
leŜność:
%
100
.
max
%
⋅
∆
=
≥
N
g
X
X
X
d
kl
δ
(5)
Zgodnie z PN-92/E-06501/01 ustalono, Ŝe do
określenia klasy elektrycznych i elektronicznych
analogowych przyrządów pomiarowych stosować
naleŜy wartości liczbowe z ciągu (1;2;5)
⋅
10
-n
- gdzie
n oznacza liczbę całkowitą. Ponadto dopuszcza się
klasy 0,3; 1,5; 2,5; 3.
Jak wspomniano wyŜej, dokładność przyrządu
pomiarowego moŜe być takŜe określana za pomocą
bezwzględnego błędu podstawowego
przyrządu
pomiarowego
∆
g
X
. Błąd ten w zaleŜności od produ-
centa moŜe być zdefiniowany na róŜne sposoby:
.)
.
.
%
.
.
%
(
n
z
w
b
m
w
a
X
g
+
±
=
∆
(6)
.
.
.
%
n
z
w
c
X
g
±
=
∆
(7)
.
.
%
m
w
d
X
g
±
=
∆
,
(8)
gdzie: w.m.=X
m
– wartość mierzona; w.z.n. = X
N
–
wartość nominalna zakresu; a, b, c, d – wartości
liczbowe (wyraŜone w %) charakterystyczne dla
danego przyrządu (c – klasa lub błąd podstawowy
względny).
Dla cyfrowych przyrządów pomiarowych nie
wyznacza się klasy, poniewaŜ w ich przypadku w
grę wchodzi jeszcze błąd dyskretyzacji wynoszący
±
1 kwant wielkości mierzonej. Błąd ten wynika z
zasady działania cyfrowych przyrządów pomiaro-
wych (zamiana wielkości ciągłej w dyskretną) i nie
da się go wyeliminować.
Bezwzględny błąd podstawowy pomiaru przy-
rządem cyfrowym podawany jest w jednej z dwóch
postaci:
)
(
b
a
X
g
+
±
=
∆
(9)
a
X
g
±
=
∆
,
(10)
gdzie: a – składowa analogowa błędu (zaleŜna od
„klasy” przyrządu cyfrowego), b – składowa cyfro-
wa błędu.
Składowa analogowa błędu jest wyraŜana w
przyrządach cyfrowych za pomocą wyraŜenia (6).
Natomiast składowa cyfrowa wynosi 1 kwant na
ostatniej pozycji wyświetlacza (niektóre publikacje
podają 0,5 kwanta). Bardzo często producenci apara-
tury pomiarowej pomijają ten błąd w danych katalo-
gowych (wyraŜenie (10)), poniewaŜ jest on zwykle
2
÷
5 razy mniejszy niŜ błąd analogowy (czasem
więcej).
W niektórych przypadkach równość (6) jest
przedstawiana dla przyrządów cyfrowych w postaci:
)
.
.
%
(
n
m
w
a
X
g
+
±
=
∆
,
(11)
gdzie: n – liczba cyfr (całkowita). n moŜe przyjmo-
wać wartości od 1 do kilkuset.
Względny błąd pomiaru (dokładność pomiaru)
będzie określony jako stosunek bezwzględnego
błędu pomiaru do wartości wielkości mierzonej co
moŜna zapisać w następujący sposób:
%
100
%
⋅
∆
=
m
g
X
X
X
δ
.
(12)
JeŜeli porównamy wyraŜenie (12) z wyraŜeniami
(6), (7), (11) to widać, Ŝe względny błąd pomiaru
jest tym większy im większy jest stosunek wartości
zakresu nominalnego przyrządu pomiarowego do
wartości mierzonej.
W dalszej części ograniczymy się do bliŜszego
zaprezentowania najczęściej występujących rodza-
jów błędów – przypadkowych i systematycznych.
2.2. Bł
ę
dy przypadkowe
Błędu przypadkowego nie moŜna uwzględnić ja-
ko poprawki w wyniku pomiaru. MoŜna tylko na
podstawie serii pomiarów wykonanych w tych sa-
mych warunkach (ten sam przyrząd, eksperymenta-
tor, warunki klimatyczne itd.) ustalić z określonym
prawdopodobieństwem granice tego błędu. Posługu-
jąc się metodami statystycznymi moŜna oszacować
jego wpływ na wynik pomiaru.
Z uwagi na fakt, Ŝe wyniku pomiaru obarczone-
go błędem przypadkowym nie da się przewidzieć,
przyjmuje się, Ŝe jest on zmienną losową (najczę-
ś
ciej ciągłą). W procesie pomiaru zmienna ta przyj-
muje tylko jedną konkretną wartość; z określonym
prawdopodobieństwem moŜliwe są jednak równieŜ
4
wartości inne. Ze względu na potwierdzone do-
ś
wiadczalnie załoŜenia mówiące, Ŝe przy odpowied-
nio duŜej liczbie pomiarów (n>30):
•
błędy równe co do wartości bezwzględnej, ale o
przeciwnych znakach zdarzają się jednakowo
często,
•
prawdopodobieństwo wystąpienia błędu dodat-
niego równe jest prawdopodobieństwu wystą-
pienia błędu ujemnego,
•
częstość występowania błędów małych jest
większa niŜ błędów duŜych,
•
błędy są zdarzeniami niezaleŜnymi,
zmienna losowa X tworząca wynik pomiaru charak-
teryzuje się ściśle określonym rozkładem funkcji
gęstości prawdopodobieństwa, zwanym rozkładem
Gaussa (rys. 1):
( )
(
)
−
−
=
2
2
2
exp
2
1
σ
π
σ
r
x
x
x
f
,
(13)
w którym jako x
r
traktuje się wartość rzeczywistą
wartości mierzonej. Parametr
σ
>0 jest miarą rozrzu-
tu wartości tak określonej zmiennej losowej i nosi
nazwę odchylenia standardowego.
Podczas wykonywania pomiarów wartość rzeczywi-
sta x
r
wielkości mierzonej nie jest znana, ale moŜna
wykazać, ze jej wartością najbardziej prawdopodob-
ną ze statystycznego punktu widzenia jest średnia
arytmetyczna serii n pomiarów:
n
X
X
n
i
i
s
∑
=
=
1
.
(14)
Drugi parametr rozkładu zmiennej losowej jako
wyniku pomiaru, odchylenie standardowe
σ
,
przy
dostatecznie duŜej liczbie pomiarów n>30 moŜe być
wyznaczony ze wzoru:
(
)
1
1
2
−
−
=
∑
=
n
X
x
n
i
s
i
σ
(15)
jako średni kwadratowy błąd pojedynczego pomiaru.
Oczywiście samą średnią arytmetyczną X
s
serii po-
miarów moŜna teŜ traktować jako zmienną losową
(licząc średnie z kilku serii pomiarowych uzyskuje
się róŜniące się wartości). Teoria prawdopodobień-
stwa stwierdza, Ŝe odchylenie standardowe średniej
(średni kwadratowy błąd średniej) jest
n razy
mniejszy od odchylenia standardowego pojedyncze-
go pomiaru:
(
)
( )
1
1
2
−
−
=
∆
=
∑
=
n
n
X
x
X
n
i
s
i
s
sp
s
σ
.
(16)
PowyŜszy parametr jako miara rozrzutu średniej ma
istotny sens fizyczny, gdyŜ wyznacza prawdopodo-
bieństwo z jakim wartość rzeczywista x
r
zawiera się
w przedziale (X
s
−
t
σ
s
, X
s
+t
σ
s
). Przedział ten nosi
nazwę przedziału ufności, a prawdopodobieństwo
mu odpowiadające nazywa się poziomem ufności.
Charakterystycznymi przedziałami ufności i odpo-
wiadającymi im poziomami ufności są:
dla t=1 P(X
s
−σ
s
< x
r
< X
s
+
σ
s
)=0,6826,
dla t=2 P(X
s
−
2
σ
s
< x
r
< X
s
+
2
σ
s
)=0,9546,
dla t=3 P(X
s
−
3
σ
s
< x
r
< X
s
+
3
σ
s
)=0,9974.
Przedział
±
3
σ
s
oznacza więc, Ŝe wystąpi w nim
99.74% wszystkich wyników obarczonych błędami
przypadkowymi. Prawdopodobieństwo wystąpienia
błędu przypadkowego o module większym niŜ 3
σ
s
jest więc bardzo małe. Przedział:
s
sp
s
gp
X
X
∆
⋅
=
∆
3
(17)
jest granicznym błędem przypadkowym wartości
ś
redniej, zwanym teŜ granicznym przedziałem ufno-
ś
ci.
