Podstawy fizyki wsp´

o l

czesnej ze wst

,

e

pem do fizyki klasycznej.

Wojciech Kara´s

19 pa´

zdziernika 2007

Spis tre´

sci

1

Mechanika

3

1.1

Wektory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Podstawy rachunku wektorowego.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Prosta na p laszczy´

znie i w przestrzeni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Rachunek r´

o˙zniczkowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Podstawowe wielko´

sci mechaniczne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Prawa Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

Kinematyka: podstawowe rodzaje ruch´

ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5.1

Ruch tr´

ojwymiarowy ze sta lym przyspieszeniem. . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5.2

Ruch po okr

,

egu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5.3

Ruch harmoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.6

Grawitacja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6.1

Prawa Keplera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.7

Praca, Moc, Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.7.1

Praca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.7.2

Energia kinetyczna.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.7.3

Energia potencjalna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.7.4

Moc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.8

Prawa zachowania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.8.1

Prawo zachowania energii mechanicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.8.2

Prawo zachowania p

,

edu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.8.3

Prawo zachowania kr

,

etu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2

Fale w o´

srodkach spr

,

e ˙zystych.

18

2.1

R´

ownanie falowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.1

Ma le drgania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.2

Drgania uk ladu o wielu stopniach swobody. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Wyprowadzenie r´

ownania drga´

n struny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.1

Wyprowadzenie r´

ownania r´

o˙zniczkowego.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3

Fale p laskie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3.1

Fale kuliste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.4

Interferencja fal.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.5

Dyfrakcja fal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.6

Kr´

ociutko o falach elektromagnetycznych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3

Elektrostatyka.

25

3.1

O ladunku elektrycznym.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.2

Prawo Coulomba i pole elektryczne.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.3

Strumie´

n pola elektrycznego i prawo Gaussa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.4

Przewodniki.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.4.1

Kondensatory.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1

3.5

Dielektryki. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.5.1

Sta la dielektryczna.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.5.2

Przebicie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.6

Energia pola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4

Pr

,

ad elektryczny.

30

4.1

Sta ly pr

,

ad elektryczny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4.1.1

Podstawowe wielko´

sci i definicje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4.1.2

Prawo Ohma. Uzasadnienie mikroskopowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4.1.3

Prawa Kirchhoffa i obwody z pr

,

adem. Op´

or zast

,

epczy. Mostek Wheatstone’a. .

30

4.2

Pr

,

ad zmienny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4.2.1

Zawada zespolona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4.2.2

Przyk lady. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

5

Ruch czastek w polu elektromagnetycznym.

30

5.1

Pole magnetyczne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

5.2

Ruch w skrzy˙zowanych polach magnetycznym i elektrycznym . . . . . . . . . . . . . .

31

6

Szczeg´

olna teoria wzgl

,

edno´

sci dla ubogich

31

6.1

Kinematyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

6.2

Dynamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2

1

Mechanika

1.1

Wektory.

1.1.1

Podstawy rachunku wektorowego.

Definicja 1 Skalarem nazywamy wielko´

s´

c fizyczn

,

a, kt´

orej mo˙zemy przypisa´

c pewn

,

a warto´

s´

c.

Definicja 2 Wektorem nazywamy wielko´

s´

c fizyczn

,

a maj

,

ac

,

a nie tylko warto´

s´

c, ale zwrot i kierunek.

W uk ladzie wsp´

o lrz

,

ednych, wektor reprezentowany jest przez swoje wsp´

o lrz

,

edne. Wsp´

o lrz

,

edn

,

a nazy-

wamy rzut wektora na wybran

,

a o´

s. Jest to wi

,

ec skalar

Wektory tego samego rodzaju mo˙zemy dodawa´

c, odejmowa´

c i mno˙zy´

c przez liczb

,

e. Je˙zeli um´

owimy

si

,

e reprezentowa´

c wektor przez jego wsp´

o lrz

,

edne jako

a = (a

x

, a

y

, a

z

)

b = (b

x

, b

y

, b

z

)

to mamy

a + b = (a

x

+ b

x

, a

y

+ b

y

, a

z

+ b

z

)

λa = (λa

x

, λa

y

, λa

z

)

(1)

Istniej

,

a jeszcze dwie wa˙zne operacje na wektorach:

• iloczyn skalarny a · b, zdefiniowany jako iloczyn d lugo´sci pierwszego wektora |a| przez rzut

drugiego wektora na pierwszy b

a

. W uk ladzie wsp´

o lrz

,

ednych

a · b = |a|b

a

= |b|a

b

= a

x

b

x

+ a

y

b

y

+ a

z

b

z

(2)

a

b

b

a

ab

Rysunek 1: Iloczyn skalarny

Dzi

,

eki niemu mo˙zemy wyrazi´

c pewne wielko´

sci, maj

,

ace sens geometryczny. S

,

a to

– d lugo´

s´

c wektora |a| =

√

a · a oraz

– k

,

at ( a raczej jego cosinus ) pomi

,

edzy dwoma wektorami

cos∠(a, b) =

a · b

|a||b|

Wida´

c, ˙ze je˙zeli dwa wektory s

,

a prostopad le, to ich iloczyn skalarny r´

owny jest zero. A wi

,

ec

prostopad lo´

s´

c dw´

och wektor´

ow naj latwiej sprawdzi´

c, obliczaj

,

ac ich iloczyn skalarny.

W fizyce cz

,

esto wprowadza si

,

e specjalne wektory o d lugo´

sci jeden zwane wersorami.

3

Definicja 3 Wersorem wektora a nazywamy wektor

ˆ

a =

a

|a|

Celowe i u˙zyteczne jest wprowadzenie trzech wersor´

ow podstawowych, maj

,

acych zwrot i kierunek

osi ustalonego uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych. Te wersory oznaczmy ˆ

x, ˆ

y, ˆ

z od nazw odpowiednich osi

uk ladu, lub ˆ

i, ˆ

j, ˆ

k.

Tak wi

,

ec dowolny wektor mo˙zemy zapisa´

c jako sum

,

e trzech wektor´

ow

a = a

x

ˆ

x + a

y

ˆ

y + a

z

ˆ

z

(3)

Latwo jest ustali´

c ( prosz

,

e sprawdzi´

c!), ˙ze zachodz

,

a r´

owno´

sci

ˆ

x · ˆ

x = ˆ

y · ˆ

y = ˆ

z · ˆ

z = 1

ˆ

x · ˆ

y = ˆ

y · ˆ

z = ˆ

z · ˆ

x = 0

• Iloczyn wektorowy c = a × b jest , jak sama nazwa wskazuje , wektorem. Jest on prostopad ly

do obu wektor´

ow a, b. Zwrot ma taki, jaki wskazywa lby korkoci

,

ag wkr

,

ecany w kierunku od a

do b, natomiast jego d lugo´

s´

c jest r´

owna

|c| = |a||b| sin ∠(a, b)

Prosz

,

e sprawdzi´

c, ˙ze wersory osi spe lniaj

,

a nast

,

epuj

,

ace relacje:

ˆ

x × ˆ

x = ˆ

y × ˆ

y = ˆ

z × ˆ

z = 0

ˆ

x × ˆ

y = −ˆ

y × ˆ

x = ˆ

z

ˆ

y × ˆ

z = −ˆ

z × ˆ

y = ˆ

x

ˆ

z × ˆ

x = −ˆ

x × ˆ

z = ˆ

y

(4)

Korzystaj

,

ac z przedstawienia (3) oraz relacji (4) mo˙zna pokaza´

c,˙ze wektor a × b ma nast

,

epuj

,

ace

sk ladowe

(a

y

b

z

− a

z

b

y

, a

z

b

x

− a

x

b

z

, a

x

b

y

− a

y

b

x

)

(5)

R´

ownoleg lo´

s´

c dw´

och wektor´

ow oznacza, ˙ze ich iloczyn wektorowy zeruje si

,

e. Ale znacznie wy-

godniejsze jest zapami

,

etanie, ˙ze dwa wektory s

,

a r´

ownoleg le wtedy i tylko wtedy, je˙zeli

a = λb

(6)

tzn. jeden powstaje z drugiego przez pomno˙zenie przez pewn

,

a liczb

,

e.

1.1.2

Prosta na p laszczy´

znie i w przestrzeni.

Znane ze szko ly r´

ownanie prostej

y = ax + b

(7)

uog´

olnimyteraz pos luguj

,

ac si

,

e rachunkiem wektorowym i podstawow

,

a geometri

,

a.

1.2

Rachunek r´

o ˙zniczkowy.

Rozwa˙zmy funkcj

,

e jednej zmiennej ( niekoniecznie liczbow

,

a!) f (t). Je˙zeli istnieje granica wyra˙zenia ,

zwanego ilorazem r´

o˙znicowym, obliczona w ustalonym punkcie t

0

lim

h→0

f (t

0

+ h) − f (t

0

)

h

to nazywamy j

,

a pochodn

,

a funkcji. W wypadku funkcji jednej zmiennej ma ona geometryczn

,

a inter-

pretacj

,

e wsp´

o lczynnika kierunkowego stycznej do krzywej f (t) w punkcie t

0

. Natomiast dla funkcji,

4

kt´

orych warto´

sciami s

,

a wektory, przedstawia ona wektor styczny do krzywej, zadanej r´

ownaniem f (x).

Warto´

s´

c tego wektora , to szybko´

s´

c zmiany danej wielko´

sci.

W fizyce pochodna s lu˙zy do opisania szybko´

sci zmiany wielko´

sci fizycznych. Najwa˙zniejszy przy-

k lad, to pr

,

edko´

s´

c v i przyspieszenie a.

Zwyk la codzienna intuicja radzi sobie dobrze z tymi poj

,

eciami. Spr´

obujmy je jednak sprecyzowa´

c.

Jak oceniamy w istocie pr

,

edko´

s´

c?

• Ruch w polu grawitacji Ziemi.

Rozwa˙zmy np. ruch pod wp lywem pola grawitacji na p laszczy´

znie. Po lo˙zenie punktu

jest dane przez

x(t) = v

0x

t + x

0

y(t) = −g

t

2

2

+ v

0y

t + y

0

.

(8)

Pochodna wsp´

o lrz

,

ednej opisuje pr

,

edko´

s´

c, z jak

,

a zmienia si

,

e ta wsp´

o lrz

,

edna. Mamy

v

x

(t) =

dx(t)

dt

= v

0x

v

y

(t) =

dy(t)

dt

= −gt + v

0y

,

a

x

(t) =

dv

x

(t)

dt

= 0

a

y

(t) =

dv

y

(t)

dt

= −g

(9)

wielko´

sci x(t), y(t) tworz

,

a oczywi´

scie wektor r(t) = x(t)ˆ

x + y(t)ˆ

y. Podobnie

v(t) = v

x

(t)ˆ

x + v

y

(t)ˆ

y

a(t) = a

x

(t)ˆ

x + a

y

(t)ˆ

y

(10)

to odpowiednio wektor pr

,

edko´

sci iv i przyspieszenia a.

• Ruch po okr

,

egu.

Jako drugi wa˙zny przyk lad pos lu˙zy nam ruch po okr

,

egu. Przypu´

s´

cmy, ˙ze cia lo porusza

si

,

e po okr

,

egu o promieniu R w dowolny spos´

ob. Do znajomo´

sci jego po lo˙zenia na

okr

,

egu w danej chwili wystarczy poda´

c warto´

s´

c k

,

ata, jaki tworzy wektor wodz

,

acy

punku z osi

,

a OX.

φ

R

y

x

Z rysunku wida´

c, ˙ze mamy

x(t) = R cos φ(t)

y(t) = R sin φ(t)

.

(11)

5

Prze r´

o˙zniczkowanie wyliczamy sk ladowe pr

,

edko´

sci i przyspieszenia. Oznaczymy przez

ω pr

,

edko´

s´

c k

,

atow

,

a

dφ(t)

dt

, a przez  przyspieszenie k

,

atowe

dω(t)

dt

.

v

x

(t) = −ωR sin φ(t)

= −ωy(t)

v

y

(t) = ωR cos φ(t)

= ωx(t)

a

x

(t) = −ω

2

R cos φ(t) − R sin φ(t)

= −ω

2

x(t) +



ω

v

x

(t)

a

y

(t) = −ω

2

R sin φ(t) + R cos φ(t)

= −ω

2

y(t) +



ω

v

y

(t)

(12)

Z r´

owna´

n tych mo˙zemy wyci

,

agn

,

a´

c pewne wa˙zne wnioski

– Jak nale˙za lo si

,

e spodziewa´

c, pr

,

edko´

s´

c jest prostopad la do promienia wodz

,

acego

(r · v = 0 – sprawdzi´

c!)

