LABORATORIUM PROCESORÓW SYGNAŁOWYCH

Laboratorium Procesorów Sygnałowych

Opracowali: dr inż. Krzysztof Górecki, dr inż. Mirosław Szmajda

1. Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest poznanie zasady tworzenia oprogramowania do filtracji cyfrowej z
zastosowaniem modułu uruchomieniowego DSK z procesorem TMS320c6713.

2. Wstęp teoretyczny.

a) Filtry analogowe a filtry cyfrowe

Filtry  są  to  urządzenia  o  specyficznej  amplitudowej  charakterystyce  częstotliwościowej  (dolnoprzepustowej,
górnoprzepustowej,  środkowoprzepustowej,  środkowozaporowej  lub  wszechprzepustowej),  mającej  na  celu
usunięcie  z  sygnału  wejściowego  pewnych,  założonych  składników  częstotliwościowych.  Poglądowa
charakterystyka  dolnoprzepustowego  oraz  górnoprzepustowego  filtru  analogowego  została  przedstawiona  na
Rys.    2-1.  Oznaczenie  H(j )  oznacza  transmitancję  filtru    (sposób  przebiegu  tłumienia  filtru  w  funkcji
częstotliwości)  w decybelach,    - pulsację (2

f). Rys. 2-1 a zawiera również podstawowe parametry jakie

powinny być zdefiniowane przed rozpoczęciem projektowania filtru i są to:

minimalne tłumienie w paśmie zaporowym,

szerokość pasma przepustowego,

szerokość pasma przejściowego,

tolerancja falistości charakterystyki w paśmie przepustowym i zaporowym.

W praktyce operuje się jeszcze jednym parametrem – 3-decybelowym spadkiem wzmocnienia (tłumienia)
charakterystyki – tzw. częstotliwością odcięcia filtru.

H(j )

[dB]

H(j )

[dB]

lis

ść

aś

lis

ść

aś

tłu

aś

Rys. 2-1 Schemat tolerancji charakterystyki dolnoprzepustowej (a) oraz górnoprzepustowej (b) –
gabaryty filtru.

Do realizacji filtru o zdefiniowanych powyżej parametrach należy użyć jednej z kilku rodzajów charakterystyk.
Najpopularniejsze charakterystyki to:

Butterwortha,

Bessela,

Czebyszewa.

Charakterystyka Butterwortha. Filtry o charakterystyce amplitudowej tego typu cechują się

maksymalnie płaskim pasmem przepustowym oraz średnią stromością zbocza przejściowego do pasma tłumienia
powyżej częstotliwości odcięcia. W odpowiedzi impulsowej filtrów Butterwortha występują tłumione oscylacje
wzrastające ze wzrostem rzędu filtru.

Charakterystyka Czebyszewa. Filtry tego typu mają bardziej stromą charakterystykę powyżej

częstotliwości odcięcia niż filtry Butterwortha. Zaleta ta osiągnięta jest kosztem występowania falistości o stałej

Laboratorium Procesorów Sygnałowych

Opracowali: dr inż. Krzysztof Górecki, dr inż. Mirosław Szmajda

amplitudzie w paśmie przepustowym. Oscylacje w odpowiedzi impulsowej są jeszcze większe niż w przypadku
filtrów Butterwortha.

Charakterystyka Bessela. Filtry te posiadają liniową charakterystykę fazową i dlatego mają optymalne

właściwości przy przenoszeniu impulsów prostokątnych. Charakterystyka amplitudowa w paśmie przepustowym
nie jest tak liniowa jak w filtrach Butterwortha i ma łagodniejsze załamanie jak w przypadku pozostałych dwóch
filtrów.