NaleŜy jednak pamiętać, Ŝe zaleŜność na
∆
sp
X
s
jest
słuszna pod warunkiem duŜej liczby powtórzeń
pomiarów (teoretycznie n
→∞
). Przy liczbie pomia-
rów n=3
÷
20 wynik pomiaru jako zmienna losowa
ma rozkład Studenta. Rozkład ten jest szerszy i bar-
dziej spłaszczony od rozkładu Gaussa – rys. 2.
ZaleŜy on jednak od liczby pomiarów i przy n>30
przyjmuje praktycznie kształt krzywej Gaussa. Przy
wyznaczaniu przedziału ufności z rozkładu Studenta
korzysta się z odpowiednich tablic lub stosuje się
przybliŜenie w postaci skorygowanego wzoru na
∆
sp
X
s
rozkładu Gaussa:
∆
’
sp
X
s
=k’
∆
sp
X
s
,
(18)
gdzie:
1
1
1
'
−
+
=
n
k
.
(19)
Rys. 1. Przykłady funkcji Gaussa.
Rys. 2. Postać rozkładu Gaussa (1) i Studenta (2)
przy ustalonej liczbie pomiarów k.
5
ZaleŜność na
∆
gp
X
s
pozostaje bez zmian.
2.3. Bł
ę
dy systematyczne
Błędy systematyczne mają decydujący wpływ na
wynik pomiaru. MoŜna je podzielić na następujące
grupy:
•
błędy przyrządów pomiarowych;
•
błędy metody pomiarowej lub układu po-
miarowego;
•
błędy wywołane czynnikami zakłócającymi
o stałej wartości w czasie lub zmieniające
się zgodnie ze znaną zaleŜnością.
Jednym z głównych zadań eksperymentatora jest
minimalizacja tych właśnie błędów. Błędy pierwszej
grupy moŜna jedynie ograniczać przez zastosowanie
coraz dokładniejszych przyrządów, ale stosowanie
przyrządów dokładnych (dobrych) jest drogie. W
związku z tym przystępując do planowania jakiegoś
eksperymentu (przygotowując się do pomiaru) nale-
Ŝ
y bardzo wnikliwie zastanowić się nad moŜliwością
eliminacji lub przynajmniej znacznego ograniczenia
błędów naleŜących do pozostałych dwóch grup (np.
przez wyliczenie odpowiednich poprawek i zasto-
sowanie ich).
Podstawowym parametrem opisującym dokład-
ność przyrządu pomiarowego jest graniczny syste-
matyczny błąd przyrządu obliczany z zaleŜności:
N
gs
X
d
kl
X
%
100
)
.
(
=
∆
(20)
lub za pomocą wzorów (6), (7), (8) oraz (9) i (11).
WyraŜenie (20) jest toŜsame wyraŜeniu (7). Przy
załoŜeniu równomiernego rozkładu błędu systema-
tycznego w przedziale
±∆
gs
X
moŜna teŜ wykazać, Ŝe
ś
redni kwadratowy błąd systematyczny jest równy:
3
X
X
gs
ss
∆
=
∆
(21)
2.4. Bł
ę
dy w pomiarach po
ś
rednich
W eksperymentach pomiarowych spotkać moŜna
dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredni, gdy
wartość wielkości mierzonej jest określona na pod-
stawie wskazania jednego przyrządu i pomiar po-
ś
redni, gdy wyznaczana wielkość Y jest funkcją
kilku
innych
wielkości
pomocniczych
X
i
:
Y
=f(X
1
, X
2
,..., X
n
). RozwaŜmy ten drugi rodzaj po-
miarów.
Chcemy wiedzieć, jakim błędem wypadkowym
∆
Y
będzie obciąŜona wielkość Y, przy znanych błę-
dach wielkości pośrednich X
i
. Najczęściej stosowaną
metodą szacowania tego błędu, zarówno w odniesie-
niu do błędów systematycznych i przypadkowych,
jest wykorzystanie pewnej toŜsamości matematycz-
nej zwanej rozwinięciem funkcji w szereg Taylora
[1][3][4]. Ograniczając się do funkcji dwu zmien-
nych powyŜsze rozwinięcie ma postać:
(
) (
)
.
,
,
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
X
X
Y
X
X
Y
X
X
Y
X
X
X
X
Y
Y
Y
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
+
+
≈
∆
+
∆
+
=
=
∆
+
(22)
gdzie
∆
X
1
i
∆
X
2
są przyrostami X
1
i X
2
a
n
n
n
n
X
Y
X
Y
2
1
/
i
/
∂
∂
∂
∂
są tzw. pochodnymi cząstko-
wymi Y względem X
1
i X
2
. Oznacza to, Ŝe
n
n
X
Y
1
/
∂
∂
jest wynikiem róŜniczkowania Y wzglę-
dem X
1
przy ustalonym X
2
, a
n
n
X
Y
2
/
∂
∂
to wynik
róŜniczkowania Y względem X
2
przy ustalonym X
1
.
Obie pochodne obliczane są w punkcie (X
1
,X
2
).
Stąd błąd bezwzględny:
2
2
1
1
X
X
Y
X
X
Y
Y
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
=
∆
,
(23)
a błąd względny:
.
2
2
1
1
Y
X
X
Y
Y
X
X
Y
Y
Y
Y
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
=
∆
=
δ
(24)
W przypadku, gdy wielkości pomocniczych okre-
ś
lonych z błędami jest więcej, korzysta się z rozwi-
nięcia w szereg Taylora funkcji kilku zmiennych.
Błąd bezwzględny pomiaru wielkości Y moŜna
wówczas przedstawić w następujący sposób:
n
n
X
X
Y
X
X
Y
X
X
Y
Y
∆
∂
∂
+
+
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
=
∆
...
2
2
1
1
. (25)
Pouczające jest wyznaczenie tego błędu dla dwu
elementarnych pomiarów pośrednich. JeŜeli np.
(
)
2
1
2
1
,
X
X
X
X
Y
+
=
,
(26)
to obie pochodne cząstkowe:
1
2
1
=
∂
∂
=
∂
∂
X
Y
X
Y
.
(27)
Wówczas zgodnie z (25):
∆
Y
≈
∆
X
1
+
∆
X
2
(28)
I drugi przykład – jeŜeli:
(
)
2
1
2
1
,
X
X
X
X
Y
⋅
=
,
(29)
to pochodne cząstkowe mają postać:
1
2
2
1
i
X
X
Y
X
X
Y
=
∂
∂
=
∂
∂
.
(30)
A zatem błąd bezwzględny wynosi:
2
1
1
2
X
X
X
X
Y
∆
⋅
+
∆
⋅
=
∆
,
(31)
a błąd względny:
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Y
Y
Y
Y
δ
δ
δ
+
=
∆
+
∆
=
=
⋅
∆
⋅
+
⋅
∆
⋅
=
=
⋅
∆
=
∆
=
(32)
Uzyskaliśmy więc dwie proste reguły wyznaczania
błędów w pomiarach pośrednich: 1) błąd bez-
względny sumy kilku wielkości jest sumą błędów
bezwzględnych kaŜdej z nich oraz 2) błąd względny
iloczynu kilku wielkości jest sumą błędów względ-
nych kaŜdej z nich. Według wzoru (25), określają-
cego tzw. model propagacji (przenoszenia) błędów,
moŜliwe jest wyznaczenie błędu dla dowolnej zaleŜ-
6
ności funkcyjnej. Przykłady najczęściej spotykane
przedstawia tabela 5:
Tabela 5.
Przykłady propagacji błędów.