– Szybko´

s´

c ruchu po okr

,

egu jest zwi

,

azana z pr

,

edko´

sci

,

a k

,

atow

,

a oczywist

,

a zale˙zno´

sci

,

a

v = |v| = ωR

(13)

– Wektor przyspieszenia da si

,

e napisa´

c jako kombinacja liniowa wektora po lo˙zenia

i pr

,

edko´

sci

a = −ω

2

r +



ω

v.

(14)

St

,

ad wida´

c, ˙ze przyspieszenie styczne i do´

srodkowe s

,

a odpowiednio r´

owne

a

r

=

a · r

|r|

= −ω

2

R

a

s

=

a · v

|v|

= R

(15)

• Ruch harmoniczny

Definicja 4 Ruchem harmonicznym nazywamy ruch, kt´

ory opisany jest funkcj

,

a

x(t) = A sin (ωt + α),

(16)

gdzie ω to sta la pr

,

edko´

s´

c k

,

atowa, a a i α – dwie sta le, zale˙zne od warunk´

ow pocz

,

atko-

wych ruchu ( pocz

,

atkowego wychylenia i pr

,

edko´

sci ).

Latwo sprawdzi´

c, ˙ze tak

,

a sam

,

a zale˙zno´

s´

c od czasu b

,

edzie mia la wsp´

o lrz

,

edna x punktu

materialnego, poruszaj

,

acego si

,

e ze sta l

,

a cz

,

esto´

sci

,

a k

,

atow

,

a po okr

,

egu – por. r´

ownanie

(11).

St

,

ad , na podstawie r´

ownania (14) mamy, ˙ze

a =

d

2

x(t)

dt

2

= −ω

2

x(t)

(17)

Te trzy przyk lady powt´

orzymy jeszcze przy omawianiu praw Newtona.

1.3

Podstawowe wielko´

sci mechaniczne.

• P

,

ed cia la definiujemy jako iloczyn masy i predko´

sci cia la.

p = mv

• Moment p

,

edu to iloczyn wektorowy promienia wodz

,

acego punktu i p

,

edu, czyli

K = r × p.

• Moment si ly to iloczyn wektorowy promienia wodz

,

acego punktu i si ly , czyli

M = r × F .

6

1.4

Prawa Newtona

• I Prawo Newtona.

Cia lo, na kt´

ore nie dzia la ˙zadna si la lub wypadkowa dzia laj

,

acych si l r´

owna si

,

e zeru, porusza si

,

e

ruchem jednostajnym lub pozostaje w spoczynku.

• II Prawo Newtona.

Si la jest proporcjonalna do zmiany p

,

edu cia la w czasie

F =

dp

dt

≈

∆p

∆t

(18)

gdzie

p = mv

p

1

p

2

p

2

p

1

p

∆

p

1

p

2

=

−

Rysunek 2: Ilustracja do II-go Prawa Newtona

• III Prawo Newtona.

Je˙zeli cia lo A dzia la na cia lo B si l

,

a F

A→B

, to cia lo B dzia la na cia lo A si l

,

a

F

B→A

= −F

A→B

(19)

1.5

Kinematyka: podstawowe rodzaje ruch´

ow

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny

Po lo˙zenie cia la w tym ruchu jest opisane funkcj

,

a

x(t) =

1

2

at

2

+ v

0

t + x

0

(20)

a pr

,

edko´

s´

c jest r´

owna

v(t) = v

0

+ at

(21)

Wykresem trajektorii jest oczywi´

scie linia prosta ( o´

s OX ), natomiast wykresem funkcji x(t) jest

parabola na wykresie t − x. Mo˙zna latwo si

,

e przekona´

c, ˙ze

dx(t)

dt

= v(t)

oraz, ˙ze

dv(t)

dt

= a

(22)

7

1.5.1

Ruch tr´

ojwymiarowy ze sta lym przyspieszeniem.

Wektor przyspieszenia a jest sta ly, a wiec wynika z tego, ˙ze pr

,

edko´

s´

c musi by´

c liniow

,

a funkcj

,

a czasu.

v(t) = v

0

+ at.

(23)

St

,

ad wynika, ˙ze wektor pr

,

edko´

sci musi le˙ze´

c w p laszczy˙znie utworzonej przez wektory v

0

i a, a to

oznacza, ˙ze ruch jest ruchem p laskim.

W p laszczy´

znie , w kt´

orej odbywa si

,

e ruch mo˙zemy wybra´

c dowolnie uk lad wsp´

o lrz

,

ednych.

W tym uk ladzie niech

a = a

x

ˆ

i + a

y

ˆ

j

v = v

x

(t)ˆ

i + v

y

(t)ˆ

j

r = x(t)ˆ

i + y(t)ˆ

j

Mo˙zna sprawdzi´

c przez zr´

o˙zniczkowanie, ˙ze wsp´

o lrz

,

edne wektora wodz

,

acego i pr

,

edko´

sci s

,

a w tym

wypadku dane nast

,

epuj

,

acymi funkcjami:

x(t) =

1

2

a

x

t

2

+ v

0x

t + x

0

y(t) =

1

2

a

y

t

2

+ v

0y

t + x

0

a pr

,

edko´

s´

c jest r´

owna

v

x

(t) = v

0x

+ a

x

t

v

y

(t) = v

0y

+ a

y

t

(24)

Torem jest parabola, kt´

ora w przypadku, gdy a||v

0

degeneruje si

,

e do prostej. Aby si

,

e o tym przekona´

c

, wystarczy wyeliminowa´

c czas z dw´

och pierwszych r´

owna´

n (patrz poni˙zej).

Przyk lady

Przyk ladami takiego ruchu s

,

a np.

• ruch w sta lym polu grawitacyjnym. Wtedy mamy

a = (0, −g)

(25)

gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim. Sk ladowe pr

,

edko´

sci pocz

,

atkowej wygodniej jest przed-

stawi´

c , zadaj

,

ac warto´

s´

c pr

,

edko´

sci pocz

,

atkowej v

0

i k

,

at, jaki tworzy z osi

,

a OX. Wtedy

v

0x

= v

0

cos α

v

0y

= v

0

sin α

(26)

Zanalizujmy dok ladniej rzut uko´

sny. Dla uproszczenia, umie´

s´

cmy pocz

,

atek uk ladu wsp´

o lrz

,

ed-

nych w W miejscu, z kt´

orego cia lo wyrzucamy. Z r´

owna´

n (24) i (26) dostajemy

x(t) = (v

0

cos α)t

y(t) = −

1

2

gt

2

+ (v

0

sin α)t

v

x

(t) = v

0

cos α

v

y

(t) = v

0

sin α − gt

(27)

Z dw´

och pierwszych r´

owna´

n mo˙zemy wyeliminowa´

c czas. Dostaniemy wtedy r´

ownanie trajektorii

, czyli krzywej, po kt´

orej porusza si

,

e punkt materialny.

y(x) = tan α)x −

gx

2

2v

2

0

cos α

2

.

(28)

Trajektoria jest wi

,

ec parabol

,

a. Zasi

,

eg z to punkt przeci

,

ecia trajektorii z osi

,

a OX, tzn.

˙ze

y(z) = 0. Z r´

ownania (28) mo˙zemy te˙z bez trudno´

sci znale´

z´

c maksymaln

,

a wysoko´

s´

c , na jak

,

a

wzniesie cz

,

astka, obliczaj

,

ac wsp´

o lrz

,

edne wierzcho lka paraboli.

8

• Drugim przyk ladem niech b

,

edzie ruch w sta lym polu elektrycznym. Si la , dzia laj

,

aca na cz

,

astk

,

e

na ladowan

,

a ladunkiem e jest r´

owna

F = eE = ma

(29)

a st

,

ad

a =

eE

m

(30)

i analiza przebiega dalej tak jak dla ruchu w polu grawitacyjnym, je˙zeli wybierzemy uk lad wsp´

o l-

rz

,

ednych tak, by wektor nat

,

e˙zenia pola elektrycznego mia l sk ladowe E = (0, −|E|, 0), a wektor

pr

,

edko´

sci pocz

,

atkowej le˙za l w p laszczy´

znie XY .

1.5.2

Ruch po okr

,

egu

α

x

y

OX

OY

Rysunek 3: Ruch po okr

,

egu

Jak wida´

c z rysunku 3

x(t) = r cos α

y(t) = r sin α

(31)

Je˙zeli oznaczymy pr

,

edko´

s´

c k

,

atow

,

a przez ω =

dα

dt

'

∆α

∆t

i przyjmiemy, ˙ze jest ona sta la, to w analogii

do ruchu post

,

epowego mamy

α = ωt

a wi

,

ec r´

ownanie (31) mo˙zemy zapisa´

c jako:

x(t) = r cos ωt

y(t) = r sin ωt

(32)

Dla pr

,

edko´

sci dostajemy

v

x

(t) = −rω sin ωt

v

y

(t) = rω cos ωt

v = ωr

(33)

Przyspieszenie do´

srodkowe jest r´

owne

a = −ω

2

r

a = ω

2

r =

v

2

r

(34)

Przyk ladem ruchu po okr

,

egu jest np. ruch w cz

,

astki na ladowanej w polu magnetycznym.

9

Si la , dzia laj

,

aca na ladunek w polu magnetycznym jest r´

owna

F = ev × B

(35)

a wi

,

ec r´

ownanie ruchu ma posta´

c

m

dv

dt

= ev × B.

(36)

Wybierzemy specjalny uk lad wsp´

o lrz

,

ednych, w kt´

orym pole magnetyczne B jest skierowane wzd lu˙z

osi OZ. Wtedy wektor B ma tylko jedn

,

a sk ladow

,

a– B = (0, 0, B). R´

ownanie (36) rozpiszemy na

sk ladowe w tym uk ladzie

m

dv

x

dt

= ev

y

B

m

dv

y

dt

= −ev

x

B

m

dv

z

dt

= 0.

(37)

Widzimy, ˙ze pr

,

edko´

s´

c w kierunku osi OZ jest sta la v

z

= v

0

z.

Przekszta lcimy delikatnie dwa pierwsze r´

ownania, wprowadzaj

,

ac sta l

,

a

ω

c

=

eB

m

.

(38)

Dziel

,

ac oba r´

ownania przez mas

,

e dostajemy

dv

x

dt

= ω

c

v

y

dv

y

dt

= −ω

c

v

x

.

(39)

R´

ownania te s

,

a podobne do dw´

och pierwszych r´

owna´

n (12), a wi

,

ec rozwi

,

azanie spr´

obujemy przez

analogi

,

e poszuka´

c w postaci rozwi

,

azania dla ruchu po okr

,

egu ze sta l

,

a cz

,

esto´

sci

,

a

v

x

(t) = v

0

sin (ω

c

t + α)

v

y

(t) = v

0

cos (ω

c

t + α).

(40)

Po podstawieniu przekonujemy si

,

e, ˙ze istotnie jest to rozwi

,

azanie naszego r´

ownania.

By znale´

z´

c trajektori

,

e trzeba sca lkowa´

c pr

,

edko´

sci v

(

t) i v

y

(t) po czasie. Wynik jest nast

,

epuj

,

acy

x(t) = −

v

0

ω

c

cos (ω

c

t + α) + x

0

y(t) =

v

0

ω

c

sin (ω

c

t + α) + y

0

.

(41)

Jest to ruch po okr

,

egu, z cz

,

esto´

sci

,

a k

,

atow

,

a ω

c

, dla ladunk´

ow dodatnich zgodny ze wskaz´

owkami zegara.

Promie´

n tego ruchu r´

owny jest R =

v

0

ω

c

(dlaczego?).

A wi

,

ec ruch w polu magnetycznym mo˙zemy sobie wyobrazi´

c jako z lo˙zenie ruchu post

,

epowego

wzd lu˙z kierunku pola magnetycznego i ruch obrotowego w p laszczy´

znie prostopad lej do kierunku pola.

10

1.5.3

Ruch harmoniczny

Mo˙zna poda´

c dwie definicje ruchu harmonicznego - kinematyczn

,

a i dynamiczn

,

a.

• Definicja kinematyczna: jest to ruch opisany funkcj

,

a

x(t) = A cos(ωt + α)

(42)

gdzie ω nazywa si

,

e pr

,

edko´

sci

,

a k

,

atow

,

a, i podaje szybko´

s´

c , z jak

,

a zmienia si

,

e faza φ = ωt + α

funkcji cos (sin).

