dobry wstep do mechkwant z przy Nieznany

SAMOUCZEK Z MECHANIKI

KWANTOWEJ

Moment p˛edu. Atom Wodoru.

Grzegorz Jastrz˛ebski

Spis tre ´sci

Wiadomo´sci ogólne

1.1

Wst˛ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Przestrzenie Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

Operatory samosprz˛e˙zone i ich reprezentacje

. . . . . . . . . . .

1.4

Pomiary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5

Równanie Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Moment p˛edu

2.1

Wst˛ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Warto´sci własne momentu p˛edu

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3

Przedstawienie macierzowe momentu p˛edu . . . . . . . . . . . .

2.4

Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5

Orbitalny moment p˛edu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6

Oddziaływanie z polem magnetycznym . . . . . . . . . . . . . .

Atom wodoru

3.1

Dokładne rozwi ˛

azanie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Uwagi na temat pomiarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Literatura

WIADOMO ´

SCI OGÓLNE

Wiadomo ´sci ogólne

1.1

Wst ˛ep

1. Samouczek ten zawiera w sobie nieco materiału rachunkowego na temat

momentu p˛edu i atomu wodoru w mechanice kwantowej (cz˛e´s´c druga i trzecia).
Przeznaczony jest dla studentów fizyki poznaj ˛

acych mechanik˛e kwantow ˛

a. S ˛

a to

zadania do samodzielnego zrobienia (z niewielk ˛

a pomoc ˛

a samouczka). Je´sli po-

wa˙znie podchodzisz do swoich studiów, powiniene´s rzeczywi´scie je zrobi´c od po-
cz ˛

atku do ko´nca. Zadania te powinny Ci pomóc w osi ˛

agni˛eciu niejakiej sprawno´sci

rachunkowej. Cz˛e´s´c pierwsza zawiera ogólne spojrzenie na mechanik˛e kwantow ˛

konieczne do zrozumienia tej teorii. W zasadzie wszystkie trzy cz˛e´sci mo˙zna czy-
ta´c niezale˙znie.

Samouczek został napisany „na zamówienie” studentów III roku fizyki i do-

tyczy problemów poruszonych na wykładzie prof. S. Ciechanowicza z mechaniki
kwantowej. Poniewa˙z wykładowca korzystał z ksi ˛

a˙zki C. Cohena, B. Diu i F.

Laloë’go Quantum Mechanics, tak˙ze du˙za cz˛e´s´c samouczka została oparta na tej
ksi ˛

a˙zce.

Chciałbym podzi˛ekowa´c, za wnikliwe przeczytanie samouczka i przekazanie

mi dotycz ˛

acych go uwag: studentom którzy korzystali z r˛ekopisu, prof. Z. Na-

wrockiej, prof. J. J˛edrzejewskiemu, oraz prof. B. Jancewiczowi.

1.2

Przestrzenie Hilberta

2. Mechanika kwantowa posługuje si˛e przede wszystkim algebr ˛

a. Musisz po-

zna´c ten j˛ezyk dobrze, a opłaci Ci si˛e to przy poznawaniu teorii kwantów.

3. Zaczniemy od poj˛ecia przestrzeni Hilberta. Jest to przestrze´n liniowa z ilo-

czynem skalarnym

. Przestrze´n Hilberta b˛edziemy oznacza´c jako

– to zbiór

wektorów. Iloczyn skalarny mamy dany wtedy, gdy potrafimy wzi ˛

a´c dwa wektory

i tak je przez siebie przemno˙zy´c, ˙zeby dosta´c liczb˛e.

∋

7−→ (

) ∈ C

Za ka˙zdym razem b˛edziemy si˛e posługiwa´c tak ˛

a przestrzeni ˛

a, jaka nam odpo-

wiada. W mechanice kwantowej posługujemy si˛e zawsze zespolonymi przestrze-
niami liniowymi.

4. Utarło si˛e, ˙ze wektory oznacza si˛e greckimi literami

. Spotyka si˛e

te˙z zapis:

i, |

i. . . Taki zapis wektorów to tzw. notacja Diraca, zwana te˙z

braketow ˛

Tak naprawd˛e ˙z ˛

ada si˛e jeszcze, ˙zeby była ona zupełna. Dodatkowo w mechanice kwantowej wy-

korzystywane s ˛

a tzw. o´srodkowe przestrzenie Hilberta. Co oznaczaj ˛

a oba te terminy, mo˙zesz si˛e

dowiedzie´c z ksi ˛

a˙zki M. Grabowskiego i R.S. Ingardena Mechanika kwantowa. Uj˛ecie w przestrzeni

Hilberta. My nie b˛edziemy si˛e w to zagł˛ebia´c.

WIADOMO ´

SCI OGÓLNE

5. Je´sli wprowadzimy baz˛e, to mo˙zemy rozkłada´c wektory na składowe:

∑

, gdzie a

∈ C, a {

} to baza w

(5.a)

Mo˙zna to zapisa´c inaczej:

i =

∑

|ni

(5.b)

Zauwa˙z, ˙ze współrz˛edne wektora w zapisie braketowym zapisujemy zwykle

∈

C. Musisz uwa˙za´c ˙zeby nie pomyli´c ich z wektorami bazowymi z zapisu (5.a),
gdzie współrz˛edne zapisywali´smy jako a

. Litera n oznacza indeks sumowania i

jest najcz˛e´sciej liczb ˛

a całkowit ˛

a. Niestety cz˛esto podobne oznaczenia stosowane

s ˛

a dla ró˙znych obiektów. Twoim zadaniem jest nauczy´c si˛e, co oznaczaj ˛

a poszcze-

gólne litery we wzorach matematycznych.

Inny sposób zapisu wektora to po prostu wypisanie jego współrz˛ednych w ko-

lumience:











 =

∑













(5.c)

Oto jakie mamy mo˙zliwo´sci zapisu elementu bazy:

≡ |ni ≡













W notacji kolumienkowej w wektorze bazowym na n–tym miejscu mamy jedynk˛e,
na wszystkich innych zera. Widzimy, ˙ze mamy a˙z trzy sposoby zapisu wektorów.
Musisz si˛e nauczy´c przechodzi´c z jednej notacji do drugiej.

6. Zadanie. Okre´sl ró˙znic˛e mi˛edzy wektorem, współrz˛edn ˛

a i składow ˛

a. Odp:

|{z}

wektor

∑

współrz˛edna

z}|{

|ni

}

składowa

7. Dla wygody tak zwykle dobiera si˛e bazy, ˙zeby były w niej wektory unor-

mowane i prostopadłe do siebie. Mówimy wtedy o bazie ortonormalnej. Te dwa
warunki zapisujemy nast˛epuj ˛

aco:

(

) = 0

dla n

6= m; prostopadło´s´c

(

) = 1

unormowanie

WIADOMO ´

SCI OGÓLNE

Oba te warunki jednocze´snie:

(

) =

(7)

My b˛edziemy u˙zywa´c tylko baz ortonormalnych

8. W notacji braketowej iloczyn skalarny wygl ˛

ada nast˛epuj ˛

aco:

(

) ≡ h

(8)

9. Zadanie. Zapisz warunek ortonormalno´sci (7) w zapisie Diraca.

Odp:

hi| ji =

i j

10. Zastanówmy si˛e, co zrobi´c gdy mamy wektor

i chcemy zna´c jego n-t ˛

współrz˛edn ˛

a? Oto przepis: Musimy obliczy´c iloczyn skalarny

hn|

i i to b˛edzie

owa współrz˛edna. Sprawd´z to.

Obliczmy:

hn|

i = hn|(

∑

|mi) =

∑

hn|mi = ...

Kiedy wykorzystamy warunek ortonormalno´sci, otrzymamy: . . .

∑

Czyli

= hn|

11. Pojawia si˛e pytanie: po co nam przestrze´n Hilberta? Otó˙z okazuje si˛e,

˙ze stany fizyczne odpowiadaj ˛

a elementom przestrzeni Hilberta

. Na przykład

dla jednej cz ˛

astki w trzech wymiarach wybieramy:

= L

); s ˛

a to wszystkie

funkcje zespolone, których dziedzin ˛

a jest zbiór poło˙ze´n cz ˛

astki (r

∈ R

) i które

daj ˛

a si˛e scałkowa´c z kwadratem modułu tzn:

| f (r)|

∞

Iloczyn skalarny w tej przestrzeni jest nast˛epuj ˛

acy:

∋ (

) =

dV ¯

(r)

(11)

Wektor z tej przestrzeni nazywa si˛e funkcj ˛

a falow ˛

12. Poj˛ecie stanu wyst˛epuje ju˙z w mechanice klasycznej. Tam s ˛

a to punkty

przestrzeni fazowej – przestrzeni p˛edów i poło˙ze´n:

(r, p) ∈

← przestrze´n fazowa

13. Wa˙zna uwaga: Cz˛esto dla wygody ró˙zne wielko´sci fizyczne ł ˛

aczy si˛e w

trójki i nazywa wektorami. Tak jest na przykład z poło˙zeniem r

= xe

+ ye

, p˛edem, pr˛edko´sci ˛

a, momentem p˛edu, polem elektrycznym, magnetycznym

itp. Wektory te nale˙z ˛

a do rzeczywistej przestrzeni trójwymiarowej i maj ˛

a trzy

Symbol

i j

nazywany jest delt ˛

a Kroneckera i jest okre´slony nast˛epuj ˛

aco:

i j

dla i

6= j

dla i

= j

Stan opisuje nasz układ fizyczny w danej chwili. Np. dla jednej cz ˛

astki stanem jest jej funkcja

falowa – zawiera ona informacj˛e o tym, jakie s ˛

a mo˙zliwe poło˙zenia, jak wygl ˛

ada p˛ed itd. Jak te

informacje z niej „wyci ˛

agn ˛

a´c”, to inna sprawa.

WIADOMO ´

SCI OGÓLNE

współrz˛edne. Oznacza si˛e je ró˙znie: w druku zwykle wytłuszczonym literami (r,
v, p, L, B, E. . . ). W zeszycie stawiamy kresk˛e nad lub pod wektorem lub strzalk˛e:

≡ ¯r ≡ r ≡~r

(13)

Ty te˙z wybierz sobie który´s z zapisów (13). Iloczyn skalarny takich wektorów:

· b = a

+ a

Musisz odró˙znia´c te wektory od stanów w przestrzeni Hilberta, które równie˙z s ˛

wektorami.

1.3

Operatory samosprz ˛e˙zone i ich reprezentacje

14. Wa˙znym elementem naszej konstrukcji matematycznej s ˛

a operatory li-

niowe. S ˛

a to odwzorowania, które

: A :

→

takie, ˙ze:

(

λφ

) =

(

) = A

+ A

Maj ˛

ac operator A mo˙zna znale´z´c sprz˛e˙zony do niego drugi operator A

∗

, okre-

´slony nast˛epuj ˛

aco:

∀

∈

(

, A

) = (A

∗

)

(14)

Gwiazdk˛e z równania (14) nazywamy sprz˛e˙zeniem hermitowskim.

15. Zadanie. Korzystaj ˛

ac z równania (14) wyprowad´z nast˛epuj ˛

ace własno´sci

sprz˛e˙zenia hermitowskiego:

(AB)

∗

= B

∗

(A + B)

∗

= A

∗

+ B

∗

(iA)

∗

= −iA

∗

sprz˛e˙zenie hermitowskie przekształca i

→ −i.

Wskazówka jak zrobi´c te dowody: Badany operator „okładamy” dowolnymi wek-
torami

a nast˛epnie tak przekształcamy otrzymany iloczyn skalarny, a˙z uzy-

skamy ˙z ˛

adany wynik.

Dowód dla przykładu a):

(

, AB

) =

(

, A

)) =

∗

, B

) = (A

∗

)

((AB)

∗

)

⇒

(AB)

∗

= (B

∗

)

Inne dowody wykonaj podobnie.

Zapisujemy tu dla uproszczenia, ˙ze dziedzin ˛

a operatora A jest cała przestrze´n Hilberta. B˛edziemy

jednak przede wszystkim u˙zywa´c takich operatorów, które b˛ed ˛

a miały nieco mniejsz ˛

a dziedzin˛e. Np:

operator ˆ

= −i~

∂

nie umie zadziała´c na nieró˙zniczkowalne funkcje falowe (przestrze´n Hilberta za-

wiera funkcje całkowalne z kwadratem, równie˙z te nieró˙zniczkowalne). Problem ten jest dokładnie
opisany w ksi ˛

a˙zce R. S. Ingardena i M. Grabowskiego Mechanika kwantowa. Uj˛ecie w przestrzeni

Hilberta.

WIADOMO ´

SCI OGÓLNE

16. Teraz zobaczmy, do czego przydaje si˛e nam notacja Diraca. Wyra˙zenie

(

, A

) = (A

∗

) zapisujemy za pomoc ˛

a jednego wyrazu:

|A|

i. Taki zapis

mówi nam, ˙ze albo A działa na

, albo A

∗

działa na

. Zdefiniujmy po˙zyteczny

operator: I

∑

|nihn|. Zaraz zobaczymy, jak on działa i czemu jest równy. Po-

działajmy nim na dowolny wektor:

i =

∑

|nihn|

i = ...(z pkt. 3 wiemy: hn|

i =

). . .

. . .

∑

|ni = |

Widzimy, ˙ze operator I

∑

|nihn| jest po prostu operatorem jednostkowym.

17. Z algebry wiadomo, ˙ze ka˙zdemu operatorowi odpowiada jaka´s macierz,

spróbujmy j ˛

a znale´z´c. Zobaczmy, jak operator A działa na wektor

i =

∑

|ni = ...(wstawiamy I z pkt. 16)...

. . .

∑

|mihm|A|ni =

∑

hm|A|ni

|mi = ...(ozn. A

= hm|A|ni)...

. . .

∑

|mi =

∑

|mi

Widzimy, ˙ze wektor A

ma współrz˛edne

)

∑

. Dlatego te˙z działa-

nie A na

i mo˙zna przepisa´c w postaci macierzowej:





. . .















