3. FUNKCJE ZESPOLONE.
1. Znaleźć część rzeczywistą i część urojoną
funkcji zespolonej
a)
f z
iz
i
( )
.
b)
2
)
(
z
z
f
c) f z
ze
z
( )
.
d)
f z
z
( )
1
e) f z
z
( )
2
f)
f z
z
( )
arg
g)
1
3
2
)
(
2
z
z
z
f
h)
f z
z
( )
1
1
2
i) f z
z
z
( )
1
2. Sprawdzić, czy następujące funkcje są
holomorficzne.
a)
x
y
iarctg
y
x
z
f
)
ln(
)
(
2
2
2
1
b)
f z
i
x
x
y
y
x
y
( )
2
2
2
2
c)
f z
i
x
x
y
y
x
y
( )
2
2
2
2
d)
i
y
x
xy
y
y
x
x
z
f
)
(
4
)
6
(
)
(
2
2
4
2
2
4
e)
f z
e
xy i
xy
x
y
( )
(cos
sin
)
2
2
2
2
3.
Znaleźć część urojoną pewnej funkcji holomorfi-
cznej
),
( z
f
jeśli znana jest jej część rzeczywista
.
a)
y
e
x
y
x
u
x
cos
)
,
(
b)
)
ln(
)
,
(
2
2
y
x
y
x
u
oraz
i
i
f
3
2
ln
)
1
(
c)
xy
y
x
y
x
u
2
2
)
,
(
d)
3
2
2
3
2
3
6
)
,
(
y
xy
y
x
x
y
x
u
4.
Znaleźć część rzeczywistą pewnej funkcji holo-
morficznej
),
( z
f
jeśli znana jest jej część urojona.
a)
2
2
)
,
(
y
x
y
x
v
b)
v x y
y
x
y
( , )
2
2
c)
y
xy
y
x
v
2
4
)
,
(
oraz
i
i
f
12
5
)
2
1
(
5. Obliczyć
a)
)
1
(
Ln
b)
)
3
(
8
i
Ln
c)
)
5
5
(
i
Ln
d)
)
cos(
3
i
e)
sin(
)
1 i
f)
cos(
)
5 i
g)
i
2
h)
i
i)
1
(
6. Wykazać, że
a)
1
cos
sin
2
2
z
z
b)
z
z
cos
cos
c)
)
cos(
sin
2
z
z
Odpowiedzi.
1.
a)
u
y v
x
,
1
b)
2
2
y
x
u
,
xy
v
2
c)
)
sin
cos
(
),
sin
cos
(
y
x
y
y
e
v
y
y
y
x
e
u
x
x
d)
2
2
2
2
y
x
y
y
x
x
, v
u
e)
2
2
y
x
u
,
xy
v
2
f)
u
arctg
v
y
x
,
0
g)
y
xy
v
x
y
x
u
3
4
,
1
3
2
2
2
2
h)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
)
1
(
2
4
)
1
(
1
,
y
x
y
x
xy
y
x
y
x
y
x
v
u
i)
2
2
2
2
,
1
y
x
y
v
y
x
x
u
2.
a,c,d,e tak
b) nie
3.
a)
C
y
e
y
y
x
v
x
sin
)
,
(
b)
C
arctg
y
x
v
x
y
2
)
,
(
)
2
(
)
ln(
)
(
2
2
C
arctg
i
y
x
z
f
x
y
,
3
2
1
C
c)
C
x
y
xy
y
x
v
2
2
2
1
2
1
2
)
,
(
d)
C
y
xy
y
x
x
y
x
v
3
2
2
3
6
3
2
)
,
(
4.
a)
C
xy
y
x
u
2
)
,
(
b)
C
y
x
u
y
x
x
2
2
)
,
(
c)
C
y
x
x
y
x
u
2
2
2
2
2
)
,
(
)
2
4
(
2
2
2
)
(
2
2
y
xy
i
C
y
x
x
z
f
,
9
C
5.
a)
i
k
)
1
2
(
b)
)
2
(
16
ln
6
11
k
i
c)
ln
(
)
5 2
2
1
4
i
k
d)
1
1
2
3
2
1
sh
i
ch
e)
ch
ish
1
1
1
1
sin
cos
f)
ch
ish
1
5
1
5
cos
sin
g) h) wskazówka
A
e
A
ln
g)
e
i
k
2
2
2
(cosln
sinln )
h)
e
i
k
4
2
2
2
(cosln
sinln
)