• Definicja dynamiczna: jest to ruch w kt´

orym si la dzia laj

,

aca na cia lo jest proporcjonalna do

wychylenia cia la z po lo˙zenia r´

ownowagi

F = ma = −kx

(43)

Je˙zeli do (43) podstawimy funkcj

,

e (42) ( pami

,

etaj

,

ac, ˙ze a =

d

2

x(t)

dt

2

), to okazuje si

,

e, ˙ze musi

zachodzi´

c r´

owno´

s´

c

ω

2

=

k

m

=

 2π

T



2

(44)

gdzie T jest okresem drga´

n.

Ostatni

,

a r´

owno´

s´

c mo˙zna zinterpretowa´

c w spos´

ob nast

,

epuj

,

acy:

ω

2

=

Si la

masa × wychylenie

(45)

tzn. kwadrat cz

,

esto´

sci r´

owny jest sile na jednostk

,

e masy i jednostk

,

e wychylenia.

Ω

ω

0

Rysunek 4: Zale˙zno´

s´

c amplitudy oscylatora harmonicznego od cz

,

esto´

sci wymuszaj

,

acej

Wa˙znym niezmiernie zjawiskiem jest rezonans . Zachodzi ono wtedy, gdy drgania oscylatora wymu-

szamy przy pomocy zaburzenia zewn

,

etrznego, kt´

orego cz

,

esto´

s´

c jest bliska cz

,

esto´

sci w lasnej oscylatora.

Amplituda drga´

n jest wtedy funkcj

,

a cz

,

esto´

sci wymuszaj

,

acej i ma silny pik w okolicy cz

,

esto´

sci w lasnej

( patrz. rys. 4 ).

11

Rysunek 5: Dwie sprz

,

e˙zone masy.

Drgania uk lad´

ow sprz

,

e ˙zonych

Niech b

,

edzie dany uk lad dw´

och kulek , po l

,

aczonych spr

,

e˙zyn

,

a i

przyczepiony do dw´

och spr

,

e˙zyn, kt´

ore maj

,

a zamocowane ko´

nce, tak , jak na rysunku 5.

Ruch takiego uk ladu jest bardzo skomplikowany i trudno by loby go zanalizowa´

c, nawet maj

,

ac

do dyspozycji pe lne rozwi

,

azanie r´

owna´

n ruchu. Jednak na szcz

,

e´

scie w takich sprz

,

e˙zonych uk ladach

istniej

,

a w miar

,

e proste rozwi

,

azania.

S

,

a to tzw. drgania w lasne lub drgania normalne.

Definicja 5 Drganiem normalnym uk ladu nazywamy drganie, przy kt´

orym wszystkie cz

,

e´

sci uk ladu

drgaj

,

a z t

,

a sam

,

a cz

,

esto´

sci

,

a i t

,

a sam

,

a faz

,

a ( lub przeciwn

,

a), lecz na og´

o l r´

o˙zn

,

a amplitud

,

a.

Rozwa˙zmy uk lad z rysunku 5. Przypu´

s´

cmy, ˙ze obie masy drgaj

,

a z t

,

a sam

,

a cz

,

esto´

sci

,

a i w tej samej

fazie. Je˙zeli za lo˙zymy, ˙ze spr

,

e˙zyny s

,

a identyczne i masy r´

owne, to takie drganie b

,

edzie polega lo na

ruchu obu cia l w tym samym kierunku i z t

,

a sam

,

a amplitud

,

a ( ze wzgl

,

edu na symetri

,

e). Ale to

oznacza, ˙ze ´

srodkowa spr

,

e˙zyna nie b

,

edzie zmienia´

c swojej d lugo´

sci! Wi

,

ec na ka˙zd

,

a z mas dzia la tylko

si la od spr

,

e˙zyny zamocowanej r´

owna kx. Zgodnie z r´

ownaniem (45),

ω

2

1

=

kx

mx

=

k

m

Drugi ruch, kt´

ory jest tak˙ze drganiem normalnym, to drgania przeciwsobne – tzn. z przeciwn

,

a

faz

,

a. Wtedy przy przesuni

,

eciu masy o x si la b

,

edzie r´

owna kx + 2kx, bowiem spr

,

e˙zyna l

,

acz

,

aca zmieni

sw

,

a d lugo´

s´

c o 2x. A wi

,

ec w tym wypadku cz

,

esto´

s´

c drga´

n b

,

edzie r´

owna

ω

2

2

=

3kx

mx

=

3k

m

= 3ω

2

1

Og´

olny ruch tego uk ladu b

,

edzie z lo˙zeniem obu tych drga´

n.

x

1

(t) = A

1

cos (ω

1

t + α

1

) + A

2

cos (ω

2

t + α

2

)

x

2

(t) = A

1

cos (ω

1

t + α

1

) − A

2

cos (ω

2

t + α

2

)

1.6

Grawitacja.

Prawo grawitacji mo˙zna stre´

sci´

c w nastepuj

,

acym wzorze

Definicja 6 Warto´

s´

c si ly grawitacji, z jak

,

a cia lo A i cia lo B oddzia lywuj

,

a na siebie jest r´

owna

F = G

m

A

m

B

r

2

AB

gdzie m

A,B

masy cia l, r

AB

– odleg lo´

s´

c, a G = 6.6742(10) 10

−11

(Nm

2

)/kg

2

.

Je˙zeli uwzgl

,

ednimy, ˙ze kierunek tej si ly ma kierunek promienia, l

,

acz

,

acego je, to wektorowo mo˙zemy

zapisa´

c prawo Newtona w postaci

F

A→B

= −G

m

A

m

B

|r

B

− r

A

|

3

(r

B

− r

A

) .

(46)

Mo˙zna tak˙ze wprowadzi´

c poj

,

ecie nat

,

e˙zenia pola grawitacyjnego, wytworzonego przez cia lo A w punkcie

B. zdefiniujemy wektor nat

,

e˙zenia g jako

g(B) =

F

A→B

m

B

= −G

m

A

|r

B

− r

A

|

3

(r

B

− r

A

) .

(47)

12

Ten wz´

or na si l

,

e jest s luszny dla mas punktowych. A co z rozci

,

ag lymi cia lami r´

o˙znego kszta ltu?

Podamy og´

olny wz´

or.

Idea jest taka, by podzieli´

c cia lo na ma le fragmenty, kt´

ore ju˙z mo˙zemy uzna´

c za punktowe i

zsumowa´

c efekt dzia lania wszystkich tych fragment´

ow.

Tzn. niech m

i

oznacza mas

,

e jednego z tych fragment´

ow. Oczywi´

scie m

i

= ρ(r

i

)∆V

i

. Przez r

i

oznaczyli´

smy po lo˙zenie fragmetu, a przez ∆V

i

jego obj

,

eto´

s´

c. Zgodnie z r´

ownaniem (47) w punkcie B

ten fragment wytworzy pole grawitacyjne o nat

,

e˙zeniu

∆g(B) = −G

m

i

|r

B

− r

i

|

3

(r

B

− r

i

)

= −G

ρ(r

i

)∆V

i

|r

B

− r

i

|

3

(r

B

− r

i

) .

Ca lkowite nat

,

e˙zenie b

,

edzie wi

,

ec sum

,

a po wszystkich fragmentach cia la, czyli w granicy ∆V

i

→ 0

g(B) = −G

Z Z Z

V

ρ(r) d

3

r

|r

B

− r|

3

(r

B

− r) .

(48)

Naturalnie, nawet w bardzo prostym wypadku, ca lka ta jest bardzo trudna do obliczenia.

1.6.1

Prawa Keplera.

S

,

a trzy prawa Keplera

I. Orbity planet s

,

a elipsami.

Dow´

od tego jest za trudny, by go tu przytacza´

c.

II. Linia l

,

acz

,

aca planet

,

e ze S lo´

ncem zakre´

sla r´

owne pola w r´

ownych odcinkach czasu.

1

III. Stosunek drugiej pot

,

egi okresu do trzeciej pot

,

egi wielkiej p´

o losi orbity jest wielko´

sci

,

a sta l

,

a, tzn

dla dw´

och planet

R

3

1

R

3

2

=

T

2

1

T

2

2

P´

o lo´

s wielka, to po lowa najd lu˙zszej ci

,

eciwy elipsy. Dla orbit ko lowych to prawo wynika natych-

miast z prawa Newtona, bo por´

ownuj

,

ac przyspieszenie do´

srodkowe i grawitacyjne dostajemy

v

2

1

R

1

= ω

2

1

R

1

= G

M



R

2

1

i st

,

ad

R

3

1

T

2

1

=

GM



4π

2

i podobnie

R

3

2

T

2

2

=

GM



4π

2

sk

,

ad otrzymujemy przez por´

ownanie trzecie prawo Keplera.

1.7

Praca, Moc, Energia

W tym rozdziale podamy podstawowe definicje pracy, energii kinetycznej, potencjalnej i mechanicznej.
Poj

,

ecia te maj

,

a d lug

,

a i zawi l

,

a histori

,

e. Wydaje si

,

e, ˙ze najbardziej intuicyjnym poj

,

eciem jest praca.

Wa˙zne jest, by nie myli´

c pracy z wysi lkiem, jaki potrzebny jest do wykonania okre´

slonej pracy. Wysi lek,

to poj

,

ecie subiektywne i nieprecyzyjne, zale˙zne, jak ka˙zdy wie z do´

swiadczenia, od wielu czynnik´

ow.

Natomiast praca w takim zrozumieniu, jakie nadaje mu fizyka, to ´

sci´

sle okre´

slona wielko´

s´

c.

1

To prawo wynika bezpo´

srednio z prawa zachowania momentu p

,

edu, ale o tym dalej 1.8.3.

13

1.7.1

Praca

Je˙zeli cia lo przesuniemy o niewielki odcinek ∆r o d lugo´

sci ∆s, dzia laj

,

ac przy tym sta la si l

,

a styczn

,

a

do przesuni

,

ecia F

s

to wykonana praca b

,

edzie r´

owna

∆W = F

s

∆s = F · ∆r

(49)

1.7.2

Energia kinetyczna.

E

k

=

mv

2

2

=

p

2

2m

(50)

1.7.3

Energia potencjalna.

Definicja 7 Energia potencjalna w punkcie A jest to praca, jak

,

a musimy wykona´

c, by przenie´

s´

c cia lo

z pewnego punktu, zwanego punktem odniesienia

2

do punktu A. Mo˙zna j

,

a zdefiniowa´

c tylko wtedy, gdy

praca ta nie zale˙zy od drogi, po kt´

orej przemieszczamy cia lo. Poni˙zej podaj

,

e r´

o˙zne wa˙zne wyra˙zenia

na energi

,

e potencjaln

,

a dla r´

o˙znych si l

• Sta la si la

E

p

= −F · r

(51)

Przyk lad :

Ruch w polu grawitacyjnym Ziemi 1.5.1. Poniewa˙z F = −mgˆ

z, wi

,

ec energia poten-

cjalna jest r´

owna

E

p

(z) = −(mgˆ

z) · (z ˆ

z) = mgz.

• Si la harmoniczna Przyk lad :

Ruch harmoniczny 1.5.3

Poniewa˙z si la r´

owna jest F (x) = −kx, wi

,

ec energia potencjalna

E

p

= −

Z

x

x

0

(−ks)ds =

1

2

k(x

2

− x

2
0

).

(52)

• Si la grawitacyjna ( F = Gm

1

m

2

/r

2

)

E

p

= −

Gm

1

m

2

r

(53)

1.7.4

Moc

Definicja 8 Moc jest to praca wykonana w jednostce czasu.

M =

dW

dt

= F · v.

2

zwykle jest to punkt, w kt´

orym si la r´

owna jest zeru

14

1.8

Prawa zachowania.

1.8.1

Prawo zachowania energii mechanicznej

Suma energii kinetycznej i potencjalnej jest sta la podczas ruchu cia la w polu si l potencjalnych ( tzn.
takich, dla kt´

orych istnieje energia potencjalna )

Mo˙zna poda´

c szereg przyk lad´

ow zastosowa´

n prawa zachowania energii i p

,

edu. Og´

olna

regu la jest prosta – Je˙zeli mo˙zna je zastosowa´

c, to nale˙zy to zrobi´

c!

Spr´

obujemy je zastosowa´

c do wy˙zej podanych przyk lad´

ow.

• Ruch w polu grawitacyjnym. Ze wzoru na energi

,

e potencjaln

,

a otrzymujemy ( F =

−mg ˆ

y)

E

p

= −F · r = mgy.

Przypu´

s´

cmy, ˙ze rozwa˙zamy staczanie si

,

e cia la po r´

owni pochy lej o wysoko´

sci h. Niech

na szczycie r´

owni cia lo ma zerow

,

a pr

,

edko´

s´

c.