 =







)





 ,

(17.a)

gdzie elementy macierzowe wyra˙zaj ˛

a si˛e wzorem:

= hn|A|mi

(17.b)

18. Tyle ogólnych informacji na temat operatorów, za chwil˛e do nich wrócimy,

a na razie skoncentrujmy si˛e na jednym typie operatorów, tzw. operatorach samo-
sprz˛e˙zonych zwanych równie˙z hermitowskimi. Oto ich definicja:

= A

∗

czyli

∀

∈

) = (

, A

)

(18)

Korzystaj ˛

ac z tej definicji poka˙z, ˙ze elementy macierzowe ka˙zdego operatora sa-

mosprz˛e˙zonego spełniaj ˛

a warunek: A

= ¯

19. Teraz bardzo wa˙zne przykłady operatorów samosprz˛e˙zonych: We´zmy

przestrze´n Hilberta

= L

(R). Odpowiada ona przypadkowi, kiedy jedna cz ˛

astka

porusza si˛e w jednym wymiarze. Iloczyn skalarny to całka podobna do (11), tylko

WIADOMO ´

SCI OGÓLNE

obszar całowania jest jednowymiarowy. Oto pierwszy operator (pó´zniej oka˙ze si˛e
on operatorem poło˙zenia):

x :

∋

7−→ ˆx

∈

Funkcja ˆ

okre´slona jest nast˛epuj ˛

aco:

: R

∋ x 7−→ x

(x) ∈ C

Drugi operator (p˛edu):

p :

∋

7−→ ˆp

∈

Funkcja ˆ

okre´slona jest nast˛epuj ˛

aco:

: R

∋ x 7−→ −i~

∂

(x) ∈ C

20. Je´sli mamy dany operator A i znajdziemy takie wektory

|ai, które spełniaj ˛a

warunek:

|ai = a|ai,

(20)

to mówimy, ˙ze mamy wektory własne tego operatora, a liczby a nazywamy war-
to´sciami własnymi. Uwa˙zaj na zapis, gdy˙z w notacji Diraca warto´sci własne a (s ˛

to liczby), zapisuje si˛e zwykle t ˛

a sam ˛

a liter ˛

a co wektory własne

|ai. W zwykłym

zapisie równanie (20) ma posta´c: A

= a

. Zauwa˙z, ˙ze obie te formy zapisu

oznaczaj ˛

a to samo!

Zadanie. Poka˙z, ˙ze jesli A

∗

= A i A

= a

to a

∈ R. Dowód jak w pkt. 15.

21. Znajd´zmy wektory własne operatora ˆ

p (pami˛etajmy, ˙ze tu wektorami s ˛

funkcje):

(x) = pu(x) = . . .(podstawiamy ˆp = −i~

∂

). . .

otrzymamy równanie

− i~

∂

(x) = pu(x)

⇒

∂

⇒ u(x) = Ne

ipx

Wektory te zapisujemy

(górny indeks oznacza warto´s´c własn ˛

a):

|pi ≡ u

gdzie

(x) = Ne

ipx

(21)

Widzimy, ˙ze indeks w tym przypadku jest ci ˛

agły, gdy˙z p mo˙ze przyjmowa´c do-

wolne warto´sci rzeczywiste. N jest stał ˛

a normuj ˛

ac ˛

Zauwa˙zmy, ˙ze funkcje tego typu nie daj ˛

a si˛e unormowa´c. Nie s ˛

a całkowalne z kwadratem. Je´sli

przyjmiemy je jako mo˙zliwe stany, to rezygnujemy z ˙z ˛

adania, by stany były wektorami w przestrzeni

Hilberta.

WIADOMO ´

SCI OGÓLNE

22. Dla trzech wymiarów mamy trzy operatory poło˙zenia:

= x,

= y,

ˆz

= z

(22.a)

i trzy operatory p˛edu:

= −i~

∂

= −i~

∂

= −i~

∂

(22.b)

Mo˙zesz sprawdzi´c, ˙ze funkcje własne tych trzech operatorów p˛edu s ˛

a nast˛epuj ˛

ace:

(r) = Ne

·p

S ˛

a one numerowane trzema liczbami

, p

) i oznaczane:

, p

i ≡ |pi ≡ u

. N to stała normuj ˛

aca.

Uwaga dla dociekliwych: „funkcje” własne operatora poło˙zenia to delty Di-

raca:

1 wymiar,

|xi ≡ u

we współrz˛ednych:

′

) =

(x − x

′

)

3 wymiary,

|ri ≡ u

we współrz˛ednych:

′

) =

(r − r

′

)

Uwaga. Potem bardzo cz˛esto opuszcza´c b˛edziemy daszki przy operatorach (oczy-
wi´scie wtedy, gdy nie b˛edzie to wprowadza´c nieporozumie´n) i zamiast ˆ

x b˛edziemy

pisa´c po prostu x.

23. Dla sprawdzenia, czy dobrze opanowałe´s ten materiał, kilka zada´n:

a) Znajd´z macierz operatora A

|ni = |n + 1i.

b) Poka˙z, ˙ze macierze operatorów hermitowskich spełniaj ˛

a równo´s´c: A

= ¯

Kreseczka oznacza tu sprz˛e˙zenie zespolone.
c) Macierz operatora w bazie zło˙zonej z jego wektorów własnych jest diagonalna,
a na głównej przek ˛

atnej s ˛

a jego warto´sci własne.

d) Wektory własne operatora samosprz˛e˙zonego maj ˛

ace ró˙zne warto´sci własne s ˛

do siebie prostopadłe.

24. Uwaga. Zobacz, ˙ze dzi˛eki własno´sci z pkt. 23.b mo˙zemy sprz˛ega´c po

hermitowsku nie tylko macierze kwadratowe. Wystarczy zamieni´c wiersze z ko-
lumnami (transponowa´c) oraz sprz ˛

ac zespolenie współrz˛edne. Mo˙zna to zrobi´c

nawet dla wektora:

∗

























∗

= (

, . . .

)

Zeby zobaczy´c co uzyskali´smy, pomnó˙zmy macierzowo

∗

przez wektor

∗

i = (

, . . .

)











 =

∑

WIADOMO ´

SCI OGÓLNE

To co mamy to rozpisanie iloczynu skalarnego

i w bazie ortonormalnej. St ˛ad

wniosek:

∀

∈

∗

i = h

i ⇒ [|

∗

= h

25. Teraz wa˙zna informacja: Operatory samosprz˛e˙zone s ˛

a odpowiedzialne za

wielko´sci obserwowane w eksperymentach. Nazywane s ˛

a one obserwablami albo

po prostu wielko´sciami fizycznymi czy mierzalnymi (s ˛

a to p˛ed, poło˙zenie, energia

kinetyczna, moment p˛edu i wiele innych

26. Zanim dokładnie okre´slimy jak wygl ˛

ada obserwabla w mechanice kwan-

towej, dwa słowa o tym jak zbudowana jest wielko´s´c mierzalna w mechanice kla-
sycznej. Tam, jest to funkcja na przestrzeni p˛edów i poło˙ze´n, czyli na przestrzeni
fazowej

, np. energia kinetyczna:

T :

∋ (r,p) 7−→

∈ R

czy i-ta współrz˛edna momentu p˛edu:

∋ (r,p) 7−→

∑

i jk

∈ R

27. Obserwable w mechanice kwantowej najcz˛e´sciej budowane s ˛

a na obraz i

podobie´nstwo mechaniki klasycznej, a czasami s ˛

a zgadywane. Ale zawsze speł-

niony jest jeden warunek: Obserwabl˛e opisuje liniowy operator hermitowski.

Oto cz˛e´sciowa odpowied´z na pytanie, jak znajdowa´c obserwable: Bierzemy

wielko´s´c fizyczn ˛

a z mechaniki klasycznej i tam, gdzie jest p i x, wstawiamy ope-

ratory (22). Zobaczmy, jak to działa dla hamiltonianu H

+V (r). Podstawmy

zamiast p˛edów pochodne cz ˛

astkowe (22). Najpierw obliczmy ˆp

ˆp

= ˆp

+ ˆp

= (−i~

∂

)(−i~

∂

) + (−i~

∂

)(−i~

∂

) + (−i~

∂

)(−i~

∂

) =

= −~

∂

− ~

∂

− ~

∂

= −~

∆

Podstawmy te wyniki do hamiltonianu:

−~

∆

+V (r)

(27)

28. Wiemy, ˙ze współrz˛edne wektora zale˙z ˛

a od wyboru bazy. Musimy si˛e

nauczy´c jak zmienia´c współrz˛edne, kiedy zmieniamy baz˛e. Korzystaj ˛

ac z zapisu

Rzeczywisto´s´c jest zwykle bardziej pogmatwana od prostych modeli. W mechanice kwantowej nie

ma w tym spisie temperatury, czasu czy wielko´sci elektrycznych, co do których brak jasno´sci. Ogólnie
w mechanice kwantowej wyst˛epuj ˛

a te obserwable, które s ˛

a i w mechanice klasycznej (a nawet nieco

wi˛ecej np. spin).

WIADOMO ´

SCI OGÓLNE

braketowego łatwo to robi´c. Kiedy mamy baz˛e zło˙zon ˛

a z wektorów własnych

danego operatora, to mówimy, ˙ze „pracujemy w jego reprezentacji” (mówimy o
reprezentacji poło˙zeniowej, p˛edowej, energetycznej itd.). Dlatego zmiana bazy w
mechanice kwantowej nazywa si˛e zmian ˛

a reprezentacji. Mamy dla przykładu bazy

|ai i |bi; nasz wektor ma znane współrz˛edne w pierwszej bazie; nasze zadanie
polega na znalezieniu jego współrz˛ednych w drugiej bazie.

i =

∑

|ai

−→

i =

∑

|bi

Spróbujmy rozpisa´c wzór po lewej stronie wstawiaj ˛

ac przed wektor

|ai operator

jednostkowy I

∑

|bihb|:

i =

∑

|bihb|ai =

∑

hb|ai

|bi.

czyli nowa współrz˛edna wynosi:

∑

hb|ai

(28)

29. Zatrzymajmy si˛e na chwil˛e przy reprezentacji poło˙zeniowej (˙zeby było

pro´sciej – dla jednego wymiaru). Mamy baz˛e

|xi. (Pami˛etajmy, ˙ze nazwy wek-

torów bazy s ˛

a takie same jak warto´sci własnych.) Musimy nieco zmodernizowa´c

nasz formalizm, bo kiedy warto´sci własne tworz ˛

a zbiór ci ˛

agły, wtedy zamiast sum:

i =

∑

|ai piszemy całki: |

i =

(x)|xi. Zauwa˙z, ˙ze nieco inaczej zapi-

suje si˛e te˙z współrz˛edne wektorów:

hx|

i ≡

(x) ≡

. Poniewa˙z „wektory”

|xi

s ˛

a nienormowalne, trzeba wymy´sli´c inny warunek ortonormalno´sci. Zagl ˛

adnij do

pkt. 22, a mo˙ze si˛e domy´slisz, jak to trzeba zrobi´c.

30. Podsumujmy te wszystkie ró˙znice:

widmo dyskretne

widmo ci ˛

agłe

i =

∑

|ai

rozkład w bazie

i =

(x)|xi

= ha|

współrz˛edne

≡

(x) = hx|

ha|a

′

i =

′

ortonormalno´s´c

hx|x

′

i =

(x − x

′

)

∑

|aiha|

operator jednostkowy

|xihx|

31. Zobaczmy, jak wygl ˛

ada warunek ortonormalno´sci dla funkcji własnych

p˛edu i obliczmy stał ˛

a normuj ˛

ac ˛

a N z pkt.21 :

(p − p

′

) = hp|p

′

i = ...( wstawiamy jedynk˛e I =

|xihx|)...

hp|

|xihx|p

′

i =

hp|xihx|p

′

i = ...

Znamy z pkt.21 funkcj˛e własn ˛

a p˛edu (a wła´sciwie jej współrz˛edn ˛

hx|pi ):

(x) = hx|pi = Ne

ipx

⇒

hp|xi = hx|pi = Ne

−ipx

Po podstawieniu:

. . .

= N

dx e

−ipx

ip′x

= N

dx e

(p′−p)x

= . . .

WIADOMO ´

SCI OGÓLNE

wprowad´zmy now ˛

a zmienn ˛

a ˜

i skorzystajmy ze wzoru

dx e

ixy

= 2

πδ

(y):

. . .

= N

d ˜

x e

′

−p) ˜x

= N

πδ

(p − p

′

)

⇒

Dla trzech wymiarów ta stała (oblicz to sam) wynosi: N

(

)

≡

3
2

32. Teraz korzystaj ˛

ac z pkt. 28-31 przejd´zmy od reprezentacji poło˙zeniowej

do p˛edowej. Zapisuj ˛

ac wzór (28) (ze zmian ˛

a sumy na całk˛e) uzyskamy wyra˙zenie

na współrz˛edn ˛

a funkcji falowej w reprezentacji p˛edowej:

(p) =

(x)hp|xi = ...(z pkt. 31)... =

(x)e

−ipx

(32)

Widzimy, ˙ze przej´scie to jest równowa˙zne transformacie Fouriera.

33. Zadanie. Przepisz wzór (32) dla przestrzeni trójwymiarowej.
34. Zadanie. Przejd´z z reprezentacji energetycznej (baza to wektory

|ni, gdzie

|ni = E

|ni) do reprezentacji poło˙zeniowej i na odwrót.

i =

∑

|ni

−→ |

i =

(x)|xi

(x) =?

i =

(x)|xi −→ |

i =

∑

|ni

Wskazówka: Rozpatrz jak było to robione dla ogólnego przypadku w pkt. 28-32.

1.4

Pomiary

35. Wyobra´zmy sobie, ˙ze mamy układ fizyczny opisany stanem

. B˛edziemy

wykonywa´c pomiar jakiej´s wielko´sci fizycznej na owym stanie. Musimy mie´c do
tego operator hermitowski A, który odpowiada naszej wielko´sci. Nasuwa si˛e py-
tanie: jaki b˛edzie wynik pomiaru? Trudno dokładnie odpowiedzie´c na to pytanie.
W rzeczywistych do´swiadczeniach przy wielokrotnych pomiarach tej samej obser-
wabli na takim samym stanie uzyskamy zwykle ró˙zne wyniki! Istnie jednak kilka
zasad, które podsuwa nam mechanika kwantowa, a które s ˛

a pomocne przy opisie

pomiarów.

