305
WYKŁAD Nr 24
FUNKCJE ZESPOLONE
1. FUNKCJE ZESPOLONE ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
Def.1.1. (funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej)
Niech będzie dany przedział
R
⊆
T
. Funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej nazywamy
przyporządkowanie każdej liczbie rzeczywistej
T
t
∈ dokładnie jednej liczby zespolonej należącej do
otwartej płaszczyzny zespolonej Gaussa.
Przyjmujemy następujące oznaczenia:
T
t
t
z
z
∈
=
dla
)
(
lub też
)
(
)
(
t
jy
t
x
z
+
=
, przy czym
)
(
)
(
Im
),
(
)
(
Re
t
y
t
z
t
x
t
z
=
=
Określenie funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej jest równoważne z określeniem dwóch funkcji
rzeczywistych zmiennej rzeczywistej:
)
(
),
(
t
y
t
x
. Zatem badanie funkcji zespolonych zmiennej
rzeczywistej sprowadza się do badania dwóch funkcji rzeczywistych.
Uwaga
: Równość
)
(
)
(
t
jy
t
x
z
+
=
jest równoważna następującemu układowi równań:
T
t
t
y
y
t
x
x
∈
=
=
)
(
)
(
.
Jeśli jest to przedstawienie parametryczne pewnej linii na płaszczyźnie, to
)
(t
z
z
=
jest przedstawieniem
tej linii w postaci zespolonej.
Przykład: Jaką linię przedstawia równanie
π
∈
+
=
2
,
0
,
0
t
re
z
z
jt
.
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru Eulera
t
j
t
e
jt
sin
cos
+
=
otrzymujemy:
(
)
t
j
t
r
jy
x
z
sin
cos
0
0
+
+
+
=
.
Zatem po grupowaniu mamy:
(
)
t
r
y
j
t
r
x
z
sin
cos
0
0
+
+
+
=
.
Równość ta odpowiada następującemu układowi:
π
∈
+
=
+
=
2
,
0
sin
cos
0
0
t
t
r
y
y
t
r
x
x
,
czyli
π
∈
=
−
=
−
2
,
0
sin
cos
0
0
t
t
r
y
y
t
r
x
x
.
Stąd podnosząc obustronnie do kwadratu i sumując otrzymane wyrażenia mamy:
(
)
(
)
t
r
t
r
y
y
x
x
2
2
2
2
2
0
2
0
sin
cos
+
=
−
+
−
, więc
(
)
(
)
2
2
0
2
0
r
y
y
x
x
=
−
+
−
.
Jest to równanie okręgu o środku w punkcie
(
)
0
0
0
, y
x
z
=
i promieniu r.
Niektóre przedstawienia parametryczne krzywych na płaszczyźnie zespolonej:
a)
Niech
Z
∈
2
1
, z
z
. Krzywa o opisie parametrycznym
(
)
t
z
z
z
t
z
1
2
1
)
(
−
+
=
dla
1
,
0
∈
t
przedstawia odcinek o początku w punkcie
1
z
i końcu w punkcie
2
z
.
b)
Niech
{ }
0
\
,
0
Z
Z
∈
∈
a
z
Linia o przedstawieniu parametrycznym
t
a
z
t
z
+
=
1
)
(
, gdzie
R
∈
t
przedstawia prostą o kierunku a i przechodzącą przez punkt
0
z
.
306
c)
Niech
0
,
,
0
>
∈
∈
r
r
z
R
Z
. Krzywa o opisie parametrycznym
jt
re
z
z
+
=
0
dla
π
∈
2
,
0
t
przedstawia dodatnio skierowany okrąg o środku w punkcie
(
)
0
0
0
, y
x
z
=
i promieniu r.
d)
Elipsa o środku
0
z
i półosiach a, b równoległych do osi Re z ma następujące przedstawienie
parametryczne:
t
jb
t
a
z
t
z
sin
cos
)
(
0
+
+
=
, gdzie
π
∈
2
,
0
t
.
Tw.1.1. (warunek konieczny i dostateczny istnienia granicy funkcji
)
(t
z
z
=
)
Na to, aby funkcja
)
(t
z
z
=
miała w punkcie
T
t
∈
0
granicę
jh
g
+
potrzeba i wystarcza, by część
rzeczywista i część urojona funkcji
)
(t
z
z
=
miały w tym punkcie odpowiednio granice g i h.
Def.1.2. (pochodna funkcji
)
(t
z
)
Pochodną funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej w punkcie
0
t
nazywamy granicę:
t
t
z
t
t
z
t
∆
−
∆
+
→
∆
)
(
)
(
lim
0
0
0
,
czyli
t
z
t
∆
∆
→
∆
0
lim
, a oznaczamy ją
)
(
0
t
z′
.
Tw.1.2. (o istnieniu pochodnej funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej)
Na to, aby funkcja
)
(t
z
z
=
miała w punkcie
T
t
∈
0
pochodną
)
(
0
t
z′
potrzeba i wystarcza, by istniały
pochodne części rzeczywistej i części urojonej tej funkcji w punkcie
0
t
. Wówczas prawdziwy jest
następujący wzór:
)
(
)
(
)
(
0
0
0
t
y
j
t
x
t
z
′
+
′
=
′
Uzasadnienie: Ponieważ
t
y
j
t
x
t
z
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
, więc istnienie pochodnej
)
(
0
t
z′
jest równoważne istnieniu
pochodnych
)
(
0
t
x′
i
)
(
0
t
y′
.