Charakterystyki amplitudowe filtrów wyżej wymienionych typów przedstawiono na Rys. 2-2. Aby

dostosować stromość charakterystyki do założonej wartości modyfikuje się tzw. rząd filtru (Rys.  2-3). Parametr
ten  jest  ściśle  związany  ze  złożonością  funkcji  transmitancji.  Filtry  wysokich  rzędów  posiadają  bardziej
rozbudowane  funkcje  transmitancji  od  filtrów  o  rzędach  niższych.  W  systemach  filtrów  analogowych
zwiększenie  rzędu  filtru  realizuje  się  poprzez  dołączenie  do  wyjścia  filtru  kolejnego  ogniwa  filtracyjnego  w
postaci  układu  pasywnego  (cewki,  kondensatory,  rezystory)  lub  aktywnego  (wzmacniacze  operacyjne,
tranzystorowe). Zwiększenie tego parametru powoduje zatem rozbudowanie układu elektronicznego (np. filtr 8
rzędu wymaga zastosowania 4 wzmacniaczy operacyjnych, lub 8 obwodów pasywnych).

Rys. 2-2 Najważniejsze typy charakterystyk

amplitudowych filtrów (częstotliwość odcięcia

1Hz).

Rys. 2-3 Filtr o charakterystyce Butterwortha

dla wartości rzędów 2, 4, 6, 8 (częstotliwość

odcięcia 10Hz).

Systemy filtrów cyfrowych oparte są o realizację programową funkcji transmitancji. Zwiększenie rzędu filtru w
takich systemach wiąże się tylko z modyfikacją programu w procesorze, bez zmiany układów wejściowych i
wyjściowych.

Jak już wspomniano główną cechą filtrów cyfrowych (odróżniającą je od filtrów analogowych) jest

realizacja  funkcji filtracji przez programowe  przetwarzanie sygnału  wejściowego. Sygnał ten  musi być  jednak
najpierw  przetworzony  na  postać  cyfrową,  dlatego  też  niezbędne  jest  stosowanie  wejściowych  przetworników
analogowo-cyfrowych.  Procesor  następnie  przetwarza  cyfrową  reprezentację  sygnału  wejściowego  dokonując
operacji  filtracji.  Przetworzone  dane  wysyłane  są  następnie  do  przetwornika  cyfrowo-analogowego,  gdzie
zamieniane są na postać analogową (Rys.  2-4).

Procesor

DSP

Przetwornik

A/C

Układy

wejściowe

Układy

wyjściowe

Przetwornik

C/A

Rys. 2-4 Budowa układu filtru cyfrowego.

Drugą bardzo ważną cechą jest specyficzna postać charakterystyki amplitudowej filtrów cyfrowych,

która jest odbita wokół połowy częstotliwości (pulsacji) próbkowania stosowanej w systemie (Rys. 2-5).
Zjawisko to występuje jako wynik operacji próbkowania. Część charakterystyki powyżej połowy częstotliwości

Laboratorium Procesorów Sygnałowych

Opracowali: dr inż. Krzysztof Górecki, dr inż. Mirosław Szmajda

próbkowani nazywana jest aliasem – obrazem, zaś częstotliwość (pulsacja)

/2 jest również nazywana

częstotliwością (pulsacją) Nyquista.

Rys. 2-5 Przykładowe charakterystyki dolnoprzepustowe filtru analogowego (a) oraz cyfrowego (b).

Pojawienie się lustrzanego odbicia charakterystyki wokół częstotliwości próbkowania (aliasu) jest główną wadą
filtrów  cyfrowych.  Zakres  użytkowy  filtru  zawężony  jest  tylko  do  połowy  częstotliwości  próbkowania,
ponieważ  powyżej  tej  częstotliwości  występuje  alias  charakterystyki.  Filtry  analogowe,  w  związku  z  brakiem
operacji  próbkowania,  w  sposób  naturalny  nie  posiadają  tej  wady.  Ponadto  w  przypadku  podania  na  wejście
takiego  filtru,  zawierającego  komponenty  o  częstotliwościach  powyżej  częstotliwości  Nyquista  w  części
użytkowej filtru pojawiają się dodatkowe interferencje zwane również aliasami, ale pochodzącymi tym razem od
sygnału.  Wady  związanej  z  powieleniem  charakterystyki  nie  da  się  usunąć,  ale  ogranicza  się  powstawanie
aliasów  pochodzących  od  wysokich  częstotliwości  sygnału  poprzez  wprowadzenie  przed  przetwornik
analogowo-cyfrowy dolnoprzepustowego filtru antyaliasingowego

Procesor

DSP

Przetwornik

A/C

Układy

wejściowe

Układy

wyjściowe

Przetwornik

C/A

Filtr

anty-

aliasingowy

Rys. 2-6 Budowa układu filtru cyfrowego z filtrem antyaliasingowym.

