Wprowadzenie do fizyki

Mirosław Kozłowski

rok akad. 2002/2003

Część 6b

Wstęp do

Szczególnej Teorii

Względności

6.3 Doświadczenie Bucherera

.

6.4 Transformacja H. Lorenza.
6.5 Składanie prędkości.

Wstęp do Szczególnej Teorii

Względności cz. b

Slajd podsumowania

Koniec
pokazu

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

3

6.5 Składanie prędkości.
6.6 Równoczesność zjawisk fizycznych.
6.7 Struktura czasoprzestrzeni.
6.8 Istota Szczególnej Teorii Względności.
6.9 Doświadczenie W. Bertozziego.
6.10 Własności cząstek relatywistycznych.
6.11 Własności fotonu, elektronu, protonu.

Linki do stron WWW

Hyper Physics

4

Astronomy Picture of the Day

Space Photos and Images

6.3 Doświadczenie Bucherera

B

r

Filtr

e/m

1

e/m

2

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

5

Wniosek:
e/m zależy od prędkości elektronów.

Filtr
prędkości

v

1

cząstki,

masa

stałe

stałe,

def

≡

=

−

=

=

−

=

2

2

2

0

2

2

0

1

1

c

v

m

m

c

v

m

e

m

e

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

6

cząstki,

zna

wewnętr

energia

m

def

0

≡

−

=

2

2

2

2

1

c

v

mc

c

(m

0

i c nie zależą od inercyjnego układu odniesienia).

.

1

2

2

2

0

c

v

c

m

E

c

−

=

Energia całkowita cząstki o masie m

0:

Nowe jednostki energii wewnętrznej i masy
cząstek:

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

7

cząstek:
1eV=1.6 10

-12

erg,

1MeV=10

6

eV=1.6 10

-6

erg,

1GeV= 10

9

eV=1.6 10

-3

erg,

1TeV=10

12

eV=1.6 erg.

(

)

1836

10

51

10

99

81

10

11

.

9

4

8

2

28

2

0

E

c

m

E

W

=

⋅

=

=

=

⋅

=

⋅

⋅

=

=

⋅

⋅

⋅

=

=

=

−

−

E

MeV,

0.51

eV

erg

cm/s

10

3

g

elektron

proton

10

elektron

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

8

.

1

51

.

0

1836

1836

2

0

c

E

m

E

W

W

=

=

≅

=

⋅

=

=

⋅

=

cząstki

Masa

GeV,

E

MeV,

939.2

MeV

E

proton

W

elektron

proton

W

Masy cząstek elementarnych

Nowe jednostki

Cząstka/jądro
atomowe

Masa, m

0

Elektron

0.51 MeV/c

2

Proton

938 MeV/c

2

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

9

Proton

938 MeV/c

2

Tlen O

16

~16x1 GeV/c

2

=16 GeV/c

2

Złoto Au

197

~200 GeV/c

2

a.

Czas życia cząstek elementarnych jest
różny
w różnych układach odniesienia.

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

10

b.

Nietrwała cząstka

µ

- mezon mi, żyje w

laboratorium 2

µ

s=2 10

-6

s.

d>10km

Powierzchnia Ziemi

Cząstki

µ

są produkowane na przykład w centrum

Słońca i w zderzeniach cząstek elementarnych w
górnych warstwach atmosfery Ziemi.

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

11

Powierzchnia Ziemi

Opis nierelatywistyczny:
l - droga przebyta przez mezon

µ,

l = 2 · 10

-6

s ·3 ·10

5

km/s=0.6 km,

l

<<

d. Nie możemy obserwować mezonów

µ

na powierzchni Ziemi.

Wnioski z doświadczenia

a.

Mezony

µ

dla obserwatora na powierzchni

Ziemi muszą żyć znacznie dłużej.

∆

t’ = czas życia mezonów

µ

w ich własnym

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

12

∆

t’ = czas życia mezonów

µ

w ich własnym

układzie odniesienia,

∆

t = czas życia mezonów

µ

dla obserwatora na

powierzchni Ziemi,

.

t

t

′

∆

>>

∆

Nazywamy to zjawisko „dylatacja” czasu -
„rozciągnięcie czasu”.

Mamy więc:

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

13

.