Funkcja
Sposób propagacji błędu
y = ax
∆
Y = a
∆
X
y = ax, X
ś
r
≠
0
δ
y =
δ
x
y = x
a
, X
ś
r
≠
0
δ
y = a
δ
x
y = e
x
, Y
ś
r
≠
0
δ
y =
∆
X
y = lnx , X
ś
r
> 0
∆
Y =
δ
x
y = x
1
+ x
2
∆
Y =
∆
X
1
+
∆
X
2
y = x
1
- x
2
∆
Y =
∆
X
1
+
∆
X
2
y = x
1
⋅
x
2
δ
Y =
δ
X
1
+
δ
X
2
y = x
1
/ x
2
δ
Y =
δ
X
1
+
δ
X
2
∑
=
=
n
i
i
i
x
a
y
1
∑
=
∆
=
∆
n
i
i
i
x
a
y
1
∏
=
=
n
i
a
i
i
x
y
1
∑
=
=
n
i
i
i
x
a
y
1
δ
δ
Dotychczas milcząco zakładaliśmy, Ŝe błędy
wielkości pomocniczych
∆
X
1
,
∆
X
2
,...,
∆
X
n
są do-
kładnie znane. W praktyce pomiarowej sytuacja taka
jednak nigdy nie występuje. Analizując błędy przy-
padkowe, zaleŜność (25) moŜna przepisać w postaci:
(
)
(
)
(
)
,
...
2
2
1
1
1
1
nr
n
n
r
r
r
X
X
X
Y
X
X
X
Y
X
X
X
Y
Y
Y
−
∂
∂
+
+
−
∂
∂
+
+
−
∂
∂
=
−
(33)
w której indeks „r” odnosi się do wartości oczeki-
wanych a Y, X
1
, X
2
,..., X
n
są zmiennymi losowymi
(moŜna za nie podstawić wartości uzyskane w serii
pomiarowej). MoŜna wykazać [1][3][4], Ŝe odchyle-
nie średnie kwadratowe średniej arytmetycznej
∆
sp
Y
s
wyraŜa się zaleŜnością:
(
)
(
)
(
)
.
]
...
...
[
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
ns
sp
n
s
sp
s
sp
s
sp
X
X
Y
X
X
Y
X
X
Y
Y
∆
∂
∂
+
+
∆
∂
∂
+
+
∆
∂
∂
=
∆
(34)
W przypadku błędów systematycznych konkret-
ne wartości błędów wielkości pomocniczych rów-
nieŜ nie są znane. Znane są za to granice, w których
te błędy są zawarte. W takich wypadkach oblicza się
ekstremalną moŜliwą wartość błędu pomiaru po-
ś
redniego, związaną z przyjęciem przez wszystkie
jego składniki tego samego znaku. Jest to tzw. błąd
najgorszego przypadku lub błąd graniczny pomiaru
pośredniego i opisuje się go następująco:
.
...
...
2
2
1
1
ns
sp
n
s
sp
s
sp
g
X
X
Y
X
X
Y
X
X
Y
Y
∆
∂
∂
+
+
+
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
=
∆
(35)
JeŜeli jednak wielkość mierzona zaleŜy od wielu
wielkości pomocniczych, to istnieje wówczas bardzo
małe prawdopodobieństwo takiego zdarzenia, Ŝe ich
błędy systematyczne będą przyjmowały wartości
graniczne i niekorzystny układ znaków. Liczenie
błędów według zaleŜności (35) prowadzi więc do
wyniku zawyŜonego. Przy załoŜeniu wzajemnej
niezaleŜności błędów wielkości pomocniczych moŜ-
na wykazać [1], Ŝe błąd pomiaru pośredniego moŜna
obliczać tak, jak błąd przypadkowy. Bezwzględny
błąd graniczny pomiaru pośredniego oblicza się
wtedy ze wzoru:
(
)
(
)
(
)
,
]
...
...
[
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
ns
g
n
s
g
s
g
g
X
X
Y
X
X
Y
X
X
Y
Y
∆
∂
∂
+
+
∆
∂
∂
+
+
∆
∂
∂
=
∆
(36)
gdzie
∆
g
X
i
jest błędem granicznym pomiaru wielko-
ś
ci X
i
.
2.5. Zasady obliczania bł
ę
dów
Ze względu na wymaganą dokładność, pomiary
moŜna podzielić na laboratoryjne (
δ
%
X
<0,05%),
laboratoryjne
ś
redniej
dokładności
(0,05%
≤δ
%
X
≤
0,5%) i techniczne (
δ
%
X
>0,5%). W
zaleŜności od tego do rachunku błędów podchodzi
się z róŜną precyzją.
2.5.1. Pomiary techniczne.
Pomiar danej wielkości odbywa się na ogół
jednokrotnie a błąd ma na ogół charakter systema-
tyczny ograniczony dokładnością uŜytych przyrzą-
dów
a)
Pomiar bezpośredni:
-
Obliczamy graniczny błąd pomiaru na podsta-
wie wyraŜeń (6), (7), (8), (11) lub (20).
-
Wynik pomiaru zapisujemy w postaci:
X
X
X
g
m
r
∆
±
=
(37)
-
Dokładność pomiaru oblicza się na podstawie
wyraŜenia (12).
b)
Pomiar pośredni:
-
Funkcja opisująca wielkość mierzoną ma po-
stać:
)
,....,
(
1
n
X
X
f
Y
=
a
)
,....,
(
1
mn
m
m
X
X
f
Y
=
.
-
Graniczny błąd pomiaru określony jest zaleŜno-
ś
cią (36):
7
∑
=
∆
∂
∂
=
∆
n
i
i
g
i
g
X
X
Y
Y
1
2
lub w postaci uproszczonej (błąd najgorszego
przypadku – zaleŜność (35)) jako :
∑
=
∆
∂
∂
=
∆
n
i
i
g
i
g
X
X
Y
Y
1
gdzie:
∆
g
X
i
– błąd graniczny i-tej wielkość mie-
rzonej bezpośrednio określony tak jak w przy-
padku pomiarów bezpośrednich.
-
Wynik pomiaru zapisujemy w postaci:
Y
Y
Y
g
m
r
∆
±
=
(38)
-
Dokładność pomiaru jest równa:
%.
100
%
⋅
∆
=
m
g
Y
Y
Y
δ
(39)
2.5.2. Pomiary laboratoryjne.
Przy wyliczaniu błędu granicznego pomiaru na-
leŜy uwzględnić wszystkie typy błędów, zarówno
systematyczne jak i przypadkowe (oraz nieczułości
jeŜeli wymaga tego uŜyta metoda). Pomiary bardzo
dokładne charakteryzują się duŜą liczbą powtórnych
pomiarów (długa seria pomiarowa) rzędu 10
÷
20 a
nawet więcej. Długość serii pomiarowej przy pomia-
rach o średniej dokładności wynosi 3
÷
10 pomiarów.
PoniŜej omówiony zostanie sposób obliczania błę-
dów pomiaru dla badań laboratoryjnych o średniej
dokładności.
a)
Pomiar bezpośredni:
-
Oblicza się wartość średnią X
s
ze wzoru (14);
-
Błąd średni przypadkowy wartości średniej
∆
sp
X
s
wyznacza się z zaleŜności (16);
-
Określa się błąd graniczny przypadkowy warto-
ś
ci średniej
∆
gp
X
s
z równania (17);
-
Wylicza się błąd graniczny systematyczny
∆
gs
X
na podstawie zaleŜności (20);
-
Korzystając ze wzoru (40) oblicza się granicz-
ny błąd pomiaru
2
2
)
(
)
(
X
X
X
gs
s
gp
g
∆
+
∆
=
∆
(40)
-
Wynik pomiaru zapisuje się w postaci:
X
X
X
g
s
r
∆
±
=
(41)
-
Dokładność pomiaru obliczana jest z równania:
%
100
%
s
g
X
X
X
∆
=
δ
.
(42)
b)
Pomiar pośredni:
Wartość wielkości mierzonej pośrednio Y jest funk-
cją k-wielkości mierzonych bezpośrednio
)
,.....,
(
1
k
X
X
f
Y
=
, a pomiar kaŜdej z wielkości X
powtarzamy n-krotnie:
kn
k
n
X
X
X
X
.....
.....
.....
.....
.....
1
1
11
-
Obliczamy wartości średnie X
1s
÷
X
ks
wielkości
mierzonych bezpośrednio z zaleŜności (14);
-
Wartość średnia wielkości mierzonej pośrednio
jest równa:
)
,....,
(
1
ks
s
s
X
X
f
Y
=
(43)
NaleŜy obliczyć błędy średnie przypadkowe po-
szczególnych wielkości
∆
sp
X
is
posługując się za-
leŜnością (18);
-
Błąd średni przypadkowy wartości średniej
wielkości Y wyznacza się z zaleŜności (34),
tzn.:
∑
=
∆
∂
∂
=
∆
k
i
is
sp
i
s
sp
X
X
Y
Y
1
2
2
)
(
-
Błąd średni systematyczny wielkości Y oblicza
się z zaleŜności:
=
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
≥
∆
∂
∂
=
∆
∑
=
2
)
(
)
(
82
,
0
3
)
(
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
k
X
X
Y
X
X
Y
k
X
X
Y
Y
ss
ss
k
i
i
ss
i
ss
(44)
gdzie:
3
i
gs
i
ss
X
X
∆
=
∆
(zaleŜność (21)) ;
-
Błąd średni wypadkowy pomiaru wyznacza się
następująco:
2
2
)
(
)
(
Y
Y
Y
ss
s
sp
s
∆
+
∆
=
∆
.
