Wprowadzenie do fizyki
Mirosław Kozłowski
rok akad. 2002/2003
Wprowadzenie do fizyki
Mirosław Kozłowski
rok akad. 2002/2003
Część 6b
Wstęp do
Szczególnej Teorii
Względności
6.3 Doświadczenie Bucherera
.
6.4 Transformacja H. Lorenza.
6.5 Składanie prędkości.
Wstęp do Szczególnej Teorii
Względności cz. b
Slajd podsumowania
Koniec
pokazu
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
3
6.5 Składanie prędkości.
6.6 Równoczesność zjawisk fizycznych.
6.7 Struktura czasoprzestrzeni.
6.8 Istota Szczególnej Teorii Względności.
6.9 Doświadczenie W. Bertozziego.
6.10 Własności cząstek relatywistycznych.
6.11 Własności fotonu, elektronu, protonu.
Linki do stron WWW
Hyper Physics
4
Astronomy Picture of the Day
Space Photos and Images
6.3 Doświadczenie Bucherera
B
r
Filtr
e/m
1
e/m
2
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
5
Wniosek:
e/m zaleŜy od prędkości elektronów.
Filtr
prędkości
v
1
cząstki,
masa
stałe
stałe,
def
≡
=
−
=
=
−
=
2
2
2
0
2
2
0
1
1
c
v
m
m
c
v
m
e
m
e
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
6
cząstki,
zna
wewnętr
energia
m
def
0
≡
−
=
2
2
2
2
1
c
v
mc
c
(m
0
i c nie zaleŜą od inercyjnego układu odniesienia).
.
1
2
2
2
0
c
v
c
m
E
c
−
=
Energia całkowita cząstki o masie m
0:
Nowe jednostki energii wewnętrznej i masy
cząstek:
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
7
cząstek:
1eV=1.6 10
-12
erg,
1MeV=10
6
eV=1.6 10
-6
erg,
1GeV= 10
9
eV=1.6 10
-3
erg,
1TeV=10
12
eV=1.6 erg.
(
)
1836
10
51
10
99
81
10
11
.
9
4
8
2
28
2
0
E
c
m
E
W
=
⋅
=
=
=
⋅
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
=
=
=
−
−
E
MeV,
0.51
eV
erg
cm/s
10
3
g
elektron
proton
10
elektron
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
8
.
1
51
.
0
1836
1836
2
0
c
E
m
E
W
W
=
=
≅
=
⋅
=
=
⋅
=
cząstki
Masa
GeV,
E
MeV,
939.2
MeV
E
proton
W
elektron
proton
W
Masy cząstek elementarnych
Nowe jednostki
Cząstka/jądro
atomowe
Masa, m
0
Elektron
0.51 MeV/c
2
Proton
938 MeV/c
2
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
9
Proton
938 MeV/c
2
Tlen O
16
~16x1 GeV/c
2
=16 GeV/c
2
Złoto Au
197
~200 GeV/c
2
a.
Czas Ŝycia cząstek elementarnych jest
róŜny
w róŜnych układach odniesienia.
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
10
b.
Nietrwała cząstka
µ
- mezon mi, Ŝyje w
laboratorium 2
µ
s=2 10
-6
s.
d>10km
Powierzchnia Ziemi
Cząstki
µ
są produkowane na przykład w centrum
Słońca i w zderzeniach cząstek elementarnych w
górnych warstwach atmosfery Ziemi.
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
11
Powierzchnia Ziemi
Opis nierelatywistyczny:
l - droga przebyta przez mezon
µ,
l = 2 · 10
-6
s ·3 ·10
5
km/s=0.6 km,
l
<<
d. Nie moŜemy obserwować mezonów
µ
na powierzchni Ziemi.
Wnioski z doświadczenia
a.
Mezony
µ
dla obserwatora na powierzchni
Ziemi muszą Ŝyć znacznie dłuŜej.
∆
t’ = czas Ŝycia mezonów
µ
w ich własnym
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
12
∆
t’ = czas Ŝycia mezonów
µ
w ich własnym
układzie odniesienia,
∆
t = czas Ŝycia mezonów
µ
dla obserwatora na
powierzchni Ziemi,
.
t
t
′
∆
>>
∆
Nazywamy to zjawisko „dylatacja” czasu -
„rozciągnięcie czasu”.