Przykład: Obliczyć
)
0
(
z′
, jeżeli
jt
e
t
z
jt
2
)
(
2
−
=
.
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru Eulera:
ϕ
+
ϕ
=
ϕ
sin
cos
j
e
j
mamy:
(
)
t
t
j
t
jt
t
j
t
t
z
2
2
sin
2
cos
2
2
sin
2
cos
)
(
−
+
=
−
+
=
czyli
t
t
t
y
t
t
x
2
2
sin
)
(
,
2
cos
)
(
−
=
=
stąd
2
2
cos
2
)
(
,
2
sin
2
)
(
−
=
′
−
=
′
t
t
y
t
t
x
dla każdego t.
Zatem na podstawie Tw.1.2. otrzymujemy:
(
)
2
2
cos
2
2
sin
2
)
(
0
0
0
−
+
−
=
′
t
j
t
t
z
.
Ostatecznie dla
0
0
=
t
otrzymamy
0
)
0
(
=
′
z
Równanie stycznej do krzywej
)
(t
z
z
=
w punkcie
0
t
ma postać
t
t
z
t
z
z
⋅
′
+
=
)
(
)
(
0
0
, gdzie
R
∈
t
.
307
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji
)
(t
z
Jeżeli L jest gładkim łukiem, o przedstawieniu parametrycznym
T
t
t
z
z
∈
=
,
)
(
, skierowanym zgodnie ze
wzrostem parametru t, to przy założeniu
( )
0
0
≠
′ t
z
, wektor
[
]
)
(
),
(
0
0
t
y
t
x
′
′
=
s
r
jest styczny do linii L w
punkcie
)
(
0
t
z
i skierowany zgodnie z tym łukiem.
Moduł
)
(
0
t
z′
przedstawia wówczas długość wektora s
r
, a argument
)
(
Arg
0
t
z′
- zbiór wszystkich miar
łukowych kąta skierowanego, jaki wektor s
r
tworzy z osią rzeczywistą.
Rys.1. Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji
)
(t
z
Def.1.3. (całka oznaczona funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej)
Niech
)
(
)
(
)
(
t
jy
t
x
t
z
+
=
,
β
α
∈
,
t
. Jeżeli funkcje
)
(
i
)
(
t
y
t
x
są całkowalne w przedziale
β
α,
to
całkę oznaczoną z funkcji zespolonej
)
(t
z
z
=
na przedziale
β
α,
definiujemy następująco:
∫
∫
∫
β
α
β
α
β
α
+
=
dt
t
y
j
dt
t
x
dt
t
z
)
(
)
(
)
(
Uwaga
: W przypadku całek oznaczonych z funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej wykorzystujemy
znane wzory i twierdzenia z analizy rzeczywistej.
Def.1.4. (funkcja pierwotna)
Niech
)
(
)
(
)
(
t
jy
t
x
t
z
+
=
,
β
α
∈
,
t
. Mówimy, że funkcja
Z
→
β
α,
:
W
jest funkcją pierwotną funkcji
)
(t
z
na przedziale
β
α,
, gdy dla każdego
β
α
∈
,
t
mamy
)
(
)
(
t
z
t
W
=
′
Tw.1.3. (wzór Newtona – Leibniza)
Niech
)
(
)
(
)
(
t
jY
t
X
t
W
+
=
będzie funkcją pierwotną funkcji
)
(
)
(
)
(
t
jy
t
x
t
z
+
=
ciągłej na przedziale
β
α,
. Wówczas zachodzi związek:
)
(
)
(
)
(
α
−
β
=
∫
β
α
W
W
dt
t
z
Uwaga:
Funkcje
)
(
),
(
t
Y
t
X
są funkcjami pierwotnymi odpowiednio części rzeczywistej i części urojonej
funkcji
)
(t
z
, tj. funkcji:
)
(
),
(
t
y
t
x
.
s
r
z
Im
L
)
(
0
t
z
z
Re
)
(
0
t
t
z
∆
+
z
∆
δ
308
Przykład: Obliczyć
(
)
∫
π
+
2
0
2
cos
dt
tj
t
.
Rozwiązanie:
Korzystając z Def.1.3. i Tw.1.3. mamy:
(
)
4
1
0
2
0
sin
2
sin
sin
2
cos
2
cos
2
2
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2
0
π
+
=
−
π
+
−
π
=
+
=
+
=
+
π
π
π
π
π
∫
∫
∫
j
j
t
j
t
tdt
j
tdt
dt
tj
t
.
Ostatecznie
(
)
j
dt
tj
t
4
1
2
cos
2
2
0
π
+
=
+
∫
π
.
2. FUNKCJE ZESPOLONE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
Def.2.1. (funkcja zespolona zmiennej zespolonej)
Niech
Ω - pewien niepusty zbiór liczb zespolonych.
Jeżeli każdej liczbie zespolonej
Ω
∈
z
przyporządkujemy dokładnie jedną liczbę zespoloną w, to
mówimy, że w zbiorze
Ω została określona funkcja zespolona zmiennej zespolonej.
Oznaczamy
)
(z
f
w
=
dla
Ω
∈
z
lub
)
,
(
)
,
(
y
x
v
j
y
x
u
w
+
=
,
gdzie
)
(
Im
)
,
(
),
(
Re
)
,
(
,
Im
,
Re
z
f
y
x
v
z
f
y
x
u
z
y
z
x
=
=
=
=
.
Funkcję
)
,
(
y
x
u
nazywamy częścią rzeczywistą, natomiast funkcję
)
,
(
y
x
v
– częścią urojoną funkcji
)
(z
f
.