Wtedy z prawa zachowania energii

natychmiast dostajemy, ˙ze u podn´

o˙za

mv

2

2

= mgh,

a st

,

ad

v =

p

2gh

• Ruch harmoniczny. Powiedzmy, ˙ze mamy spr

,

e˙zyn

,

e o d lugo´

sci swobodnej l

0

.

Jej

energia potencjalna, po rozci

,

agni

,

eciu do d lugo´

sci l b

,

edzie r´

owna

E

p

(l) =

1

2

k(l − l

0

)

2

.

Je˙zeli tak

,

a spr

,

e˙zyn

,

e powiesimy pionowo na wysoko´

sci H du˙zo wi

,

ekszej od l

0

, to cia lo

na niej powieszone b

,

edzie mia lo ca lkowit

,

a energi

,

e r´

own

,

a

E

p

(y) =

1

2

k(H − y − l

0

)

2

+ mgy.

Punkt r´

ownowagi odpowiada po lo˙zeniu, w kt´

orym si la, a wi

,

ec pochodna energii po-

tencjalnej jest r´

owna zeru, tzn.

0 = −k(H − y

0

− l

0

) + mg,

a st

,

ad

y

0

= H − (l

0

+ mg/k)

tzn. spr

,

e˙zyna wyd lu˙zy si

,

e o ∆y = mg/k, jak nale˙za loby si

,

e spodziewa´

c.

• W polu grawitacyjnym Ziemi wystrzeliwujemy rakiet

,

e. Chcemy zbada´

c z jak

,

a pr

,

ed-

ko´

sci

,

a musimy j

,

a wystrzeli´

c, aby mog la uwolni´

c si

,

e od przyci

,

agania ziemskiego ( II

pr

,

edko´

s´

c ucieczki ). W tych rozwa˙zaniach zaniedbamy wp lyw zar´

owno ruchu Ziemi

wok´

o l S lo´

nca, jak i przyci

,

aganie rakiety przez inne cia la niebieskie.

W bardzo wielkiej odleg lo´

sci od Ziemi energi

,

e potencjaln

,

a mo˙zemy zaniedba´

c, a to

znaczy, ˙ze ,aby rakieta nadal porusza la si

,

e , jej ca lkowita energia musi by´

c wi

,

eksza

od zera

E

c

= m

v

2

u

2

−

GM

Z

m

R

Z

> 0

a st

,

ad dostajemy ( uwzgl

,

edniaj

,

ac, ˙ze przyspieszenie ziemskie g =

GM

Z

R

2
Z

v

u

=

p

2gR

Z

15

1.8.2

Prawo zachowania p

,

edu.

Je˙zeli na uk lad cia l nie dzia la si la lub wypadkowa si l jest r´

owna zero , to ca lkowity p

,

ed uk ladu jest

zachowany.

• Jako pierwszy przyk lad rozwa˙zymy spr

,

e˙zyste zderzenie dw´

och kul w p laszczy´

znie. Niech kula

1 o masie m maj

,

aca pr

,

edko´

s´

c v uderza w drug

,

a, spoczywaj

,

ac

,

a kul

,

e o masie M . Przy braku

zewn

,

etrznych si l p

,

ed uk ladu r´

owny

P

0

= mv + M 0.

Mo˙zliwe s

,

a dwa przypadki:

– zderzenie niespr

,

e˙zyste, polegaj

,

ace na tym, ˙ze dwie kule sklejaj

,

a si

,

e i lec

,

a jako jeden obiekt

dalej. Wtedy ko´

ncowy p

,

ed b

,

edzie r´

owny

(M + m)V = P

0

i st

,

ad dostajemy od razu, ˙ze pr

,

edko´

s´

c uk ladu po zderzeniu jest r´

owna

V =

P

0

M + m

=

mv

M + m

.

– Zderzenie jest spr

,

e˙zyste. Wtedy opr´

ocz p

,

edu zachowana musi by´

c energia ca lkowita, w tym

wypadku jest to energia kinetyczna

E

0

=

mv

2

2

=

mu

2

2

+

M w

2

2

,

mv = mu + M w.

gdzie v to pr

,

edko´

s´

c pierwszej kuli po zderzeniu, a w to pr

,

edko´

s´

c drugiej kuli po zderzeniu.

Z tych dw´

och r´

owna´

n mo˙zemy wyeliminowa´

c pr

,

edko´

s´

c drugiej kuli. Otrzymane r´

ownanie

mv

2

2

=

mu

2

2

+

m

2

(v − u)

2

2M

= u

2

m(m + M )

2M

− u

m

2

M

cos α + v

2

m

2

2M

Przez α oznaczyli´

smy k

,

at rozproszenia pierwszej kuli.

jest r´

ownaniem kwadratowym na wielko´

s´

c pr

,

edko´

sci u. Aby otrzyma´

c sko´

nczon

,

a i wi

,

eksz

,

a

od zera warto´

s´

c tej pr

,

edko´

sci musimy za˙z

,

ada´

c, by ∆ tego r´

ownania by la wieksza od zera.

Po prostych rachunkach dostajemy

sin

2

α ≤

 M

m



2

.

Wida´

c st

,

ad, ˙ze je˙zeli kula druga jest l˙zejsza od pierwszej, to k

,

at rozpraszania kuli pierwszej

nie jest dowolny.

– To samo zderzenie mo˙zemy rozwa˙zy´

c w uk ladzie zwi

,

azanym z tzw. ´

srodkiem masy. Jest

to uk lad, w kt´

orym ca lkowity p

,

ed r´

owna si

,

e zero. Jako ´

cwiczenie proponuj

,

e znale´

z´

c relacje

pomi

,

edzy pr

,

edko´

sciami mierzonymi wzgl

,

edem tego uk ladu.

• Jako nast

,

epny przyk lad rozwa˙zmy w´

ozek. Niech pocz

,

atkowo w´

ozek porusza si

,

e z pr

,

edko´

sci

,

a v

0

.

Niech tera zacznie pada´

c deszcz, tak, ˙ze po ma lym czasie δt masa w´

ozka wzro´

snie o δm . Wtedy

z prawa zachowania p

,

edu dostajemy

mv = (m + δm)(v + δv)

a st

,

ad

δv = −

δm

m

v.

Zaniedbali´

smy iloczyn dw´

och wielko´

sci niesko´

nczenie ma lych δvδm. Pr

,

edko´

s´

c wi

,

ec zmaleje! Ale

jak to si

,

e dzieje, skoro nie ma ˙zadnej si ly zewn

,

etrznej, dzia laj

,

acej w kierunku ruchu?

16

1.8.3

Prawo zachowania kr

,

etu.

Rozwa˙zmy zmian

,

e kr

,

etu cia la

dK

dt

=

r × p

dt

=

dr

dt

× p + r ×

dp

dt

= r × F = M .

A wi

,

ec

dK

dt

= M

(54)

Rozwa˙zmy cia lo, poruszaj

,

ace si

,

e w polu si l centralnych, tzn. takich, dla kt´

orego si la dzia laj

,

aca

na cia lo jest skierowana wzd lu˙z promienia. Poniewa˙z wektor wodz

,

acy r i si la s

,

a do siebie r´

ownoleg le,

wi

,

ec ich iloczyn wektorowy r´

owny jest zeru, a to znaczy, ˙ze kr

,

et jest zachowany. Z definicji iloczynu

wektorowego wida´

c tak˙ze, ˙ze oba wektory r i v le˙z

,

a zawsze w p laszczy´

znie prostopad lej do ca lkowitego

kr

,

etu. Ale to znaczy, ˙ze ruch odbywa si

,

e w tej p laszczy´

znie, wi

,

ec jest ruchem p laskim.

Poniewa˙z wektor kr

,

etu nie ulega zmianie, wi

,

ec nie ulega zmianie nie tylko jego kierunek, ale i

d lugo´

s´

c. tzn ˙ze wielko´

s´

c

r

dr

Rysunek 6: Ilustracja II-go prawa Keplera.

Z rysunku wida´

c, ˙ze

dS = |r × dr = rdr sin ∠(r, dr)

jest polem, zakre´

slanym przez wektor wodz

,

acy w czasie dt. Pr

,

edko´

s´

c polowa, zdefiniowana jako iloraz

dS

dt

= |r × v| = |

K

m

|

jest wi

,

ec sta la. To w la´

snie by lo tre´

sci

,

a II-go prawa Keplera (por. II ).

17

2

Fale w o´

srodkach spr

,

e ˙zystych.

Definicja 9 Fal

,

a nazywamy zaburzenie rozchodz

,

ace si

,

e w o´

srodku.

2.1

R´

ownanie falowe.

Fale i ich opis to jeden z wa˙zniejszych dzia l´

ow fizyki. Klasyfikacje fal mo˙zna przeprowadzi´

c ze wzgl

,

edu

na o´

srodek, w kt´

orym si

,

e rozchodz

,

a. Przyk ladem s

,

a fale na wodzie czy fale d´

zwi

,

ekowe w gazie lub

cieczy.

Niezwykle wa˙zne s

,

a fale elektromagnetyczne. Rozchodz

,

a si

,

e one w pr´

o˙zni, a wi

,

ec nie istnieje

o´

srodek, kt´

orego drgania by lyby odpowiedzialne za rozchodzenie si

,

e fal elektromagnetycznych. D lugi

czas s

,

adzono, ˙ze taki o´

srodek istnieje i nawet nazwano go eterem. Jednak bli˙zsze badania pokaza ly,

˙ze w lasno´

sci eteru nie odpowiadaj

,

a ˙zadnej mo˙zliwej postaci materii. Dopiero w 1905 roku Albert

Einstein w swojej teorii wzgl

,

edno´

sci wyrazi l pogl

,

ad, ˙ze natura fal elektromagnetycznych nie wymaga

istnienia eteru.

Inny podzia l to podzia l na fale pod lu˙zne i poprzeczne. Fal pod lu˙zna to taka, w kt´

orej drgania s

,

a

r´

ownoleg le do kierunku rozchodzenia fali, za´

s poprzeczna to taka, w kt´

orej drgania s

,

a prostopad le do

kierunku rozchodzenia.

Zanim zajmiemy si

,

e ruchem falowym, spr´

obujemy zbada´

c ma le drgania uk lad´

ow mechanicznych.

2.1.1

Ma le drgania.

Wyobra´

zmy sobie dowolny uk lad mechaniczny, b

,

ed

,

acy w r´

ownowadze. Za l´

o˙zmy, ˙ze mo˙ze si

,

e on poru-

sza´

c tylko w jednym wymiarze.

Niech punkt r´

ownowagi ma wsp´

o lrz

,

edn

,

a x

0

. Energia ca lkowita takiego mechanicznego uk ladu

b

,

edzie sum

,

a energii kinetycznej i energii potencjalnej

E

0

= E

k

+ V =

m

2

v

2

+ V (x).

(55)

W punkcie x = x

0

znika´

c musi pochodna energii potencjalnej. Wynika to st

,

ad, ˙ze w punkcie r´

ownowagi

ca lkowita si la r´

owna F (x) = −

dV (x)

dx

r´

owna si

,

e zero. Skoro znika pierwsza pochodna funkcji V (x), to

znaczy, ˙ze w pobli˙zu punktu x

0

funkcja ta musi mie´

c kszta lt paraboli

V (x) ' V

0

+

1

2

k(x − x

0

)

2

.

(56)

Sta la k musi by´

c dodatnia, je˙zeli r´

ownowaga ma by´

c r´

ownowag

,

a trwa l

,

a.

Tak wi

,

ec energia ca lkowita ma posta´

c

E =

m

2

v

2

+

1

2

k(x − x

0

)

2

.

(57)

A to jest energia ruchu harmonicznego ( por. (52) ). Tak wi

,

e uk lad wychylony niewiele z po lo˙zenia

r´

ownowagi wykonuje drgania harmoniczne.

2.1.2

Drgania uk ladu o wielu stopniach swobody.

Jako przyk lad rozpatrzymy drgania uk ladu N spr

,

e˙zyn, po l

,

aczonych ze sob

,

a.

Za l´

o˙zmy, ˙ze wszystkie spr

,

e˙zynki maj

,

a t

,

e sam

,

a d lugo´

s´

c swobodn

,

a l oraz ten sam wsp´

o lczynnik

spr

,

e˙zysto´

sci k. na l

,

aczach umie´

scimy jednakowe masy m. Niech w stanie r´

ownowagi d lugo´

s´

c spr

,

e˙zynki

w uk ladzie wynosi a. Oznaczymy przez u

k

wychylenie k−tej masy z po lo˙zenia r´

ownowagi. spr

,

e˙zynki

przczepione do masy z numerkiem k ulegaj

,

a rozci

,

agni

,

eciu ( lub skr´

oceniu ).Prawa spr

,

e˙zynka zmienia

sw

,

a d lugo´

s´

c o u

k+1

− u

k

, wi

,

ec si la dzia laj

,

aca ze strony tej spr

,

e˙zynki b

,

edzie r´

owna

k(u

k+1

− u

k

).