1

,

>>

′

∆

=

∆

γ

γ

t

t

Mamy więc:

.

1

1

2













−

=

c

V

γ

b.

γ

jest funkcją v prędkości mezonów

µ.

Idealną zgodność otrzymamy gdy przyjmiemy:

c.

Zegary poruszające się z różnymi

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

14

.

1

1

2

2

t

c

V

t

′

∆

−

=

∆

c.

Zegary poruszające się z różnymi
prędkościami odmierzają różny czas.

6.4 Transformacja H. Lorentza

( )

.

,

2









′

+

′

=

′

′

=

c

V

x

t

x

t

f

t

γ

γ

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

15





c

t

x

t’

x’

µ

V

r

,

'

,

'

t

t

t

t

∆

=

∆

=

γ

γ

Dla mezonu

µ

spoczywającego

w układzie (t’, x’), x’= 0.

Stąd

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

16

,

'

t

t

∆

=

∆

γ

(

)

(

)

.

Vt

x

Vt

x

t

V

x

x

+

′

=

+

′

=

=

′

+

′

=

γ

γ

Dla małych prędkości mezonu

µ

, V/c<<1

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

17

.

Vt

x

x

+

′

=

Jest to transformacja Galileusza.

(

)

,

2

c

x

V

t

t













′

+

′

=

γ

Transformacja H. Lorentza

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

18

(

)

.

,

t

t

t

V

x

x

′

≠

′

+

′

=





γ

6.5 Składanie prędkości

t’

t

v’

V

r

Rozważamy dwa układy odniesienia:

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

19

t’

t

x

x’

v’

V

Ile wynosi prędkość cząstki o masie m
w układzie (x, t)?

(

)

,

,

2

t

V

x

x

c

x

V

t

t

′

+

′

=













′

+

′

=

γ

γ

Transformacja Poincaré-Lorentza

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

20

(

)

.

1

1

,

2

2

c

V

t

V

x

x

−

=

′

+

′

=

γ

γ

,

1

,

v

V

t

t

v

V

t

t

t

v

x









′

+

′

=









′

′

+

′

=

′

′

=

′

γ

γ

Równanie ruchu punktu materialnego

w układzie (x’,t’):

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

21

(

)

(

)

.

,

1

2

2

V

v

t

t

V

t

v

x

c

v

V

t

c

t

v

V

t

t

+

′

′

=

′

+

′

′

=













′

+

′

=













′

′

+

′

=

γ

γ

γ

γ

(

)

,

1

lim

,

,

1

2

0

2

c

v

V

V

v

t

x

v

V

v

t

x

c

v

V

t

t

t

′

+

+

′

=

∆

∆

=

+

′

′

∆

=

∆













′

+

′

∆

=

∆

→

∆

γ

γ

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

22

1

2

c

+

.

1

2

c

v

V

V

v

v

′

+

+

′

=

T. Alväger et al.,
Physics Letters, 12, (1964) 260,
„Test of the second postulate of special relativity in
the GeV region (CERN)”.
Postulat STW:
Prędkość światła nie zależy od prędkości źródła.

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

23

Relatywistyczny wzór na dodawanie prędkości:

.

1

2

c

vV

V

v

v

+

+

=

′

,

1

,

,

,

,

99975

,

0

,

2

0

0

+

+

+

=

+

=

′

+

=

′

′

=

′

=

=

+

→

c

cV

V

c

kV

c

c

kV

c

c

c

v

c

v

c

V

γ

π

γ

γ

π

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

24

.

0

,

0

,

0

,

,

1

2

2

=

≠

=













+

+

=

+

+

+

+

+

=

+

k

V

c

V

V

k

V

c

c

kV

kV

V

c

c

V

V

c

kV

c

Wynik eksperymentu przeprowadzonego w
CERN:
k = 10

-5

(STW, k = 0).

K. Brecher,
„Is the speed of light independent of the velocity

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

25

of the source?”
Phys. Rev. Lett., 39, (1977), 1051.

)

0

,

(

,

10

2

,

9

=

⋅

<

+

=

′

−

k

k

kv

c

c

STW

Podwójny układ gwiazd (A+B)

A

B

c+kv

1

Ś

rodek masy

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

26

Gdy k

≠

0, obserwator na Ziemi

widzi jednocześnie dwa obrazy
tej samej gwiazdy A.