36. Oto pierwsza zasada: Mo˙zliwe wyniki pomiaru jakiej´s wielko´sci fizycz-

nej s ˛

a takie same, jak elementy widma odpowiedniego operatora samosprz˛e-

˙zonego. Spróbujmy to rozszyfrowa´c. Widmo operatora to zbiór warto´sci wła-

snych, czyli: dana liczba mo˙ze by´c wynikiem pomiaru tylko wtedy, gdy jest ona
warto´sci ˛

a własn ˛

a odpowiedniego operatora (pod warunkiem, ˙ze dobrze wybrali-

´smy operator). Np. ˙zeby znale´z´c mo˙zliwe energie, trzeba rozwi ˛

aza´c równanie

(tutaj dane jest H a szukane E

|ni):

|ni = E

|ni

(36.a)

WIADOMO ´

SCI OGÓLNE

Otrzymane liczby E

s ˛

a wła´snie wynikami pomiaru energii. Dla dowolnej obser-

wabli A jej mo˙zliwe pomiary pochodz ˛

a z rozwi ˛

azania równania:

|ai = a|ai

(36.b)

37. Oczywi´scie, w zale˙zno´sci od tego, jaki mierzymy stan, ró˙zne wyniki b˛ed ˛

si˛e pojawia´c z ró˙znym prawdopodobie´nstwem. Oto przepis pozwalaj ˛

acy na znale-

zienie tych prawdopodobie´nstw: Rozkładamy wektor

i w bazie wektorów wła-

snych naszej obserwabli. Patrzymy, jaka jest współrz˛edna stoj ˛

aca przy wektorze

bazowym

|ai. Kwadrat modułu tej współrz˛ednej oznacza prawdopodobie´nstwo

tego, ˙ze uzyskamy warto´s´c a. Zajrzyj do pkt. 10 i zobacz w jaki sposób znajdu-
jemy współrz˛edne maj ˛

ac wektor. Otrzymasz wtedy wniosek: Prawdopodobie ´n-

stwo tego, ˙ze w wyniku pomiaru obserwabli A na stanie

otrzymamy warto´s´c

a jest nast˛epuj ˛

ace: P

(A, a) = |ha|

. W przypadku energii dostaniemy wzór:

(H, E

) = |hn|

38. W przypadku widma ci ˛

agłego nie mówimy o prawdopodobie´nstwach lecz

o g˛esto´sciach prawdopodobie´nstw. We˙zmy na przykład poło˙zenie x. Widmo tego
operatora to wszystkie liczby rzeczywiste. Wielko´s´c

|hx|

≡ |

(x)|

jest g˛esto-

´sci ˛

a prawdopodobie´nstwa tego, ˙ze cz ˛

astka b˛edzie zmierzona w punkcie x (mówi

si˛e, ˙ze jest to g˛esto´s´c znalezienia cz ˛

astki).

39. Je´sli chcemy zna´c prawdopodobie´nstwo takiego zdarzenia, ˙ze mierzona

cz ˛

astka znajdzie si˛e w obszrze W , to musimy wycałkowa´c nasz ˛

a g˛esto´s´c prawdo-

podobie´nstwa:

(x,W ) =

(x)|

Wida´c od razu, ˙ze stany fizyczne to te wektory w

, które spełniaj ˛

a warunek unor-

mowania stanów: Całka po wszystkich poło˙zeniach musi da´c zdarzenie pewne. Je-

´sli mamy cz ˛

astk˛e, to musi ona by´c w przestrzeni poło˙ze´n z prawdopodobie´nstwem

40. Podobnie ma si˛e rzecz z p˛edem. Nale˙zy tylko przej´s´c do reprezentacji

p˛edowej i tam bada´c te prawdopodobie´nstwa. Spróbuj to zrobi´c.

41. Kiedy mamy ró˙zne pomiary tej samej wielko´sci w tym samym stanie,

pojawia si˛e pytanie o ´sredni ˛

a z wyników. I na to pytanie mechanika kwantowa

odpowiada. Warto´sci ˛

a ´sredni ˛

a obserwabli A w stanie

i jest wielko´s´c hAi =

|A|

42. Zadanie. We´zmy stan b˛ed ˛

acy wektorem własnym obserwabli A do war-

to´sci a. Oblicz, jakie jest prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze pomiar wielko´sci A da
wynik a. Odp: 1. Oblicz te˙z prawdopodobie´nstwo otrzymania innego wyniku.
Odp: 0. Oblicz ´sredni ˛

a tego operatora w stanie a. Takie stany daj ˛

a zawsze ten sam

wynik przy pomiarze A. Dlatego te˙z mówimy, ˙ze maj ˛

a ´sci´sle okre´slon ˛

a warto´s´c A.

Np. Stany własne energii maj ˛

a ´sci´sle okre´slon ˛

a energi˛e.

43. Istnieje jeszcze jeden postulat dotycz ˛

acy pomiaru: Po pomiarze stan

przechodzi w stan własny mierzonej obserwabli do warto´sci własnej uzyska-

WIADOMO ´

SCI OGÓLNE

nej w pomiarze. O ile wszystkie poprzednie zasady dało si˛e umie´sci´c w formali´z-
mie matematycznym, tak to ˙z ˛

adanie nie jest w zadowalaj ˛

acy sposób zrealizowane

w aparacie mechaniki kwantowej.

44. Skoro ci ˛

agle porównujemy mechanik˛e kwantow ˛

a i klasyczn ˛

a zobaczmy,

co na temat pomiarów mówi mechanika klasyczna. Otó˙z tam problem pomiaru
nie istnieje. Maj ˛

ac bowiem stan

(r, p) (punkt w przestrzeni fazowej

) i mierzon ˛

wielko´s´c f (funkcja na

), wystarczy obliczy´c warto´s´c f w punkcie

(r, p)

. Np.

energia w danym stanie mamy:

∋ E(r,p) =

+V (r)

1.5

Równanie Schrödingera

45. Podsumujmy, co zbudowali´smy do tej pory:

– wybieramy przestrze´n Hilberta

≡ zbiór stanów;

– przyporz ˛

adkowujemy operatory wielko´sciom fizycznym;

– mo˙zemy znale´z´c mo˙zliwe wyniki pomiaru danej wielko´sci;
– mo˙zemy okre´sla´c warto´sci ´srednie danych obserwabli;
– maj ˛

ac stan, umiemy oblicza´c prawdopodobie´nstwa mo˙zliwych wyników po-

miaru.
Teraz okre´slimy, jak przewidzie´c zachowanie stanu w przyszło´sci.

46. Zobaczmy, jak robi to mechanika klasyczna. Dla niej stany to punkty w

przestrzeni fazowej

∋ (r

, p

)

7−→

, p

) ∈

stan

ewolucja czasowa

stan

pocz ˛

atkowy

wynika z równa´n

w czasie t

Hamiltona

Maj ˛

ac równanie Hamiltona mo˙zemy obliczy´c, jak poło˙zenie i p˛ed zmienia si˛e w

czasie.

47. Schemat działania w mechanice kwantowej jest podobny. Tu jednak stany

s ˛

a wektorami w

. Równie˙z równanie na rozwój stanu w czasie jest nieco inne.

Nazywa si˛e ono równaniem Schrödingera.

∋

7−→

∈

stan

ewolucja czasowa

stan

pocz ˛

atkowy

wynika z równania

w czasie t

Schrödingera

Niejednoznaczno´s´c zapisu, która jest w mechanice kwantowej (zmienne zapisuje si˛e tymi samymi

literami co operatory) pojawia si˛e tak˙ze w mechanice klasycznej. Np. x oznacza współrz˛edn ˛

a punktu

przestrzeni fazowej (czy konfiguracyjnej), a jednocze´snie tak samo zapisuje si˛e funkcj˛e na przestrzeni
fazowej (konfiguracyjnej) przyporz ˛

adkowuj ˛

ac ˛

a punktowi jego x-ow ˛

a współrz˛edn ˛

a poło˙zenia. Podyk-

towane jest to wygod ˛

a (mniej u˙zytych liter) i przyzwyczajeniem (ró˙znice te gdy si˛e o nich wie, nie

sprawiaj ˛

a kłopotu)

WIADOMO ´

SCI OGÓLNE

Oto jak wygl ˛

ada to równanie

∂

= H

(47)

Czyli ewolucj˛e czasow ˛

a stanów wyznacza równanie Schrödingera (47). Wiel-

ko´s´c H nazywana jest hamiltonianem lub operatorem energii. Typowy hamiltonian
podali´smy w pkt. 27, ale czasami (w zale˙zno´sci od sytuacji) trzeba b˛edzie znajdo-
wa´c inne operatory energii.

48. Rozwi ˛

a˙zmy to równanie w najprostszych przypadkach.

Wyobra´zmy sobie, ˙ze wybrali´smy stan pocz ˛

atkowy który jest stanem własnym

hamiltonianu

: H

= E

Zadanie. Poka˙z, ˙ze wektor

= e

−iEt

jest rozwi ˛

azaniem równania (47)

Wskazówka: Podstaw

do (47) i sprawd´z, ˙ze lewa strona równa si˛e prawej. Trzeba te˙z

pokaza´c, ˙ze spełniony jest warunek pocz ˛

atkowy

Zauwa˙z, ˙ze zale˙zno´s´c od czasu wyst˛epuje tylko w wykładniku fazowym. Zasta-
nów si˛e, dlaczego takie stany nazywaj ˛

a si˛e stacjonarne? Cz˛e´sciowa odpowied´z

na to pytanie znajduje si˛e w pkt. 6-12, w rozdziale dotycz ˛

acym atomu wodoru.

Porównaj tamte wyprowadzenie z niniejszym podpunktem.

49. A oto drugi prosty przykład. Załó˙zmy, ˙ze mamy baz˛e zło˙zon ˛

a z wektorów

własnych hamiltonianu (reprezentacja energetyczna): H

|ni = E

|ni.

Rozkładamy dowolny wektor pocz ˛

atkowy w tej bazie:

i =

∑

|ni

Udowodnij ˙ze

i =

∑

−iEnt

|ni

(49)

Rozwi ˛

azanie wygl ˛

ada analogicznie jak w pkt. 48. W ten sposób mo˙zemy znaj-

dowa´c ewolucj˛e czasow ˛

a dowolnych stanów. Jest to jednak trudne, bo suma (49)

rzadko da si˛e policzy´c.

50. Uwaga. Czas t wyst˛epuje w mechanice kwantowej jako parametr, a nie

jako zmienna. Mimo to zapisuj ˛

ac funkcj˛e falow ˛

(r), piszemy cz˛esto

(r,t).

Trzeba jednak pami˛eta´c, ˙ze wbrew temu zapisowi dziedzin ˛

a funkcji falowej, czyli

naszego wektora z

, s ˛

a jedynie poło˙zenia.

Taka posta´c ewolucji ma miejsce pod warunkiem, ˙ze nie wykonywano ˙zadnych pomiarów. Zobacz

uwag˛e w pkt.43.

MOMENT P ˛

EDU

Moment p ˛edu

2.1

Wst ˛ep

1. Jedn ˛

a z ciekawszych wielko´sci w mechanice kwantowej jest znany nam z

mechaniki klasycznej moment p˛edu. W mechanice kwantowej jest on reprezen-
towany przez trzy operatory hermitowskie: J

, i

= 1, 2, 3. Spełniaj ˛

a one warunek

poni˙zej (jest to definicja operatorów momentu p˛edu):

, J

] = i~

∑

i jk

(1)

Cz˛esto oznacza si˛e te˙z J

≡ J

, J

≡ J

, J

≡ J

. W wyra˙zeniu tym wyst˛epuje

komutator czyli

[A, B] ≡ AB − BA. Natomiast wyra˙zenie

i jk

nazywa si˛e symbolem

zupełnie symetrycznym zdefiniowanym nast˛epuj ˛

aco:

123

= 1,

i jk

= −

jik

oraz

i jk

= −

ik j

2. Zadanie. Obliczy´c ile wynosi

132

312

321

. Wida´c, ˙ze je´sli który´s z

indeksów powtarza si˛e, to wyra˙zenie

i jk

jest równe zero:

iik

= . . . (zamieniamy kolejno´s´c indeksów i, i) . . . = −

iik

po przeniesieniu na jedn ˛

a stron˛e mamy: 2

iik

= 0 ⇒

iik

= 0.

3. Teraz mo˙zemy zobaczy´c, jak wygl ˛

ada wzór (1) dla i

= 1, j = 2.

, J

] = i~

∑

i jk

= i~(

121

122

123

) = i~J

4. Zadanie. Podobnie oblicz:

, J

] = . . .

, J

] = . . .

, J

] = . . .

, J

] = . . .

, J

] = . . .

5. Dlaczego wła´snie wzór (1) ma opisywa´c operatory momentu p˛edu? W

mechanice klasycznej mamy wielko´s´c wektorow ˛

a nazywan ˛

a w ten sposób:

= r × p

Jest to tzw. orbitalny moment p˛edu. Nazwa jest taka, bo opisuje on moment p˛edu
cz ˛

astki kr ˛

a˙z ˛

acej wokół jakiego´s punktu.

6. Wzór na L po rozpisaniu we współrz˛ednych wygl ˛

ada nast˛epuj ˛

aco:

= yp

− zp

= zp

− xp

= xp

− yp

(6)

Pojawiły si˛e cykliczne permutacje wska´zników x, y, z; nasuwa si˛e podejrzenie, ˙ze
mo˙ze mie´c z tym co´s wspólnego symbol

i jk

. Mówi o tym poni˙zsze zadanie:

Symbol ten równie˙z we wzorze na rotacj˛e:

(rotA)

∑

i j

i jk

∂

czyli np:

(rotA)

∂

−

∂

Czasami rotacj˛e zapisuje si˛e jako iloczyn wektorowy z nabl ˛

a: rotA

∇

× A, a w definicji iloczynu

wektorowego tkwi symbol

123

(A × B)

∑

i j

123

MOMENT P ˛

EDU

7. Zadanie. Rozpisa´c wzór L

∑

i j

i jk

i uzyska´c wzór (6).

8. Spróbujmy zapisa´c, jak wygl ˛

adaj ˛

a operatory orbitalnego momentu p˛edu w

mechanice kwantowej. Wiemy, ˙ze operatory poło˙zenia ˆ

x, ˆ

y, ˆz to po prostu prze-

mno˙zenie

(r) przez zmienne x, y, z.

( ˆx

)(r) = x

(r),

( ˆy

)(r) = y

(r),

(ˆz

)(r) = z

(r)

(8.a)

Operator p˛edu ˆ

to ró˙zniczkowanie w kierunku zmiennej j:

( ˆp

)(r) = −i~

∂

(r), ( ˆp

)(r) = −i~

∂

(r), ( ˆp

)(r) = −i~

∂

(r) (8.b)

Czyli ogólnie:

( ˆp

)(r) = −i~

∂

(r).

9. Teraz mo˙zna jawnie zapisa´c wyra˙zenie na L

= yp

− zp

= y(−i~

∂

) − z(−i~

∂

) = −i~

∂

− z

∂

(9)

10. Zadanie. Zapisz L

i L

w postaci (9).