18

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

OX

Rysunek 7: Uk lad N spr

,

e˙zyn ( na rysunku trzech). Spr

,

e˙zyny s

,

a po l

,

aczone ze sob

,

a i wykonuj

,

a drgania

wzd lu˙z osi OX. Pierwsza i ostania spr

,

ezyna maj

,

a unieruchomione ko´

nce.

Podobnie, si la od lewej spr

,

e˙zynki okazuje si

,

e r´

owna

k(u

k−1

− u

k

).

Tak wi

,

ec r´

ownanie Newtona dla k−tej masy b

,

edzie mia lo posta´

c

m ¨

u

k

= k(u

k+1

− u

k

) + k(u

k−1

− u

k

) = k(u

k+1

− 2u

k

+ u

k−1

) k = 1, . . . , N.

(58)

Poniewa˙z ko´

nce pierwszej i ostatniej spr

,

e˙zynki s

,

a zamocowane oznacza to, ˙ze musimy przyj

,

a´

c

u

0

= u

N +1

= 0.

(59)

2.2

Wyprowadzenie r´

ownania drga´

n struny.

2.2.1

Wyprowadzenie r´

ownania r´

o ˙zniczkowego.

Problem drgaj

,

acej struny, kt´

ory szczeg´

olnie w poprzednim ( XVII) stuleciu niezmiernie zajmowa l ma-

tematyk´

ow, mamy zamiar tu rozwi

,

aza´

c przez analiz

,

e odpowiedniego r´

ownania r´

o˙zniczkowego cz

,

astko-

wego. Z zasad mechaniki potrzebujemy jedynie r´

ownania ruchu. Napi

,

eta struna w swoim po lo˙zeniu

r´

ownowagi w zasadzie nie przybiera kszta ltu linii prostej, gdy˙z posiada mas

,

e, i pod wp lywem si ly ci

,

e˙z-

ko´

sci b

,

edzie si

,

e w ´

srodku obni˙za´

c. Jednak to odchylenie jest bardzo niewielkie, i mo˙zemy j

,

a uwa˙za´

c

za prost

,

a. Je˙zeli strun

,

e odchylimy z po lo˙zenia r´

ownowagi, to powstaje pytanie jak przebiega l b

,

edzie

powr´

ot do r´

ownowagi, spowodowany jej elastyczno´

sci

,

a.

OX

OY

OZ

m’

m

M

M’

Rysunek 8:

Punkt O, b

,

ed

,

acy pocz

,

atkiem struny OL (8) przyjmiemy za pocz

,

atek uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych a lini

,

e

OX za o´

s x. D lugo´

s´

c struny niech b

,

edzie r´

owna c. Chodzi nam o ustalenie, gdzie b

,

edzie znajdowa l

si

,

e w ka˙zdej chwili czasu punkt, kt´

ory pierwotnie zajmowa l po lo˙zenie na osi x o wsp´

o lrz

,

ednej x. Niech

19

tym punktem b

,

edzie M . Je˙zeli ograniczymy si

,

e do ma lych drga´

n, to punkt M , maj

,

acy pocz

,

atkowo

wsp´

o lrz

,

edne (x, 0, 0) przejdzie po czasie t w pewien punkt m o wsp´

o lrz

,

ednych(x + ξ, η, ζ). S

,

asiedni

bliski punkt M

0

przejdzie w m

0

. Wyznaczymy d lugo´

s´

c linii mm

0

. Punkt m ma wsp´

o lrz

,

edne x + ξ, η, ζ,

a poniewa˙z s

,

a one funkcjami x, to punkt m

0

, w kt´

ory przeszed l punkt M

0

o wsp´

o lrz

,

ednych (x+dx, 0, 0)

ma wsp´

o lrz

,

edne x + dx + dξ, η + dη, ζ + dζ.

D lugo´

s´

c linii jest wi

,

ec r´

owna mm

0

=

p

(dx + dξ)

2

+ dη

2

+ dζ

2

a k

,

aty mi

,

edzy mm

0

a osiami maj

,

a

kosinusy r´

owne

cos (mm

0

, X) =

dx + dξ

p(dx + dξ)

2

+ dη

2

+ dζ

2

,

cos (mm

0

, Y ) =

dη

p(dx + dξ)

2

+ dη

2

+ dζ

2

,

cos (mm

0

, X) =

dζ

p(dx + dξ)

2

+ dη

2

+ dζ

2

,

lub, je˙zeli oznaczymy jak Lagrange, mm

0

= dx

p

(1 + ξ

0

)

2

+ η

02

+ ζ

02

cos (mm

0

, X) =

1 + ξ

0

p(1 + ξ

0

)

2

+ η

02

+ ζ

02

,

cos (mm

0

, Y ) =

η

0

p(1 + ξ

0

)

2

+ η

02

+ ζ

02

,

cos (mm

0

, X) =

ζ

0

p(1 + ξ

0

)

2

+ η

02

+ ζ

02

.

Wielko´

sci ξ

0

, η

0

i ζ

0

oznaczaj

,

a pochodne odpowienio ξ η ζ po wsp´

o lrz

,

ednej x. Zrobimy za lo˙zenie,

˙ze k

,

at (mm

0

, X) jest na tyle ma ly, ˙ze mo˙zemy przyj

,

a´

c cos (mm

0

, X) = 1. To odpowiada przyj

,

eciu

mm

0

= dx(1 + ξ

0

). Tak wi

,

ec mamy

cos (mm

0

, X) = 1,

cos (mm

0

, Y ) =

η

0

1 + ξ

0

,

cos (mm

0

, X) =

ζ

0

1 + ξ

0

.

Je˙zeli ci

,

e˙zar struny wynosi powiedzmy p, to ci

,

e˙zar odcinka dx b

,

edzie

pdx

c

a masa µ =

pdx

gc

.

B

,

edziemy sobie wyobra˙za´

c, ˙ze struna jest podzielona na ma le cz

,

e´

sci i ˙ze masy tych cz

,

e´

sci skupione s

,

a

w pocz

,

atkach odcink´

ow.

Pocz

,

atkowo struna napi

,

eta jest si l

,

a P . To napi

,

ecie odpowiada pewnej pocz

,

atkowej d lugo´

sci l ka˙zdej

z cz

,

e´

sci struny. Przy wyd lu˙zeniu si

,

e struny o l

0

− l ka˙zdy z odcink´

ow b

,

edzie rozci

,

agany si l

,

a wi

,

eksz

,

a o

P

0

− P = q

l

0

− l

l

, gdzie q jest pewn

,

a sta l

,

a do´

swiadczaln

,

a. Dla odcinka mm

0

mamy l = M M

0

= dx, a

l

0

= (1 + ξ

0

)dx a st

,

ad P

0

− P = qξ

0

lub P

0

= P + qξ

0

. To napr

,

e˙zenie dzia la od m do m

0

. Aby znale´

z´

c

sk ladowe tej si ly wystarczy pomno˙zy´

c j

,

a przez odpowiednie kosinusy k

,

at´

ow, jakie tworzy ona z osiami,

a wi

,

ec dla sk ladowych mamy

X = P + qξ

0

,

Y =

(P + qξ

0

)η

0

1 + ξ

0

,

Z =

(P + qξ

0

)ζ

0

1 + ξ

0

.

W pierwszym rz

,

edzie ( zaniedbujemy wy˙zsze pot

,

egi ξ

0

, η

0

, ζ

0

) dostajemy

X = P + qξ

0

,

Y = P η

0

,

Z = P ζ

0

.

To s

,

a sk ladowe si ly, z jak

,

a cz

,

e´

s´

c struny na prawo od m

0

rozci

,

aga odcinek mm

0

. Aby obliczy´

c si l

,

e

dzia laj

,

ac

,

a z lewa wystarczy we wzorach zamieni´

c x na x − dx. Otrzymujemy wtedy

X

0

= P + qξ

0

− qξ

00

dx,

Y = P η

0

− P η

00

dx,

Z = P ζ

0

− P ζ

00

dx.

20

Ta si la ma kierunek przeciwny do si ly dzia laj

,

acej w kierunku od m do m

0

, wi

,

ec wypadkow

,

a dostaniemy

odejmuj

,

ac obie si ly

X − X

0

= qξ

xx

dx,

Y − Y

0

= P η

xx

dx,

Z − Z

0

= P ζ

xx

dx.

Z praw dynamiki wynika, ˙ze te sk ladowe r´

owne s

,

a masie odcinka pomno˙zonej przez sk ladowe

przyspieszenia. Poniewa˙z masa µ =

pdx

gc

wi

,

ec otrzymujemy nastepuj

,

ace r´

ownania ruchu

qξ

xx

dx =

p

cg

dxξ

tt

,

P η

xx

dx =

p

cg

dxη

tt

,

P ζ

xx

dx =

p

cg

dxζ

tt

.

Wprowadzaj

,

ac oznaczenia

gcq

p

= β

2

, oraz

gcP

p

= α

2

mo˙zemy napisa´

c ostateczne r´

ownania jako

ξ

tt

= β

2

ξ

xx

,

η

tt

= α

2

η

xx

,

ζ

tt

= α

2

ζ

xx

,

a wi

,

ec jako trzy r´

ownania r´

o˙zniczkowe cz

,

astkowe, tej samej postaci. Okazuje si

,

e, ˙ze w tym przy-

bli˙zeniu drgania w ka˙zdym z kierunk´

ow s

,

a od siebie niezale˙zne.

Tu ξ, η, ζ to trzy niewiadome funkcje zmiennych t, x, zale˙zne od pocz

,

atkowego stanu struny. Mu-

simy wi

,

ec zada´

c pocz

,

atkowy kszta lt struny podaj

,

ac trzy funkcje ξ

0

, η

0

, ζ

0

a ponadto, w ka˙zdym punk-

cie, pr

,

edko´

sci pocz

,

atkowe, tzn ξ

t

, η

t

, ζ

t

dla t = 0. R´

ownania zawieraj

,

a w sobie odpowied´

z na pytanie,

jak drga´

c b

,

edzie struna.

W tych trzech r´

ownaniach funkcje ξ, η, ζ s

,

a rozseparowane, tzn. z pierwszego r´

ownania wyzna-

czymy ξ znaj

,

ac tylko pocz

,

atkowe warto´

sci ξ, ξ

t

i tak samo dla η i ζ. Pierwsze r´

ownanie opisuje drgania

pod lu˙zne wzd lu˙z osi x, a dwa pozosta le, drgania poprzeczne wzd lu˙z osi y i z. Najpierw zbadamy pro-
blem drga´

n poprzecznych w p laszczy´

znie xy. Do tego wystarczy rozwa˙zy´

c tylko funkcj

,

e η wraz z

warunkami pocz

,

atkowymi dla niej.

2.3

Fale p laskie.

Ograniczymy nasz

,

a dyskusj

,

e tylko do tzw. fal sinusoidalnych ( p laskich). Wyobra´

zmy sobie ´

zr´

od lo

drgaj

,

ace ruchem harmonicznym z cz

,

esto´

sci

,

a ω w punkcie x = 0.

ψ(x = 0, t) = Asin(ωt).

W o´

srodku zacznie rozchodzi´

c si

,

e fala (zaburzenie) z pewn

,

a pr

,

edko´

sci

,

a v. Fala obserwowana w punkcie

x = x

0

w chwili czasu t

0

b

,

edzie mia la amplitud

,

e tak

,

a, jak w punkcie x = 0 lecz w chwili wcze´

sniejszej

o czas τ =

x

0

v

, potrzebny na dotarcie fali z punktu x = 0 do punktu x = x

0

. To znaczy

ψ(x

0

, t

0

) = ψ(0, t

0

− τ )

a to oznacza, ˙ze

ψ(x

0

, t

0

) = A sin[ω(t

0

−

x

0

v

)]

(60)

21

R´

ownanie (60) mo˙zna przepisa´

c w kilku alternatywnych postaciach

ψ(x

0

, t

0

) = A sin[ω(t

0

−

x

0

v

)] =

= A sin[ωt

0

−

x

0

ω

v

] =

= A sin[ωt

0

− kx

0

] =

gdzie

k =

ω

v

Fala taka jest okresowa zar´

owno w czasie , jak i w przestrzeni.