Przykład: Znaleźć część rzeczywistą i część urojoną funkcji
z
z
z
f
1
)
(
+
=
.
Rozwiązanie:
Niech
jy
x
z
+
=
, wówczas
2
2
2
2
2
2
1
1
)
(
y
x
y
j
y
x
x
y
x
jy
x
z
f
+
+
+
+
=
+
+
+
=
Stąd
+
=
+
+
=
2
2
2
2
)
,
(
1
)
,
(
y
x
y
y
x
v
y
x
x
y
x
u
309
Przykład: Dana jest para funkcji
−
=
+
=
y
x
v
y
x
u
2
. Utworzyć funkcję zespoloną
)
(z
f
o części rzeczywistej u
i części urojonej v.
Rozwiązanie:
Korzystając z Def.2.1. mamy:
(
)
y
x
j
y
x
z
f
2
)
(
−
+
+
=
.
Uwaga
:
j
z
z
y
z
z
x
2
,
2
−
=
+
=
Stąd na podstawie Uwagi:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
z
z
z
z
j
z
z
j
z
z
j
z
z
z
z
j
j
z
z
z
z
z
f
−
−
+
+
−
−
+
=
−
−
+
+
−
+
+
=
Ostatecznie po przekształceniach:
z
j
z
z
f
+
+
−
=
2
3
2
1
)
(
.
Def.2.2. (granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej)
Niech
)
,
(
)
,
(
)
(
y
x
v
j
y
x
u
z
f
+
=
określona na zbiorze
Z
⊆
Ω
,
Ω
∈
0
z
.
Mówimy, że liczba zespolona g jest granicą właściwą funkcji
)
(z
f
w punkcie
0
0
0
jy
x
z
+
=
, gdy
=
=
⇔
=
→
→
→
g
y
x
v
g
y
x
u
g
z
f
y
x
y
x
y
x
y
x
z
z
Im
)
,
(
lim
Re
)
,
(
lim
)
(
lim
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
0
0
Def.2.3. (pochodna funkcji zespolonej zmiennej zespolonej)
Niech
)
,
(
)
,
(
)
(
y
x
v
j
y
x
u
z
f
+
=
– funkcja określona w pewnym otoczeniu Q punktu
0
z
.
Symbolem
z
∆ oznaczamy przyrost zmiennej z taki, że
Q
z
z
z
∈
∆
+
≠
∆
0
i
0
. Przyrostowi
z
∆
odpowiada przyrost
w
∆
wartości funkcji:
v
j
u
z
f
z
z
f
w
∆
+
∆
=
−
∆
+
=
∆
)
(
)
(
0
0
.
Granicę właściwą
z
z
f
z
z
f
z
∆
−
∆
+
→
∆
)
(
)
(
lim
0
0
0
nazywamy pochodną funkcji
)
(z
f
w punkcie
0
z
i oznaczamy
)
(
0
z
f ′
.
Przykład: Obliczyć na podstawie definicji pochodną funkcji
2
3
)
(
z
z
f
=
w punkcie
0
z
Rozwiązanie:
Korzystając z Def.2.3. mamy:
(
)
[
]
(
)
0
0
0
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0
0
0
6
2
lim
3
2
lim
3
3
)
(
3
lim
)
(
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
f
z
z
z
=
∆
+
=
∆
−
∆
+
∆
+
=
∆
−
∆
+
=
′
→
∆
→
∆
→
∆
Jeśli istnieje
)
(
0
z
f ′
, to funkcja jest ciągła w punkcie
0
z
.
310
Tw.2.1. (warunek konieczny istnienia
)
(
0
z
f ′
)
Jeżeli funkcja
)
(z
f
ma w punkcie
0
0
0
jy
x
z
+
=
pochodną
)
(
0
z
f ′
, to pochodne cząstkowe
y
v
x
v
y
u
x
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,
,
,
istnieją w punkcie
(
)
0
0
, y
x
i spełniają warunki:
(*)
x
v
y
u
y
v
x
u
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
i
Uwaga
: Równości określone wzorami (*) nazywamy WARUNKAMI CAUCHY’EGO – RIEMANNA.
Tw.2.2. (warunek wystarczający istnienia
)
(
0
z
f ′
)
Jeżeli funkcje
)
,
(
i
)
,
(
y
x
v
y
x
u
są różniczkowalne w punkcie
(
)
0
0
, y
x
oraz spełniają w tym punkcie
warunki Cauchy’ego – Riemanna, to funkcja
)
,
(
)
,
(
)
(
y
x
v
j
y
x
u
z
f
+
=
ma pochodną w punkcie
0
0
0
jy
x
z
+
=
.
Tw.2.3.
Jeżeli funkcje
)
,
(
i
)
,
(
y
x
v
y
x
u
są ciągłe w obszarze D oraz spełniają na tym obszarze warunki
Cauchy’ego – Riemanna, to funkcja
)
,
(
)
,
(
)
(
y
x
v
j
y
x
u
z
f
+
=
ma pochodną w obszarze D.
Jeżeli
)
(
0
z
f ′
istnieje dla każdego
Ω
∈
0
z
, to na zbiorze
Ω określona jest funkcja pochodna
)
(z
f ′
.
Zamiast
)
(z
f ′
piszemy często
dz
df
.
Twierdzenia o obliczaniu pochodnych
)
(z
f ′
Tw.2.4.
Jeżeli
)
(z
f
jest stała, to
0
)
(
=
′ z
f
Tw.2.5.