11. Zadanie. Oblicz komutator

, p

Wskazówka: Rozpisz komutator i podziałaj nim na jak ˛

a´s dowoln ˛

a funkcj˛e falow ˛

. Pod-

staw posta´c operatorów x i p z punktu (8). Zró˙zniczkuj iloczyn funkcji x

. Odejmij to co

si˛e da. Rozparz przypadek kiedy i

= j i i 6= j. poniewa˙z masz równo´s´c dla dowolnego

to z tego otrzymasz, ˙ze:

Odp:

, p

] = i~

i j

(11)

Widzimy, ˙ze x jest przemienny (komutuje) z y-kow ˛

a składow ˛

a p˛edu, czyli xp

x, ale jest ju˙z inaczej dla tych samych współrz˛ednych p˛edu i poło˙zenia: xp

+ p

x. Pami˛etajmy o tych relacjach komutacji, bo przydadz ˛

a si˛e w nast˛epnym

punkcie. Oczywi´scie poło˙zenia komutuj ˛

a ze sob ˛

a (xy

= yx), podobnie zreszt ˛

a jak

p˛edy (operatory p˛edu to pochodne cz ˛

astkowe – z analizy wiadomo, ˙ze pochodne

cz ˛

astkowe s ˛

a przemienne).

12. Teraz ju˙z mo˙zemy odpowiedzie´c na pytanie z pkt. 5.

O własno´sciach kwantowych danych wielko´sci fizycznych mo˙zna nieraz du˙zo po-
wiedzie´c, gdy wiemy jak jak wygl ˛

adaj ˛

a ich komutatory. (Zobacz na przykład

uwag˛e w punkcie 14). Dlatego te˙z wielko´sci, które komutuj ˛

a podobnie, maj ˛

a po-

dobne własno´sci. Zobaczmy wi˛ec, jak komutuj ˛

a ze sob ˛

a operatory L

(oka˙ze si˛e,

˙ze dokładnie tak jak we wzorze (1)). Na pocz ˛

atek zbadajmy, czemu równa si˛e

komutator L

i L

, L

] = L

− L

= (yp

− zp

)(zp

− xp

) − (zp

− xp

)(yp

− zp

) = . . .

− yp

− zp

+ zp

− zp

+ zp

+ xp

− xp

= . . .

MOMENT P ˛

EDU

Poprzestawiajmy poło˙zenia przed p˛edy (tam gdzie to mo˙zliwe):

= yp

− yxp

− z

+ zp

− zp

+ z

+ xyp

− xp

= . . .

Zauwa˙z, ˙ze podkre´slone wyrazy skracaj ˛

a si˛e, bo przecie˙z xy

= yx, podobnie jest z

p˛edami p

= p

. Zostaj ˛

a nam cztery wyrazy:

. . .

= yp

+ zxp

− zyp

− xp

= . . .

Poprzestawiajmy jeszcze nieco p˛edy i poło˙zenia (uzasadnij, dlaczego mogli´smy je
tak zapisa´c):

= xp

− xp

− yp

+ yp

= xp

[z, p

] − yp

[z, p

] =

. . .

(ale [z, p

] = i~) . . . = xp

− yp − xi~ = i~(xp

− yp

) = i~J

13. Zadanie. Wzoruj ˛

ac si˛e na wyprowadzeniu w pkt. 12 wyprowad´z koniecz-

nie wyra˙zenie na:

, L

] = . . . ,

, L

] = . . .

Je´sli zrobisz to zadanie, to zobaczysz, ˙ze L

spełniaj ˛

a warunek (1).

14. Uwaga. Je´sli operatory komutuj ˛

[A, B] = 0 ⇔ AB = BA, to wtedy odpo-

wiadaj ˛

ace im wielko´sci fizyczne mo˙zna mierzy´c dokładnie i jednocze´snie. Ma to

swoje odzwierciedlenie w zasadzie nieoznaczono´sci.

∆

≥

|h[A,B]i|

(14)

Gdzie

∆

h(A − hAi)

i to nieoznaczono´s´c (bł ˛ad pomiarowy wielko´sci A, a

´srednia

hAi = (

, A

) ← to ´srednia warto´s´c z wielko´sci A w stanie

. Wida´c, ˙ze

nie mo˙zna jednocze´snie dokładnie zmierzy´c dwóch składowych momentu p˛edu,
bo

, L

] = i~L

6= 0.

15. Uwaga. b˛edziemy wyprowadza´c własno´sci ogólnych operatorów J

, ko-

rzystaj ˛

ac ze zwi ˛

azków (1). To, co udowodnimy, b˛edzie słuszne dla dowolnych

operatorów spełniaj ˛

acych (1) w tym równie˙z dla orbitalnego momentu p˛edu L

16. Definicja J

: Zdefiniujmy kwadrat operatora J

= (J

, J

), tak jak kwa-

drat ka˙zdego wektora w R

: a

= a

+ a

, bior ˛

ac po prostu kwadraty jego

współrz˛ednych:

= J

+ J

B˛edziemy oblicza´c jak komutuje kwadrat J

z dowoln ˛

a współrz˛edn ˛

a np. J

, J

] = [J

+ J

, J

] = [J

, J

] + [J

, J

] + [J

, J

] = . . .

(16)

17. Obliczmy najpierw

, J

] = [J

, J

] = J

, J

] + [J

, J

= −J

[J − 3,J

] − [J

, J

= −i~(J

+ J

MOMENT P ˛

EDU

18. Zadanie. Samodzielnie oblicz

, J

] = . . . i [J

, J

] = . . . ← to proste,

dlaczego?

19. Ci ˛

ag dalszy (16). Podstawiaj ˛

ac wyniki z pkt. 17-18 do wzoru (16) otrzy-

mamy:

, J

] = [J

, J

] + [J

, J

] + [J

, J

] = . . . (podstawiamy) . . . =

. . .

= i~(J

+ J

) + i~(J

+ J

) = 0

(19)

20. Zadanie. Podobnie jak w pkt. 16-18 oblicz:

, J

] = . . ., i [J

, J

] = . . .

Odp: W obu przypadkach komutator równy zero. Wida´c, ˙ze mo˙zna jednocze´snie
mierzy´c kwadrat momentu p˛edu (czyli jego długo´s´c, bo

|J| =

√

) oraz dowoln ˛

ale za to tylko jedn ˛

a współrz˛edn ˛

2.2

Warto ´sci własne momentu p ˛edu

21. Zacznijmy od twierdzenia:

Twierdzenie

. Je˙zeli dwa operatory komutuj ˛

a, to maj ˛

a maj ˛

a wspólne wektory

własne:

[A, B] = 0 ⇒ ∃

αβ

: A

αβ

αψ

αβ

, B

αβ

βψ

αβ

22. Wniosek: Operatory J

i J

te˙z maj ˛

a wspólne wektory własne.

αψ

i J

βψ

Fizyczny wymiar momentu p˛edu jest taki sam jak stałej Plancka, wi˛ec wygodnie
jest zapisa´c

= ~

= ~m, wtedy

i m s ˛

a po prostu liczbami bezwymiaro-

wymi. Wszystkie mo˙zliwe

numeruje si˛e w ksi ˛

a˙zkach liter ˛

a (indeksem) j. Tak

wi˛ec:

= ~

i J

= ~m

(22)

Zwykle

oznacza si˛e

| j,mi w zapisie braketowym. Zobaczmy, jakie mog ˛a by´c

i m.

23. Na pocz ˛

atek wprowadzimy przydatne operatory: J

= J

+ iJ

≡ J

+ iJ

−

= J

− iJ

≡ J

− iJ

(23)

Zeby lepiej si˛e z nimi zapozna´c, obliczmy

, J

] = [J

, J

+ iJ

] = [J

, J

] + i [J

, J

] = i~J

+ (i~)(−J

) =

(iJ

+ J

) = ~(J

+ iJ

) = ~J

Dowód tego twierdzenia znajduje sie w ksi ˛

a˙zce L. D. Landaua i E. M. Lifszyca Mechanika kwan-

towa. Teoria nierelatywistyczna na str. 43–44. Jest to jednak na tyle istotne twierdzenie, ze prawdopo-
dobnie w twojej ksi ˛

a˙zce z mechaniki kwantowej te˙z co´s nieco´s jest na jego temat napisane.

MOMENT P ˛

EDU

24. Zadanie. Oblicz

, J

−

] = . . ., Odp:. . . = −~J

−

25. Teraz inne własno´sci J

i J

−

| j,mi = ([J

, J

] + J

)| j,mi = (~J

+ J

)| j,mi =

= ~J

| j,mi + J

| j,mi = ~(m + 1)(J

| j,mi)

Zatem J

| j,mi te˙z jest wektorem własnym operatora J

(czyli J

), ale do warto´sci

własnej ~

(m + 1). Mo˙zemy powiedzie´c, ˙ze operator J

zwi˛eksza liczb˛e kwantow ˛

m wektora

| j,mi o jeden.

26. Tak jak w pkt. 25 poka˙z, ˙ze J

−

zmniejsza liczb˛e m wektora

| j,mi o

jeden.

27. Ciekawe, czy operatory J

zmieniaj ˛

a liczb˛e kwantow ˛

a j? Aby odpo-

wiedzie´c na to pytanie, trzeba rozwi ˛

aza´c zadanie: Rozpisuj ˛

ac J

i korzystaj ˛

ac z

poprzedniego zadania oblicz komutatory:

, J

=. . . i

, J

−

= . . ., Odp: Oba

komutatory s ˛

a równe zero. Teraz obliczymy, czy J

| j,mi jest wektorem własnym

, a je´sli tak, to do jakiej warto´sci własnej?

| j,mi = J

| j,mi =

| j,mi)

Widzimy, ˙ze wektor J

| j,mi jest wektorem własnym operatora J

z tak ˛

a sam ˛

warto´sci ˛

a własn ˛

a, jak wektor

| j,mi. Czyli J

nie zmienia liczby kwantowej j.

28. Zadanie. Tak jak w pkt. 27 poka˙z, ˙ze J

−

nie zmienia liczby kwantowej j.

29. Podsumujmy wiadomo´sci o operatorach J

| j,mi = c

j,m

| j,m + 1i

−

| j,mi = d

j,m

| j,m − 1i,

gdzie c

j,m

i d

j,m

s ˛

a jakimi´s liczbami. Je´sli tego nie widzisz, dokładnie przeanalizuj

pkt. 25-28.

30. Zadanie. Oblicz jak wyra˙za si˛e J

przez operatory J

, J

−

i J

. Aby to

zrobi´c, oblicz:

−

= . . . = J

+ J

+ i [J

, J

] = . . . = J

− J

− ~J

31. Twierdzenie: Dla dowolnego operatora A i dla dowolnego wektora

mamy:

(

, A

∗

) ≥ 0

Dowód:

(

, A

∗

) = (A

, A

) = . . .(niech

= A

). . . = (

) ≥ 0.

Przykład:A

= J

wtedy J

−

= J

∗

← mo˙zesz to spawdzi´c! Czyli stosuj ˛ac to twier-

dzenie dostaniemy

∀

(

, J

−

) ≥ 0

32. Wyprowad´zmy w ko´ncu pierwszy wniosek dotycz ˛

acy

i m. Zastosujmy

Tw. 31 dla

= | j,mi:

≤ h j,m|J

−

| j,mi = ...(z zad.30)...h j,m|J

− J

− ~J

| j,mi =

MOMENT P ˛

EDU

= h j,m|J

| j,mi − h j,m|J

| j,mi − ~h j,m|J

| j,mi = ...(z pkt.22)... =

h j,m| j,mi − ~

h j,m| j,mi =

[

− m(m + 1)] ⇒ 0 ≤

− m(m + 1)

czyli

≥ m(m + 1)

(32)

33. Na´sladuj ˛

ac pkt. 32 mo˙zesz obliczy´c, jak wygl ˛

ada inny warunek na

i m. W tym celu oblicz J

−

= . . ., wynik . . . = J

− J

+ ~J

. Potem obło˙z to

wyra˙zenie wektorami

| j,mi i uzyskaj odpowied´z:

≥ m(m − 1)

(33)

34. Uwaga. Zauwa˙z, ˙ze działaj ˛

ac wielokrotnie operatorem J

| j,mi zwi˛e-

kszamy m, a nie zwi˛ekszamy

. St ˛

ad wynika, ˙ze je´sli dostatecznie du˙zo razy

podziałamy J

| j,mi, to m(m + 1) stanie si˛e wi˛eksze od

, co przeczy pkt. 32.

Aby nie otrzyma´c sprzeczno´sci, musi istnie´c takie k (maksymalne), ˙ze J

| j,ki =

0. Wtedy

(k + 1)k ≤

, ale

(k + 2)(k + 1) >

. Widzimy, ˙ze warto´sci m s ˛

ograniczone z góry przez warto´s´c k.

35. Zadanie. Udowodnij, ˙ze

≥ 0. Wskazówka: Skorzystaj z Tw. 31.

Po rozło˙zeniu J

= J

+ J

i obło˙zeniu wektorami

| j,mi otrzymamy:

= h j,m|J

| j,mi =

∑

h j,m|J

| j,mi

ale

h j,m|J

| j,mi ≥ 0 z Tw. 31, bo

∗

= J

36. Zadanie. Przeprowad´z dla operatora J

−

podobny ci ˛

ag rozumowania, jak

w pkt. 34 dla operatora J

i poka˙z, ˙ze dla ustalonego j mo˙zliwe warto´sci m s ˛

ograniczone z dołu. Zapisujemy to:

∃ k

′

: J

−

| j,k

′

= 0. Tutaj k

′

jest ujemne, ale

′

− 1) jest ju˙z dodatnie. Wraz z maleniem m, ro´snie m(m − 1).

37. We´zmy stan z maksymalnym m

= k dla ustalonego j. Wiemy, ˙ze J

| j,ki =

0, podziałajmy na ten wektor zerowy operatorem J

−

= J

−

| j,ki, wiemy jednak z zad. 30 : J

−

= J

− J

− ~J

czyli :

= J

−

| j,ki = (J

− J

− ~J

)| j,ki = (~

− ~

)| j,ki =

[

− k(k + 1)]| j,ki

⇒

= k(k + 1)

Poł ˛

aczyli´smy posta´c

z maksymaln ˛

a warto´sci ˛

a liczby m.

38. Zadanie. Tak samo jak w pkt. 37 działaj ˛

ac J

−

| j,k

′

i, gdzie k

′

– mini-

malna wart´s´c m, oblicz, ˙ze

= k

′

− 1)

39. Wniosek. Z pkt. 37-38 wynika, ˙ze k

(k + 1) = k

′

− 1). Uzasadnij, ˙ze

je´sli k > 0 i k

′

< 0, to musz ˛

a mie´c one takie same warto´sci bezwzgl˛edne. Czyli

′

= −k.

MOMENT P ˛

EDU

Szybki dowód: 0

= k

′2

− k

′

− k

− k = (k

′

+ k)(k

′

− k) − (k

′

+ k) =

′

− k − 1)(k + k

′

) = 0 ⇒ k + k

′

= 0.