D lugo´

s´

c fali jako okres fali w przestrzeni, to

λ = vT =

2π

k

k nazywa si

,

e wektorem

3

falowym. Cz

,

esto´

s´

c ko lowa ω jest podobnie jak w ruchu po okr

,

egu i ruchu

harmonicznym zwi

,

azana z okresem drga´

n T relacj

,

a

ω =

2π

T

Dla fal zachodzi r´

ownie˙z zjawisko rezonansu. Polega ono na z lo˙zeniu dwu fal, w taki spos´

ob, ˙ze

powstaje fala stoj

,

aca. Jest to fala, w kt´

orej wszystkie punkty drgaj

,

a z t

,

a sam

,

a cz

,

esto´

sci

,

a i t

,

a sam

,

a

faz

,

a ( por. rys. 9), a wi

,

ec zgodnie z definicj

,

a 5 jest to drganie normalne .

Np.

ψ(x, t) = A cos(ωt) cos(kx)

Rysunek 9: Fala stoj

,

aca. Wykres przedstawia na lo˙zenie dwu obraz´

ow fali stoj

,

acej, odleg lych w czasie

o p´

o l okresu. Strza lka pokazuje ’strza lk

,

e’ fali. ’W

,

ez ly’ , to punkty nie podlegaj

,

ace drganiom.

2.3.1

Fale kuliste.

Fala rozchodz

,

aca si

,

e z punktowego ´

zr´

od la w przestrzeni ma nieco inny charakter.

Amplitud

,

e fali kulistej mo˙zna opisa´

c r´

ownaniem

ψ(r, t) =

f (t ±

r
c

)

r

,

(61)

gdzie f () jest dowoln

,

a funkcj

,

a, r odleg lo´

sci

,

a punktu od ´

zr´

od la fali, a c oznacza pr

,

edko´

s´

c ´

swiat la.

Monochromatyczna fala kulista b

,

edzie wi

,

ec dana formu l

,

a analogiczn

,

a do (60)

ψ(r, t) =

A sin[ω(t −

r

c

)]

r

.

(62)

W du˙zej odleg lo´

sci od ´

zr´

od la zale˙zno´

s´

c od odleg lo´

sci w mianowniku jest du˙zo wolniejsza ni˙z w liczniku

( faza zmienia si

,

e szybko z odleg lo´

sci

,

a ), wi

,

ec mo˙zemy j

,

a zaniedba´

c. Fala kulista wygl

,

ada wi

,

ec w du˙zej

odleg lo´

sci od ´

zr´

od la jak fala p laska.

4

3

w naszym wypadku jest to liczba, czyli jednowymiarowy wektor

4

Ziemia wydaje si

,

e p laska, podobnie fala kulista.

22

2.4

Interferencja fal.

Definicja 10 Interferencja ( nak ladanie si

,

e ) fal jest to zjawisko, polegaj

,

ace na tym, ˙ze powstaje nowa

fala, kt´

orej amplituda w danym ustalonym punkcie jest sum

,

a amplitud fal sk ladowych.

Przypu´

s´

cmy, ˙ze dwie fale d´

zwi

,

ekowe o tej samej cz

,

esto´

sci i fazie s

,

a emitowane z g lo´

snik´

ow, odleg lych

o d. W odleg lo´

sci z na prawo od lewego g lo´

snika spotkaj

,

a si

,

e fale z obu g lo´

snik´

ow, wi

,

ec amplituda

b

,

edzie r´

owna

A(z, t) = A

L

(z, t) + A

P

(z, t) = A cos (ωt − kz) + A cos (ωt − k(z − d)).

A

P,L

to amplitudy fal z prawego ( lewego ) g lo´

snika. Mo˙zemy skorzysta´

c ze wzoru na dodawanie

cosinus´

ow i dostaniemy wtedy

A(z, t) = 2A cos kd/2 cos (ωt − kz + kd/2).

(63)

To wygl

,

ada jak zwyk la fala biegn

,

aca ( drugi cosinus), kt´

orej amplituda zale˙zy od odleg lo´

sci d mi

,

edzy

g lo´

snikami. Latwo si

,

e przekona´

c, ˙ze maksimum amplitudy fali z lo˙zonej przypadnie dla

d = nλ.

a minimum ( w tym wypadku zero) dla

d = (n + 1/2)λ.

Istnieje pewien sympatyczny spos´

ob wyobra˙zania sobie interferencji, oparty na podanej wy˙zej

interpretacji ruchu harmonicznego, jako rzutu ruchu po okr

,

egu na ustalon

,

a o´

s.

Poniewa˙z fala sinusoidalna ma tak

,

a w lasno´

s´

c, ˙ze w ka˙zdym punkcie ruch o´

srodka jest ruchem

harmonicznym ( tylko faza r´

o˙zni si

,

e od punktu do punku ), to mo˙zemy przypisa´

c ka˙zdemu punktowi

strza lk

,

e, o d lugo´

sci r´

ownej amplitudzie drgania i fazie r´

ownej fazie fali. Wszystkie takie strza lki b

,

ed

,

a

si

,

e wi

,

ec obraca´

c z pr

,

edko´

sci

,

a k

,

atow

,

a, r´

own

,

a cz

,

estotliwo´

sci fali.

Je˙zeli w danym punkcie spotykaj

,

a si

,

e dwie fale, to mamy dwie strza lki, kt´

ore na og´

o l b

,

ed

,

a mia ly

r´

o˙zn

,

a faz

,

e. Zajmiemy si

,

e sk ladaniem tylko takich fal, dla kt´

orych r´

o˙znica faz nie zale˙zy od czasu. W

tedy mo˙zemy jakby przej´

s´

c do uk ladu obracaj

,

acego si

,

e z cz

,

esto´

sci

,

a fali i zobaczymy wszystkie strza lki

jako nieruchome wektory, skierowane wzgl

,

edem siebie pod r´

o˙znymi k

,

atami i na og´

o l o r´

o˙znej d lugo´

sci.

Niech np. w danym punkcie spotykaj

,

a si

,

e dwie fale, kt´

ore s

,

a wzgl

,

edem siebie przesuni

,

ete o k

,

at ϕ

i maj

,

a odpowiednio amplitudy a

1

i A

2

.

A1

A2

A12

Rysunek 10: Z lo˙zenie dw´

och drga´

n

Wypadkowa amplituda b

,

edzie r´

owna ( u˙zywamy twierdzenia kosinus´

ow )

A

2
12

= A

2
1

+ A

2
2

+ 2A

1

A

2

cos ϕ

23

W przyk ladzie o dw´

och g lo´

snikach amplitudy by ly r´

owne A

1

= A

2

= A, a k

,

at przesuni

,

ecia wynosi l

ϕ = kd. Tak wi

,

ec

A

12

=

p

2A

2

(1 + cos ϕ) = 2A cos

ϕ

2

,

a wi

,

ec tyle, ile w r´

ownaniu (63).

Metoda ta ( niejawnie) jest stosowana w [5].

2.5

Dyfrakcja fal.

O dyfrakcji fal m´

owimy wtedy, gdy ´

zr´

od lo fal jest rozci

,

ag le.

˙

Zeby dobrze zrozumie´

c przebieg tego

zjawiska, zaczniemy rozwa˙zania od interferecji fal z du˙zej ilo´

sci blisko od siebie odleg lych ´

zr´

ode l punk-

towych.

2.6

Kr´

ociutko o falach elektromagnetycznych.

Fala, jak wiemy, jest to rozchodzenie si

,

e zaburzenia w o´

srodku. Ot´

o˙z wiadomo, ˙ze fale elektromagne-

tyczne ( a wi

,

ec np. fale ´

swietlne ) rozchodz

,

a si

,

e nawet w pr´

o˙zni. K lopot jest pozorny, gdy˙z nawet

w pr´

o˙zni mo˙ze panowa´

c r´

o˙zne od zera pole elektromagnetyczne. Rozchodzi si

,

e wi

,

ec zaburzenie w

postaci pola elektromagnetycznego. Fala elektromagnetyczna jest fal

,

a poprzeczn

,

a tzn. kierunki p´

ol

elektrycznego i magnetycznego fali s

,

a prostopad le do kierunku rozchodzenia si

,

e fali. Sytuacje ilustruje

rysunek 11.

E

B

k

Rysunek 11: Fala elektromagnetyczna

A wi

,

ec falaelektromagnetyczna to rozchodz

,

ace si

,

e w przestrzeni wzajemnie prostopad le poleelek-

tryczne i magnetyczne. Tak jak ka˙zda fala jest ona scharakteryzowana przez d lugo´

s´

c fali i cz

,

estotliwo´

s´

c.

S

,

a one zwi

,

azane zwyk lym zwi

,

azkiem

λ = c T

(64)

gdzie c jest pr

,

edko´

sci

,

a ´

swiat la. W pr´

o˙zni

c = 2.99793 × 10

8

m/sek.

Spos´

ob, w jaki wektor E drga w p laszczy´

znie prostopad lej do kierunku rozchodzenia si

,

e fali okre´

sla

jej polaryzacj

,

e ( patrz. rys. 12).

Zachodzi nast

,

epuj

,

acy zwi

,

azek, mi

,

edzy wielko´

sciami p´

ol E i B.

E = cB

Nat

,

e˙zenie fali jest okre´

slone wektorem Pointinga.

I = |P | = |

1

µ

0

E × B|

(65)

Ze wzgl

,

edu na relacj

,

e pomi

,

edzy amplitud

,

a pola E i B mo˙zemy napisa´

c

I ∼ hE

2

i

(66)

gdzie h· · · i oznacza ´

sredni

,

a warto´

s´

c.

24

(a)

(b)

(c)

Rysunek 12: Polaryzacja: (a) liniowa, (b) ko lowa, (c) eliptyczna. Rysunki pokazuj

,

a figur

,

e, jak

,

a tworzy

koniec wektora drga´

n podczas pe lnego okresu.

3

Elektrostatyka.

patrz

3.1

O ladunku elektrycznym.

• Tales z Miletu ok. 624 – 546 pne odkrywa zjawisko elektryzacji przez tarcie. Przypuszczalnie

zaobserwowa l je przy pocieraniu bursztynu st

,

ad ’elektryczno´

s´

c’ od s lowa greckiego `

electr`

on.

• Efekt ten ma istotne znaczenie przemys lowe w sensie negatywnym, bowiem mo˙ze powodowa´

c

wiele szk´

od jak zapalenie si

,

e benzyny od iskry czy zniszczenie obwod´

ow scalonych. Elektryzacji

przez tarcie trzeba te˙z zapobiega´

c by utrzyma´

c czysto´

s´

c powierzchni.

• Kom´

orki u˙zywaj

,

a zjawiska elektryzacji do magazynowania energii.

• Istotn

,

a rol

,

e odgrywa elektrostatyka w zrozumieniu wi

,

aza´

n chemicznych i formowania si

,

e krysz-

ta l´

ow.

• W fizyce wysokich energii wykorzystuje si

,

e statyczn

,

a elektryczno´

s´

c do wytwarzania wysokich

napi

,

e´

c.

• Molecular Beam Epitaxy– nak ladanie warstw metod

,

a wi

,

azki molekularnej. Warstwa fizysorp-

cyjna, powstaj

,

aca na d powierzchni

,

a jest zwykle zjonizowana i mo˙ze powa˙znie wp lywa´

c na proces

transportu jon´

ow do powierzchni.

3.2

Prawo Coulomba i pole elektryczne.

Elektrostatyka zajmuje si

,

e oddzia lywanie ladunk´

ow, pozostaj

,

acych w spoczynku. Podstawowe prawo

elektrostatyki zosta lo odkryte w 1780 roku przez francuskiego uczonego Charles’a Augustina de Co-
ulomba (por wikipedia ).

Niech dane b

,

ed

,

a dwa ladunki q

1

i q

2

, na tyle ma le, by m´

oc je uwa˙za´

c za punktowe, umieszczone w

punktach P

1

i P

2

. Wektory wodz

,

ace tych punkt´

ow oznaczymy przez r

1

i r

2

Prawo Coulomba stwierdza, ˙ze si la oddzia lywania mi

,

edzy tymi ladunkami jest r´

owna

F =

1

4π

0

q

1

q

2

r

2

(67)

gdzie r = |r

1

− r

2

|. Sta la 

0

= 8.854 10

−12

C

2

/m

2

N nazywa si

,

e sta l

,

a dielektryczn

,

a pr´

o˙zni.

Poniewa˙z powy˙zsze prawo podaje tylko warto´

s´

c sily, kt´

ora, jak wiadomo, jest wektorem, musimy

jeszczeokre´

sli´

c kierunek i zwrot wektora F .

Kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora r

1→2

=

r

2

−r

1

. Z do´

swiadczenia wiemy, ˙ze ladunki jednoimienne si

,

e odpychaj

,

a. Latwo sprawdzi´

c, ˙ze poprawna

definicja wektora si ly ma posta´

c

F

1→2

=

1

4π

0

q

1

q

2

r

2

r

1→2

r

.