Obserwator
na Ziemi

2

v

c

6.6. Równoczesność zjawisk fizycznych

( ) ( ) ( )

.

2

2

2

2

t

c

x

ct

x

′

−

′

=

−

Przede wszystkim zauważymy, że

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

27

( )

( ) ( ) ( )

.

2

2

2

2

2

t

c

x

t

c

x

′

∆

−

′

∆

=

∆

−

∆

Dokładniej:

Wniosek 1

( )

( )

2

2

2

t

c

x

∆

−

∆

Wyrażenie, interwał czasowy

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

28

( )

( )

t

c

x

∆

−

∆

ma taką samą wartość we wszystkich
układach odniesienia.

Wniosek 2

( )

( ) ( )

,

2

2

2

2

x

t

c

x

′

∆

=

∆

−

∆

Dwa zjawiska równoczesne w układzie (x’,t’)
nie są równoczesne w układzie (x,t).

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

29

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

.

,

2

2

2

2

2

2

2

2

c

x

x

t

x

t

c

x

′

∆

−

∆

=

∆

′

∆

=

∆

−

∆

(

)

(

)

,

1

1

−

=

′

γ

Vt

x

x

W układzie (x’,t’) poruszającym się z prędkością V,
pręt ma długość l’.

Jaką długość ten pręt ma w układzie
spoczywającym (x,t)?

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

30

(

)

(

)

(

)

.

,

,

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

−

′

−

′

=

−

−

=

′

−

′

−

=

′

γ

γ

γ

x

x

x

x

x

x

x

x

Vt

x

x

,

1

2

2

2

2

1

V

c

V

l

x

x

−

′

=

−

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

31

.

1

2

2

c

V

l

l

−

′

=

Prędkość c jest maksymalną wartością prędkości.

32

6.7 Struktura czasoprzestrzeni

(C. H. Hinton, 1887, H. Minkowski 1908)

Definicje:
1. Zdarzenie - zjawisko fizyczne odbywające się

w krótkim odstępie czasu i zajmujące
nieskończenie małą część przestrzeni - punkt

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

33

nieskończenie małą część przestrzeni - punkt
ś

wiata.

2. Linia świata - linia łącząca punkty świata, na

przykład cząstki elementarne.

3. Czasoprzestrzeń - zbiór wszystkich punktów

ś

wiata.

Ruch mezonu

µ

po okręgu

w przestrzeni

x

y

µ

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

34

Ruch mezonu

µ

w

czasoprzestrzeni
(Hinton, 1887)

Ruch jednostajny prostoliniowy w
czasoprzestrzeni (1+1)

t

v małe

.

v

x

t

=

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

35

x

v duże

STW

,

c

v

≤

t

przyszłość

v < c

v = c

v = -c

linia świata światła

linie świata cząstek
leżą wewnątrz
i na brzegu stożka

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

36

x

y

linie świata cząstek m

≠

0

stożek światła

przeszłość

Wszystkie informacje przekazywane są z
prędkościami mniejszymi lub równymi
prędkości światła.
Stąd wszystkie linie świata leżą wewnątrz

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

37

Stąd wszystkie linie świata leżą wewnątrz
stożków światła.

x

ct

38

x

linie świata światła

Czasoprzestrzeń składa się ze:
• światła,
• punktów świata,
• linii świata,

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

39

• linii świata,
• świadomości.

6.8 Istota Szczególnej Teorii

Względności

I. Transformacja Lorentza





′

=

′

=





=

′

=

′

,

,

,

y

y

x

x

y

y

x

x

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

40

(

)

(

)

























′

+

′

=

′

+

′

=

′

=

′

=

↔

























−

=

′

−

=

′

=

′

=

′

2

2

,

,

,

,

c

z

V

t

t

t

V

z

z

y

y

x

x

c

Vz

t

t

Vt

z

z

y

y

x

x

γ

γ

γ

γ

(1)

Opisuje w sposób symetryczny (tylko ze zmianą

kierunku wektora ) związek między
obserwatorem znajdującym się w inercyjnym
układzie (x, y, z, t) i obserwatorem znajdującym
się w inercyjnym układzie (x’, y’, z’, t’).

