Egzamin dla Aktuariuszy z 25 stycznia 2003 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
Innymi słowami: losujemy do momentu pierwszej czarnej, ile średnio będzie białych (patrząc
z drugiej strony)
b,c i dalej
=
=
=
=
15
25
9
9
)
15
(
,
15
25
9
10
)
14
(
,...,
15
25
9
22
)
2
(
,
15
25
9
23
)
1
(
P
P
P
P
liczymy na piechotę:
11
15
=
EX
Zadanie 2
(
) (
)
=
−
≥
=
≤
−
=
+
≤
=
≤
+
∈
X
t
t
Y
P
tY
t
X
P
Y
X
t
X
P
t
Y
X
X
P
t
1
)
1
(
)
(
)
1
,
0
(
4
8
47
6
∫ ∫
∫
−
−
=
−
=
−
=
−
=
=
t
x
x
t
t
t
t
t
t
t
t
t
x
x
dx
t
x
dydx
0
1
1
0
2
0
2
2
2
2
2
2
g(z)=1 dla
1
0
≤
≤
z
Zadanie 3
0
3
=
µ
dla symetrycznych
3
2
3
3
2
3
µ
m
µ
m
µ
+
−
=
[
]
3
2
3
2
3
)
)(
2
)(
1
(
)
1
(
3
)
2
)(
1
(
)
1
(
3
EX
n
n
n
EXEX
n
n
nEX
X
X
X
n
n
n
X
X
n
n
nX
E
ODP
k
j
i
j
i
−
−
+
−
+
=
−
−
+
−
+
=
}
(
)
2
3
3
2
2
3
2
0
3
3
3
2
3
2
3
µσ
µ
µ
µ
σ
µ
µ
m
µ
µ
EX
+
=
−
+
=
−
+
=
=