(68)

25

OX

OZ

OY

P

1

P

2

r

2

r

1

r

12

Rysunek 13: Ilustracja do prawa Coulomba.

Wa˙zne jest zrozumienie, ˙ze jest to si la z jak

,

a ladunek q

1

dzia la na ladunek q

2

. Z trzeciego prawa

Newtona wynika, ˙ze si la F

2→1

, z jak

,

a ladunek q

2

dzia la na ladunek q

1

jest r´

owna

−F

1→2

.

Definicja 11 Polem elektrycznym nazywamy obszar wok´

o l cia la na ladowanego, w kt´

orym dzia laj

,

a si ly

na tzw. ladunki pr´

obne.

Definicja 12 Nat

,

e˙zeniem polem elektrycznego nazywamy si l

,

e dzia laj

,

ac

,

a na jednostkowy ladunek pr´

obny.

A wi

,

ec si la dzia laj

,

aca na ladunek w polu o nat

,

e˙zeniu E jest r´

owna

F = qE

(69)

Dla naszych cel´

ow wystarczy znajomo´

s´

c dwu rodzaj´

ow p´

ol.

• Pole ladunku punktowego.

Zgodnie z prawem Coulomba pomi

,

edzy dwoma punkowymi ladunkami dzia la si la proporcjonalna

do iloczynu ladunk´

ow i odwrotnie proporcjonalna do odleg lo´

sci mi

,

edzy nimi.

F =

1

4π

0

Qq

r

2

(70)

Niech q b

,

edzie ladunkiem pr´

obnym. Wtedy warto´

s´

c nat

,

e˙zenia pola E b

,

edzie r´

owna

E =

F

q

=

1

4π

0

Q

r

2

(71)

Koncept ten wraz z poj

,

eciem pola si l wprowadzi l M.Faraday (1791-1867). Dla ilustracji graficzne

u˙zywamy linii si l pola. S

,

a to linie poprowadzone w przestrzeni tak, by w ka˙zdym punkcie linii

jej styczna mia la kierunek nat

,

e˙zenia pola.

Pos lu˙zymy si

,

e polem ladunku punktowego dodatniego, by zilustrowa´

c konstrukcj

,

e linii

si l pola. Poniewa˙z pole jest zgodne co do kierunku i zwrotu z wektorem wodz

,

acym

punktu ( zak ladamy, ˙ze ladunek znajduje si

,

e w pocz

,

atku uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych), wi

,

ec

styczna do linii si l

ˆ

s =

dˆ

r

dl

||ˆ

r

26

tzn.

dˆ

r(l)

dl

= λˆ

r(l)

gdzie przez dl rozumiemy d lugo´

s´

c odcinka linii si l, a λ jest dodatni

,

a liczb

,

a rzeczywist

,

a.

Latwo mo˙zna sprawdzi´

c, ˙ze rozwi

,

azaniem tego r´

ownania r´

o˙zniczkowego jest funkcja

wektorowa postaci

r(l) = Λ(l) ˆ

n

0

(72)

gdzie Λ(l) to dowolna funkcja parametru l, a ˆ

n

0

to jednostkowy wektor.

Jest to

r´

ownanie prostej w postaci wektorowej 1.1.2. Pozostaje nam jeszcze znale´

z´

c funkcj

,

e

Λ. To mo˙zna zrobi´

c obliczaj

,

ac d lugo´

s´

c prostej z r´

ownania (72), a mianowicie

l =

Z

dl =

Z

|dr| =

Z

l

0

dΛl = Λ(l) − Λ(0).

Przyjmiemy, ˙ze pocz

,

atek prostej znajduje si

,

e w punkcie r = 0. Wtedy z r´

ownania

(72) Λ(0) = 0 i dostajemy ˙ze

λ(l) = l.

Podsumujmy. Liniami si l ladunku punktowego sa proste wychodz

,

ace z ladunku.

Rysunek 14: Pole dodatniego ladunku

Przyk ladem uk ladu, w kt´

orym idecyduj

,

ac

,

a rol

,

e odgrywa oddzia lywanie elektrosta-

tyczne jest atom.

Przyjrzyjmy si

,

e atomowi wodoru, kt´

ory sk lada si

,

e z protonu, cz

,

astki na ladowanej

dodatnio oraz elektronu – czastki na ladowanej ujemnie. Te dwie cz

,

astki oddzia lywuj

,

a

ze sob

,

a elektrostatycznie zgodnie z prawem Coulomba. Poniewa˙z zale˙zno´

s´

c si ly od

odleg lo´

sci jest taka sama, jak dla si ly grawitacji, wi

,

ec stosuj

,

a sie do tego uk ladu prawa

Keplera 1.6.1. Poniewa˙z masa protonu jest ok. 2000 razy wi

,

eksza od masy elektronu

mo˙zemy przyj

,

ac, ˙ze ruch odbywa si

,

e po orbicie ko lowej. Tak wi

,

ec (por. (14) i (71))

m

v

2

r

=

1

4π

0

e

2

r

2

.

(73)

e = 1.602 10

−19

C to ladunek protonu.

Wyrazimy teraz ca lkowita energi

,

e elektronu przez promie´

n orbity. Z r´

ownania (73)

oraz (53) dostajemy po zast

,

apieniu GmM przez

e

2

4π

0

E

k

=

mv

2

2

=

1

8π

0

e

2

r

E

p

= −

1

4π

0

e

2

r

.

(74)

Tak wi

,

e energia ca lkowita r´

owna jest

E

c

= −

1

8π

0

e

2

r

.

(75)

• Pole sta le

Takie pole panuje mi

,

edzy ok ladkami p laskiego kondensatora (por. rys. 15 lub w przewodniku

prostoliniowym, przez kt´

ory p lynie pr

,

ad elektryczny.

27

+Q

-Q

E

(a)

(b)

Rysunek 15: Pole sta le: (a) - pole w kondensatorze p laskim, (b) pole w przewodniku przewodz

,

acym

pr

,

ad.

3.3

Strumie´

n pola elektrycznego i prawo Gaussa.

E

n

S

n

E

a)

b)

S

0

Rysunek 16: Strumie´

n pola elektrycznego. E – wektor nat

,

e˙zenia, n – wektor normalny do powierzchni

S. a) strumie´

n pola w polu jednorodnym. b) w polu niejednorodnym.

Na rysunku 16 w cz

,

e´

sci a) przedstawiono powierzchni

,

e kt´

or

,

a przecinaj

,

a linie pola jednorodnego.

Liczba linii si l , przecinaj

,

acych powierzchni

,

e S jest r´

owna liczbie linii si l, przecinaj

,

acych powierzchni

,

e

S

0

. Jest jasne, ˙ze liczba linii si l musi by´

c proporcjonalna do wielko´

sci powierzchni. Je˙zeli przyjmiemy,

˙ze liczba linii si l, przecinaj

,

acych dan

,

a powierzchni

,

e N (S) jest proporcjonalna do nat

,

e˙zenia pola, to

mo˙zemy napisa´

c, ˙ze

N (S) = N (S

0

) = kS

0

E = kSE cos ∠(n.E).

Liczb

,

e linii si l, przecinaj

,

acych dan

,

a powierzchni

,

e nazywamy strumieniem pola elektrycznego Φ i defi-

niujemy go jako

dΦ = E · dS.

(76)

28

dS to wektor prostopad ly do powierzchni, taki, ˙ze |dS = dS, czyli wielko´

sci powierzchni.

Obliczymy najpierw strumie´

n pola, wytwarzanego przez ladunek punktowy. W tym celu wybie-

rzemy zamkni

,

et

,

a powierzchni

,

e, przez kt´

or

,

a b

,

edziemy liczy´

c strumie´

n, jako kul

,

e o promieniu R w kt´

orej

´

srodku umieszczony jest rozwa˙zany ladunek q. Nat

,

e˙zenie pola ladunku punktowego w odleg lo´

sci r jest

r´

owne, zgodnie z prawem Coulomba

E =

1

4π

0

q

R

2

.

Kierunek pola jest oczywi´

scie prostopad ly do powierzchni wybranej przez nas sfery. Tak wi

,

ec dla

ma lego fragmentu powierzchni sfery, zgodnie z r´

ownanie (76) otrzymujemy

dΦ = dSE cos ∠(n.E) = dSE =

1

4π

0

q

R

2

dS.

Wida´

c, ˙ze wyra˙zenie to jest takie samo dla ka˙zdego fragmentu powierzchni sfery, a wi

,

ec ca lkowity

strumie´

n b

,

edzie r´

owny

Φ =

1

4π

0

q

r

2

S =

1

4π

0

q

R

2

4πR

2

=

q



0

.

Wyobra´

zmy sobie teraz dowoln

,

a powierzchni

,

e zamkni

,

et

,

a, w kt´

orej wn

,

etrzu znajduje si

,

e punktowy

ladunek.

3.4

Przewodniki.

3.4.1

Kondensatory.

3.5

Dielektryki.

3.5.1

Sta la dielektryczna.

3.5.2

Przebicie.

Mikroskop jonowy.

3.6

Energia pola.

29

4

Pr

,

ad elektryczny.

4.1

Sta ly pr

,

ad elektryczny.

4.1.1

Podstawowe wielko´

sci i definicje.

4.1.2

Prawo Ohma. Uzasadnienie mikroskopowe.

4.1.3

Prawa Kirchhoffa i obwody z pr

,

adem. Op´

or zast

,

epczy. Mostek Wheatstone’a.

4.2

Pr

,

ad zmienny.

4.2.1

Zawada zespolona.

4.2.2

Przyk lady.

5

Ruch czastek w polu elektromagnetycznym.

5.1

Pole magnetyczne.

Dzia lanie pola magnetycznego na ladunek opisuje wz´

or

F = q v × B

(77)

gdzie v jest pr

,

edko´

sci

,

a , z jak

,

a porusza si

,

e ladunek, a B indukcj

,

a pola magnetycznego. Osobliwo´

s´

c

stanowi fakt, ˙ze ladunek musi si

,

e porusza´

c, by dzia la la na niego si la od pola magnetycznego.

Rozwa˙zymy dok ladniej ruch ladunku w sta lym polu magnetycznym. Niech pole b

,

edzie skierowane

od p laszczyzny rysunku ( por. rys. 17 ) Ruch b

,

edzie odbywa l si

,

e po okr

,

egu w p laszczy´

znie prostopad lej

v

B

R

Rysunek 17: Ruch w polu magnetycznym

do kierunku pola, bo si l jest zawsze prostopad la do pr

,

edko´

sci, a tak jest tylko w ruchu po okr

,

egu.

Poniewa˙z si la od pola magnetycznego jest si la do´

srodkow

,

a, wi

,

ec

m

v

2

R

= qvB

a st

,

ad

ω =

v

R

=

qB

m

czyli cz

,

esto´

s´

c nie zale˙zy od pr

,

edko´

sci obrotu a tylko od wielko´

sci pola. Fakt ten ma powa˙zne konse-

kwencje praktyczne ( synchrotrony).

Promie´

n orbity jest r´

owny

R =

qB

mv

a wi

,

ec jest odwrotnie proporcjonalny do p

,

edu.

30

5.2

Ruch w skrzy ˙zowanych polach magnetycznym i elektrycznym

Problem, kt´

ory ( cho´

cby z najwi

,

ekszym trudem ) rozwi

,

aza´

c by nale˙za lo jest trudny. Dlatego musimy

pos lu˙zy´

c si

,

e trikiem. R´

ownanie wygl

,

ada tak:

m

dv

dt

= q(E + v × B)

(78)

Spr´

obujmy popatrzy´

c na ten ruch z jakiego´

s innego uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych, poruszaj

,

acego si

,

e ze sta l

,

a

pr

,

edko´

sci

,

a v

0

. Niech w tym uk ladzie pr

,

edko´

s´

c ladunku wynosi u. To znaczy, ˙ze

v = v

0

+ u

Poniewa˙z v

0

jest sta le, wi

,

ec dostaniemy

m

du

dt

= q(E + u × B + v

0

× B)

Pola E i B s

,

a prostopad le, wi

,

ec mo˙zemy wybra´

c v

0

, prostopad le do obu tych wektor´

ow tak, by

E + v

0

× B = 0

v =

E

B

(79)

i v

0

ma kierunek taki jak na rysunku 18

E

v0

Rysunek 18: Ruch w polu magnetycznym

Ale w tym uk ladzie r´

ownanie (78) wygl

,

ada tak, jakby nie by lo pola elektrycznego !!!. Tzn. ruch

jest ruchem w polu magnetycznym, kt´

ory ju˙z znamy ( por. sekcja 5.1 ). Jest to zwyk ly ruch po okr

,

egu.