II. Wszystkie prawa fizyki wyglądają tak samo w

obu układach inercyjnych.

V

r

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

41

obu układach inercyjnych.

III. „Primowany” układ współrzędnych jest

„naturalnym” układem odniesienia dla
obserwatora, który poruszając się z prędkością V
(względem układu nieprimowanego) uważa się za
obserwatora nieruchomego.

IV. Dla każdego wybranego układu

współrzędnych (x,y,z,t) istnieje odpowiadający
mu „primowany” układ współrzędnych
(x’,y’,z’,t’) będący w ruchu względem (x,y,z,t).
Układ „primowany” wykazuje skrócenie
Lorentza oraz dylatację czasu Larmora.

Przykłady zastosowania własności I-IV

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

42

Przykłady zastosowania własności I-IV

1. Rozważmy w układzie (x,y,z,t) zbiornik z

gazami o bokach z =

±

L

/

2

. Ten sam zbiornik w

układzie (x’,y’,z’,t’) poruszającym się z
prędkością V wzdłuż osi z ma boki z’=

±

L

/

2

.

Korzystając ze wzorów (1) otrzymujemy:

(

)

,

2

,

2

Vt

z

L

Vt

z

L

z

−

=

±

−

=

±

=

′

γ

γ

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

43

,

2

Vt

z

−

=

±

γ

.

1

2

2

2

c

V

L

Vt

z

−

±

=

Wniosek
Zbiornik porusza się w układzie (x,y,z,t) z

prędkością V wzdłuż osi z i jest „węższy”
(skrócenie Fitzgeralda

*

).

2. Rozważmy cząstkę (mion,

µ

) przelatującą przez

punkt (x

1

, y

1

, z

1

) w chwilach t

1

i t

2

.

V

r

µ

44

V

µ

(t

1

, t

2

= t+T)

*

Fizyk irlandzki George Francis Fitzgerald publikuje w 1889 r. w Science artykuł,

w którym stwierdza: każde ciało poruszające się z prędkością V ulega skróceniu w
kierunku ruchu o czynnik

.

/

1

/

1

2

2

c

V

−

=

γ

To samo zdarzenie w układzie
(x

1

’, y

1

’, z

1

’) (w którym

µ

spoczywa) ma miejsce

w chwilach t’= t

1

, t

2

+T’.

Przy tym:

.

,

,

,

,

2

1

1

1

1

t

t

t

z

z

y

y

x

x

=

′

=

′

=

′

=

′

oraz na podstawie wzoru (1)

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

45

(

)

(

)

.

,

;

,

;

,

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

1

1













+













+

=

+

+

=

=

′

=

′

c

Vz

t

c

Vz

t

t

Vt

z

Vt

z

z

y

y

x

x

γ

γ

γ

γ

oraz na podstawie wzoru (1)

(

)

.

2

1

1

2

1

2

T

T

t

t

c

Vz

t

c

z

V

t

T

′

=

′

=

−

=

=













+

−













+

=

γ

γ

γ

γ

Wniosek 2.1
Miejsce zdarzenia (na przykład rozpadający się
mezon

µ

) porusza się z prędkością V, a jego czas

ż

ycia T’= t

2

-t

1

wydłuża się zgodnie ze wzorem:

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

46

(

)

.

1

2

2

1

2

c

V

T

t

t

−

=

′

=

−

=

γ

γ

(Funkcja , tzw czynnik Larmora został
po raz pierwszy użyty przez J. Larmora, Aether and
Matter, Cambridge 1900).

2

1

1

c

V

−

=

γ

Wniosek 2.2
Każdy z obu obserwatorów (spoczywających w
układzie (x,y,z,t) i (x’,y’,z’,t’) odpowiednio przypisuje
skrócenie Fitzgeralda i dylatację Larmora zdarzeniom
odbywającym się w układzie poruszającym się
względem niego.

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

47

względem niego.
W swoim własnym układzie nie jest w stanie
stwierdzić skrócenia Fitzgeralda i dylatacji Larmora,
gdyż również sam podlega tym zjawiskom
(„ściśnięcia” siatkówki oka, oraz zwolnienia procesów
w mózgu).