Jeżeli
N
∈
=
n
z
z
f
n
,
)
(
, to
1
)
(
−
⋅
=
′
n
z
n
z
f
Tw.2.6. (o działaniach arytmetycznych na pochodnych)
Jeżeli istnieją pochodne
)
(z
f ′
i
)
(z
h′
, to
1)
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
z
h
z
f
z
h
z
f
′
±
′
=
′
±
2)
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
z
h
z
f
z
h
z
f
z
h
z
f
′
⋅
+
⋅
′
=
′
⋅
3)
0
)
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
≠
′
⋅
−
⋅
′
=
′
z
h
z
h
z
h
z
f
z
h
z
f
z
h
z
f
311
Tw.2.7. (o pochodnej funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja
)
(z
ϕ
=
ζ
ma pochodną
)
(z
ϕ′
oraz funkcja
)
(
ζ
= f
w
ma pochodną
)
(
ζ
′
f
, to funkcja
złożona
[
]
)
(
)
(
gdzie
),
(
z
f
z
F
z
F
w
ϕ
=
=
ma pochodną
)
(
)
(
)
(
z
f
z
F
ϕ′
⋅
ζ
′
=
′
.
Def.2.4. (pochodna rzędu n+1)
Pochodną rzędu n+1 funkcji
)
(z
f
definiujemy jako
(
)
( )
( )
z
z
f
z
z
f
z
f
n
n
z
n
∆
−
∆
+
=
→
∆
+
)
(
)
(
lim
)
(
0
1
.
Def.2.5. (funkcja holomorficzna w punkcie)
Funkcję zmiennej zespolonej
)
(z
f
nazywamy funkcją holomorficzną w punkcie
0
z
, jeżeli ma pochodną
)
(z
f ′
w pewnym otoczeniu Q punktu
0
z
.
Def.2.6. (funkcja holomorficzna w obszarze)
Jeżeli funkcja
)
(z
f
jest holomorficzna w każdym punkcie obszaru D, to mówimy, że jest holomorficzna
w tym obszarze.
Uwaga
: Holomorficzność w obszarze oznacza istnienie pochodnej w każdym punkcie tego obszaru.
Tw.2.8
Jeżeli funkcja
)
(z
f
jest holomorficzna w obszarze D, funkcje
)
,
(
i
)
,
(
y
x
v
y
x
u
posiadają ciągłe
pochodne cząstkowe rzędu drugiego w D, to funkcje te spełniają równania
(**)
0
i
0
2
2
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
v
y
u
x
u
Def.2.7. (funkcja harmoniczna)
Funkcję rzeczywistą dwóch zmiennych
)
,
(
y
x
g
nazywamy funkcją harmoniczną, jeżeli spełnia
równanie Laplace’a
:
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
g
x
g
.
Uwaga
: Z Tw.2.8. i Def.2.7. wynika, że część rzeczywista i część urojona funkcji holomorficznej na
pewnym obszarze są funkcjami harmonicznymi na tym obszarze.
Przykład:
Znaleźć funkcję holomorficzną
)
(z
f
, jeśli jej część rzeczywista
y
e
x
y
x
u
x
cos
2
)
,
(
−
=
.
Rozwiązanie:
Niech
)
(
Im
)
,
(
z
f
y
x
v
=
.
Jeśli funkcja
)
(z
f
jest holomorficzna w pewnym obszarze to posiada pochodną w każdym punkcie tego
obszaru, a zatem funkcje
)
,
(
i
)
,
(
y
x
v
y
x
u
spełniają w tym obszarze warunki Cauchy’ ego – Riemanna.
Stąd
y
u
x
v
x
u
y
v
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
i
.
312
Obliczamy, więc pochodne cząstkowe danej funkcji
)
,
(
y
x
u
:
(
)
y
e
y
e
x
x
u
x
x
x
cos
2
cos
2
'
−
=
−
=
∂
∂
(
)
y
e
y
e
x
y
u
x
y
x
sin
cos
2
'
−
=
−
=
∂
∂
Zatem
(1)
y
e
y
v
x
cos
2
−
=
∂
∂
i
(2)
y
e
x
v
x
sin
−
=
∂
∂
Całkujemy równanie (2) względem x i otrzymujemy:
(3)
)
(
sin
)
,
(
y
y
e
y
x
v
x
ϕ
+
−
=
,
gdzie
)
( y
ϕ
– funkcja różniczkowalna zmiennej y.
Różniczkujemy równanie (3) po y i mamy:
(4)
)
(
cos
y
y
e
y
v
x
ϕ′
+
−
=
∂
∂
Porównując (1) i (4) otrzymamy:
,
2
)
(
=
ϕ′ y
czyli
C
y
y
+
=
ϕ
2
)
(
.
Stąd
C
y
y
e
y
x
v
x
+
+
−
=
2
sin
)
,
(
Wobec tego funkcja
)
(z
f
ma postać
(
)
C
y
y
e
j
y
e
x
z
f
x
x
+
+
−
+
−
=
2
sin
cos
2
)
(
Należy teraz prawą stronę równości wyrazić przez zmienną z, gdzie
jy
x
z
+
=
.
Korzystając ze wzoru Eulera i grupowania wyrazów mamy:
(
)
(
)
Cj
e
z
Cj
e
jy
x
Cj
y
je
y
e
jy
x
z
f
z
jy
x
x
x
+
−
=
+
−
+
=
+
+
−
+
=
+
2
2
sin
cos
2
2
)
(
Ostatecznie
A
e
z
z
f
z
+
−
= 2
)
(
,
gdzie A – dowolna stała urojona, która stanowi wartość funkcji
)
(z
f
w początku układu,
)
0
(
f
A
=
.