Przyjmijmy wi˛ec teraz, ˙ze j

= k = |k

′

| i wtedy

= j( j + 1).

40. Pozostaje tylko okre´sli´c, jakie mog ˛

a by´c j i m (całkowite, wymierne,

rzeczywiste, a mo˙ze jeszcze inne?. . . ), bo wiemy ju˙z, ˙ze:

− j ≤ m ≤ j, czyli:

= m

max

= −m

min

. Poniewa˙z istnieje tylko jedno takie k, ˙ze J

| j,k >= 0

, to

działaj ˛

ac operatorem J

na stan

| j,k

′

i mo˙zna po sko´nczonej liczbie kroków uzy-

ska´c wszystkie mo˙zliwe

| j,mi dla ustalonego j:

| j,k

′

i >= (stała)| j,k

′

+ 1i

| j,k

′

i = (stała)| j,k

′

+ 2i

. . .

∃n :

| j,k

′

i = (stała)| j,k

′

+ ni = (stała)| j,ki

Czyli k

= k

′

+ n (wiemy, ˙ze |k

′

| = k) ⇒ n = 2k gdzie n jest całkowite. St ˛ad mamy

n
2

, czyli k

= j mo˙ze by´c tylko całkowite lub połówkowe.

41. Podsumowanie:
a) Mo˙zliwe warto´sci j

≥ 0 mog ˛a by´c całkowite lub połówkowe:

= 0,

, 1,

, 2. . .

(41.a)

b) Kolejne warto´sci m (dla ustalonego j) ró˙zni ˛

a si˛e o 1:

= − j,− j + 1,..., j − 1, j.

(41.b)

c) Takie widmo jest interpretowane nast˛epuj ˛

aco: Mo˙zliwe pomiary kwadratu

momentu p˛edu J

daj ˛

a warto´sci: ~

( j + 1)

czyli :

2 1

(1 +

1
2

) =

3
4

(1 + 1) = 2~

. . .

a pomiary rzutu momentu p˛edu na zadan ˛

a o´s (u nas z) J

daj ˛

a warto´sci: ~m

czyli dla ustalonego j :

−~ j, −~( j − 1), ... ~( j − 1), ~ j.

2.3

Przedstawienie macierzowe momentu p ˛edu

42. Wiemy, ˙ze maj ˛

ac baz˛e mo˙zna ka˙zdy operator liniowy przedstawi´c za po-

moc ˛

a macierzy. Spróbujmy obliczy´c, jak ona wygl ˛

ada dla J

, J

. Ustalmy

j wtedy tylko m mo˙ze si˛e zmienia´c. Wektory bazowe b˛edziemy przedstawia´c w

Gdyby było inaczej tzn. gdyby

∃s 6= k: J

| j,s >= 0, to doszliby´smy do sprzeczno´sci bo:

(k + 1) 6= s(s + 1) =

. Podobnie uzasadnia si˛e, ˙ze istnieje tylko jedno k

′

takie ˙ze: J

−

| j,k

′

= 0.

MOMENT P ˛

EDU

sposób nast˛epuj ˛

acy:

| j,mi =













← jedynka na m–tym miejscu

Dowolny wektor (o stałym j !)

i =

∑

=− j

| j,mi mo˙zna zapisa´c:

i =







−1

− j







Zauwa˙z, ˙ze numerujemy współrz˛edne troch˛e inaczej ni˙z zwykle. „Najni˙zsza”
współrz˛edna na indeks

− j, nast˛epna − j + 1, itd „najwy˙zsza” ma numer j.

43. Zadanie. Napisz, jak wygl ˛

ada macierz operatora J

: J

| j,mi = ~m| j,mi.

Odp : J







~ j

( j − 1)

. ..

−~ j







(43)

Je´sli tego nie widzisz, to jeszcze raz przeanalizuj, jak działa operator J

44. Zadanie. Widzimy, ˙ze macierz operatora J

jest przek ˛

atniowa. Zawsze

gdy bierzemy baz˛e zło˙zon ˛

a z wektorów własnych, operator ma niezerowe wyrazy

tylko na głównej przek ˛

atnej. Spróbuj to pokaza´c dla dowolnego operatora.

45. Zadanie. Korzystaj ˛

ac z wzoru (43) napisz, jak wygl ˛

ada macierz operatora

dla j

= 1.

Odp : J

= ~





−1





(45)

46. Znalezienie macierzy operatorów J

i J

nie jest ju˙z takie proste. Najpierw

znajd´zmy macierze dla J

. Wiemy, ˙ze

| j,mi = c

| j,m + 1i.

(46)

47. Znajd´zmy liczby c

. Sprz˛egnijmy po hermitowsku równo´s´c (46), otrzy-

mamy wtedy

h j,m|J

∗

= h j,m + 1| ¯c

(47)

Korzystamy z tego, ˙ze:

(A|

∗

= h

∗

. Zobacz uwag˛e w pkt. 24 w cz˛e´sci pierwszej samouczka

MOMENT P ˛

EDU

Poł ˛

aczmy bra-(47) i ket-(46):

h j,m|J

∗

| j,mi = |c

h j,m + 1| j,m + 1i

Czyli :

= h j,m|J

∗

| j,mi = ... (J

∗

= J

−

← było w zadaniu 30)

h j,m|J

− J

− ~J

| j,mi = ~

[ j( j + 1) − m(m + 1)]

⇒ c

= ~

( j + 1) − m(m + 1)

(48.a)

Teraz przepisujemy wzór (46) J

| j,mi = ~

( j + 1) − m(m + 1)| j,mi

48. Popatrz na t˛e równo´s´c i spróbuj napisa´c macierz operatora J













= c













⇒







j, j

−1

j, j

−2

. .. ...







(48.b)

Tylko jedna uko´sna linia nad przek ˛

atn ˛

a b˛edzie zaj˛eta, poniewa˙z J

podwy˙zsza

stopie´n m, a wi˛ec tylko wyrazy

)

m,m

(dla przej´s´c m

→ m + 1) s ˛a niezerowe.

Spróbuj to zrozumie´c, a zobaczysz jakie to proste!

49. Zadanie. Wykorzystuj ˛

ac wzór (48.a-b) napisz macierz J

dla j

= 1. Roz-

wi ˛

azanie:





1,0

−1





1,0

= ~

(1 + 1) + 0(0 + 1) = ~

√

−1

= ~

(1 + 1) − 1(−1 + 1) = ~

√

Tutaj indeksy przy c nie oznaczaj ˛

a współrz˛ednych macierzy J

! Pierwszy oznacza całko-

wity moment p˛edu, a drugi, na jaki wektor działa J

Czyli J





√





= ~

√









50. Zadanie. Na´sladuj ˛

ac pkt. 48 oblicz, jak wygl ˛

ada macierz J

−

. Nast˛epnie

tak jak w pkt. 49 napisz macierz J

−

dla j

= 1.

Odp : J

−

= ~

√









MOMENT P ˛

EDU

51. Maj ˛

ac macierze J

i J

−

łatwo obliczymy J

i J

= J

+ iJ

= J

+ iJ

−

= J

− iJ

podobnie :

− J

−

= −J

+ iJ

+ J

−

= 2J

− J

−

= 2iJ

czyli : J

1
2

+ J

−

)

czyli : J

− J

−

)

52. Zad. Obliczmy J

−

) =

√

























√









Teraz podobnie jak powy˙zej oblicz J

Odp : J

√





−i





53. Teraz, na´sladuj ˛

ac poprzednie punkty oblicz macierze J

dla j

1
2

. Teraz

otrzymamy macierz dwa na dwa. Jej elementy b˛edziemy numerowa´c indeksami
m

= ±

1
2

. Je´sli obliczyłe´s dobrze, otrzymasz macierze:

−i 0

−1

Zeby nie pisa´c wsz˛edzie

wprowadzono J

. Macierze

to tzw. macierze

Pauliego.

2.4

Spin

54. Cz ˛

astki fizyczne maj ˛

a dwa rodzaje momentów p˛edu: orbitalny – jego

definicja pojawiła si˛e ju˙z w pkt. 6-9; – oraz tzw. spinowy. Spin odpowiada ruchowi
wokół własnej osi. ˙

Zeby odró˙zni´c go od orbitalnego momentu p˛edu, zamiast J

oznaczamy go liter ˛

a s. Ka˙zda cz ˛

astka ma dany raz na zawsze całkowity spin. Tak

jak ka˙zdy moment p˛edu, mo˙ze on by´c liczb ˛

a całkowit ˛

a lub połówkow ˛

a. Du˙za

liczba cz ˛

astek (np. elektron, proton, neutron) ma spin

|s| = ~

1
2

(1 +

1
2

). Opisuje

si˛e go za pomoc ˛

a wprowadzonych w poprzednim punkcie macierzy Pauliego:

Zbadajmy kilka własno´sci tych macierzy:

MOMENT P ˛

EDU

55. Zadanie. Oblicz

. (Trzeba obliczy´c dziewi˛e´c iloczynów

, . . . ,

)

Przykład:

−i 0

−i

= i

−1

= i

Teraz sam oblicz wszystkie inne iloczny. Je´sli ju˙z policzyłe´s, to zauwa˙z, ˙ze wyniki
mo˙zna zapisa´c:

= i

∑

i jk

dla i

6= j

oraz

= 1

gdzie 1

Wzory te dadz ˛

a si˛e zapisa´c w jednej linijce:

= i

∑

i j

i jk

i j

(55)

56. Zadanie. Dodaj ˛

otrzymamy antykomutator

. Ko-

rzystaj ˛

ac z (55) oblicz go. Odp: Człony antysymetryczne zgin ˛

a i otrzymamy

= 2

i j

57. Zadanie. Odejmuj ˛

−

otrzymamy komutator

[

]. Podobnie

maj ˛

ac (55) oblicz go. Odp:

[

] = 2i

∑

i j

i jk

58. Zadanie. Operator wektora spinu składa si˛e z trzech operatorów: s

, s

). Oblicz, jak wygl ˛

ada „iloczyn skalarny” wektora B

= (B

, B

) i

spinu: B

· s = ...

Wskazówka: B

· s = B

+ B

. Mno˙zymy wyrazy macierzowe s

przez B

i sumu-

jemy trzy macierze uzyskane w ten sposób.

Odp :

· s =

− iB

+ iB

−B

59. Wektory opisuj ˛

ace stan spinowy maj ˛

a dwie współrz˛edne zespolone. Wpro-

wadzamy baz˛e wektorów własnych s

1
2

i =

1
2

inne oznaczenia:

1
2

i ≡ |+i ≡ |↑i ≡

1
0

| −

1
2

i =

−

| −

1
2

inne oznaczenia:

| −

1
2

i ≡ |−i ≡ |↓i ≡

0
1

Wektor

i opisuj ˛acy tylko własno´sci spinowe, mo˙zna rozło˙zy´c na współrz˛edne:

i =

|+i +

|−i. Inaczej zapisujemy ten wektor |

i =

. Stan taki

nazywany jest spinorem. Widzimy, ˙ze przestrze´n Hilberta opisuj ˛

aca tylko spin to

= C

MOMENT P ˛

EDU

2.5

Orbitalny moment p ˛edu

60. Powró´cmy jednak do momentu orbitalnego L

= r × p. Jego równania na

wektory i warto´sci własne to L

|l,mi = ~

(l +1)|l,mi i L

|l,mi = ~m|l,mi. Teraz

liczba kwantowa l mo˙ze by´c tylko całkowita, ale w odró˙znieniu od spinu warto´s´c
l mo˙ze si˛e zmienia´c.

61. Zobaczmy, jak wygl ˛

ada orbitalny moment p˛edu we współrz˛ednych sfery-

cznych. Najpierw zapisujemy L

= L

+ L

, gdzie L

= −i~

∂

− z

∂

,. . .

Najpierw okre´slmy jak wygl ˛

ada przej´scie z układu kartezja´nskiego do kulistego:

= r cos

trzeba te˙z policzy´c

= r sin

sin

→

w nowych zmiennych

= r sin

cos

∂

= . . .,

∂

= . . .,

∂

= . . . ;

potem podstawi´c do wyra˙zenia na L

, i po długich obliczeniach uzyska´c rezultat:

= −~

sin

∂

∂θ

sin

∂

∂θ

sin

∂

∂ϕ

= −i~

∂

∂ϕ

(61)

62. Znale´z´c funkcje własne i warto´sci własne dla L

jest łatwo. Gorzej to

zrobi´c dla L

. Zadanie. Udowodnij, ˙ze f

= e

s ˛

a funkcjami własnymi L

, do

warto´sci własnych ~m. (Poka˙z, ˙ze L

= ~m f

). Zastanów si˛e, dlaczego m musi

by´c całkowite? (Czy f

jest ci ˛

agłe dla niecałkowitych m ?)

63. Oto kilka informacji na temat wektorów własnych operatora L

. Wektory

te to funkcje zale˙z ˛

ace tylko od

, poniewa˙z L

działa tylko na te zmienne.

Mo˙zna tak je dobra´c, ˙zeby były one funkcjami własnymi L

. Nazywa si˛e je har-

monikami sferycznymi lub funkcjami bkulistymi i oznacza:

|l,mi = Y

. Zmienne

k ˛

atowe

∈ (0,

) i

∈ (0,2

) okre´slaj ˛

a współrz˛edne na sferze

. Wzór na te

funkcje jest nast˛epuj ˛

acy:

(

) = c

m
l

(

)

gdzie

(

) = sin

−m

dcos

−m

sin

Trudno ten wzór stosowa´c, ale dla m

= l spróbujmy to zrobi´c. Znajd´zmy Z

(

) = sin

−l

dcos

sin

= . . .(∀A : A

= 1). . . = sin

−l

sin

= sin

otrzymamy :

(

) = c

l
l

sin

Na globusie te współrz˛edne nazywaj ˛

a si˛e długo´sci ˛

a i szeroko´sci ˛

a geograficzn ˛

MOMENT P ˛

EDU

Stał ˛

a normuj ˛

ac ˛

a c

l
l

otrzymamy obliczaj ˛

ac całk˛e

Ω

(

gdzie d

Ω

− k ˛at bryłowy; d

Ω

= d

sin

A oto sposób na obliczenie Y

(

) kiedy m 6= l. Pami˛etamy wzór L

−

|l,mi =

(l + 1) − m(m − 1)|l,m − 1i. Kiedy b˛edziemy mieli posta´c operatora L

−

współrz˛ednych k ˛

atowych, obliczymy Y

(

) dla m < l. Oto ten operator

−

= ~e

−i

−

∂

∂θ

+ icot

∂

∂ϕ

64. Zadanie. Podsumuj cały poprzedni punkt i dla l

= 0, 1, 2 znajd´z Y

(

Odp: Y

(

) =

, Y

(

) =

sin

, Y

(

) =

sin

. (Mu-

sisz sam obliczy´c stałe normuj ˛

ace.)