Mamy więc:
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
13
.
1
,
>>
′
∆
=
∆
γ
γ
t
t
Mamy więc:
.
1
1
2
−
=
c
V
γ
b.
γ
jest funkcją v prędkości mezonów
µ.
Idealną zgodność otrzymamy gdy przyjmiemy:
c.
Zegary poruszające się z róŜnymi
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
14
.
1
1
2
2
t
c
V
t
′
∆
−
=
∆
c.
Zegary poruszające się z róŜnymi
prędkościami odmierzają róŜny czas.
6.4 Transformacja H. Lorentza
( )
.
,
2
′
+
′
=
′
′
=
c
V
x
t
x
t
f
t
γ
γ
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
15
c
t
x
t’
x’
µ
V
r
,
'
,
'
t
t
t
t
∆
=
∆
=
γ
γ
Dla mezonu
µ
spoczywającego
w układzie (t’, x’), x’= 0.
Stąd
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
16
,
'
t
t
∆
=
∆
γ
(
)
(
)
.
Vt
x
Vt
x
t
V
x
x
+
′
=
+
′
=
=
′
+
′
=
γ
γ
Dla małych prędkości mezonu
µ
, V/c<<1
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
17
.
Vt
x
x
+
′
=
Jest to transformacja Galileusza.
(
)
,
2
c
x
V
t
t
′
+
′
=
γ
Transformacja H. Lorentza
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
18
(
)
.
,
t
t
t
V
x
x
′
≠
′
+
′
=
γ
6.5 Składanie prędkości
t’
t
v’
V
r
RozwaŜamy dwa układy odniesienia:
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
19
t’
t
x
x’
v’
V
Ile wynosi prędkość cząstki o masie m
w układzie (x, t)?
(
)
,
,
2
t
V
x
x
c
x
V
t
t
′
+
′
=
′
+
′
=
γ
γ
Transformacja Poincaré-Lorentza
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
20
(
)
.
1
1
,
2
2
c
V
t
V
x
x
−
=
′
+
′
=
γ
γ
,
1
,
v
V
t
t
v
V
t
t
t
v
x
′
+
′
=
′
′
+
′
=
′
′
=
′
γ
γ
Równanie ruchu punktu materialnego
w układzie (x’,t’):
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
21
(
)
(
)
.
,
1
2
2
V
v
t
t
V
t
v
x
c
v
V
t
c
t
v
V
t
t
+
′
′
=
′
+
′
′
=
′
+
′
=
′
′
+
′
=
γ
γ
γ
γ
(
)
,
1
lim
,
,
1
2
0
2
c
v
V
V
v
t
x
v
V
v
t
x
c
v
V
t
t
t
′
+
+
′
=
∆
∆
=
+
′
′
∆
=
∆
′
+
′
∆
=
∆
→
∆
γ
γ
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
22
1
2
c
+
.
1
2
c
v
V
V
v
v
′
+
+
′
=
T. Alväger et al.,
Physics Letters, 12, (1964) 260,
„Test of the second postulate of special relativity in
the GeV region (CERN)”.
Postulat STW:
Prędkość światła nie zaleŜy od prędkości źródła.
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
23
Relatywistyczny wzór na dodawanie prędkości:
.
1
2
c
vV
V
v
v
+
+
=
′
,
1
,
,
,
,
99975
,
0
,
2
0
0
+
+
+
=
+
=
′
+
=
′
′
=
′
=
=
+
→
c
cV
V
c
kV
c
c
kV
c
c
c
v
c
v
c
V
γ
π
γ
γ
π
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
24
.
0
,
0
,
0
,
,
1
2
2
=
≠
=
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
k
V
c
V
V
k
V
c
c
kV
kV
V
c
c
V
V
c
kV
c
Wynik eksperymentu przeprowadzonego w
CERN:
k = 10
-5
(STW, k = 0).
K. Brecher,
„Is the speed of light independent of the velocity
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
25
of the source?”
Phys. Rev. Lett., 39, (1977), 1051.
)
0
,
(
,
10
2
,
9
=
⋅
<
+
=
′
−
k
k
kv
c
c
STW
Podwójny układ gwiazd (A+B)
A
B
c+kv
1
Ś
rodek masy
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
26
Gdy k
≠
0, obserwator na Ziemi
widzi jednocześnie dwa obrazy
tej samej gwiazdy A.