3. FUNKCJE ELEMENTARNE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
Do funkcji elementarnych zaliczane są: wielomiany, funkcje wymierne, funkcja potęgowa, funkcja
wykładnicza, funkcje trygonometryczne, funkcje odwrotne do wymienionych oraz wszystkie funkcje
otrzymane w wyniku skończenie wielu superpozycji. Wielomiany i funkcje wymierne określa się dla
zmiennej zespolonej analogicznie jak dla zmiennej rzeczywistej. Pozostałe funkcje elementarne zmiennej
zespolonej wymagają zdefiniowania.
313
Funkcja wykładnicza
Dla dowolnej liczby zespolonej
jy
x
z
+
=
funkcję wykładniczą określamy następująco:
(
)
y
j
y
e
e
x
z
sin
cos
+
=
Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej
z
e
jest funkcją okresową o okresie
j
π
2
, bowiem zastępując
liczbę z liczbą
j
z
π
+ 2
otrzymujemy:
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
z
x
x
y
j
x
j
z
e
y
j
y
e
y
j
y
e
e
e
=
+
=
π
+
+
π
+
=
=
π
+
+
π
+
sin
cos
2
sin
2
cos
2
2
Funkcja logarytmiczna
Logarytmem (wieloznacznym) liczby zespolonej
0
≠
z
nazywamy każdą liczbę zespoloną
jv
u
w
+
=
spełniającą warunek
z
e
w
=
i oznaczamy symbolem Ln.
Równość
w
z
=
Ln
oznacza, że
z
e
w
=
.
Podstawiając w tej ostatniej równości
jv
u
w
+
=
oraz
(
)
ϕ
+
ϕ
=
sin
cos
j
r
z
, gdzie
z
z
r
arg
,
=
ϕ
=
,
otrzymujemy równość:
(
)
(
)
ϕ
+
ϕ
=
+
sin
cos
sin
cos
j
r
v
j
v
e
u
z której wynika, że
r
e
u
=
, czyli
z
r
u
ln
ln
=
=
(w tym przypadku ln oznacza logarytm naturalny w
dziedzinie rzeczywistej) oraz że
π
+
ϕ
=
k
v
2
, (k – dowolna liczba całkowita), czyli
z
v
Arg
=
.
Z powyższych związków otrzymujemy:
z
j
z
z
Arg
ln
Ln
+
=
Uwaga:
Logarytm zera nie istnieje, gdyż
0
≠
w
e
.
Uwaga:
Wieloznaczność Ln z wynika z wieloznaczności Arg z.
Jeśli Arg z zastąpimy argumentem głównym arg z, to otrzymamy jednoznaczną funkcję zmiennej
zespolonej z, określoną dla
0
≠
z
, którą nazywamy logarytmem głównym, a oznaczamy ln. Stąd
z
j
z
z
arg
ln
ln
+
=
Między logarytmem wieloznacznym a logarytmem głównym zachodzi związek
j
k
z
z
π
+
=
2
ln
Ln
Przykład: Obliczyć Ln z oraz ln z, jeśli
j
z
3
3
3
+
−
=
.
Rozwiązanie:
Moduł i argument główny liczby z wynoszą odpowiednio:
6
36
=
=
z
,
3
2
arg
π
=
z
.
Stąd
(
)
(
)
3
2
6
ln
3
3
3
ln
,
2
3
2
6
ln
3
3
3
Ln
π
+
=
+
−
π
+
π
+
=
+
−
j
j
k
j
j
.
314
Związek między funkcją wykładniczą a funkcjami trygonometrycznymi
Ponieważ
z
j
z
e
jz
sin
cos
+
=
, więc zastępując z przez – z otrzymamy
z
j
z
e
jz
sin
cos
−
=
−
.
Rozwiązując układ tych dwóch równań (tj. układ
−
=
+
=
−
z
j
z
e
z
j
z
e
jz
jz
sin
cos
sin
cos
) względem
z
z
sin
,
cos
,
otrzymujemy równości:
(
)
(
)
jz
jz
jz
jz
e
e
j
z
e
e
z
−
−
−
=
+
=
2
1
sin
,
2
1
cos
Pozostałe funkcje definiujemy następująco:
z
z
z
z
z
z
sin
cos
ctg
,
cos
sin
tg
=
=
Przykład: Obliczyć
j
sin .
Rozwiązanie:
(
)
(
)
1
sinh
2
1
1
2
1
sin
1
1
1
1
⋅
=
−
⋅
−
=
−
=
−
−
j
e
e
j
e
e
j
j
.
Związek między funkcją wykładniczą a funkcjami hiperbolicznymi
Funkcje hiperboliczne definiujemy na płaszczyźnie zespolonej za pomocą funkcji wykładniczej
analogicznie jak dla zmiennej rzeczywistej.
(
)
(
)
z
z
z
z
e
e
z
e
e
z
−
−
+
=
−
=
2
1
cosh
,
2
1
sinh
z
z
z
z
z
z
sinh
cosh
ctgh
,
cosh
sinh
tgh
=
=
Funkcja potęgowa
Niech
s
z
, będą dowolnymi liczbami zespolonymi,
0
≠
z
.
Potęgą o podstawie z i wykładniku s nazywamy każdą liczbę zespoloną określoną wzorem:
z
s
s
e
z
Ln
=
.
Potęga
s
z
ma na ogół nieskończenie wiele wartości:
(
)
j
k
s
z
s
j
k
z
s
s
e
e
e
z
π
π
+
=
=
2
ln
2
ln
, gdzie
...