65. Korzystaj ˛

ac z równo´sci: L

−

(

) = ~

(l + 1) − m(m − 1)Y

−1

(

)

i maj ˛

ac posta´c operatora L

−

oblicz Y

, Y

−1

, Y

−1

, Y

−2

Odp: Y

cos

, Y

−1

= −

sin

−i

, Y

= −

15
8

sin

cos

(3 cos

− 1), Y

−1

15
8

sin

cos

−i

, Y

−2

sin

−2i

66. Zauwa˙zmy, ˙ze w typowym hamiltonianie mechaniki kwantowej: H

−

∆

+ V (r) wyst˛epuje moment p˛edu. ˙Zeby to zobaczy´c trzeba zapisa´c go we

współrz˛ednych kulistych:

−~

∂

sin

∂

∂θ

sin

∂

∂θ

sin

∂

∂ϕ

}

porównaj z (61.a)

+V (r),

czyli :

−~

∂

−

2mr

+V (r).

2.6

Oddziaływanie z polem magnetycznym

67. Teraz nieco słów komentarza ˙zeby cho´c troch˛e poukłada´c informacje. Zaj-

mijmy si˛e momentem p˛edu typowej cz ˛

astki np: elektronu. Jego całkowity moment

p˛edu jest sum ˛

a orbitalnego L i spinowego s; czyli: J

= L + s. Jak wygl ˛

ada funkcja

falowa dla obu operatorów? Spin

1
2

opisywany jest przez macierz 2

×2. Stan

spinowy to wektor

. Intuicyjnie spin odpowiada obrotowi wokół własnej

osi. Cz ˛

astka porusza si˛e jednak równie˙z w przestrzeni (moment orbitalny) i do

Iloczyn skalarny:

hl,m|l

′

, m

′

i =

sin

(

′

(

Podobnie we współrz˛ednych kulistych: L

= ~e

∂

∂θ

+ icot

∂

∂ϕ

MOMENT P ˛

EDU

tego potrzebne s ˛

a współrz˛edne przestrzenne. Oto formalizmy, które s ˛

a potrzebne

do opisu tych zjawisk:

SPIN

MOMENT ORBITALNY

Cz ˛

astka „kr˛eci si˛e” w jednym

Cz ˛

astka porusza si˛e po orbicie,

punkcie przestrzeni;

czyli mo˙ze by´c w całej przestrzeni;

wektor stanu :

(x)

warunek unormowania :

+ |

= 1

unormowanie :

(r)|

= 1

68. Poł ˛

aczmy oba te modele. Funkcja falowa z dwoma rodzajami momentu

p˛edu to:

(r)

gdzie :

(r)|

+ |

(r)|

= 1

(68)

Operatory L

– operator ró˙zniczkowy; i s

– macierzowy; działaj ˛

a nast˛epuj ˛

aco:

(r)

= . . .np. dla s

: s

70. Spin elektronu (

|s|

= ~

2 3

) jest bardzo malutki i trudno go zmierzy´c.

Ujawnia si˛e on dopiero przy odziaływaniu z polem magnetycznym. Ka˙zdy na-
ładowany obiekt kr˛ec ˛

acy si˛e zachowuje si˛e jak magnes. Jego wielko´s´c opisuje

tzw. moment magnetyczny µ. Energia oddziaływania takiego dipola (malutkiego
magnesika) z polem magnetycznym jest nast˛epuj ˛

aca:

int

= µ · B,

gdzie B jest wektorem indukcji magnetycznej. Poniewa˙z moment magnetyczny
jest proporcjonalny do spinu: µ

∼ s ∼

, to dostaniemy:

int

= µ · B ∼ s · B ∼

· B

Widzimy ˙ze H

int

= (stała)

· B. Okazuje si˛e, ˙ze stała proporcjonalno´sci równa si˛e

−q

. Jej warto´s´c bezwzgl˛edna jest nazywana magnetonem Bohra. Oznaczamy j ˛

przez µ

Czyli :

int

= −

· B = −µ

· B

Energi˛e oddziaływania trzeba b˛edzie doda´c do hamiltonianu, je´sli chcemy mie´c
energi˛e całkowit ˛

a. Ju˙z w pkt. 58 obliczali´smy

· B. Otrzymali´smy macierz,

widzimy wi˛ec, ˙ze ten człon hamiltonianu ma posta´c macierzy 2

×2.

MOMENT P ˛

EDU

71. Oczywi´scie pole magnetyczne wpływa na ruch cz ˛

astki w przestrzeni. Zo-

baczmy jak sobie z tym radzi mechanika klasyczna. Ruch cz ˛

astki opisuje równa-

nie:

m¨r

= q˙r × B ←− to tzw. siła Lorentza

Zeby je uzyska´c, trzeba wzi ˛

a´c lagran˙zian

+ qv · A i napisa´c równania

Lagrange’a. Wektor A to tzw. potencjał magnetyczny: rotA

= B.

72. Przechodzimy do zbudowania hamiltonianu. Najpierw obliczmy p˛ed ka-

noniczny

∂

= . . .(obliczy´c samemu). . . = mv

+ qA

73. Zadanie. Ze wzoru na hamiltonian H

= v · p −

obliczy´c H. Odp:

= v·p−

= v(mv+qA)−

+ qv · A

= mv

+qv·A−

−qv·A =

Ale p

= mv + qA ⇒ v =

−qA

, po podstawieniu do wzoru powy˙zej otrzymamy:

= . . . =

(p − qA)

(73)

74. Przepiszmy ten rezultat na potrzeby mechaniki kwantowej. Kwantowanie

polega na podstawieniu: p

−→ −i~

∇

. Otrzymamy wtedy:

(−i~

∇

− qA)

Dodajmy jeszcze potencjał sił zewn˛etrznych (np. elektycznych) i człon oddziały-
wania spinu z polem B:

(−i~

∇

− qA)

+V (r) −

· B

(74)

75. Równanie Schrödingera z hamiltonianem (74) nazywa si˛e równaniem Pau-

liego i opisuje wszystkie cz ˛

astki naładowane (o ładunku q i masie m) maj ˛

ace spin

1
2

. Jest to równanie nierelatywistyczne, wi˛ec mo˙zna je stosowa´c dla cz ˛

astek o ni-

skich energiach. Pami˛etajmy, ˙ze funkcja falowa jest do´s´c skomplikowana (opisana
jest przez wyra˙zenie (68)).

76. Zajmijmy si˛e jednak bli˙zej tym, jak wygl ˛

ada p˛ed w obecno´sci pola ma-

gnetycznego. (W mechanice klasycznej mieli´smy dwa p˛edy: kinetyczny i kano-
niczny).

W do´swiadczeniach mierzony jest p˛ed kinetyczny

= mv = p − qA. P˛ed kanoniczny p =

∂

nie

ma bezpo´sredniego znaczenia fizycznego. Zale˙zy on zreszt ˛

a od cechowania potencjału magnetycznego.

MOMENT P ˛

EDU

77. Uwaga: Kiedy chcemy znale´z´c operator odpowiadaj ˛

acy pochodnej danej

wielko´sci wzgl˛edem czasu, bierzemy jej komutator z hamiltonianem:

[H, A]

Np. dla poło˙zenia pochodn ˛

a po czasie jest pr˛edko´s´c v. Jej operator okre´slony jest

wzorem:

[H, r]

(77.a)

W (77.a) symbolicznie zapisali´smy, ˙ze mamy trzy równania na trzy operatory:

[H, x] ,

[H, y] ,

[H, z]

(77.b)

78. Zadanie. Stosuj ˛

ac wzór (77) oblicz operator pr˛edko´sci dla hamiltonianu

(74). Odp:

[H, x

] =

(p −qA)

, x

+ [V (r), x

] − [µ

· B,x

]

. . .

Ostatnie dwa komutatory s ˛

a równe zero (dlaczego?)

Rozpiszmy iloczyn skalarny

(p − qA)

. . .

∑

− qA

)

, x

2m~

∑

− qA

)

, x

= . . .

Zastosujmy teraz twierdzenie:

, B

= A [A, B] + [A, B] A

Jest to słabsza wersja twierdzenia:

[AC, B] = A [C, B] + [A, B]C.

Zadanie. Udowodnij oba te twierdzenia.

. . .

2m~

∑

− qA

) [(p

− qA

), x

] + [(p

− qA

), x

] (p

− qA

)

= . . .

Obliczmy komutator

− qA

, x

= . . .

zale˙zy tylko od zmiennych przestrzennych wi˛ec

, x

= 0.

Pami˛etamy te˙z:

, x

= −i~

i j

⇒

− qA

, x

= −i~

i j

. . .

2m~

∑

((p

− qA

)(−i~)

i j

+ (−i~)

i j

− qA

)) =

−2i

2m~

∑

− qA

)

i j

− qA

)

Zatem operator pr˛edko´sci wynosi v

(p −qA). Mno˙z ˛ac go przez mas˛e m otrzy-

mujemy operator rzeczywi´scie mierzonego p˛edu kinetycznego

= p − qA.

MOMENT P ˛

EDU

79. Uwaga. Operatory spinowe (macierzowe) komutuj ˛

a z operatorami prze-

strzennymi (to znaczy zbudowanymi z r i p):

[

, p

] = [

, x

] = 0

To wszystko jedno, czy najpierw przemno˙zymy współrz˛edne spinora przez x, a
potem je przestawimy, czy zrobimy to na odwrót. Podobnie ma si˛e sprawa z ope-
ratorem p˛edu.

80. S ˛

a to podstawowe informacje na temat momentu p˛edu, ale nie traktuj tego

rozdziału jako ´sci ˛

agawki. Raczej porz ˛

adnie przelicz te wszystkie zgadnienia.

ATOM WODORU

Atom wodoru

3.1

Dokładne rozwi ˛

azanie

1. Na pocz ˛

atek krótki opis tego atomu: Mamy dwie cz ˛

astki - proton i elek-

tron. Przyci ˛

agaj ˛

a si˛e wzajemnie sił ˛

∼

= |r| - odległo´s´c mi˛edzy cz ˛astkami).

Cz ˛

astki obracaj ˛

a si˛e wokół wspólnego ´srodka masy. Poniewa˙z proton jest o wiele

ci˛e˙zszy od elektronu (około 2000 razy), dlatego jego miejsce prawie dokładnie
pokrywa si˛e ze ´srodkiem masy. Musimy o tym pami˛eta´c, je´sli chcemy dokładnie
rozpatrywa´c ruch elektronu, na razie jednak przyjmijmy, ˙ze elektron o masie m

porusza si˛e wokół nieruchomego j ˛

adra. Potencjał siły

πε

−e

πε

. Pojawiła si˛e

stała

πε

, tak wygl ˛

ada to w układzie SI; Cz˛esto przyjmuje si˛e taki układ jedno-

stek (np. cgs) ˙zeby:

πε

= 1 i wtedy potencjał wygl ˛

ada nast˛epuj ˛

aco: V

(r) =

−e

Zwykle ksi ˛

a˙zki z fizyki ogólnej posługuj ˛

a si˛e układem SI natomiast wi˛ekszo´s´c

podr˛eczników z mechaniki kwantowej przyjmuje to drugie skalowanie. My przyj-

miemy taki układ jednostek ˙zeby V

(r) =

−e

. Je˙zeli j ˛

adro ma wielokrotno´s´c ła-

dunku e : Ze (np: zjonizowany hel) to potencjał ma warto´s´c V

(r) =

−(Ze)e

−Ze

(Z całkowite).

2. Pami˛etajmy, ˙ze elektron na spin

1
2

, i dopóki nie wł ˛

aczymy zewn˛etrznego

pola magnetycznego nie jest on zbyt widoczny. Na razie zapomnijmy o spinie i po-
traktujmy go jako cz ˛

astk˛e bezspinow ˛

a. (Zreszt ˛

a podobnie zaniedbujemy własno´sci

spinowe j ˛

adra.)

3. Zapiszmy w ko´ncu hamiltonian dla naszego układu:

+V (r) = . . . ( podstawiamy p = −i~

∇

oraz V

(r) =

−Ze

). . .

. . .

−~

∆

−Ze

(3)

4. Wektor stanu to funkcja falowa zale˙z ˛

aca od r i od t :

(r,t).

5. Na koniec równanie Shrödingera, które b˛edziemy rozwi ˛

azywa´c:

∂

(r,t) = H

(r,t)

(5)

6. ˙

Zeby upro´sci´c sobie obliczenia zało˙zymy, ˙ze szukana funkcja falowa ma

posta´c

(r,t) =

(r)

(t)

(6)

Mo˙zna na to tak spojrze´c, ˙ze wprowadzili´smy wielko´s´c e – przeskalowany ładunek równy e

√

πε

, gdzie q

to znany nam z układu SI „znajomy” ładunek elektronu.

ATOM WODORU

To co teraz nast ˛

api, nazywa si˛e rozdzielaniem zmiennych. Zauwa˙zmy, ˙ze hamilto-

nian zale˙zy tylko od r a nie zale˙zy od t (hamiltonian nie „działa” na

(t) a tylko

(r)). Podstawmy (6) do (5):

∂

(r)

(t)

= H

(r)

(t)

(r)i~

∂

(t)

(t)H

(r)

Po lewej stronie mogli´smy „przeci ˛

agn ˛

a´c”

(r) przez i~

∂

(r) = 0. Całkiem po-

dobnie mo˙zna „wyci ˛

agn ˛

a´c”

(t) przed H, poniewa˙z hamiltonian zawiera ró˙zniczkowania

wzgl˛edem x, y, z oraz mno˙zenie przez V

(r), wi˛ec jest przemienny z

(t).

Przepiszmy to równanie:

(r)i~

∂

(t) =

(t)H

(r)

Teraz podzielmy obie strony równania przez

(r)

(t), dostaniemy:

(r)i~

∂

(t)

(r)

(t)

(t)H

(r)

(t)

⇒

∂

(t)

(r)

(7)

Lewa strona zale˙zy tylko od t, prawa tylko od r: mamy sytuacj˛e gdy f

(t) = g(r).

Zeby taka równo´s´c zachodziła obie strony równania musz ˛

a by´c równe stałej (dla-

czego?). Nazwijmy t˛e stał ˛

a E.

7. Zad. Zastanów si˛e, dlaczego je´sli f

(r) = g(t) to f (r) = stała = g(t)?