Obserwator
na Ziemi
2
v
c
6.6. Równoczesność zjawisk fizycznych
( ) ( ) ( )
.
2
2
2
2
t
c
x
ct
x
′
−
′
=
−
Przede wszystkim zauwaŜymy, Ŝe
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
27
( )
( ) ( ) ( )
.
2
2
2
2
2
t
c
x
t
c
x
′
∆
−
′
∆
=
∆
−
∆
Dokładniej:
Wniosek 1
( )
( )
2
2
2
t
c
x
∆
−
∆
WyraŜenie, interwał czasowy
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
28
( )
( )
t
c
x
∆
−
∆
ma taką samą wartość we wszystkich
układach odniesienia.
Wniosek 2
( )
( ) ( )
,
2
2
2
2
x
t
c
x
′
∆
=
∆
−
∆
Dwa zjawiska równoczesne w układzie (x’,t’)
nie są równoczesne w układzie (x,t).
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
29
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
.
,
2
2
2
2
2
2
2
2
c
x
x
t
x
t
c
x
′
∆
−
∆
=
∆
′
∆
=
∆
−
∆
(
)
(
)
,
1
1
−
=
′
γ
Vt
x
x
W układzie (x’,t’) poruszającym się z prędkością V,
pręt ma długość l’.
Jaką długość ten pręt ma w układzie
spoczywającym (x,t)?
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
30
(
)
(
)
(
)
.
,
,
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
−
′
−
′
=
−
−
=
′
−
′
−
=
′
γ
γ
γ
x
x
x
x
x
x
x
x
Vt
x
x
,
1
2
2
2
2
1
V
c
V
l
x
x
−
′
=
−
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
31
.
1
2
2
c
V
l
l
−
′
=
Prędkość c jest maksymalną wartością prędkości.
32
6.7 Struktura czasoprzestrzeni
(C. H. Hinton, 1887, H. Minkowski 1908)
Definicje:
1. Zdarzenie - zjawisko fizyczne odbywające się
w krótkim odstępie czasu i zajmujące
nieskończenie małą część przestrzeni - punkt
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
33
nieskończenie małą część przestrzeni - punkt
ś
wiata.
2. Linia świata - linia łącząca punkty świata, na
przykład cząstki elementarne.
3. Czasoprzestrzeń - zbiór wszystkich punktów
ś
wiata.
Ruch mezonu
µ
po okręgu
w przestrzeni
x
y
µ
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
34
Ruch mezonu
µ
w
czasoprzestrzeni
(Hinton, 1887)
Ruch jednostajny prostoliniowy w
czasoprzestrzeni (1+1)
t
v małe
.
v
x
t
=
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
35
x
v duŜe
STW
,
c
v
≤
t
przyszłość
v < c
v = c
v = -c
linia świata światła
linie świata cząstek
leŜą wewnątrz
i na brzegu stoŜka
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
36
x
y
linie świata cząstek m
≠
0
stoŜek światła
przeszłość
Wszystkie informacje przekazywane są z
prędkościami mniejszymi lub równymi
prędkości światła.
Stąd wszystkie linie świata leŜą wewnątrz
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
37
Stąd wszystkie linie świata leŜą wewnątrz
stoŜków światła.
x
ct
38
x
linie świata światła
Czasoprzestrzeń składa się ze:
• światła,
• punktów świata,
• linii świata,
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
39
• linii świata,
• świadomości.
6.8 Istota Szczególnej Teorii
Względności
I. Transformacja Lorentza
′
=
′
=
=
′
=
′
,
,
,
y
y
x
x
y
y
x
x
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
40
(
)
(
)
′
+
′
=
′
+
′
=
′
=
′
=
↔
−
=
′
−
=
′
=
′
=
′
2
2
,
,
,
,
c
z
V
t
t
t
V
z
z
y
y
x
x
c
Vz
t
t
Vt
z
z
y
y
x
x
γ
γ
γ
γ
(1)
Opisuje w sposób symetryczny (tylko ze zmianą
kierunku wektora ) związek między
obserwatorem znajdującym się w inercyjnym
układzie (x, y, z, t) i obserwatorem znajdującym
się w inercyjnym układzie (x’, y’, z’, t’).