(45)
-
Błąd graniczny pomiaru oblicza się ze wzoru
Y
Y
s
g
∆
⋅
=
∆
3
.
(46)
-
Wynik pomiaru zapisywany jest w postaci (41)
a dokładność (42).
2.6. Zasady podawania wyników oblicze
ń
KaŜdy pomiar powinien być tak zorganizowany,
aby obliczeń niezbędnych do otrzymania wyniku
końcowego było jak najmniej. NaleŜy przy tym
pamiętać, Ŝe obliczeń nie naleŜy dokonywać nigdy z
dokładnością większą niŜ pozwalają na to posiadane
dane wyjściowe.
Przy dodawaniu lub odejmowaniu uwzględniamy
tylko te miejsca składników, które występują przy
wszystkich liczbach, np.:
Ź
le
Dobrze
271,2
14,51
+ 0,125
285,835
271,2
14,5
+ 0,1
285,8
W celu zmniejszenia pracochłonności przy mnoŜe-
niu lub dzieleniu wskazane jest, aby czynniki miały
te same ilości cyfr znaczących, np.:
Ź
le
Dobrze
217,63 V x 0,234 A
lub
217 V x 0,23456 A
217,6 V x 0,2346 A
8
Wyniki przeprowadzanych obliczeń naleŜy po-
nadto zaokrąglić posługując się następującymi regu-
łami:
1)
jeŜeli pierwsza (licząc od lewej strony) z odrzu-
canych cyfr jest mniejsza od 5, to ostatniej po-
zostawianej cyfry nie zmienia się, np.:
49,64
≈
49,6
2)
jeŜeli pierwsza (licząc od lewej strony) z odrzu-
canych cyfr jest większa od 5, to ostatnią pozo-
stawiana cyfrę powiększa się o jeden, np.:
49,66
≈
49,7
3)
jeŜeli pierwsza (licząc od lewej strony) z odrzu-
canych cyfr jest równa 5, ale następuje po niej
co najmniej jeszcze jedna cyfra inna niŜ 0, to
ostatnią pozostawioną cyfrę powiększa się o je-
den, np.:
49,6512
≈
49,7
49,6501
≈
49,7
4)
jeŜeli pierwsza (licząc od lewej strony) z odrzu-
canych cyfr jest równa 5, ale nie następuje po
niej Ŝadna inna cyfra niŜ zero, to ostatnią pozo-
stawioną cyfrę powiększa się o jeden jedynie w
tym przypadku, jeŜeli jest to cyfra nieparzysta
(zero traktuje się jak cyfrę parzystą), np.:
49,65
≈
49,6
49,75
≈
49,8
49,85
≈
49,8
Przy tworzeniu ostatecznej postaci wyniku po-
miaru wygodnie jest posłuŜyć się dwiema regułami
– regułą podawania błędu i regułą podawania odpo-
wiedzi [5].
Reguła podawania bł
ę
du
PoniewaŜ błąd jest miarą niewiarygodności ostatniej
cyfry, bądź dwóch ostatnich cyfr znaczących warto-
ś
ci liczbowej, nie określa się go zwykle z większą
dokładnością aniŜeli jedną cyfrą znaczącą. Błąd
podaje się za pomocą co najwyŜej dwóch cyfr zna-
czących:
•
jeśli ma być uŜyty do dalszych obliczeń
(zmniejsza to niedokładności wprowadzane
podczas zaokrąglania a końcowy wynik powi-
nien być i tak zaokrąglony aby usunąć tę dodat-
kową i nieznaczącą cyfrę),
•
jeśli pierwszą cyfra znaczącą jest 1 lub 2 (za-
okrąglenie błędu np.
∆
= 0,14 do wartości 0,1
prowadziłoby do 40% zmniejszenia jego warto-
ś
ci).
Reguła podawania odpowiedzi
Ostatnia cyfra znacząca w kaŜdym wyniku końco-
wym powinna być tego samego rzędu (stać na tym
samym miejscu dziesiętnym) co błąd. Np. wynik
92,81 określony z błędem 0,3 powinien być zaokrą-
glony do:
92,8
±
0,3
Jeśli błąd jest równy 3, to ten sam wyniki naleŜy
podać jako:
93
±
3
Jeśli natomiast błąd wynosi 30, to odpowiedź po-
winna brzmieć:
90
±
30
Całkowicie niedorzeczne jest podawanie wyniku w
postaci np.:
9,81
±
0,0356789
2.7. Zasady tworzenia wykresów
Wykresy sporządzanych zaleŜności powinny być
wykonane estetycznie, ręcznie przy pomocy krzywi-
ków lub w postaci wydruków na standardowych
rozmiarach papierów. Wykresy wykonane ręcznie
muszą być nanoszone na papier milimetrowy a wy-
druki komputerowe moŜna robić na papierze gład-
kim.
KaŜdy wykres powinien być zaopatrzony w opis
zaleŜności funkcyjnej oraz informację w jakich
warunkach był „zdejmowany”. Osie wykresów po-
winny być oznaczone, tzn. powinny zawierać infor-
mację jakie wielkość są na nich odłoŜone oraz w
jakich jednostkach są wykreślone ich wartości. JeŜe-
li na danym wykresie naniesiono kilka krzywych to
naleŜy je wykreślić róŜnymi kolorami lub przy po-
mocy symboli np.
•
, o, x,
∗
, itp. Wykres taki zawsze
powinien być jednoznaczny – opis poszczególnych
krzywych naleŜy zawrzeć pod rysunkiem lub w
legendzie – rys. 3.
Ogólnie dostępny papier milimetrowy reprezen-
tuje tzw. siatkę liniowo-liniową. Oprócz siatki li-
niowej, w celu uwypuklenia charakterystycznych
zmian interesującej nas zaleŜności, stosuje się jesz-
cze siatki logarytmiczne: liniowo-logarytmiczną,
logarytmiczno-liniową i logarytmiczno-logarytmi-
czną – rys. 4. Siatka liniowo-logarytmiczna znajduje
zastosowanie gdy zakres liczbowy wartości osi
rzędnych (oś y) jest znaczny, tzn. poszczególne
wartości y
i
róŜnią się między sobą o rzędy wielkości.
Pozwala ona ponadto na sprawdzenie istnienia mię-
dzy dwiema wielkościami zaleŜności typu y=Ae
ax
,
gdzie A, a – stałe, gdyŜ linearyzuje jej wykres. Po-
dobnie, gdy wartości osi odciętych x charakteryzują
się duŜym zakresem zmian, wykorzystywana jest
Rys. 3. Przykład wykresu.
9
siatka logarytmiczno-liniowa. Dodatkowo pozwala
na linearyzację zaleŜności typu y=A+alnx, gdzie A, a
– stałe. Siatkę logarytmiczno-logarytmiczną wyko-
rzystuje się natomiast w sytuacji, gdy wartości na
obu osiach charakteryzują się duŜymi zakresami
zmian oraz do sprawdzania zaleŜności typu y=Ax
a
,
gdzie A, a – stałe. Pewną odmianą skali logaryt-
micznej dla osi rzędnych jest skala decybelowa,
słuŜąca do wyraŜania stosunku wartości interesują-
cej nas wielkości np. U do pewnej wielkości odnie-
sienia U
0
. Wartość U/U
0
wyraŜona w skali decybe-
lowej wynosi:
0
0
lg
20
]
[
U
U
dB
U
U
=
,
(47)
gdzie lg jest oznaczeniem logarytm dziesiętnego.
Wykorzystuje się ją do zobrazowania duŜego zakre-
su zmian pewnych wielkości stosunkowych, np.
wzmocnienia.
W przypadku braku dostępu do siatki logaryt-
micznej wykres moŜna równieŜ wykonać na zwy-
kłym papierze milimetrowym stosując odpowiednie
skalowanie.