,
2
,
1
,
0
±
±
=
k
Liczbę
z
s
e
ln
nazywamy wartością główną potęgi.
Uwaga:
Jeśli s – liczba całkowita to potęga ma dokładnie jedną wartość, bo wówczas
1
2
=
π j
k
s
e
.
Przykład: Obliczyć:
( )
j
j
j
,
1
−
.
Rozwiązanie:
( )
( )
(
)
(
)
π
−
π
−
π
+
π
+
π
+
−
=
=
=
−
k
j
k
j
j
j
k
j
j
e
e
e
2
2
1
ln
2
1
ln
1
(
)
π
−
π
−
π
+
π
+
π
+
=
=
=
k
j
k
j
j
j
k
j
j
j
e
e
e
j
2
2
2
2
1
ln
2
ln
315
Ostatecznie:
( )
π
−
π
−
=
−
k
j
e
2
1
,
π
−
π
−
=
k
j
e
j
2
2
.
4.CAŁKA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
Def.4.1. (funkcja pierwotna)
Jeśli w obszarze D jest dana holomorficzna funkcja f zmiennej zespolonej z, to każdą funkcję F zmiennej
z
, która w obszarze D ma pochodną równą funkcji f
D
z
z
f
z
F
∈
=
′
)
(
)
(
nazywamy funkcją pierwotną funkcji f w obszarze D.
Def.4.2. (całka nieoznaczona funkcji f w obszarze D)
Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f w obszarze D, to wyrażenie
∫
∈
+
=
D
z
C
z
F
dz
z
f
)
(
)
(
gdzie C – dowolna stała zespolona, nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f w obszarze D.
Uwaga
: Całki nieoznaczone funkcji elementarnych zmiennej zespolonej oblicza się według tych samych
reguł co całki tych samych funkcji zmiennej rzeczywistej.
Przykład: Obliczyć
(
)
∫
−
dz
z
z
A
n
0
, gdzie
0
,
oraz
1
z
A
n
−
≠
– stałe zespolone.
Rozwiązanie:
Jeśli n – liczba całkowita,
const
z
const
A
n
=
=
−
≠
0
,
oraz
1
, to
(
)
(
)
C
z
z
n
A
dz
z
z
A
n
n
+
−
+
=
−
+
∫
1
0
0
1
.
Obszarem istnienia tej całki jest cała płaszczyzna zespolona, gdy
...
,
2
,
1
,
0
=
n
, względnie płaszczyzna
bez punktu
0
z
, gdy
...
,
4
,
3
,
2
−
−
−
=
n
Def.4.3. (całka funkcji
)
(z
f
wzdłuż łuku AB )
Niech
)
(z
f
będzie funkcją holomorficzną zmiennej zespolonej określoną na zwykłym łuku skierowanym
AB
, o przedstawieniu parametrycznym
β
α
∈
=
,
),
(
t
t
z
z
, zgodnym z kierunkiem tego łuku.
Przedział
β
α,
dzielimy na n podprzedziałów za pomocą punktów
k
t
,
n
k
...,
,
1
,
0
=
, takich, że
β
=
<
<
<
<
=
α
−
n
n
t
t
t
t
1
1
0
...
.
Oznaczamy
)
(
k
k
t
z
z
=
,
n
k
...,
,
1
,
0
=
oraz
1
−
−
=
∆
k
k
k
z
z
z
,
n
k
...,
,
2
,
1
=
.
Na każdym łuku
AB
z
z
k
k
⊂
−1
wybieramy punkt
k
ζ ,
n
k
...,
,
2
,
1
=
i tworzymy sumę całkową
∑
=
∆
ζ
=
n
k
k
k
n
z
f
S
1
)
(
316
Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału
β
α,
ciąg sum całkowych
n
S
jest zbieżny do
tej samej granicy skończonej, niezależnie od wyboru punktów
k
ζ , to tę granicę nazywamy całką funkcji
)
(z
f
wzdłuż łuku AB i oznaczamy symbolem
∫
AB
dz
z
f
)
(
Tw.4.1.
Jeżeli
)
(
Im
)
,
(
),
(
Re
)
,
(
z
f
y
x
v
z
f
y
x
u
=
=
to całka
∫
AB
dz
z
f
)
(
istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją
całki krzywoliniowe skierowane
∫
∫
+
−
AB
AB
y
d
u
dx
v
y
d
v
dx
u
oraz
, przy czym
∫
∫
∫
+
+
−
=
AB
AB
AB
dy
u
dx
v
j
dy
v
dx
u
dz
z
f
)
(
Przykład: Obliczyć
∫
⋅
AB
dz
z
z
, gdzie AB – łuk okręgu
R
z
=
zawartym między punktami
R
z
=
oraz
j
R
z
=
.
Rozwiązanie:
Łuk AB jest łukiem okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu R leżącym w
pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, skierowanym dodatnio.
Równanie tego okręgu
2
,
0
,
sin
cos
)
(
π
∈
+
=
t
t
jR
t
R
t
z
, czyli
t
R
t
y
t
R
t
x
sin
)
(
,
cos
)
(
=
=
.
Niech
jy
x
z
+
=
.
Wówczas
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
)
(
y
x
y
j
y
x
x
y
x
jy
x
z
f
+
−
+
+
=
+
−
=
.