II. Wszystkie prawa fizyki wyglądają tak samo w
obu układach inercyjnych.
V
r
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
41
obu układach inercyjnych.
III. „Primowany” układ współrzędnych jest
„naturalnym” układem odniesienia dla
obserwatora, który poruszając się z prędkością V
(względem układu nieprimowanego) uwaŜa się za
obserwatora nieruchomego.
IV. Dla kaŜdego wybranego układu
współrzędnych (x,y,z,t) istnieje odpowiadający
mu „primowany” układ współrzędnych
(x’,y’,z’,t’) będący w ruchu względem (x,y,z,t).
Układ „primowany” wykazuje skrócenie
Lorentza oraz dylatację czasu Larmora.
Przykłady zastosowania własności I-IV
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
42
Przykłady zastosowania własności I-IV
1. RozwaŜmy w układzie (x,y,z,t) zbiornik z
gazami o bokach z =
±
L
/
2
. Ten sam zbiornik w
układzie (x’,y’,z’,t’) poruszającym się z
prędkością V wzdłuŜ osi z ma boki z’=
±
L
/
2
.
Korzystając ze wzorów (1) otrzymujemy:
(
)
,
2
,
2
Vt
z
L
Vt
z
L
z
−
=
±
−
=
±
=
′
γ
γ
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
43
,
2
Vt
z
−
=
±
γ
.
1
2
2
2
c
V
L
Vt
z
−
±
=
Wniosek
Zbiornik porusza się w układzie (x,y,z,t) z
prędkością V wzdłuŜ osi z i jest „węŜszy”
(skrócenie Fitzgeralda
*
).
2. RozwaŜmy cząstkę (mion,
µ
) przelatującą przez
punkt (x
1
, y
1
, z
1
) w chwilach t
1
i t
2
.
V
r
µ
44
V
µ
(t
1
, t
2
= t+T)
*
Fizyk irlandzki George Francis Fitzgerald publikuje w 1889 r. w Science artykuł,
w którym stwierdza: kaŜde ciało poruszające się z prędkością V ulega skróceniu w
kierunku ruchu o czynnik
.
/
1
/
1
2
2
c
V
−
=
γ
To samo zdarzenie w układzie
(x
1
’, y
1
’, z
1
’) (w którym
µ
spoczywa) ma miejsce
w chwilach t’= t
1
, t
2
+T’.
Przy tym:
.
,
,
,
,
2
1
1
1
1
t
t
t
z
z
y
y
x
x
=
′
=
′
=
′
=
′
oraz na podstawie wzoru (1)
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
45
(
)
(
)
.
,
;
,
;
,
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
+
+
=
+
+
=
=
′
=
′
c
Vz
t
c
Vz
t
t
Vt
z
Vt
z
z
y
y
x
x
γ
γ
γ
γ
oraz na podstawie wzoru (1)
(
)
.
2
1
1
2
1
2
T
T
t
t
c
Vz
t
c
z
V
t
T
′
=
′
=
−
=
=
+
−
+
=
γ
γ
γ
γ
Wniosek 2.1
Miejsce zdarzenia (na przykład rozpadający się
mezon
µ
) porusza się z prędkością V, a jego czas
Ŝ
ycia T’= t
2
-t
1
wydłuŜa się zgodnie ze wzorem:
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
46
(
)
.
1
2
2
1
2
c
V
T
t
t
−
=
′
=
−
=
γ
γ
(Funkcja , tzw czynnik Larmora został
po raz pierwszy uŜyty przez J. Larmora, Aether and
Matter, Cambridge 1900).
2
1
1
c
V
−
=
γ
Wniosek 2.2
KaŜdy z obu obserwatorów (spoczywających w
układzie (x,y,z,t) i (x’,y’,z’,t’) odpowiednio przypisuje
skrócenie Fitzgeralda i dylatację Larmora zdarzeniom
odbywającym się w układzie poruszającym się
względem niego.
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
47
względem niego.
W swoim własnym układzie nie jest w stanie
stwierdzić skrócenia Fitzgeralda i dylatacji Larmora,
gdyŜ równieŜ sam podlega tym zjawiskom
(„ściśnięcia” siatkówki oka, oraz zwolnienia procesów
w mózgu).
