1
11. DYNAMIKA RUCHU
SWOBODNEGO PUNKTU MATERIALNEGO
Zadanie 1/11
W polu przyciąganie ziemskiego z punktu o współrzędnych x
0
, y
0
wyrzucono punkt materialny o masie m z prędkością początkową
υ
0
pod kątem α do poziomu.
Znaleźć równania ruchu punktu. Przeprowadzić dyskusję.
x
y
α
υ
0
x
0
y
0
α
υ
υ
α
υ
υ
υ
υ
sin
cos
2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
=
=
+
+
−
=
+
=
y
x
y
x
y
t
gt
y
x
t
x
Odp.:
Zadanie 2/11
Punkt materialny o masie m znajduje się w jednorodnym zmiennym polu
magnetycznym. Znaleźć równanie ruchu punktu x(t), jeżeli pole magne-
tyczne działa na punkt siłą F=F
0
sinωt (F
0
, ω − stałe). Położenie oraz
prędkość początkowa punktu równe są 0.
x
(t)
0
m
F
(t)
x
−
=
ω
ω
ω
t
t
m
F
x
sin
0
Odp.:
Zadanie 3/11
Ciało o masie m spada pionowo bez prędkości początkowej w ośrodku,
który stawia opór R=km
υ
proporcjonalny do prędkości
υ
(k − stała).
Obliczyć do jakiej maksymalnej prędkości
υ
max
rozpędzi się ciało oraz
podać równanie ruchu x(t).
(
)
t
k
g
e
k
g
x
k
g
kt
+
−
=
=
−
1
2
max
υ
Odp.:
2
Zadanie 4/11
Ciało o masie m porusza się po prostej poziomej pod wpływem siły
(k − stała)
Znaleźć prędkość
υ
ciała jako funkcję czasu, jeśli w chwili początkowej
jego prędkość równa była
υ
0
.
t
k
F
2
υ
=
3
3
0
2
2
3
υ
υ
+
=
t
m
k
Odp.:
Zadanie 5/11
Z jaką prędkością υ
0
należy wystrzelić pocisk z powierzchni Ziemi w
kierunku Księżyca, aby doleciał on do punktu, w którym siły przyciąga-
nia Ziemi i Księżyca równoważą się i aby zatrzymał się w tym punkcie?
Ruch Ziemi i Księżyca oraz opór atmosfery pominąć.
Przyjąć: R=6370km g=9.81m/s
2
gdzie: M
Z
- masa Ziemi, M
K
– masa Księżyca, d – odległość między
ś
rodkami Ziemi i Księżyca, R – promień Ziemi.
Odp.: υ
0
≈
11.065km/s
Odp.:
60
80
=
=
=
=
b
R
d
a
M
M
K
Z
Zadanie 6/11
Na punkt materialny o masie m działa siła proporcjonalna do czasu F
1
=kt
oraz siła oporu proporcjonalna do prędkości F
2
=αυ. Znaleźć prędkość
punktu υ(t) oraz położenie x(t) w zależności od czasu. Warunki
początkowe: dla t=0 x=0,
υ
=0.
( )
( )
t
k
e
mk
t
t
mk
t
k
e
k
m
t
x
t
m
t
m
α
α
υ
α
α
α
α
α
+
−
=
−
+
−
=
−
−
1
2
1
2
2
2
3
2
3
Zadanie 7/11
Kulę o masie m wyrzucono pod kątem α
0
do poziomu z prędkością początkową υ
0
.
Opór powietrza R=kυ jest proporcjonalny
do prędkości. Znaleźć równanie y(x) toru
ruchu kuli.
Odp.:
Odp.:
y
x
υ
0
α
0
m
y
(x)
0
0
2
2
0
0
0
cos
1
ln
cos
α
υ
α
υ
α
m
kx
k
m
g
k
mg
tg
x
y
−
+
+
=
Zadanie 8/11
Punkt o masie m porusza się w płaszczyźnie
Oxy
, pod działaniem siły centralnej skiero-
wanej do początku układu współrzędnych.
Siła ta jest wprost proporcjonalna do odle-
głości punktu od początku układu. W chwili
początkowej punkt zajmował położenie x=b,
y
=0 i posiadał prędkość υ
x
=0, υ
y
= υ
0
.
Znaleźć równanie toru ruchu punktu.
1
2
0
2
2
2
=
+
k
m
y
b
x
υ
elipsa
x
y
υ
0
m
b
O
l
P
=kl
Zadanie 9/11
Ciężar o masie m może ślizgać się po pionowym
pręcie AB, którego sztywność na rozciąganie równa
jest k
1
.Koniec B pręta opiera się o śrubową sprężynę
o sztywności k
2
. Obliczyć największe wydłużenie
pręta h przy spadku ciężaru z wysokości H bez
prędkości początkowej. Masę pręta i sprężyny
pominąć.
Odp.:
Odp.:
(
)
+
+
+
+
=
mg
k
k
H
k
k
mg
h
2
1
2
1
2
1
1
A
B
m
H
k
1
k
2
Zadanie 10/11
Na końcu nie odkształconej nici o sztywności c, która może przenieść
maksymalną siłę Q, zaczepiono ciężar o masie m i puszczono bez
prędkości początkowej. Jaka jest minimalna wartość m, przy której nić
zerwie się i jaka będzie prędkość ciężaru w chwili zerwania nici?
0
2
=
=
υ
g
Q
m