Przykład. W tabeli 6 w wierszach 1-3 przedstawiono
wyniki pomiaru przebiegu wzmocnienia pewnego
wzmacniacza w funkcji częstotliwości. Wykres
sporządzony na podstawie wartości zawartych w
tabeli 6 i przedstawiony na rys. 5 w skali liniowej
jest całkowicie nieczytelny dla małych częstotliwo-
ś
ci. Warto zastanowić się chwilę nad wartościami f.
Obejmują one zakres od 1Hz do 2MHz czyli ponad
6 dekad. Dekadę tworzy przedział, którego górna
granica jest 10 razy większa od dolnej. Pierwsza
dekada obejmuje więc zakres (0,10)Hz, druga
(10,100)Hz, trzecia (100,1000)Hz itd. Długości tych
przedziałów w skali liniowej rosną. Zastosowanie
skali logarytmicznej (np. logarytmu przy podstawie
10 z wartości częstotliwości) sprawia, Ŝe na rysunku
będą one miały tę samą długość. Przypuśćmy, Ŝe na
wykonanie osi dla f mamy do dyspozycji 21cm.
Rezerwując na kaŜdą dekadę w skali logarytmicznej
po 3cm uzyskamy długość odcinka odpowiadające-
go wszystkim 6 dekadom równą 6
⋅
3cm=18cm. Po-
szczególnym granicom przedziałów będą więc od-
powiadały następujące wartości w centymetrach:
10
0
Hz
→
0cm
10
1
Hz
→
3cm
10
2
Hz
→
6cm
10
3
Hz
→
9cm
itd.
ZaleŜność przeskalowująca jest oczywista: warto-
ś
ciom częstotliwości wyraŜonym w hercach naleŜy
przypisać następujące odległości na osi wyraŜone w
centymetrach:
f
’[cm]={log
10
[f[Hz]]}
⋅
3[cm].
Wiersz 4 tabeli 6 zawiera obliczone wartości f’[cm]
a odpowiedni wykres w uzyskanej skali logaryt-
miczno-liniowej przedstawia rys. 6. MoŜna na nim
zaobserwować pasmowy charakter wzmocnienia
wzmacniacza z dwoma podbiciami w zakresie ni-
skich i wysokich częstotliwości.
W celu wykorzystania pełnej powierzchni rysun-
ku niejednokrotnie konieczne jest przesuwanie po-
czątku układu współrzędnych.
Przykład. W tabeli 7 w wierszach 1-3 przedstawiono
wyniki charakterystyki przetwarzania pewnego
wzmacniacza.
Tabela 6.
Wyniki pomiarów wzmocnienia K pewnego wzmacniacza w funkcji częstotliwości f.
Lp
-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
f
Hz
1
1.5
2
4
8
12 20 40
500
1.5
⋅
10
3
1.5
⋅
10
4
6
⋅
10
3
10
5
2
⋅
10
5
4
⋅
10
5
6
⋅
10
5
9
⋅
10
5
1.5
⋅
10
6
2
⋅
10
6
K
V/V
0
2
5
9
11 12 11 10
10
10
10
11
15
20
15
9
5
2
0
f’
cm
0
0,5 0,9 1,8 2,7 3,2 3,9 4,8
8,1
9,5
12,5
14,3
15,9
16,8
17,3
17,9
18,5
18,9
Rys. 5. Przykład źle dobranej skali dla osi częstotliwości.
Rys. 4. Rodzaje siatek: a) liniowa, b) liniowo-
logarytmiczna, c) logarytmiczno-liniowa,
d) logarytmiczno-logarytmiczna.
15,0
10
Tabela 7.
Przykładowa charakterystyka przetwarza-
nia.
Lp.
-
1
2
3
4
5
U
we
mV
100
105
110
115
120
U
wy
mV
201
213
221
230
243
U’
we
mV
0
4
8
12
16
U’
wy
mV
0,5
6,5
10,5
15,0
21,5
Podobnie jak poprzednio, wykres sporządzony na
ich podstawie – rys. 7 jest nieczytelny i wymaga
przesunięcia początku układu współrzędnych.
Przypuśćmy, Ŝe mamy do dyspozycji 18cm dla osi x
i 25cm dla osi y. NaleŜy zastosować takie zaleŜności
przeskalowujące, aby po pierwsze – wielokrotność
działki podstawowej papieru milimetrowego np.
1cm, 2cm, 3cm itd. odpowiadała 1, 2, 5, 10, 20, 50
itd. jednostkom mierzonej wielkości (naleŜy to za-
pewnić zawsze, niezaleŜnie od konieczności prze-
suwania początku układu współrzędnych) i po dru-
gie – aby w pełni wykorzystać powierzchnię wykre-
su. RozwaŜmy oś x. Chcemy, aby długości ok. 18cm
odpowiadał przedział o szerokości
120mV-100mV=20mV.
Przy skalach bazujących na jednostce papieru mili-
metrowego np. 1cm/1mV i 1cm/2mV uzyskujemy
wartości
20mV
⋅
(1cm/1mV)=20cm
oraz 20mV
⋅
(1cm/2mV)=10cm,
odpowiadające kolejno – przekroczeniu i znacznemu
niewypełnieniu dostępnego zakresu 18cm. Przy
zastosowaniu skali S
x
=4cm/5mV bazującej na wie-
lokrotności działki podstawowej papieru milimetro-
wego uzyskujemy wartość
20mV
⋅
(4cm/5mV)=16cm,
co juŜ moŜna uwaŜać za rozsądne wypełnienie do-
stępnego zakresu. ZaleŜność przeskalowująca będzie
więc miała postać:
U’
we
[cm]=
=(U
we
-U
wemin
)
⋅
S
x
=(U
we
-100mV)
⋅
(4cm/5mV).
Podobnie postępując moŜna dla osi y wyprowadzić
zaleŜność:
U’
wy
[cm]=(U
wy
-U
wymin
)
⋅
S
y
,
W której S
y
najwygodniej wyznaczyc tak, aby zakre-
sowi 25cm odpowiadał przedział (200,250)mV,
czyli przedział o szerokości 50mV:
S
y
=1cm/2mV,
gdyŜ 50mV
⋅
S
y
=25cm. Ostatecznie więc:
U’
wy
[cm]=(U
wy
-200mV)
⋅
(1cm/2mV).
Wyznaczone wartości U’
we
[cm] i U’
wy
[cm] zawiera
w wierszach 4-5 tabela 7, a sporządzony na ich pod-
stawie wykres przedstawia rys. 8.
Niekiedy naleŜy na wykresie zaznaczyć stopień
dokładności realizowanych pomiarów. UŜywa się
wówczas oznaczeń przedstawionych na rys. 9.
Rys. 7. Przykład złego rozplanowania powierzchni
rysunku.
Rys. 8. Przykład dobrego rozplanowania powierzchni
rysunku.
Rys. 6. Przykład dobrze dobranej skali dla osi częstotliwości.
Rys. 9. Przykłady oznaczania na wykresach dokład-
ności pomiarów.
dokładno
ść
wielko
ś
ci Y
dokładno
ść
wielko
ś
ci X
dokładno
ść
wielko
ś
ci X i Y
11
W większości przypadków naleŜy równieŜ jako
zasadę przyjąc fakt, iŜ poszczególnych punktów
wykresu nie naleŜy łączyć krzywą łamaną. MoŜna
tak postapić jedynie wówczas, gdy przedstawiane
zaleŜności mają znaczenie jedynie formalne. W
przypadku wielkości fizycznych naleŜy dokonać
przybliŜenia
dyskretnych
wyników
pomiarów
wykonując
tzw.
aproksymację.
Zadaniem
aproksymacji
zaleŜności
między
dwiema
wielkościami X i Y jest szacowanie jej przebiegu na
podstawie przeprowadzonych pomiarów. MoŜna
tego dokonać w sposób graficzny za pomocą
krzywików
i
linijki,
prowadząc
krzywą
aproksymującą tak, aby przechodziła ona przez jak
największą liczbę punktów określonych empirycznie
lub blisko nich. RozłoŜenie punktów względem
krzywej powinno być, według oceny “na oko”,
symetryczne z zachowaniem, w miarę moŜliwości,
jednakowej liczby punktów po jej obu stronach.
Znacznie dokładniejszą metodą aproksymacji
jest metoda analityczna zwana metodą naj-
mniejszych kwadratów lub metodą regresji. W
najbardziej elementarnym ujęciu jako funkcję
aproksymująca przyjmuje się wielomian n-tego
rzędu:
n
n
X
a
X
a
X
a
a
X
f
Y
+
+
+
+
=
=
...