Filtr ten najczęściej jest filtrem analogowym niskiego rzędu (do 8-go), o częstotliwości odcięcia równej

częstotliwości Nyquista (fs/2). Odfiltrowuje on z sygnału wejściowego wszystkie komponenty o
częstotliwościach powyżej częstotliwości Nyquista, przez co w zakresie częstotliwości użytkowych filtru nie
występuje pojawianie się aliasów sygnału.

Przypuśćmy, że dysponujemy sygnałem, który zbudowany jest z dwóch komponentów: 1kHz oraz

8kHz (widmo takiego sygnału pokazano na Rys. 2-7, Rys. 2-8, Rys. 2-9 w podpunktach a). Chcemy jednak tak
przetworzyć sygnał, aby uzyskać komponent tylko o częstotliwości 1kHz, a więc wykonać filtrację, powiedzmy
dolnoprzepustową (aby uzyskać założony cel możliwa jest oczywiście również filtracja pasmowoprzepustowa).

Na Rys. 2-7 przedstawiono sposób filtracji za pomocą filtru analogowego. Badany sygnał podano na

analogowy filtr dolnoprzepustowy o częstotliwości odcięcia 3kHz (rysunek b). Jako wynik filtracji otrzymuje się
sygnał o widmie przedstawionym na rysunku c, w którym pozostała tylko składowa o częstotliwości 1kHz. Cel
został zatem osiągnięty.

Sytuacja wygląda inaczej w przypadku filtracji cyfrowej (Rys. 2-8). Sygnał wejściowy poddano

operacji próbkowania z częstotliwością próbkowania f

równą 10kHz uzyskując przy tym widmo sygnału jak na

rysunku b. Widoczne jest powstanie aliasów sygnału wokół częstotliwości próbkowania (rysunek b). Składowa o
częstotliwości 1kHz w wyniku operacji próbkowania generuje alias na częstotliwości 9kHz, natomiast składowa
8kHz  na  częstotliwości  2kHz.  Taki  sygnał  podany  został  na  filtr  cyfrowy,  którego  charakterystyka
częstotliwościowa również posiada alias (rysunek c). W wyniku filtracji sygnał wyjściowy zawiera komponenty
o częstotliwości 1kHz, 2kHz (alias komponentu 8kHz), 8kHz oraz 9kHz (alias komponentu 1kHz) (rysunek d).
Ponieważ  znając  wadę  filtru  cyfrowego,  w  którym  zakres  częstotliwości  użytkowych  sięga  tylko  do
częstotliwości  Nyquista,  część  widma  powyżej  tej  częstotliwości  pomija  się  w  analizie  sygnału.  Ponadto,
analizując  właściwą  część  widma  sygnału  –  w  zakresie  częstotliwości  użytkowych,  zauważa  się  dodatkową

H(j )

[dB]

H(j )

[dB]

/2 - pulsacja Nyquista

zakres

częstotliwości

"użytkowych"

powielenie

alias charakterystyki

zakres

częstotliwości

"użytkowych"

Laboratorium Procesorów Sygnałowych

Opracowali: dr inż. Krzysztof Górecki, dr inż. Mirosław Szmajda

składową – alias komponentu 8kHz. Tej składowej już oczywiście nie powinno być w filtrowanym sygnale,
ponieważ celem było przepuszczenie przez filtr tylko składowej o częstotliwości 1kHz.