Tak wi

,

ec ladunek porusza si

,

e po krzywej zwanej cykloid

,

a, tzn. ruchem, jakim porusza si

,

e cz

,

astka

na obrze˙zu obracaj

,

acego si

,

e ko la, kt´

orego ´

srodek r´

ownocze´

snie posuwa si

,

e ruchem jednostajnym.

Pr

,

edko´

s´

c ruchu ´

srodka ko la nazywamy pr

,

edko´

sci

,

a dryfu.

Paradoksalne jest to, ˙ze pr

,

edko´

s´

c dryfu jest prostopad la do kierunku pola elektrycznego !!

6

Szczeg´

olna teoria wzgl

,

edno´

sci dla ubogich

Zastrze˙zenie zrobione w tytule jest w pe lni uzasadnione, bo podam rzeczywi´

scie tylko absolutne mi-

nimum fakt´

ow z zakresu teorii wzgl

,

edno´

sci. Zainteresowanych musz

,

e odes la´

c do literatury [2, 3]. A

wi

,

ec zaczynamy!

6.1

Kinematyka

Najwa˙zniejszym postulatem teorii wzgl

,

edno´

sci jest postulat niezale˙zno´

sci pr

,

edko´

sci ´

swiat la od uk ladu

odniesienia . Oznacza to , ˙ze pr

,

edko´

s´

c ´

swiat la nie zale˙zy od uk ladu odniesienia, z kt´

orego obserwujemy

´

swiat lo. Najpowa˙zniejsz

,

a konsekwencj

,

a tego postulatu jest zmiana naszych wyobra˙ze´

n o naturze czasu

i przestrzeni. W fizyce klasycznej czas p lynie tak samo dla wszystkich obserwator´

ow - jeden zegar

wystarcza dla wszystkich. W teorii wzgl

,

edno´

sci ka˙zdy obserwator musi mie´

c sw´

oj w lasny zegar.

Definicja 13 Zdarzeniem nazywamy zesp´

o l wsp´

o lrz

,

ednych czasowej i przestrzennych.

31

Kr´

otko m´

owi

,

ac, ka˙zdy obserwator musi poda´

c nie tylko wsp´

o lrz

,

edne punktu, w kt´

orym zasz lo

jakie´

s zjawisko, ale i czas , zmierzony w jego uk ladzie odniesienia, na jego ’prywatnym’ zegarze.

W wyniku niezale˙zno´

sci pr

,

edko´

sci ´

swiat la od uk ladu odniesienia przestaje mie´

c sens poj

,

ecie r´

owno-

czesno´

sci. zdarzenia r´

ownoczesne w jednym uk ladzie nie b

,

ed

,

a na og´

o l r´

ownoczesne w innym. Pomiar

odleg lo´

sci tak˙ze traci sw´

oj absolutny sens, poniewa˙z musimy sprecyzowa´

c, jak go wykonujemy. Odle-

g lo´

s´

c przestrzenna dla dwu zdarze´

n zale˙zy od tego, w jaki spos´

ob wykonujemy pomiar. Spr´

obuj

,

e to

zilustrowa´

c na przyk ladzie zaczerpni

,

etym z [2].

• Dylatacja czasu

v

Rysunek 19: Ilustracja do przyk ladu. Strza lkami pokazano bieg ´

swiat la w uk ladzie laboratoryjnym.

Rozwa˙zmy w´

ozek, poruszaj

,

acy si

,

e w naszym uk ladzie odniesienia z pr

,

edko´

sci

,

a v. Niech obser-

wator na w´

ozku za´

swieci np. latark

,

e. Promie´

n ´

swiat la pobiegnie do sufitu, tam ulegnie odbiciu

i powr´

oci do punktu, z kt´

orego zosta l wys lany ( patrz. rys. 19). Spr´

obujmy przeanalizowa´

c ten

prosty eksperyment z punktu widzenia obserwatora poruszaj

,

acego si

,

e. Niech wysoko´

s´

c w´

ozka

wynosi ∆y = 1m. Czas, jaki up lynie mi

,

edzy wys laniem promienia a jego powrotem, zarejestro-

wany przez poruszaj

,

acego si

,

e obserwatora b

,

edzie r´

owny

∆τ =

2∆y

c

A jaki czas my zmierzymy? Ot´

o˙z w naszym uk ladzie ´

swiat lo porusza si

,

e po drodze, przedsta-

wionej na rys. 19 i droga ∆l b

,

edzie r´

owna

∆l = 2

s

∆y

2

+



v

∆t

2



2

= c∆t

(80)

gdzie przez ∆t oznaczyli´

smy czas, jaki up lynie mi

,

edzy wyj´

sciem a powrotem ´

swiat la w naszym

uk ladzie.

Z r´

ownania (80) mo˙zemy ten czas wyrazi´

c przez czas zmierzony przez obserwatora poruszaj

,

acego

si

,

e.

∆t =

∆τ

q

1 −

v

c

2

(81)

A wi

,

ec czas zmierzony przez nas b

,

edzie d lu˙zszy ni˙z czas zmierzony przez obserwatora !!

Zjawisko to nazywa si

,

e dylatacj

,

a czasu .

∆τ = ∆t

r

1 −



v

c



2

(82)

Wielko´

s´

c ∆τ nazywamy czasem w lasnym.

32

• Skr´

ocenie Lorentza

Najpierw rozwa˙zmy nast

,

epuj

,

ac

,

a sytuacj

,

e. Obaj obserwatorzy obserwuj

,

a promie´

n ´

swiat la wy-

s lany w momencie gdy pocz

,

atki uk lad´

ow pokrywaj

,

a si

,

e i rejestruj

,

a przybycie ´

swiat la do okre´

slo-

nego punktu na osi OX zgodnie ze swoimi zegarami. Poniewa˙z pr

,

edko´

s´

c ´

swiat la jest taka sama

w obu uk ladach, wi

,

ec musi zachodzi´

c

∆x

∆t

=

∆x

0

∆t

0

= c

St

,

ad wnioskujemy, ˙ze dla tych dwu zdarze´

n w obu uk ladach

c

2

∆t

2

− ∆x

2

= 0

c

2

∆t

02

− ∆x

02

= 0

a wi

,

ec

c

2

∆t

2

− ∆x

2

= c

2

∆t

02

− ∆x

02

(83)

Ta r´

owno´

s´

c okazuje si

,

e prawdziwa dla dowolnych dw´

och zdarze´

n.

v

Rysunek 20: Skr´

ocenie Lorentza. Ilustracja do eksperymentu

Niech rakieta ( w´

ozek ), w kt´

orym znajduje si

,

e poruszaj

,

acy si

,

e obserwator ma d lugo´

s´

c, zmierzon

,

a

przez niego l

0

. My mo˙zemy zmierzy´

c t

,

e d lugo´

s´

c notuj

,

ac dwa momenty czasu: moment przej´

scia

pocz

,

atku i ko´

nca w´

ozka przez pocz

,

atek naszego uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych. Czas, kt´

ory u nas up lynie

b

,

edzie r´

owny

∆t =

l

v

czyli te dwa zdarzenia b

,

ed

,

a oddzielone interwa lem czasowym, ale zajd

,

a w tym samym miejscu,

czyli

c

2

∆t

2

− ∆x

2

= c

2

∆t

2

=

 cl

v



2

A jak to widzi poruszaj

,

acy si

,

e obserwator? Ot´

o˙z dla niego czas, jaki up lynie b

,

edzie ∆t

0

= l

0

/v

a ∆x

0

= l

0

.

Korzystaj

,

ac z r´

ownania (83) dostajemy

c

2

 l

v



2

= c

2

 l

0

v



2

− l

2
0

St

,

ad wyliczamy

l = l

0

r

1 −



v

c



2

(84)

tzn. zmierzona przez nas d lugo´

s´

c w´

ozka jest kr´

otsza ni˙z zmierzona przez obserwatora porusza-

j

,

acego si

,

e razem z w´

ozkiem!!

33

6.2

Dynamika

Wielko´

sci dynamiczne ulegaj

,

a radykalnej zmianie w szczeg´

olnej teorii wzgl

,

edno´

sci. Trudno jest, w tego

typu wprowadzeniu , bez gruntownej znajomo´

sci fizyki, uzasadni´

c dlaczego s

,

a one tak zdefiniowane.

P

,

ed

Zaczniemy od podstawowej wielko´

sci, jak

,

a jest p

,

ed cia la. Klasyczny p

,

ed jest r´

owny

p = m

0

dr

dt

(85)

Natomiast p

,

ed relatywistyczny definiujemy jako

p = m

0

dr

dτ

=

m

0

q

1 −

v

c

2

dr

dt

= mv,

gdzie

m =

m

0

q

1 −

v

c

2

(86)

jest mas

,

a relatywistyczn

,

a, kt´

ora, jak wida´

c nie jest sta la lecz ro´

snie do niesko´

nczono´

sci, gdy pr

,

edko´

s´

c

cia la zbli˙za si

,

e do pr

,

edko´

sci ´

swiat la. Ten wynik interpretujemy jako wyraz faktu, ˙ze pr

,

edko´

s´

c ´

swiat la

jest najwy˙zsz

,

a mo˙zliw

,

a pr

,

edko´

sci

,

a. m

0

nazywa si

,

e mas

,

a spoczynkow

,

a.

Energia

W teorii relatywistycznej energia cia la jest zwi

,

azana z mas

,

a s lynn

,

a relacj

,

a Einsteina.

E = mc

2

=

m

0

c

2

q

1 −

v

c

2

(87)

gdzie m jest mas

,

a relatywistyczn

,

a zdefiniowan

,

a w r´

ownaniu (86).

Tak wi

,

ec cia lo obdarzone mas

,

a ma w sobie ogromn

,

a energi

,

e. Dla przyk ladu cia lo o masie 1kg ma

energi

,

e spoczynkow

,

a 8.98 × 10

16

J .

Podamy jeszcze wyra˙zenie na energi

,

e ca lkowit

,

a cia la w ruchu, wyra˙zon

,

a przez jego p

,

ed. Korzy-

staj

,

ac z r´

owna´

n 86 i 87 otrzymujemy

E =

q

m

2

0

c

4

+ p

2

c

2

(88)

Energia kinetyczna, czyli energia zwi

,

azana z ruchem cia la jest r´

owna

E

kin

= mc

2

− m

0

c

2

34

Literatura

[1] A.K. Wr´

oblewski i J.A. Zakrzewski, Wst

,

ep do Fizyki, PWN, 1989.

[2] J.A. Wheeler, Fizyka Czasoprzestrzeni, Warszawa, 1972.

[3] C.Kittel, W.D. Knight i M.A. Ruderman, Mechanika, PWN, 1969.

[4] R.P. Feynman, Wyk lady z Fizyki, tom I, W-wa,1970.

[5] R.Resnick i D.Halliday, Fizyka, wyd.11, PWN, 1996

[6] J.I. Frenkel,Vviedienie w tieoriu mietallov, Leningrad, 1972.

[7] Ashcroft, Mermin, Fizyka Cia la Sta lego

[8] Robert L. Sproull, Modern Physics, John Wiley & Sons, 1963

[9] R.A Smith,P´

o lprzewodniki, W-wa , 1964

[10] W.L. Boncz-Brujewicz i S.G. Ka lasznikow, Fizyka P´

o lprzewodnik´

ow, W-wa 1985

[11] R.P. Feynman, Wyk lady z fizyki statystycznej, W-wa, 1980

[12] R.P. Feynman, Wyk lady z fizyki t.III, W-wa, 1974

[13] J.C.Phillips,Bands and Bonds in Semiconductors

[14] T.S.Moll, Physics of Semiconductors, Mc Graw-Hill, N.Y., 1964

[15] A.S. Grove, Physics and Technology of Semiconductor Devices, John Wiley & Sons, 1967

[16] M.S. Tyagi,Introduction to Semiconductor Materials and Devices, John Wiley & Sons, 1991

[17] S.M.Sze, Physics of Semiconductor Devices, John Wiley & Sons, 1981

[18] O.Madelung, Grundlagen der Halbleiterphysik, Springer-Verlag, Berlin, 1970.

[19] O.Madelung, Physics of III-V Compounds, John Wiley & Sons,New York, 1964.

[20] Ed. M.Aven, J.S.Prener,Physics and Chemistry of II-VI Compounds

[21] W. Shockley, Elektrony i dziury w p´

o lprzewodnikach, PWN, W-wa, 1956

[22] J.Seymour, Electronic Devices & Components, Logman Scietific & Technical, 1981

35