)
(
2
2
1
0
, (48)
którego współczynniki a
0
, a
1
, ..., a
n
wyznacza się na
podstawie wyników pomiarów. Stopień wielomianu
przyjmowany jest z reguły na podstawie pewnej
wiedzy a priori o badanej zaleŜności, tzn. naleŜy
załoŜyć, Ŝe jest ona liniowa (n=1), kwadratowa
(n=2), sześcienna (n=3) itd.
Przy braku tej wiedzy rząd wielomianu moŜna do-
bierać eksperymentalnie, pamiętając jednak, Ŝe jego
wzrost prowadzi, co prawda, do zmniejszenia błędu
dopasowania krzywej aproksymującej do punktów
empirycznych, ale kosztem pojawienia się między
nimi niepoŜądanych oscylacji.
Zasada wyznaczania funkcji aproksymującej jest
następująca.
Przypuśćmy, Ŝe chodzi o wyznaczenie często wystę-
pującej w praktyce zaleŜności liniowej dla N punk-
tów pomiarowych. Poszukujemy a
0
i a
1
w formule:
X
a
a
Y
1
0
+
=
.
(49)
Przy zakładanej liniowości danemu punktowi po-
miarowemu x
i
powinna odpowiadać wartość
y’
i
= a
0
+a
1
x
i
. Z pomiarów znamy jednak „błędne” y
i
,
więc róŜnica
∆
i
= y
i
-(a
0
+a
1
x
i
) jest błędem i-tego wy-
niku y
i
. Tworząc sumę kwadratów wszystkich błę-
dów:
(
)
[
]
∑
∑
=
=
+
−
=
∆
N
i
i
i
N
i
i
x
a
a
y
1
2
1
0
1
2
,
(50)
moŜemy znaleźć takie a
0
i a
1
, dla których powyŜsza
suma osiąga minimum (stąd uzasadnienie nazwy –
metoda najmniejszych kwadratów). Badanie mini-
mum jest zadaniem trywialnym i polega na wyzna-
czeniu pochodnych względem a
0
i a
1
i przyrównaniu
ich do zera [5]. Z układu dwu równań wyznacza się
wówczas wartości a
0
i a
1
:
( )( )
( )
,
1
0
2
2
1
N
x
a
N
y
a
x
x
N
y
x
y
x
N
a
i
i
i
i
i
i
i
i
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
−
=
−
−
=
(51)
w których operacje sumowania odbywają się wzglę-
dem indeksu i. Otrzymane wartości dają najlepsze
przybliŜenie współczynników poszukiwanej prostej
oparte na wynikach pomiarów w sensie średniokwa-
dratowym. Organizacja powyŜszych obliczeń po-
winna być w sprawozdaniu zobrazowana tabelą
zestawiającą kolejno wartości x
i
, y
i
, x
i
y
i
, x
i
2
potrzeb-
ne do końcowych wzorów.
Przedstawioną metodę łatwo uogólnić na przypadek
wielomianu dowolnego stopnia lub dowolnej funkcji
y
=f(x) zaleŜnej od nieznanych parametrów a
0
, a
1
, ...,
jednakŜe powstałe równania liniowe mogą być wte-
dy trudne lub wręcz niemoŜliwe do rozwiązania.
Zagadnienia aproksymacji nie naleŜy mylić z in-
ną metodą znajdowania zaleŜności funkcyjnej mię-
dzy danymi uzyskanymi z pomiaru, zwaną interpo-
lacją. Polega ona na wyznaczeniu krzywej, która jest
dopasowana z zerowym błędem do wyników pomia-
rów (przechodzi przez wszystkie punkty empirycz-
ne). W zagadnieniach interpolacji wykorzystuje się
m. in. metody funkcji sklejanych (ang. splines).
3.
O
PRACOWANIE WYNIKÓW
POMIARÓW WSPOMAGANE KOMPUTEREM
–
WPROWADZENIE DO
MATLABA
Współczesne mikrokomputery oraz istniejące
oprogramowanie stanowią niezwykle atrakcyjne
narzędzie w procesie opracowania wyników ekspe-
rymentu. Zwalniają uŜytkownika z wykonywania –
wielu Ŝmudnych i uciąŜliwych obliczeń, umoŜliwia-
ją praktycznie dowolne ich modyfikacje oraz szyb-
kie i w dowolnej formie zobrazowanie wyników
końcowych. Często problemem staje się nie sposób
wykonania obliczeń (korzysta się z gotowych proce-
dur), ale samo określenie celu naszych poczynań.
Dostępność kolorowych drukarek i ploterów spra-
wia, Ŝe opracowane sprawozdania mogą być zaopa-
trzone w wysoce estetyczne i czytelne wykresy mie-
rzonych wielkości.
W procesie tworzenia sprawozdania moŜna sko-
rzystać z dowolnego języka programowania ogólne-
go przeznaczenia tworząc własne procedury prze-
twarzania i zobrazowania wyników pomiarów, lub z
jednego z programów specjalistycznych, zaopatrzo-
nego w uŜyteczne dla nas biblioteki procedur. Jed-
nym z takich programów jest pakiet MATLAB.
Stanowi on rozbudowane środowisko programi-
styczne, bazujące na bogatym zestawie tzw. „tool-
boxów”, czyli bibliotek procedur mających zastoso-
wanie w wielu dziedzinach np. w ekonometrii, sie-
ciach neuronowych, cyfrowym przetwarzaniu sygna-
łów, statystyce, optymalizacji itp. Jest to środowisko
otwarte – umoŜliwia tworzenie równieŜ własnych
procedur. Zastosowanie MATLABA w opracowaniu
12
wyników pomiarów jest niezwykle wygodne ze
względu na:
•
łatwość operowania wprowadzonymi wynikami
pomiarów,
•
istnienie uŜytecznych procedur graficznych i
obliczeniowych,
•
moŜliwość przeprowadzania aproksymacji i
interpolacji,
•
moŜliwość składowania wyników obliczeń w
postaci plików tekstowych rozpoznawanych
przez inne programy.
Praca z MATLABEM moŜe odbywać się w dwu
trybach: bezpośrednim i pośrednim. W trybie bezpo-
ś
rednim uŜytkownik ma do dyspozycji okno „Ma-
tlab Command Window”, w którym wszystkie ope-
racje wpisane po znaku zachęty
>>
i potwierdzone
klawiszem Enter wykonywane są natychmiastowo z
przypisaniem wyniku do zmiennej
ans
, np.:
>>2+2
↵
Enter
ans=4
W trybie pośrednim, w zewnętrznym edytorze tekstu
(moŜna i zaleca się wykorzystywać edytor wbudo-
wany), tworzy się plik tekstowy zwany skryptem
MATLABA. W pliku tym, zapamiętanym pod okre-
ś
loną nazwą i w miejscu wymaganym przez zadekla-
rowaną w „Matlab Command Window” ścieŜkę
dostępu, wpisuje się linie programu, które będą
wykonane w kolejności wprowadzania po wywoła-
niu w oknie „Matlab Command Window” nazwy
napisanego skryptu. Wykorzystanie trybu pośred-
niego jest bardziej efektywne, gdyŜ umoŜliwia edy-
cję i ewentualne poprawki np. błędnie wprowadzo-
nych wyników pomiarów.
W ogólności, dane w MATLABIE reprezentowane
są za pomocą wektorów oraz dwu- lub trójwymia-
rowych tablic zwanych macierzami. W procesie
opracowania wyników pomiarów pierwszym kro-
kiem jest wprowadzenie wartości uzyskanych z
eksperymentu jako elementów wektorów (lub ma-
cierzy). Następnie wykonuje się niezbędne oblicze-
nia z uŜyciem dostępnych procedur, zobrazowuje
wyniki, przeprowadza się (jeŜeli jest to wymagane)
aproksymację, zapamiętuje się wyniki lub dokonuje
się ich wydruku. Wykonanie powyŜszych kroków
wymaga znajomości posługiwania się funkcjami i
znakami specjalnymi MATLABA, których skrócony
wykaz i opis znajduje się poniŜej.
3.1. Znaki specjalne pomocne w procesie wpro-
wadzania wyników pomiarów
[ ]
nawiasy kwadratowe: tworzenie wektorów
(ciągów) danych
Nawiasy kwadratowe są uŜywane do tworzenia wektorów.