Problem istnienia aliasów powstałych od komponentów sygnału o częstotliwościach powyżej

częstotliwości  Nyquista  rozwiązuje  się  stosując  dolnoprzepustowy  filtr  antyaliasingowy  (Rys.    2-9).  Sygnał
wejściowy  podany  jest  na  filtr  antyaliasingowy  o  częstotliwości  odcięcia  równej  połowie  częstotliwości
próbkowania  (rysunek  b).  Występuje  tutaj  stłumienie  komponentu  8kHz  (rysunek  c).  Następnie  taki  sygnał
poddano  operacji  próbkowania,  w  wyniku  której  pojawiają  się  aliasy  poszczególnych  komponentów:  9kHz
(pochodzący  od  częstotliwości  1kHz)  oraz  2kHz  (pochodzący  od  8kHz)  (rysunek  d).  W  związku  z  tym,  że
komponent o częstotliwości 8kHz został stłumiony wcześniej przez filtr antyaliasingowy, jego alias jest również
stłumiony.  Uzyskany  sygnał  poddany  zostaje  filtracji  cyfrowej  (rysunek  e).  Uzyskany  sygnał  w  zakresie
częstotliwości użytkowych posiada już tylko komponent o częstotliwości 1kHz, tak jak to miało miejsce podczas
filtracji analogowej.

f[kHz]

S(f)

H(f)

[dB]

S(f)

f[kHz]

zakres

częstotliwości

"użytkowych"

Rys. 2-7 Zasady filtracji
analogowej.

f [kHz]

S(f)

H(f)
[dB]

S(f)

8 9

f [kHz]

f[kHz]

S(f)

f [kHz]

lia

niepożądany

sygnał - alias

komponentu 8kHz

alias

komponentu

1kHz

alias

komponentu

8kHz

zakres

częstotliwości

"użytkowych"

powielenie

Rys. 2-8 Zasady filtracji
cyfrowej bez filtru
antyaliasingowego.

Rys. 2-9 Zasady filtracji
cyfrowej z filtrem
antyaliasingowym.

b) Realizacje filtrów cyfrowych

S(f)

H(f)

[dB]

S(f)

H(f)

[dB]

S(f)

lia

stłumiony

komponent

8kHz

alias

stłumionego

komponentu

8kHz

alias

komponentu

1kHz

zakres

częstotliwości

"użytkowych"

powielenie

f [kHz]

f[kHz]

f [kHz]

Laboratorium Procesorów Sygnałowych

Opracowali: dr inż. Krzysztof Górecki, dr inż. Mirosław Szmajda

Filtr cyfrowy można przedstawić za pomocą bloczka (Rys. 2-10) o określonej transmitancji H(z) lub odpowiedzi
impulsowej h(n), na którego podaje się ciąg próbek sygnału wejściowego x(n) otrzymując na wyjściu ciąg
próbek y(n).

x(n)

X(z)

y(n)
Y(z)

h(n)
H(z)

Rys. 2-10 Schemat blokowy filtru.

Próbki wyjściowe są obliczane za pomocą odpowiednich równań na podstawie tzw. współczynników (Tabela
2-1). Zmiana parametrów filtru cyfrowego (typu, częstotliwości odcięcia itd.) polega na zmianie wymienionych
współczynników.

Sposób obliczeń wykorzystujących współczynniki może być różny i nazywa się go cyfrową realizacją filtru.
Generalnie rozróżnia się dwie cyfrowe realizacje filtrów:

filtry rekursywne (o nieskończonej odpowiedzi impulsowej – IIR – ang. infinite im-pulse response),

filtry nierekursywne (o skończonej odpowiedzi impulsowej – FIR – ang. finite im-pulse response).

W filtry rekursywnych w obliczeniach uwzględnia się zarówno próbki wejściowe, jak i wyjściowe. Wskutek

zależności próbki wyjściowej od poprzednich próbek sygnału wyjściowego struktury tego typu filtrów zawierają
pętle  sprzężenia  zwrotnego.  Dzięki  temu  odpowiedź  impulsowa  (odpowiedź  filtru  na  podanie  na  jego  wejście
krótkotrwałego  impulsu  –  delta  Kroneckera)  może  mieć,  przy  założeniu  arytmetyki  o  nieskończonej
dokładności,  nieskończenie  wiele  próbek  niezerowych.  Dlatego  też  filtry  tego  typu  noszą  nazwę  filtrów  o
nieskończonej odpowiedzi impulsowej (Infinite Impulse Response - IIR). Transmitancja, oraz sposób obliczania
próbek wyjściowych filtru rekursywnego IIR została przedstawiona w Tabela 2-1.