Stąd
2
2
2
2
)
,
(
,
)
,
(
y
x
y
y
x
v
y
x
x
y
x
u
+
−
=
+
=
.
dy
y
x
x
dx
y
x
y
j
dy
y
x
y
dx
y
x
x
dz
z
z
AB
AB
AB
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
−
+
+
+
+
=
⋅
∫
∫
∫
Korzystając z twierdzenia o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną mamy
(
)
[
]
(
)
[
]
=
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
∫
∫
π
π
2
0
2
0
cos
cos
sin
sin
cos
sin
sin
cos
dt
t
R
R
t
R
t
R
R
t
R
j
dt
t
R
R
t
R
t
R
R
t
R
(
)
2
cos
sin
3
2
0
2
2
3
π
⋅
=
+
=
∫
π
R
j
dt
t
t
R
j
Ostatecznie powyższa całka po wskazanym łuku wynosi:
2
3
R
j
dz
z
z
AB
π
=
⋅
∫
.
317
Uwaga
: Jeśli całka
∫
AB
dz
z
f
)
(
istnieje to mówimy, że
)
(z
f
jest całkowalna wzdłuż łuku AB.
Własności całki
∫
AB
dz
z
f
)
(
Jeśli funkcje
)
(
i
)
(
z
h
z
f
są całkowalne wzdłuż łuku AB, k – dowolna stała, to
1)
∫
∫
=
AB
AB
dz
z
f
k
dz
z
f
k
)
(
)
(
,
2)
[
]
∫
∫
∫
+
=
+
AB
AB
AB
dz
z
h
dz
z
f
dz
z
h
z
f
)
(
)
(
)
(
)
(
.
Tw.4.2. (o zamianie całki na całkę oznaczoną)
Jeżeli funkcja
)
(z
f
jest ciągła na zwykłym łuku gładkim
{
}
β
α
∈
=
=
,
),
(
:
t
t
z
z
z
AB
, skierowanym
zgodnie ze wzrostem parametru t, to
[
]
∫
∫
β
α
′
⋅
=
dt
t
z
t
z
f
dz
z
f
AB
)
(
)
(
)
(
Uwaga
: Jeśli łuk AB jest zamknięty (A = B), czyli krzywa jest krzywą Jordana, to oznaczamy go jedną
literą C i zamiast
∫
AB
dz
z
f
)
(
piszemy zwykle
∫
C
dz
z
f
)
(
.
Przykład: Obliczyć
(
)
∫
−
C
n
z
z
dz
0
, gdzie C – okrąg
R
z
z
=
−
0
skierowany dodatnio, n – liczba całkowita.
Rozwiązanie:
Równanie okręgu o środku w punkcie
0
z
i promieniu R zapisujemy następująco:
π
∈
+
=
2
,
0
,
0
t
e
R
z
z
jt
zatem
jt
e
jR
t
z
=
′ )
(
.
Stąd
(
)
(
)
∫
∫
∫
π
−
−
π
=
=
−
2
0
1
1
2
0
0
dt
e
R
j
dt
e
R
e
jR
z
z
dz
t
n
j
n
jnt
n
jt
C
n
Dla
1
≠
n
mamy:
(
)
(
)
0
1
1
)
1
(
1
)
1
(
1
2
0
)
1
(
1
2
0
1
1
=
−
−
=
−
=
−
π
=
=
−
−
π
−
−
∫
n
t
t
t
n
j
n
t
n
j
n
R
n
n
j
e
R
j
dt
e
R
j
Dla
1
=
n
mamy:
(
)
π
⋅
=
=
=
∫
∫
∫
π
π
π
−
−
2
2
0
2
0
0
0
2
0
1
1
j
dt
j
dt
e
R
j
dt
e
R
j
t
n
j
n
.
Ostatecznie
(
)
≠
=
π
=
−
∫
1
dla
0
1
dla
2
0
n
n
j
z
z
dz
C
n
.
318
Uwaga
: Całka funkcji ciągłej wzdłuż łuku kawałkami gładkiego istnieje i równa się sumie całek wzdłuż
gładkich części tego łuku.
Tw.4.3. (o module całki)
Jeżeli funkcja
)
(z
f
jest ciągła na kawałkami gładkim łuku zwykłym AB, to
ML
dz
z
f
AB
≤
∫
)
(
gdzie L – długość łuku AB, natomiast
)
(
sup
z
f
M
AB
=
Tw.4.4. (podstawowe tw. Cauchy’ego)
Jeżeli funkcja
)
(z
f
jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, a C jest kawałkami gładką krzywą
Jordana zawartą w tym obszarze, to
0
)
(
=
∫
C
dz
z
f
Wnioski z podstawowego twierdzenia Cauchy’ego
Wniosek 1: Jeżeli funkcja
)
(z
f
jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, to całka
∫
AB
dz
z
f
)
(
wzdłuż kawałkami gładkiego łuku
D
AB
⊂
nie zależy od kształtu tego łuku, a jedynie od
punktów A i B.
Zamiast
∫
AB
dz
z
f
)
(
możemy zapisać
B
z
A
z
dz
z
f
z
z
=
=
∫
2
1
,
gdzie
,
)
(
2
1
.
Wniosek 2: Jeżeli funkcja
)
(z
f
jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D,
)
(z
F
jest funkcją
pierwotną funkcji
)
(z
f
na tym obszarze oraz
D
z
z
∈
2
1
,
, to
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
z
F
z
F
dz
z
f
z
z
−
=
∫
.