Nowa definicja metra
(B.W.Pentley, New definition of the metre,
Nature 303, (1983) 373-376):
1 metr = odległość, jaką przebywa światło
lasera helowo-neonowego (
λ
= 6330 Å)
w ciągu
1
/
s.
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
48
w ciągu
1
/
299792458
s.
1 rok świetlny = odległość, jaką światło
przebywa w ciągu 365 dni.
1ly = 365 · 24 · 3600 · c = 9,46 · 10
12
km.
An Angstrom-long Meter Stick
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
49
http://www.aps.anl.gov/apsimage/mossbauer2nd.html
6.9 Doświadczenie W. Bertozziego
L=8.4 m
Tarcza metalowa
NiezaleŜny
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
50
strumień
Pomiar czasu przelotu
L=8.4 m
elektronów
NiezaleŜny
pomiar
prędkości
elektronów
.
1
2
2
2
0
c
v
c
m
E
c
−
=
Energia całkowita elektronu
Energia kinetyczna elektronu
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
51
(
)
.
1
1
2
0
2
0
2
2
2
0
−
=
−
−
=
γ
c
m
c
m
c
v
c
m
T
kin
Energia kinetyczna elektronu
Definicja
(
)
(
)
,
1
,
1
2
4
0
2
2
2
2
4
0
2
2
0
c
m
c
v
c
v
c
m
c
m
T
=
−
−
=
+
kin
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
52
(
)
(
)
.
1
,
1
2
2
0
4
2
0
2
2
2
2
0
2
c
m
T
c
m
c
v
c
m
T
c
+
−
=
+
=
−
kin
kin
2
0
c
m
T
>>
kin
4
2
2
c
m
v
a.
Cząstki relatywistyczne
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
53
( )
.
,
1
1
2
0
2
4
2
0
2
2
c
m
T
T
c
m
c
v
>>
→
−
=
kin
kin
gdy
2
0
c
m
T
<<
kin
b.
Cząstki nierelatywistyczne
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
54
(
)
,
2
2
2
0
2
0
2
2
c
m
T
c
m
T
T
c
v
+
+
=
kin
kin
2
kin
.
2
2
2
0
4
2
0
2
0
2
2
c
m
T
c
m
c
m
T
c
v
kin
kin
=
→
.
2
1
2
1
2
0
2
2
2
0
v
m
c
v
c
m
T
=
⋅
=
kin
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
55
.
1
0
2
2
0
v
m
c
v
v
m
v
m
p
r
r
r
r
γ
=
−
=
=
Pęd cząstki relatywistycznej:
6.10 Własności cząstek relatywistycznych
Energia
całkowita
nierelatywistyczne
relatywistyczne
Cząstki
2
2
2
0
1
c
v
c
m
−
2
2
2
0
mv
c
m
+
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
56
Pęd
Energia
kinetyczna
całkowita
c
(
)
1
2
0
−
γ
c
m
2
2
0
v
m
γ
v
m
r
0
v
m
r
0
.
1
1
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
c
m
c
v
v
m
c
v
c
m
p
c
E
=
−
−
−
=
−
Stąd:
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
57
( )
.
,
4
2
0
2
4
2
0
2
2
2
c
m
pc
E
c
m
c
p
E
+
=
+
=
Stąd:
;
;
;
;
0
2
2
0
c
c
p
c
E
c
E
p
c
p
E
m
=
=
=
=
≡
≡
foton
foton
foton
foton
foton
foton
masie
o
cząstka
Foton
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
58
.
;
;
c
v
v
p
v
p
=
=
=
foton
foton
foton
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
59
6.11 Własności fotonu,
elektronu, protonu
E/c
0
c
foton
Pęd
Masa
Prędkość
Cząstka
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
60
981
MeV
≤
c
proton
0.5
MeV
≤
c
elektron
E/c
0
c
foton
γ
e
v
m
r
0
γ
p
v
m
r
0
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
61
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
62
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
63
Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b
64
To jest ostatni slajd drugiej części rozdziału pt. „Wstęp
do Szczególnej Teorii Względności”.
MoŜesz:
•przejść do „Spisu treści” i wybrać kolejny rozdział,
•wrócić do materiału zawartego w tym rozdziale,
•zakończyć pokaz .
65
Spis treści
Koniec
pokazu