Na przykład A=[11 12 13 21 22 23] jest wektorem (cią-
giem) składającym się z sześciu wyników pomiarów.
Elementy wektora oddzielane są spacjami lub przecin-
kami. Następujące zapisy wektora o trzech elementach są
równowaŜne: [1 1.25 sqrt(9)] lub [1, 1.25 , sqrt(9)].
Wewnątrz nawiasów kwadratowych mogą wystąpić inne
wektory zawierające dane. Na przykład [A B] jest wekto-
rem, który powstał z połączenia wektorów A i B. [ ] jest
wektorem zerowym (o wymiarze zero lub inaczej wekto-
rem pustym).
( )
nawiasy okrągłe
Określają kolejność wykonywania działań arytmetycznych
w zwyczajowo przyjęty sposób. UŜywane są takŜe pod-
czas wywołania funkcji - otaczają listę argumentów funk-
cji. SłuŜą do oznaczania indeksów wektorów danych, przy
czym przyjmuje się, Ŝe indeksy te rozpoczynają się od
jedności: X(1) jest pierwszym elementem wektora X, X(3)
jest trzecim elementem wektora X itd. Jeśli dowolny z
indeksów jest mniejszy od jedności lub większy od roz-
miaru wektora, to wystąpi błąd. Zapis: Y=X([1 2 3]) ozna-
cza wektor składający się z pierwszych trzech elementów
wektora X.
,
przecinek
Oddziela indeksy wektorów, argumenty funkcji oraz
wyraŜenia zapisane w jednym wierszu. W tym ostatnim
przypadku moŜna go zastąpić średnikiem, jeŜeli chcemy
uniknąć wyświetlania wyników tych wyraŜeń.
;
średnik
Umieszczony na końcu wyraŜenia blokuje wyświetlenie
wyników tego wyraŜenia na ekranie.
eN
zapis mnoŜnika 10
N
PowyŜszy znak umoŜliwia zapis zmiennoprzecinkowy, np.
liczba 0.00025 jest równowaŜna liczbie 2.5e-3.
:
dwukropek
SłuŜy do konstrukcji wektorów o liniowo rosnących lub
malejących elementach. Na przykład J:K jest rów-
nowaŜne wyraŜeniu [J, J+1, .., K] (jeŜeli J>K, to J:K jest
wektorem pustym). J:I:K jest równowaŜne wyraŜeniu
[J,J+I, J+2*I, ..., K] (jeŜeli I>0 i jednocześnie J>K lub
jeŜeli I<0 i jednocześnie J<K, to J:I:K jest wektorem
pustym).
3.2. Znaki specjalne i funkcje pomocne w prze-
twarzania wprowadzonych danych
.
kropka dziesiętna
Kropka dziesiętna słuŜy do oddzielania części ułamkowej
liczby dziesiętnej: 314/100, 3.14 oraz .314e1 oznaczają
jedną i tę samą liczbę. Kropka umieszczona przed takimi
operatorami multiplikatywnymi jak: *, ^, / oznacza dzia-
łania na kolejnych elementach wektorów. Na przykład:
C=A .* B jest wektorem, którego elementy zostały wy-
znaczone z zaleŜności C(i)=A(i)*B(i). Brak kropki w
powyŜszym wyraŜeniu tzn. zapis C=A * B oznacza zupeł-
nie inny rodzaj działania wykonany na wektorach A i B.
Dwie lub więcej kropek na końcu linii oznacza, Ŝe na-
stępną linię naleŜy traktować jako linie kontynuacji.
‘
cudzysłów
Jest uŜywany do zaznaczania wyraŜenia tekstowego np.
'To jest podpis pod rysunkiem', występującego jako ar-
gument wywoływanej funkcji. JeŜeli wewnątrz tego napi-
su miałby występować znak cudzysłowu, to naleŜy go
uŜyć dwa razy.
+
dodawanie
WyraŜenie X+Y oznacza sumę wektorów X i Y. Wektory
X i Y muszą składać się z tej samej liczby elementów.
WyraŜenie X+a, gdzie X jest wektorem, a-skalarem, daje
13
w wyniku wektor otrzymany przez dodanie a do kaŜdego
elementu X.
-
odejmowanie
WyraŜenie X-Y oznacza róŜnicę wektorów X i Y. Wekto-
ry X i Y muszą składać się z tej samej liczby elementów.
WyraŜenie X-a, gdzie X jest wektorem, a-skalarem, daje
w wyniku wektor otrzymaną przez odjęcie a od kaŜdego
elementu X.
*
mnoŜenie
WyraŜenie a*X lub X*a, gdzie X jest wektorem, a-
skalarem, daje w wyniku wektor otrzymany przez prze-
mnoŜenie kaŜdego elementu wektora X przez skalar a.
MnoŜenie elementu X(i) wektora X przez element Y(i)
wektora Y otrzymuje się poprzedzając znak * kropką
dziesiętną: X.*Y. Jest to mnoŜenie typu element przez
element. Wektory X i Y muszą wówczas mieć takie same
wymiary (chyba, Ŝe jedna z nich jest skalarem).
^
potęgowanie
Zapis y=x^a, gdzie x, y, a są skalarami, jest zapisem
podnoszenia x do potęgi a. WyraŜenie Y=X. ^a oznacza
podnoszenie kaŜdego elementu wektora X do potęgi a, a
Y=X.^Z oznacza potęgowanie typu element przez ele-
ment. Wektory X i Z muszą w takim przypadku mieć takie
same wymiary (chyba Ŝe jedna z nich jest skalarem).
abs
wartość bezwzględna
abs(X) - wartość bezwzględna elementów wektora X.
JeŜeli X zawiera elementy zespolone, abs(X) zwraca mo-
duły (pierwiastek z sumy kwadratów części rzeczywistej i
urojonej) kolejnych jego elementów
sqrt
pierwiastek kwadratowy
sqrt(X) wyznacza pierwiastek kwadratowy elementów
wektora X. Jeśli którykolwiek z elementów X jest ujemny,
to wynik będzie zespolony.
mean
wartość średnia
Gdy X jest wektorem, mean(X) jest średnią arytmetyczną
jego elementów.
std
odchylenie standardowe
Gdy X jest wektorem, std(X) jest odchyleniem standar-
dowym jego elementów.
log10
logarytm przy podstawie 10
Dla wektorów log10(X) jest logarytmem przy podstawie
10 z kaŜdego z elementów.
3.3. Funkcje i polecenia pomocne w zobrazowa-
niu wyników
plot
wykreśl
SłuŜy do tworzenia wykresów. Aby utworzyć wykres,
którego kolejne punkty mają współrzędne określone przez
wektory X i Y, naleŜy uŜyć instrukcji plot(X,Y). Sposo-
bem na wyświetlanie kilku wykresów przy jednym uŜyciu
funkcji plot jest uŜycie kilku par argumentów:
plot(X1,Y1,X2,Y2,...). Do kaŜdej pary argumentów X, Y
moŜna dodać opcjonalny trzeci argument - ciąg znaków
określający rodzaj i kolor linii wykresu i markerów.
Rodzaje linii: - ciągła, -- przerywana, . kropkowa, -. linia
typu „kreska - kropka".
Rodzaje markerów (sposobów oznaczania punktów
wykresu określonych przez wektory X i Y):
. (kropka), + znak plus, * gwiazdka, x krzyŜyk
(litera 'x'), o kółko (litera 'o').
Kolory: r czerwony (red), g zielony (green), b niebieski
(blue), w biały (white), i kolor tła (invisible),
cl...c15 kolor o podanym numerze (z palety 16
kolorów).
Ponadto dopuszczalne są następujące warianty instrukcji
plot:
plot(Y) - wykres wektora Y według indeksów jego ele-
mentów,
plot(Y) - gdzie Y oznacza wektor zawierający wartości
zespolone,
jest
równowaŜna
instrukcji
plot(real(Y),imag(Y)) (w przypadku uŜycia argumentów
zespolonych w innych postaciach instrukcji plot, część
urojona zostanie zignorowana).
