Filtracja - teoria 

 

Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń 

 
 

1 

Filtracja  to zjawisko  przepływu  płynu  przez  ośrodek  porowaty  (np.  wody  przez  grunt). W  większości 

przypadków  przepływ  odbywa  się  ruchem  laminarnym,  wyjątkiem może  być  przepływ  przez  pokłady 

grubego żwiru lub kamieni. Aby uprościć obliczenia wprowadzono pojęcie prędkości filtracji, czyli takiej 

prędkości, podczas której ciecz płynęłaby pełnym przekrojem ośrodka porowatego: 

= /  

Q – strumień objętości, 

A – przekrój całkowity, 

Przedstawiona  zależność,  zwana  prawem  filtracji,  została  podana  przez  Darcy’ego    w  postaci 

równania: 

=

∙  

J – spadek linii ciśnień (spadek hydrauliczny), 

k – współczynnik filtracji, zależny od średnicy ziaren, porowatości gruntu oraz lepkości cieczy 

Wartość  liczbowa  współczynnika  filtracji  wyznaczyć  można  doświadczalnie  na  podstawie  pomiaru 

różnicy zwierciadeł cieczy w dwu przekrojach oddzielonych od siebie warstwą ośrodka porowatego. W 

praktyce w przybliżeniu można obliczyć wartość współczynnika filtracji dla drobnego żwiru lub piasku z 

następującej formuły: 

= 40 ∙

 

δ – przeciętna grubość ziaren w cm 

Orientacyjne 

wartość 

współczynnika 

przepuszczalności 

zestawia 

się 

tabelarycznie 

dla 

poszczególnych rodzajów gruntów. 

 

Praktyczne obliczenia dotyczące wydajność złóż, przepływu przez nasyp, dopływu wody do rowów lub 

studzien  oparte  są  na  równaniu  krzywej  dopływu.  Jest  to  linia,  według  której  układa  się  swobodne 

zwierciadło  cieczy  na  gruncie.  Obliczenia  polegają  przede  wszystkim  na  wyznaczeniu  prędkości  i 

strumienia objętości dopływu wód oraz zasięgu depresji.  

 

Najbardziej typowe zagadnienia dotyczące filtracji wód gruntowych: 

1.  Przepływ przez nasyp 

Podczas  przepływu  wody  przez  nasyp  (stanowiący  warstwę  przepuszczalną  na  poziomym 

nieprzepuszczalnym  podłożu)  następuje  obniżenie  się  powierzchni  swobodnej  strugi  wzdłuż  krzywej, 

którą określa równanie: 

ℎ +

ℎ − ℎ

∙

=

ℎ ∙

− ℎ ∙

 

Gdzie jednostkowy strumień objętości: 

=

2 ∙

∙ (ℎ − ℎ ) 

Dla długości nasypu B, strumień objętości: 

=

∙

2 ∙

∙ (ℎ − ℎ ) 

 

 

Filtracja - teoria 

 

Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń 

 
 

2 

 

Rysunek 1. Przepływ przez nasyp 

 

2.  Dopływ wody do rowu 

Powierzchnia depresji określona jest równaniem: 

ℎ − ℎ =

2 ∙

∙ ( −

) 

h i h

1

 – rzędne krzywej depresji w odległościach x i x

1

 od osi rowu, 

q – jednostkowy strumień objętości, 

Gdy x

1

 = b, h

1

 = h

0

, wówczas wzór określający krzywą depresji przyjmuje postać: 

ℎ − ℎ =

2 ∙

∙ ( − ) 

 

 

Rysunek 2. Dopływ wody do rowu 

 

Zasięg depresji jest określony zależnością: 

=

2 ∙

∙ (

− ℎ ) +  

Jednostronny strumień dopływu do rowu szerokości B: 

−

∙

=

∙

2 ∙ ( − )

∙ (

− ℎ ) 

W  obliczeniach  praktycznych  wprowadza  się  pojęcie  średniego  spadku  hydraulicznego,  określonego 

formułą Sichardta: 

=

− ℎ

=

=

1

3000 ∙ √

 

Współczynnik filtracji k wyrażony jest w m/s. 

 

Filtracja - teoria 

 

Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń 

 
 

3 

3.  Studnia zwykła 

Do  studni  zwykłej  o  swobodnym  zwierciadle  cieczy  w  gruncie,  opuszczonej  do  poziomej  warstwy 

nieprzepuszczalnej, równanie krzywej depresji ma postać: 

ℎ − ℎ =

∙

∙

 

Gdzie: 

r0 – promień studni, 

h0 – głębokość wody w studni, 

h, r – współrzędna dowolnego punktu krzywej depresji, 

Q – strumień dopływu do studni, 

 

 

Rysunek 3. Studnia zwykła 

Strumień dopływu: 

=

∙

∙

(

− ℎ )

 

Gdzie: R – promień zasięgu depresji, gdy h = H tj. pierwotnej wysokości wody. 

Promień zasięgu depresji: 

=

∙

∙ ∙

 

Do wyznaczenia promienia zasięgu depresji, używana jest formuła Sichardta: 

= 3000 ∙

∙ √  

W której R i t

0

 = H - h

0

 wyrażone są w m, współczynnik k w m/s. 

 

4.  Studnia artezyjska 

Wysokość rozporządzalna w dowolnym przekroju walcowym o promieniu r: 

ℎ = ℎ +

2 ∙

∙

∙

∙

 

gdzie: 

a – grubość warstwy wodonośnej, 

h

0 

– wysokość strugi wytryskującej ze studni o promieniu r

0

, 

Strumień dopływu: 

Filtracja - teoria 

 

Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń 

 
 

4 

=

2 ∙

∙

∙

∙ ( − ℎ ) 

Zasięg depresji: 

=

∙

∙ ∙ ∙ ∙(

)

 

 

 

Rysunek 4. Studnia artezyjska 

 

5.  Studnia górnicza 

Równanie  krzywej  depresji  studni  wywierconej  w  gruncie  nieprzepuszczalnym,  stanowiącym  powałę 

warstwy wodonośnej, ma postać: 

ℎ =

−

2 ∙

∙

∙

 

w którym zasięg depresji: 

→ ∞ 

Strumień dopływu: 

= 2 ∙

∙

∙

∙ ( − ℎ ) 

 

 

Rysunek 5. Studnia górnicza 

 

Filtracja - teoria 

 

Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń 

 
 

5 

6.  Grupy studzien 

Podczas  jednoczesnej  pracy  zespołu  studzien  położonych  dostatecznie  blisko  siebie  następuje  ich 

wzajemne  oddziaływanie  na  siebie.  Znając  łączny  strumień  dopływu  wszystkich  studzien  można 

wyznaczyć głębokość wody gruntowej (np. w studniach zwykłych) w dowolnym punkcie z zależności: 

ℎ =

+

∙

∙

1

∙ ln( ∙

∙ … ∙

) − ln ( )  

Gdzie: 

l

i

 – odległości od rozpatrywanego punktu, 

n – liczba studzien, 

R – promień zasięgu działania grupy studzien, gdy H = h 

 

Promień zasięgu działania grupy studzien z formuły Kusakina: 

= 575 ∙

∙ √ ∙  

t

0s

 – depresja w środku ciężkości grupy studzien w m, k w m/s. 

 

 

Rysunek 6. Grupa studzien