Nowa definicja metra
(B.W.Pentley, New definition of the metre,
Nature 303, (1983) 373-376):

1 metr = odległość, jaką przebywa światło
lasera helowo-neonowego (

λ

= 6330 Å)

w ciągu

1

/

s.

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

48

w ciągu

1

/

299792458

s.

1 rok świetlny = odległość, jaką światło
przebywa w ciągu 365 dni.
1ly = 365 · 24 · 3600 · c = 9,46 · 10

12

km.

An Angstrom-long Meter Stick

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

49

http://www.aps.anl.gov/apsimage/mossbauer2nd.html

6.9 Doświadczenie W. Bertozziego

L=8.4 m

Tarcza metalowa
Niezależny

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

50

strumień

Pomiar czasu przelotu

L=8.4 m

elektronów

Niezależny
pomiar
prędkości
elektronów

.

1

2

2

2

0

c

v

c

m

E

c

−

=

Energia całkowita elektronu

Energia kinetyczna elektronu

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

51

(

)

.

1

1

2

0

2

0

2

2

2

0

−

=

−

−

=

γ

c

m

c

m

c

v

c

m

T

kin

Energia kinetyczna elektronu
Definicja

(

)

(

)

,

1

,

1

2

4

0

2

2

2

2

4

0

2

2

0

c

m

c

v

c

v

c

m

c

m

T

=

−

−

=

+

kin

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

52

(

)

(

)

.

1

,

1

2

2

0

4

2

0

2

2

2

2

0

2

c

m

T

c

m

c

v

c

m

T

c

+

−

=

+

=

−

kin

kin

2

0

c

m

T

>>

kin

4

2

2

c

m

v





a.

Cząstki relatywistyczne

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

53

( )

.

,

1

1

2

0

2

4

2

0

2

2

c

m

T

T

c

m

c

v

>>

→















−

=

kin

kin

gdy

2

0

c

m

T

<<

kin

b.

Cząstki nierelatywistyczne

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

54

(

)

,

2

2

2

0

2

0

2

2

c

m

T

c

m

T

T

c

v

+

+

=

kin

kin

2

kin

.

2

2

2

0

4

2

0

2

0

2

2

c

m

T

c

m

c

m

T

c

v

kin

kin

=

→

.

2

1

2

1

2

0

2

2

2

0

v

m

c

v

c

m

T

=

⋅

=

kin

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

55

.

1

0

2

2

0

v

m

c

v

v

m

v

m

p

r

r

r

r

γ

=

−

=

=

Pęd cząstki relatywistycznej:

6.10 Własności cząstek relatywistycznych

Energia
całkowita

nierelatywistyczne

relatywistyczne

Cząstki

2

2

2

0

1

c

v

c

m

−

2

2

2

0

mv

c

m

+

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

56

Pęd

Energia
kinetyczna

całkowita

c

(

)

1

2

0

−

γ

c

m

2

2

0

v

m

γ

v

m

r

0

v

m

r

0

.

1

1

2

2

0

2

2

2

2

0

2

2

2

2

0

2

2

2

c

m

c

v

v

m

c

v

c

m

p

c

E

=













−

−













−

=

−

Stąd:

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

57

( )

.

,

4

2

0

2

4

2

0

2

2

2

c

m

pc

E

c

m

c

p

E

+

=

+

=

Stąd:

;

;

;

;

0

2

2

0

c

c

p

c

E

c

E

p

c

p

E

m

=

=

=

=

≡

≡

foton

foton

foton

foton

foton

foton

masie

o

cząstka

Foton

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

58

.

;

;

c

v

v

p

v

p

=

=

=

foton

foton

foton

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

59

6.11 Własności fotonu,

elektronu, protonu

E/c

0

c

foton

Pęd

Masa

Prędkość

Cząstka

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

60

981

MeV

≤

c

proton

0.5

MeV

≤

c

elektron

E/c

0

c

foton

γ

e

v

m

r

0

γ

p

v

m

r

0

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

61

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

62

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

63

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

64

To jest ostatni slajd drugiej części rozdziału pt. „Wstęp
do Szczególnej Teorii Względności”.
Możesz:
•przejść do „Spisu treści” i wybrać kolejny rozdział,
•wrócić do materiału zawartego w tym rozdziale,
•zakończyć pokaz .

65

Spis treści

Koniec
pokazu