Nierekursywne filtry cyfrowe zdefiniowane są jako filtry, w których każda próbka odpowiedzi nie zależy od

poprzednich jej próbek, a jedynie od próbek wejściowych. Realizacja filtrów nierekursywnych nie zawiera pętli
sprzężenia  zwrotnego.  W  rezultacie  odpowiedź  impulsowa  dowolnego  filtru  nierekursywnego  ma  zawsze
skończoną  liczbę  próbek.  Filtry  te  noszą  zatem  nazwę  filtrów  o  skończonej  odpowiedzi  impulsowej  (Finite
Impulse  Response  -  FIR).  Są  one  zawsze  stabilne.  Transmitancję  filtrów  nierekursywnych  przedstawiono  w
wymienionej wcześniej tabeli.
Istnieje kilka sposobów wyznaczania współczynników filtrów rekursywnych jak i nierekursywnych. Metody te
zostały  omówione  szeroko  w  literaturze.  Współczynniki  filtrów  można  również  obliczać  na  podstawie
pomocniczego oprogramowania, wybierając tylko metodę obliczeń.

Tabela 2-1 Transmitancje, sposoby obliczania próbek wyjściowych i metody projektowania filtrów
cyfrowych IIR oraz FIR.

Filtry rekursywny IIR

Filtr nierekursywny

FIR

Uwagi

Transmitancja

)

(

)

(

)

(

)

(

Gdzie a

oraz b

są

współczynnikami filtrów.
Y(z) - sygnał na wyjściu
filtru,
X(z) – sygnał na wejściu
filtru

Metody

projektowania

metoda niezmienniczości
odpowiedzi impulsowej,

metoda transformacji biliniowej.

metoda okien,

metoda
próbkowania
częstotliwości.

Projekt filtru polega na
wyznaczeniu
współczynników a

oraz b

Sposób

obliczania

próbki

wyjściowej

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

Laboratorium Procesorów Sygnałowych

Opracowali: dr inż. Krzysztof Górecki, dr inż. Mirosław Szmajda

c) Struktury filtrów FIR

Cyfrowe filtry FIR do uzyskania bieżącej próbki sygnału wyjściowego wykorzystują próbkę bieżącą i

próbki  przeszłe  sygnału  wejściowego,  nie  korzystając  z  żadnych  przeszłych  próbek  sygnału  wyjściowego
(Dlatego też  filtry te nazywa  się  nierekursywnymi). Dysponując skończonym ciągiem różnych od zera próbek
sygnału  wejściowego,  filtr  FIR  zawsze  ma  na  wyjściu  skończonej  długości  ciąg  niezerowych  próbek  sygnału
wyjściowego skąd bierze się nazwa tego typu filtrów.
Do obliczenia wartości próbek wyjściowych filtr FIR korzysta z operacji dodawania oraz mnożenia  Rys.  2-11
oraz  Rys.    2-12.  Na  wymienionych  rysunkach  zostały  przedstawione  struktury  filtrów  FIR  czwartego  rzędu.
Struktury  te  są  sobie  równoważne.  Operacja  filtracji  polega  w  tego  typu  filtrach  na  sumowaniu  iloczynów
następujących  po  sobie  próbek  ze  współczynnikami  filtru  zgodnie  ze  wzorem  z  tabeli    6.1.  Ilość
współczynników  określa  rząd  filtru.  Bloki  „opóźnienie”  przedstawione  na  rysunkach  odpowiadają  operatorom
z

-1

z równania w Tabela 2-1.

Rys. 2-11 Podstawowa struktura filtru FIR.

Rys. 2-12 Zmodyfikowana struktura filtru FIR.

d) Struktury filtrów IIR

Do obliczenia bieżącej próbki sygnału wyjściowego, w filtrach typu IIR, korzysta się z wartości

przeszłych próbek sygnału wyjściowego. Efekt ten jest taki, że pewien skończony ciąg niezerowych wartości
wejściowych może spowodować pojawienie się na wyjściu filtru IIR ciągu niezerowych próbek o