8. Przepiszmy równanie (7):

∂

(t)

= E =

(r)

∂

(t)

= E

(r)

= E

∂

(t) = E

(t) (8.a)

(r) = E

(r) (8.b)

9. Mamy dwa równania: jedno z nich łatwo rozwi ˛

aza´c (8.a): (Spróbuj sam to

zrobi´c, w razie niepowodzenia przeczytaj)

∂

= E

| :

⇒

∂

= E

⇒

∂

(ln

) =

−i

⇒

−i

+ c

⇒

= e

−iEt

ATOM WODORU

Stała c jest likwidowana przez warunki pocz ˛

atkowe – kiedy

(t = 0) = 1, to mamy

(t = 0) = 1 = e

⇒ e

= 1, czyli nasze rozwi ˛

azanie ma posta´c:

(t) = e

−iEt

10. Zobaczmy, co uzyskali´smy: Szukamy rozwi ˛

aza´n równania Schrödingera

typu

(r,t) = e

−iEt

(r)

(9),

gdzie

(r) spełnia tzw. bezczasowe równanie Schrödingera czyli (8.b) !

11. Zadanie. Sprawd´z, czy

(r,t)|

zale˙zy od czasu? (wskazówka: wstaw (9)

pod warto´s´c bezwzgl˛edn ˛

a, oblicz kwadrat modułu i zró˙zniczkuj wzgl˛edem t).

12. Odp: Nie, nie zale˙zy. Mi˛edzy innymi dlatego takie stany nazywamy stacjo-

narnymi. Dla nich g˛esto´s´c prawdopodobie´nstwa znalezienia elektronu nie zmienia
si˛e w czasie. A s ˛

a to stany własne operatora energii bo z równania (8.b) mamy

= E

13. Spróbujmy co´s zrobi´c z równaniem (8.b):

= E

⇒

−

∆

+V (r)

= E

gdzie V

(r) =

−Ze

Poniewa˙z V zale˙zy tylko od r

= |r|, wi˛ec warto wprowadzi´c współrz˛edne kuliste,

trzeba tylko wiedzie´c jak zapisa´c laplasjan w tym ukłdzie:

∆

∂

sin

∂

∂θ

sin

∂

∂θ

sin

∂

∂ϕ

(13)

Na razie wygl ˛

ada to gro´znie, ale zobaczymy, ˙ze da nam to korzy´s´c. Jak w punktach

6-10 z równania o 4 zmiennych

(i~

∂

= H

, zmienne to t, x, y, z) uzyskali´smy

równanie o trzech zmiennych (H

= E

, a zmienne to x, z, y lub r,

), tak teraz

znów zmniejszymy ich ilo´s´c w równaniu.

14. Nasze równanie to (sam podstaw laplasjan (13) do równania i je´sli zrobiłe´s

dobrze, to po przeniesieniu na jedn ˛

a stron˛e jest takie):

−~

∂

) +

sin

∂

∂θ

(sin

∂

∂θ

) +

sin

∂

∂ϕ

−

− E

= 0

(14)

15. Zadanie. Je´sli nie uzyskałe´s takiej wersji, to tak przekształ´c swoje równa-

nie by mie´c posta´c (14).

16.Teraz musisz sam zrobi´c to, co zrobione zostało w pkt. 6-10. Musisz roz-

dzieli´c zmienne: Tam odseparowali´smy t od r, tutaj oddzielamy r od

. Wy-

konaj to, co jest podane w punktach poni˙zej:

17. Pomnó˙z równanie przez r

18. Zauwa˙z, ˙ze niektóre człony zale˙z ˛

a tylko od

ATOM WODORU

19. Przenie´s te człony na jedn ˛

a stron˛e równania. Je´sli wszystko pójdzie do-

brze, otrzymasz nast˛epuj ˛

ace równanie:

−~

∂

− Ze

− Er

sin

∂

∂θ

(sin

∂

∂θ

) +

sin

∂

∂ϕ

(19)

20. Aby upro´sci´c sobie zadanie zakładamy, ˙ze

= R(r)Y (

). Podziel obie

strony równania przez R

(r)Y (

21. Skró´c to, co si˛e da skróci´c. Dla prostoty pomnó˙z równanie przez 2m.

Powiniene´s dosta´c równanie, w którym lewa strona zale˙zy tylko od r, a prawa od

. Obie wi˛ec (jak w punkcie 6) musz ˛

a by´c równe stałej. Zobaczmy, co to mo˙ze

by´c za stała. Rozpatrzmy praw ˛

a stron˛e równania (gdzie

to owa stała):

(

)

sin

∂

∂θ

sin

∂

∂θ

sin

∂

∂ϕ

(

)

(21)

Je˙zeli pami˛etasz jeszcze co´s z materiału dotycz ˛

acego momentu p˛edu, to pewnie

przypomnisz sobie, ˙ze kawałek wzoru powy˙zej to operator kwadratu momentu
p˛edu:

= −~

sin

∂

∂θ

sin

∂

∂θ

sin

∂

∂ϕ

⇒

−L

(

)

(

)

22. Zadanie. Spróbuj uzasadni´c, ˙ze aby wyra˙zenie (21) było stał ˛

a, Y

(

)

musi by´c funkcj ˛

a własn ˛

a L

. Przypomnijmy sobie te funkcje własne – to Y

(

) :

(

) = ~

(l + 1)Y

(

), czyli

−L

(

)

(

)

−~

(l + 1)Y

(

)

(

)

= −~

(l + 1)

23. Zatem stała, której jest równa lewa strona równania (19), to

−~

(l + 1),

oto to równanie:

(r)

−~

∂

− 2mZre

− 2mEr

(r) = −~

(l + 1)

24. Musisz teraz wykona´c kilka działa´n: Pomnó˙z obie strony przez

−R(r) i

podziel przez 2m. Przerzu´c wszystko na jedn ˛

a stron˛e. Poniewa˙z mamy ju˙z tylko

jedn ˛

a zmienn ˛

a r, mo˙zna zamiast pochodnych cz ˛

astkowych

∂

u˙zywa´c pochodnych

zwyczajnych

, zamie´n wi˛ec symbole ró˙zniczkowania. Po tym wszystkim dosta-

niesz równanie:

−

(l + 1)

+ E

(r) = 0

(24)

ATOM WODORU

Mamy ju˙z tylko jedn ˛

a zmienn ˛

a, ale za to sporo parametrów (~, m, l, Z, e, E) i w

dodatku skomplikowan ˛

a posta´c operatora ró˙zniczkowego po r. Zobaczymy, czy

nie da si˛e jeszcze czego´s upro´sci´c.

25. Sprawd´zmy, jakie równanie musi spełnia´c funkcja u

(r), gdzie R(r) =

(r)

W tym celu musimy wstawi´c

(r)

do równania (24) zamiast R

(r). Po podstawieniu

(r)

−~

(l + 1)

2mr

+ E

(r)

= 0

zajmijmy si˛e członem z ró˙zniczkowaniem:

= . . . =

− u

= . . . =

Po podstawieniu do równania:

−~

(l + 1)

+ E

= 0

pomnó˙z przez obie strony przez r. Wyci ˛

agnij u

(r) poza nawias. Otrzymasz (gdy

policzysz):

−

(l + 1)

+ E

(r) = 0

(25)

26. Przypomnijmy sobie, ˙ze szukamy funkcji falowych postaci:

(r) =

(r)

(

(26)

gdzie Y

(

) to harmonika sferyczna, a funkcja u(r) spełnia równanie (25).

27. Zobaczmy, czy da si˛e tak przeskalowa´c zmienn ˛

a r, by zlikwidowa´c cz˛e´s´c

parametrów. Oto nowa zmienna:

r; wtedy mo˙zemy obliczy´c:

28. Po podstawieniu za r,

powy˙zszych wielko´sci do (25) otrzy-

mamy (sam policz i sprawd´z wynik):

(

−

(l + 1)

mZe

+ E

)

(

) = 0

ATOM WODORU

Zauwa˙z, ˙ze trzy człony w tym równaniu mno˙zone s ˛

a przez wielko´s´c

, podziel

wi˛ec to równanie przez t˛e stał ˛

a. Wtedy:

−

(l + 1)

E2~

(

) = 0

Jakie proste równanie otrzymali´smy! Upro´sci si˛e jeszcze bardziej, kiedy zamiast

członu z energi ˛

a zapiszemy

= ±

(to taka przeskalowana energia).

29. Zastanówmy si˛e nad znakiem energii. Przy potencjale

mamy sytuacj˛e:

E > 0;

widmo ci ˛

agłe;

stany „rozproszeniowe”
zaburzenia fal płaskich

E < 0;

widmo dyskretne;

stany „zlokalizowane”
uwi˛ezione w studni potencjału

Interesuj ˛

a nas stany niezjonizowanego atomu. Wtedy elektron jest zwi ˛

azany z j ˛

drem i jego energia E < 0. Dlatego zapiszemy:

−

30. Uzyskali´smy równanie na u

(

−

(l + 1)

−

(

) = 0

(30)

Teraz przyst ˛

apmy do rozwi ˛

azania tego równania. Na razie zobaczmy, jak zacho-

wuje sie u

(

) dla du˙zych

(czyli dla du˙zych r – pami˛etaj, ˙ze

∼ r). Przy

→

∞

zostaje:

−

(

) = 0,

(l+1)

→ 0, i

→ 0

(31)

indeks a oznacza, ˙ze badamy zachowanie asymtotyczne funkcji u

(

) dla du˙zych

31. Zadanie. Rozwi ˛

a˙z równanie (31).

32. Odp. u

(

) = Ae

λρ

+ Be

−

λρ

Zeby u

(

→

∞

) → 0, (sk ˛ad taki waru-

nek?), musimy za˙z ˛

ada´c A

= 0. Czyli przyjmujemy rozwi ˛

azanie równe u

(

) =

(stała)e

−

λρ

. Wprowad´zmy funkcj˛e y

(

), która uwzgl˛edni ró˙znice pomiedzy u

prawdziwym rozwi ˛

azaniem:

(

) = u

(

)y(

) = e

−

λρ

(

)

Opu´scili´smy stał ˛

a bo i tak trzeba b˛edzie unormowa´c ten stan.

33. Postarajmy si˛e co´s powiedzie´c o tej funkcji. Podstawmy u

= e

−

λρ

y do

równania (30). Po podstawieniu b˛edziemy mieli:

−

(l + 1)

−

λρ

(

) = . . .

ATOM WODORU







Dygresja. Obliczmy najpierw na boku

−

λρ

(−

−

λρ

+ e

−

λρ

) =

−

λρ

− 2

−

λρ

+ e

−

λρ

teraz podstawmy wynik :

. . .

−

λρ

− 2

−

λρ

+ e

−

λρ

−

(l + 1)

−

λρ

−

λρ

= 0

Upro´s´c to co si˛e da (pierwszy i ostatni człon ró˙zni ˛

a si˛e znakiem, poza tym mo˙zna

podzieli´c równanie przez e

−

λρ

, wyci ˛

agnij te˙z y poza nawias), a uzyskasz:

− 2

−

(l + 1)

(

) = 0

(33)

34. Uwaga: Pami˛etajmy, ˙ze R

(

) =

−

λρ

(

). Zobaczmy jak ta funkcja za-

chowuje si˛e dla

→ 0 (czyli jak wygl ˛ada w ´srodku atomu): R(

) <

∞

, musi by´c

(

= 0) = 0. W przeciwnym razie R(

→ 0) =

= 1)

(0)

∞

, i funkcja fa-

lowa nie dałaby si˛e unormowa´c. Byłaby ona bardzo du˙za dla małych

, a wiemy ˙ze

prawdobodobie´nstwo znalezienia elektronu dla

= 0 (czyli w j ˛

adrze) jest bardzo

małe. St ˛

ad nasze ˙z ˛

adanie by y

(0) = 0.

35. Poszukajmy mo˙zliwych rozwi ˛

aza´n y

(

). Rozłó˙zmy funkcj˛e y(

) w szereg

pot˛egowy wzgl˛edem pot˛eg

(

) =

∑

Zeby y

(0) = 0, przynajmniej a

musi by´c równe zero i dlatego nasza suma zacznie

si˛e od takiego i > 0, dla którego a

6= 0:

(

) =

∞

∑

= . . .( zmieniamy nazw˛e wska´znika sumowania q = i − s )...

(

) =

∞

∑

= . . .( nazwijmy a

= c

). . . = y(

) =

∞

∑

(35)

Zobaczmy, jakie warunki na c

narzuca równanie (33). Podstawmy wi˛ec (35) do

(33) i prównajmy współczynniki przy tych samych pot˛egach

. Po podstawieniu

otrzymasz równanie:

− 2

−

(l + 1)

∞

∑

= 0

(36)

ATOM WODORU

36. Wskazówka: osobno oblicz

∑

= . . . =

∑

(q + s)c

+s−1

= . . .(skorzystaj z poprzedniego wzoru). . . =

∑

(q+s−1)(q+s)c

+s−2

Teraz podobnie oblicz iloczyny:

∑

= . . . = 2

∑

+s−1

(dlaczego taki wykładnik?),

(l + 1)

∑

= . . . = l(l + 1)

∑

+s−2

37. Podstawmy te wyniki do równania (36), a otrzymamy:

∞

∑

(−2

)(q + s)c

+s−1

∞

∑

(q + s − 1)(q + s)c

+s−2

∞

∑

+s−1

−

∞

∑

(l + 1)c

+s−2

= 0

Poł ˛

aczmy sumy o tych samych pot˛egach

(wyci ˛

agaj ˛

ac sum˛e przed nawias, a po-

t˛eg˛e

i stała c

za nawias):

∞

∑

[2 − 2

(q + s)] c

+s−1

∞

∑

[(q + s − 1)(q + s) − l(l + 1)]c

+s−2

= 0

(37)

Zamie´nmy jedno sumowanie (w pierwszej sumie), tak by mie´c w obu sumach

w tych sa-

mych pot˛egach. Wprowad´zmy indeks q

′

= q + 1, wtedy suma ta przepisuje si˛e nast˛epuj ˛

aco

= q

′

− 1):

∞

∑

′

− 2

′

− 1 + s)

′

−1

−1+s−1

Zapiszmy t˛e sum˛e nazywaj ˛

ac wska´znik q

′

po prostu q (nazwa wska´znika sumowania nie

odgrywa roli, mo˙zna go nazwa´c jakkolwiek):

∞

∑

[2 − 2

(q − 1 + s)]c

−1

+s−2

= 0

Teraz równanie (37) przepisze si˛e nast˛epuj ˛

aco:

∞

∑

[2 − 2

(q + s − 1)]c

−1

+s−2

ATOM WODORU

∞

∑

[(q + s − 1)(q + s) − l(l + 1)]c

+s−2

= 0

38. Zatem mo˙zna te sumy zapisa´c:

∞

∑

[2 − 2

(q + s − 1)]c

−1

+ [(q + s − 1)(q + s) − l(l + 1)]c

+s−2

= 0

(38)

Brakuje w tym równaniu jednego wyrazu z sumy drugiej (37) dla q

= 0. Teraz

sumujemy od q

= 1, wi˛ec dodatkowo musimy go uwzgl˛edni´c:

[s(s − 1) − l(l + 1)]c

−2

= 0 ⇒ s(s − 1) − l(l + 1) = 0

Równanie to spełniaj ˛

a dwa rozwi ˛

azania:

= l + 1 i s = −l

to drugie rozwi ˛

azanie odrzucamy, bo s powinno by´c dodatnie (pami˛etajmy, ˙ze

∑

→ 0 tylko dla dodatnich s, przy

→ 0).