Przykłady: plot(x,y,'b--') - wykres będzie wyświetlony
linią przerywaną w kolorze niebieskim,
plot(x,y,xl,yl,'-',x2,y2,'--') - trzy wykresy, dla drugiego i
trzeciego określono rodzaje linii.
subplot
podwykres
subplot(mnp) określa podział ekranu. Ekran graficzny
zostaje podzielony na m x n części i w kaŜdej z tych
części moŜna umieścić osobny wykres. Argumentem mnp
instrukcji jest liczba 3-cyfrowa, której pierwsza cyfra m
określa sposób podziału w pionie (liczbę rzędów wykre-
sów), druga cyfra n - sposób podziału w poziomie (liczbę
kolumn wykresów), a trzecia cyfra p określa część, w
której pojawi się następny wykres. Na przykład, instrukcja
subplot(223) umoŜliwi podział ekranu w pionie i pozio-
mie na dwie części (łącznie na cztery pola wykresów) i
wybranie lewego dolnego pola do umieszczenia tam ko-
lejnego wykresu
semilogx
wykreśl z logarytmiczną osią x
Utworzenie wykresu z logarytmiczną (o podstawie 10)
skalą na osi x i liniową skalą na osi y. Składnia i para-
metry - patrz opis instrukcji plot.
semilogx
wykreśl z logarytmiczną osią y
Utworzenie wykresu z logarytmiczną (o podstawie 10)
skalą na osi y i liniową skalą na osi x. Składnia i para-
metry - patrz opis instrukcji plot.
loglog
wykreśl w skali log-log
loglog(...) działa tak samo jak plot(...), z tym wyjątkiem,
Ŝ
e na obu osiach są stosowane skale logarytmiczne.
xlabel
oznaczenie osi x
xlabel('tekst') umieszcza tekst podany jako argument na
aktualnym wykresie pod osią poziomą.
ylabel
oznaczenie osi y
ylabel('tekst') umieszcza tekst podany jako argument na
aktualnym wykresie przy osi pionowej.
grid
wyświetl siatkę
PowyŜsze polecenie wyświetla linie siatki na aktualnym
rysunku.
hold
zatrzymaj aktualny wykres
hold on włącza tryb zatrzymywania rysunków, hold off
powraca do normalnego trybu, gdzie następny rysunek
wymazuje poprzedni. Samo hold przełącza tryb zatrzy-
mywania rysunku. Następne wywołania funkcji plot będą
uzupełniały (o ile są wykonywane w stanie on przełączni-
14
ka hold) aktualny rysunek o kolejne wykresy i wykorzy-
stywały istniejące zakresy wartości na osiach współrzęd-
nych.
legend
wprowadzenie legendy do wykresu
legend(string1,string2,...) tworzy na aktualnym wykresie
opis siatki w postaci legendy wykorzystując jako oznacze-
nia wyspecyfikowane łańcuchy znaków ( tzw. stringi). Np.
legend(‘wykres1’,’wykres2’,’wykres3’).
3.4. Funkcje pomocne w aproksymacji
polyfit
dopasowanie wielomianu
polyfit(X,Y,N) znajduje współczynniki wielomianu P(X)
stopnia N przybliŜającego zbiór danych metodą najmniej-
szych kwadratów.
polyval
wyznaczanie wartości wielomianu
Y=polyval(P,X) , gdzie P jest wektorem współczynników
wielomianu wyznaczonym np. przez funkcję polyfit, jest
wartością wielomianu dla argumentu X.
linspace
wektor wartości liniowo narastających
linspace(x1,x2,N) generuje wektor wierszowy N wartości
równomiernie rozłoŜonych w przedziale (x1,x2). Jest to
funkcja pomocna w wykreślaniu krzywej aproksymującej
dyskretne wyniki pomiarów, np.:
3.5. Polecenia pomocne w składowaniu wyników
pwd
pokaŜ aktualny katalog
cd
zmień katalog
dir
wyświetl zawartość aktualnego katalogu
save
zachowaj
Zapis zmiennych z pamięci operacyjnej w pliku dysko-
wym. Dopuszczalne są następujące sposoby uŜycia in-
strukcji save:
save zapisuje wszystkie zmienne w pliku matlab.mat,
save fname zapisuje wszystkie zmienne w pliku
fname.mat,
save fname X zapisuje tylko zmienną X w pliku
fname. mat w formacie MAT czytanym tylko przez Ma-
tlaba,
save fname X Y Z zapisuje zmienne X, Y, Z w pliku
fname.mat,
save fname X /ascii zapisuje zmienną X w postaci tzw.
liczb ASCII w pliku tekstowym o nazwie fname.
Zamiast znaku "/" moŜna uŜyć minusa. Pliki zapisane w
kodzie ASCII są rozpoznawalne przez inne programy.
print -dtiff nazwa.tif
zapisz plik gra-
ficzny
PowyŜsze polecenie zapisuje aktualny rysunek w postaci
pliku graficznego TIFF w aktualnym katalogu (moŜliwe są
teŜ inne formaty plików graficznych).
print -dwin
drukuj
PowyŜsze polecenie powoduje wydruk aktualnego rysun-
ku w kolorze czarno-białym.
print -dwinc
drukuj
PowyŜsze polecenie powoduje wydruk aktualnego rysun-
ku w kolorach.
X=[2 8 14 20]; Y=[3 6 12 15]; %warto
ś
ci
z pomiarów
plot(X,Y,'ro-') %wykres warto
ś
ci rze-
czywistych z pomiaru
wspolcz=polyfit(X,Y,1) %wyznaczenie
współczynników wielomianu 1-go stopnia
Xi=linspace(2,20,100); %wyznaczenie 100
warto
ś
ci, dla których chcemy wyznaczy
ć
warto
ś
ci krzywej aproksymuj
ą
cej
Yi=polyval(wspolcz,Xi); %wyznaczenie
warto
ś
ci wielomianu dla 100 warto
ś
ci Xi
hold on %wykres krzywej aproksymuj
ą
cej
plot(Xi,Yi,'b-') w tym samym układzie
hold off
współrz
ę
dnych
15
P
RZYKŁADOWE PYTANIA KONTROLNE
1.
Dokonaj klasyfikacji błędów pomiarów ze
względu na sposób ich powstawania.
2.
Wyjaśnij pojęcia: błąd bezwzględny pomiaru,
dokładność pomiaru, dokładność przyrządu po-
miarowego.
3.
Omów stosowany w metrologii sposób opisu
błędów przypadkowych.
4.
Scharakteryzuj błędy systematyczne.
5.
Przedstaw reguły przenoszenia błędów w przy-
padku, gdy wielkość mierzona pośrednio jest:
a)
sumą wielkości pomocniczych,
b)
iloczynem wielkości pomocniczych.
Uwzględnij zarówno wzajemną niezaleŜność
błędów pomiarów pośrednich jak i błąd najgor-
szego przypadku. Uzasadnij, Ŝe znajomość po-
wyŜszych reguł jest wystarczająca do wyzna-
czenia błędu w szeregu sytuacjach, w których w
zaleŜności na wielkość Y mierzoną pośrednio
występuje tylko dodawanie (odejmowanie) i
mnoŜenie (dzielenie) wielkości pomocniczych
X
i
, np.
5
4
3
2
1
X
X
X
X
X
Y
−
+
=
.
6.
Omów pojęcie cyfry znaczącej.
7.
Przedstaw reguły podawania błędu oraz regułę
podawania odpowiedzi.
8.
Omów pojęcia: skala liniowa, skala liniowo-
logarytmiczna, skala logarytmiczno-liniowa,
skala decybelowa.
9.
Wyjaśnij pojęcie aproksymacji.
10.
Omów zagadnienie aproksymacji metodą naj-
mniejszych kwadratów.
11.
Omów podstawowe tryby pracy z pakietem
Matlab.
W
YKAZ LITERATURY
[1]
Chwaleba A., Poniński M., Siedlecki A.: "Me-
trologia
elektryczna",
WNT
Warszawa,
1996,1998, sygn. 53200, 54691.
[2]
Baszun P. i inni: "Miernictwo elektryczne -
ć
wiczenia laboratoryjne", skrypt WAT, War-
szawa, 1988, sygn. S-48721.
[3]
Kwiatkowski W.S.: "Miernictwo elektryczne -
analogowa technika pomiarowa", Oficyna wy-
dawnicza Politechniki Warszawskiej, Warsza-
wa, 1994, sygn. 52120.
[4]
Marcyniuk A. i inni: "Podstawy metrologii
elektrycznej", WNT, Warszawa, 1984.
[5]
Taylor J.R. :"Wstęp do analizy błędu pomiaro-
wego", Wyd. Naukowe PWN, Warszawa, 1995,
1999, sygn. 52951, 55754.