Egzamin dla Aktuariuszy z 12 stycznia 2002 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
J(0,1)
X
n
)
1
,
0
(
1
≅
−
≅
⋅
=
+
iloczyn
X
J
X
X
X
X
n
n
n
Z tego:
( )
n
n
n
n
n
n
n
n
X
EX
EX
EX
2
2
2
2
1
3
1
var
3
1
2
1
−
=
=
=
=
3
1
4
1
12
1
2
=
+
=
EX
1
3
4
2
1
1
3
4
2
1
2
1
4
1
3
1
2
−
=
−
=
−
=
n
n
n
n
n
n
n
ODP
Zadanie 2
Metodą eliminacji dla
2
=
A
N
(
)
(
)
(
)
(
)
=
=
=
+
=
=
⋅
+
=
=
+
=
=
2
2
1
2
2
1
1
1
6
2
6
2
1
1
A
A
A
A
N
A
P
N
A
P
N
A
E
N
N
E
3
1
7
66
28
2
4
8
6
2
12
8
8
2
8
2
2
12
8
8
1
4
1
8
1
6
=
⋅
+
⋅
+
=
+
+
=
i pasuje tylko odpowiedź (E)
moŜna policzyć
A
EN
EN
i
1
i sprawdzić czy
(
)
1
1
EN
N
N
EE
A
=
Zadanie 3
( )
4
var
2
X
X
Y
≤
( )
(
)
=
+
=
+
X
Y
E
X
X
E
X
var
2
var
)
(
4
1
var
2
1
2
( )
(
)
X
Y
E
X
E
X
var
)
(
4
1
var
4
1
2
=
+
( )
(
)
→
=
<
=
2
2
2
4
1
4
var
4
1
EX
X
E
X
Y
E
EX
jesli
sprzeczność
1
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2
2
4
2
4
2
2
−
=
−
+
−
=
−
→
−
≅
−
n
n
n
σ
n
S
E
n
χ
σ
n
S
1
)
1
(
)
1
)(
1
(
)
1
(
4
2
4
4
−
+
=
+
−
−
=
n
n
σ
n
n
n
σ
ES
=
−
−
+
+
+
−
+
+
=
4
4
2
2
2
4
4
2
2
2
4
1
)
1
(
1
2
6
3
var
µ
n
n
σ
n
µ
σ
n
σ
n
µ
n
σ
µ
n
σ
=
−
+
+
+
=
−
+
+
−
−
+
=
)
1
(
)
1
(
4
)
1
(
)
1
(
2
2
6
3
2
4
2
2
2
4
2
4
2
2
2
4
2
2
2
4
n
n
n
σ
n
σ
µ
n
σ
n
n
n
σ
n
µ
σ
n
σ
n
σ
µ
n
σ
2
2
4
2
2
2
4
2
2
2
4
4
4
)
1
(
2
4
)
1
(
2
4
)
1
(
)
1
(
)
1
(
σ
µ
n
σ
n
n
σ
µ
n
n
n
σ
n
σ
µ
n
n
n
n
σ
σ
n
+
−
=
+
−
=
+
−
+
+
−
=
Zadanie 8
Innymi słowami: znaleźć n takie by test najmocniejszy istniał
(
)
(
)
05
,
0
1
,
0
005
,
1
ln
2
1
2
1
0
2
10
2
1
,
10
0
2
2
=
+
>
=
>
Π
Π
∑
∑
∑
−
−
−
−
n
t
X
P
t
e
e
P
i
X
n
X
n
i
i
n
n
n
t
n
n
n
t
n
n
X
P
i
10
64
,
1
1
,
0
005
,
1
ln
64
,
1
05
,
0
10
1
,
0
005
,
1
ln
10
0
+
=
+
→
→=
=
−
+
>
−
=
∑
moc:
0
1
,
10
10
64
,
1
5
,
0
1
,
10
10
64
,
1
1
,
10
≤
−
+
→
≥
−
+
>
−
∑
n
n
n
n
n
n
n
n
X
P
i
271
96
,
268
4
,
16
64
,
1
1
,
0
≈
≥
≥
≥
n
n
n
Zadanie 9
S: c-kwantyl rzędu 0,01 z chi(5), z tego c=0,554
∑
=
+
+
−
=
=
=
3
1
2
3
2
1
2
123
2
456
456
2
123
123
3
2
1
,
211
,
0
2
,
211
,
0
2
:
i
i
X
X
X
X
S
S
G
S
G
N
∑
=
+
+
−
=
6
4
2
6
5
4
2
456
3
2
1
i
i
X
X
X
X
S
≅
≅
)
2
(
2
od
nzl
2
2
123
2
456
2
123
χ
σ
S
S
S