Wniosek 3: Jeżeli funkcja
)
(z
f
jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D z wyjątkiem punktów
n
z
z
...,
,
1
należących do wnętrza kawałkami gładkiej krzywej Jordana
D
C
⊂
, to
∑ ∫
∫
=
=
n
k
K
C
k
dz
z
f
dz
z
f
1
)
(
)
(
,
gdzie
k
K
– okrąg o środku
n
k
z
k
...,
,
1
,
=
zawarty we wnętrzu krzywej C i o promieniu na
tyle małym, żeby
0
/
≠
∩
i
k
K
K
dla
n
i
k
i
k
...,
,
2
,
1
,
,
=
≠
.
Tw.4.5. (o wzorze całkowym Cauchy’ego)
Jeżeli funkcja
)
(z
f
jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D,
D
C
⊂
jest kawałkami gładką
krzywą Jordana zawartą w tym obszarze oraz
0
z
należy do wnętrza krzywej C, to
(*)
dz
z
z
z
f
j
z
f
C
∫
−
π
=
0
0
)
(
2
1
)
(
319
Równość (*) nazywamy wzorem całkowym Cauchy’ego.
Tw.4.6.
Jeżeli funkcja
)
(z
f
jest holomorficzna w obszarze D, to ma w tym obszarze pochodną każdego rzędu,
przy czym
( )
(
)
dz
z
z
z
f
j
n
z
f
K
n
n
∫
+
−
π
=
1
0
0
)
(
2
!
)
(
dla każdego
N
∈
n
i każdego
D
z
∈
0
, gdzie K – dowolny okrąg o środku
0
z
zawarty wraz ze swym
wnętrzem w obszarze D.
Przykład: Obliczyć
(
)
∫
−
π
C
z
z
z
dz
e
j
3
1
2
1
, wiedząc, że:
a)
punkt
0
1
=
z
leży wewnątrz, a punkt
1
2
=
z
na zewnątrz krzywej C,
b)
punkt
0
1
=
z
leży na zewnątrz, a punkt
1
2
=
z
wewnątrz krzywej C,
c)
punkty
0
1
=
z
,
1
2
=
z
leżą wewnątrz krzywej C,
d)
punkty
0
1
=
z
,
1
2
=
z
leżą na zewnątrz krzywej C.
Rozwiązanie:
Funkcja podcałkowa jest holomorficzna na płaszczyźnie zespolonej z wyjątkiem punktów
0
1
=
z
,
1
2
=
z
.
Ad. a)
W tym przypadku
0
1
=
z
leży wewnątrz, a punkt
1
2
=
z
na zewnątrz krzywej C, więc
(
)
(
)
(
)
∫
∫
∫
−
−
π
=
−
π
=
−
π
1
1
0
1
2
1
1
2
1
1
2
1
3
3
3
K
z
K
z
C
z
dz
z
z
e
j
dz
z
z
e
j
z
z
dz
e
j
,
gdzie
1
K
– okrąg o środku
1
z
zawarty wraz ze swym wnętrzem we wnętrzu krzywej C.
Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego dla
(
)
3
0
1
)
(
,
0
z
e
z
f
z
z
−
=
=
mamy:
dz
z
z
f
j
f
K
∫
−
π
=
0
)
(
2
1
)
0
(
.
Zatem
(
)
(
)
(
)
1
1
0
1
2
1
1
2
1
0
3
3
3
1
=
−
=
−
−
π
=
−
π
=
∫
∫
z
z
K
z
C
z
z
e
dz
z
z
e
j
z
z
dz
e
j
Ad. b)
W tym przypadku
1
2
=
z
leży wewnątrz krzywej C, natomiast
0
1
=
z
na zewnątrz, więc
(
)
(
)
(
)
∫
∫
∫
−
π
=
−
π
=
−
π
2
2
3
3
3
1
2
1
1
2
1
1
2
1
K
z
K
z
C
z
dz
z
z
e
j
dz
z
z
e
j
z
z
dz
e
j
,
320
gdzie
2
K
– okrąg o środku
2
z
zawarty wraz ze swym wnętrzem we wnętrzu krzywej C.
Korzystając z Tw. 4.6. dla
z
e
z
f
z
z
=
=
)
(
,
1
0
,
2
=
n
otrzymamy
(
)
!
)
1
(
1
)
(
2
1
1
2
n
f
dz
z
z
f
j
K
′
′
=
−
π
∫
+
czyli
(
)
(
)
(
)
=
′
−
−
=
′
−
−
=
″
−
=
−
−
π
=
−
π
=
=
=
∫
∫
1
2
1
2
1
3
3
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
z
z
z
z
z
z
K
z
z
C
z
z
z
e
z
e
ze
z
e
z
dz
z
e
j
z
z
dz
e
j
(
)
(
)
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
4
2
2
e
e
z
z
z
e
z
e
z
z
e
z
z
z
z
−
=
−
=
−
−
+
−
−
=
=
Ad. c)
W tym przypadku zarówno punkt
0
1
=
z
, jak i punkt
1
2
=
z
leżą wewnątrz krzywej C, więc korzystając z
Wniosku 3 oraz poprzednich podpunktów zadania mamy
(
)
(
)
(
)
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
3
3
3
e
z
z
dz
e
j
z
z
dz
e
j
z
z
dz
e
j
K
z
K
z
C
z
−
=
−
π
+
−
π
=
−
π
∫
∫
∫
Ad. d)
Ponieważ punkty
0
1
=
z
,
1
2
=
z
leżą na zewnątrz krzywej C, więc funkcja jest holomorficzna w pewnym
obszarze jednospójnym D, a C jest kawałkami gładką krzywą Jordana zawartą w tym obszarze.
Korzystając z podstawowego twierdzenia Cauchy’ego mamy
(
)
0
1
2
1
3
=
−
π
∫
C
z
z
z
dz
e
j
.