39. Przepiszmy sum˛e (38) wsz˛edzie pisz ˛

ac l

+ 1 zamiast s (po uproszczeniu

powiniene´s dosta´c):

∞

∑

[2 − 2

(q + l)] c

−1

+ [(q + l)(q + l + 1) − l(l + 1)]c

+l−1

= 0

40. Twierdzenie. Je´sli

∑

= 0 ⇒ a

= 0 dla ka˙zdego i – zastanów si˛e dla-

czego. St ˛

ad wszystkie współczynniki przy pot˛egach

s ˛

a równe zero:

[2 − 2

(q + l)] c

−1

+ [(q + l + 1)(q + l) − l(l + 1)]c

= 0

(40)

41. Upro´s´cmy jeszcze wyra˙zenie

(q + l + 1)(q + l) − l(l + 1) = ...

= q

+ lq + q + lq + l

+ l − l

− l = q

+ 2lq + q = q(q + 2l + 1). Teraz wzór (40)

zapiszemy pro´sciej:

(q + 2l + 1)c

+ 2(1 −

(q + l))c

−1

= 0

(41)

42. Zadanie. Oblicz z (41) jak wygl ˛

ada zwi ˛

azek c

z c

−1

Odp : c

(−1 +

(q + l))

(q + 2l + 1)

−1

W ten sposób maj ˛

ac c

mo˙zemy obliczy´c c

, potem c

itd. Zostaje tylko pytanie,

czy taka niesko´nczona suma y

∑

+l+1

spełnia wszystkie nasze oczekiwania.

43. Spróbujmy oszacowa´c, jak b˛edzie si˛e zachowywa´c owa suma:

Rozpatrzmy

−1

(−1 +

(q + l))

(q + 2l + 1)

dla du˙zych q :

−1

≈

(dlaczego?)

ATOM WODORU

czyli c

≈

−1

⇒

≈

− 1

−2

⇒

. . .c

∼

)

To daje nam mo˙zliwo´s´c zesumowania rozwi ˛

azania (w przybli˙zeniu):

∼

∑

)

+l+1

= . . .(dlaczego?). . . =

λρ

To niestety przeczy naszemu zało˙zeniu o całkowalno´sci u (u

(

) → 0 kiedy

→

∞

= e

−

λρ

∼ e

−

λρ

− tego nie mo˙zna scałkowa´c!

44. ˙

Zeby nie mie´c tego kłopotu, które´s c

musi by´c równe zero, wtedy wszyst-

kie nast˛epne te˙z musz ˛

a by´c równe zero (dlaczego?). Ten q dla którego c

si˛e

zeruje nazwijmy k:

= c

(1 −

(k + l)

(k + 2l + 1)

−1

⇒ 1 −

(k + l) = 0 ⇒

+ l

45. Pozbierajmy teraz wszystkie informacje podstawiaj ˛

i numeruj ˛

uzyskane rozwi ˛

azania wska´znikami k, l:

(r) =

(

)

(

(45)

gdzie : u

= y

−

, a y

−1

∑

+l+1

Mo˙zemy jeszcze upro´sci´c wzór na współczynniki c

(1 −

(q + l)

(q + 2l + 1)

−1

(q − k)

(l + k)(q + 2l + 1)

−1

W ten oto sposób odnale´zli´smy funkcje własne hamiltonianu (3). Przypominaj ˛

sobie, ˙ze

była zwi ˛

azana z energi ˛

a, mo˙zemy łatwo napisa´c, jakie s ˛

a warto´sci

własne hamiltonianu. Z pkt. 29 mamy

= −

, wiemy te˙z, ˙ze

. St ˛

oblicz E:

Odp : E

= −

(l + k)

46. Cz˛esto dla prostoty zapisu przyjmuje si˛e

(wtedy a

). Ze

wzgl˛edu na intuicje fizyczne k

+ l zast˛epujemy przez n. Wyniki wygl ˛

adaj ˛

a w spo-

sób nast˛epuj ˛

acy:

nlm

(r) =

a0n

−l,l

(

)

(46.a)

ATOM WODORU

= −

(46.b)

47. Uwagi:
a) Zauwa˙z, ˙ze model ten ma zdegenerowane widmo energii (tzn. jednej warto-

´sci energii odpowiada kilka funkcji własnych).

b) Mo˙zliwe warto´sci n, l, m (s ˛

a to tzw. liczby kwantowe):

= 1, 2, 3. . .

= 0, 1, . . ., n − 1

= −l,...,l − 1,l

c) W układzie SI energia jest przeskalowana (zgodnie z uwag ˛

a w pkt. 1 oznaczmy

ładunek w tym układzie jako q

= −

πε

)

3.2

Uwagi na temat pomiarów

48. Obliczyli´smy funkcje własne i warto´sci własne atomu wodoru. Zasta-

nówmy si˛e, jaki to ma zwi ˛

azek z rzeczywistymi pomiarami? Wiemy, ˙ze warto´sci

własne hamiltonianu to mo˙zliwe wyniki pomiaru energii. W jaki sposób mierzymy
t˛e energi˛e? Pomiar polega na obserwacji ´swiatła wypromieniowanego lub pochło-
ni˛etego przez atom. Emisj˛e ´swiatła interpretujemy nast˛epuj ˛

aco: Atom przebywa

w którym´s stanie stacjonarnym, pod wpływem zaburzenia zewn˛etrznego przecho-
dzi do innego stanu promieniuj ˛

ac przy tym energi˛e ´swietln ˛

a. Energia ta równa jest

ró˙znicy energii pocz ˛

atkowej i ko´ncowej elektronu.

= E

− E

′

gdzie : E

← n–ta energia (zob. (46.a))

(48.a)

Wielko´s´c tej energii wi ˛

a˙zemy w nast˛epuj ˛

acy sposób z cz˛estotliwo´sci ˛

a promienio-

wania:

= 2

= h

gdzie :

← cz˛estotliwo´s´c ´swiatła

(48.b)

Piszemy E

maj ˛

ac na my´sli, ˙ze jest to energia f otonu

. Widzimy, ˙ze korzystamy

z pomysłu pochodz ˛

acego jeszcze ze starego modelu atomu wodoru Bohra

. W

nim elektron „przeskakiwał” z orbity na orbit˛e promieniuj ˛

ac foton o energii h

Całkiem podobnie interpretujemy zjawisko absorpcji promieniowania. Atom

mo˙ze pochłon ˛

a´c tylko takie cz˛estotliwo´sci, które odpowiadaj ˛

a przej´sciu z „ni˙z-

szych” poziomów energetycznych na „wy˙zsze”.

Znasz pewnie postulat, ˙ze ´swiatło „składa” si˛e z porcji energii zwanych fotonami.

Zjawiska te opisuje dokładnie nie mechanika kwantowa, lecz kwantowa teoria promieniowania.

ATOM WODORU

49. Obliczmy wi˛ec, jaka cz˛estotliwo´s´c odpowiada „przeskokowi” ze stanu o

liczbie kwantowej n

= 2 do stanu gdzie n = 1. Korzystamy ze wzoru (46) na

energi˛e atomu w stanie n (obliczenia przeprowadzimy w układzie SI):

− E

= −

πε

)

πε

)

πε

)

−

(49.a)

Ze wzoru (48.b) wiemy, ˙ze 2

= E

− E

, czyli:

− E

= . . .(podstawmy (49.a)). . .

πε

)

−

πε

)

−

(49.b)

Gdy podstawimy za

πε

= 2.306 × 10

−28 m

; Z

= 1 (dla atomu wodoru), ~ =

1.054

×10

−34

Js; m

= 9.109×10

−31

kg — otrzymamy wynik:

= 2.467×10

Hz.

50. Sam oblicz jakie cz˛estotliwo´sci odpowiadaj ˛

a przej´sciom 3

→ 1, 4 → 1,

→ 1,. . . (jest to tzw. seria Lymana); 3 → 2, 4 → 2, 5 → 2,. . . (To natomiast

seria Balmera). „Przeskoki” na stany o liczbie n

= 3 odpowiadaj ˛

a serii Paschena,

dla n

= 4 mamy seri˛e Bracketa. Przy odrobinie dobrej woli mo˙zna równie˙z obser-

wowa´c inne serie, dla jeszcze wi˛ekszych n.

51. Zadanie. Korzystaj ˛

ac ze wzoru (46) napisz ogólne wyra˙zenie na na cz˛e-

stotliwo´s´c wypromieniowan ˛

a przez atom wodoru przy przej´sciu n

→ n

′

Odp :

πε

)

′2

−

(51)

52. ˙

Zeby nie pisa´c tak skomplikowanego wzoru, zdefiniujmy stał ˛

a R

πε

)

Nazywana jest ona stał ˛

a Rydberga. Jest ona tak dobrana, by napisa´c wyra˙zenie na

długo´s´c obserwowanej fali ´swietlnej (a wła´sciwie na jej odwrotno´s´c tzw. liczb˛e fa-
low ˛

a k

). Podstaw stał ˛

a R i znajd´z ile wynosi liczba falowa obserwowanej

fali.

Odp :

= R

′2

−

(52)

Wzór ten nazywa si˛e wzorem Rydberga. Opisuje on do´s´c dobrze promieniowanie
atomu wodoru.

53. Rozwi ˛

azywanie i analiza równania Schrödingeradla układów atomowych

to bardzo ci˛e˙zka, ale ciekawa praca. Zajmuje si˛e tym fizyka atomowa i chemia
kwantowa.

LITERATURA

Literatura

1. Jak ju˙z napisałem we wst˛epie, du˙za cz˛e´s´c samouczka została oparta na

ksi ˛

a˙zce C. Cohena, B. Diu i F. Laloë’go Quantum Mechanics. Jest to pot˛e˙zne

dzieło, z du˙z ˛

a ilo´sci ˛

a rozpatrywanych przykładów, zada´n i zastosowa´n. Chyba

jedyna jego wada to trudna dost˛epno´s´c.

2. Je´sli chcesz si˛e uczy´c mechaniki kwantowej, to musisz sobie kupi´c (albo

wypo˙zyczy´c) ksi ˛

a˙zk˛e, któr ˛

a b˛edziesz miał pod r˛ek ˛

a. Istnieje grupa podr˛eczników,

w których „wła´sciwie wszystko jest zrobione”. Wybierz sobie taki, który najlepiej
b˛edzie Ci czyta´c:

– L. Landau, E. Lifszyc Mechanika kwantowa,
– L. Schiff Mechanika kwantowa,
– A. Dawydow Mechanika kwantowa,
– B. ´Sredniawa Mechanika kwantowa.

Jest tych ksi ˛

a˙zek o wiele wi˛ecej (pewnie si˛e zorientowałe´s, ˙ze łatwo je pozna´c po

tytule).

3. Je˙zeli ta dziedzina fizyki Ci˛e interesuje, to warto mie´c zbiór zada´n. Najbar-

dziej dost˛epny (i dobry) jest J. Brojana, J. Mostowskiego i K. Wódkiewicza Zbiór
zada´n z mechaniki kwantowej. A oto inne do´s´c popularne pomocnicze pozycje
ugruntowuj ˛

ace wi˛edz˛e:

4. R. Feynmam, R. Leighton i M. Sands Feynmama wykłady z fizyki. t.III Me-

chanika kwantowa. Autor przedstawia na prostych przykładach ide˛e sumowania
po drogach, pokazuj ˛

ac jak du˙zo mo˙zna z niej uzyska´c

. Dla kogo´s kto zacz ˛

ał

od „tradycyjnej” mechaniki kwantowej podr˛ecznik ten mimo swej niew ˛

atpliwej

prostoty mo˙ze sprawi´c kłopoty.

5. Aksjomatyczne i bardzo zaawansowane matematycznie podej´scie do me-

chaniki kwantowej prezentowane jest we wspomnianej ju˙z Mechanice kwantowej.
Uj˛ecie w przestrzeni Hilberta M. Grabowskiego i R. Ingardena. Pozycja ta jest
przeciwwag ˛

a do poprzedniej.

6. Niedawno wydana I. Białynickiego-Biruli, M. Cieplaka i J. Kami´nskiego

Teoria kwantów. Mechanika falowa daje bardzo porz ˛

adny i tre´sciwy wgl ˛

ad wa

najbardziej popularne uj˛ecie mechaniki kwantowej – mechanik˛e falow ˛

7. Najprzyjemniejsz ˛

a jest jednak chyba Mechanika kwantowa w obrazach S.

Brandta i H. Dahmena. Typowe zagadnienia opisywane zwykle tylko wzorami,
przedstawione s ˛

a w niej w postaci obrazków.

8. Jest tych ksi ˛

a˙zek jeszcze wi˛ecej, a wi˛ec do roboty. . .

Pomysł ten znajdzie swoje rozwini˛ecie w teorii tzw. całek funkcjonalnych (wła´snie pomysł Feyn-

mama) stosowanych w kwantowej teorii pola.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
A Swiezawski Wstep do badan his Nieznany (2)
Konspekt Wstep do badan politol Nieznany
JPPO Wstep do laboratorium id 2 Nieznany
1 Wyklad Wstep do pomiarow Iid Nieznany (2)
WYTYCZNE CO POWINIEN ZAWIERAĆ DOBRY WSTĘP DO PRACY, EDUKACJA
MTR 2009 Wstep do mechatr cz 8 Nieznany
JSF wstep do fizykoterapii id 2 Nieznany
2009 10 13 Wstep do SI [w 01]id Nieznany
2009 10 27 Wstep do SI [w 03 04 Nieznany
Konspekt cwiczen 1, wstep do pr Nieznany
CZESC 6B WSTEP DO SZCZEGOLNEJ T Nieznany
20130226095440 WSTEP DO PSYCHOL Nieznany
JPPO Wstep do wykladu id 228827 Nieznany
2009 12 01 Wstep do SI [w 09 10 Nieznany (2)
Wstęp do psychopatologii zaburzenia osobowosci materiały
Tajemnica ludzkiej psychiki wstep do psychologii

więcej podobnych podstron