08 Pręty, układy prętów
93
PRĘTY, UKŁADY PRĘTÓW
Układy prętowe statycznie wyznaczalne
Pręt jest najprostszym modelem elementów konstrukcyjnych.
Kształt pręta jest wyznaczony przez dowolną figurę płaską, któ-
rej środek ciężkości porusza się po dowolnym torze – figura ta
wyznacza ksz
tałt przekroju poprzecznego, natomiast tor wy-
znacza oś pręta.
Przykłady konstrukcji prętowych
Rozciąganie a) i ściskanie b) oraz siła
we
wnętrzna c) dla pręta o stałym przekroju
Równanie równowagi: suma sił działających wzdłuż osi pręta
jest równa zeru
Naprężenia w pręcie:
A
N
Wydłużenie pręta:
.
L
L
Ponieważ dla rozciąganego pręta obowiązuje prawo Hooke'a,
wydłużenie pręta oraz jego przewężenie (odkształcenie po-
przeczne) określają zależności:
.
'
,
EA
PL
L
E
Siły wewnętrzne w pręcie wyznacza się za pomocą metody
przekrojów. Myślowych przekrojów należy dokonywać
w
dowolnych miejscach odcinków, których granicami są
punkty
przyłożenia obciążenia oraz zmiany kształtu poprzecz-
nego pręta ( np. wielkości przekroju).
08 Pręty, układy prętów
94
P
RZYKŁAD
Dla pręta przedstawionego na rysunku wykonać wykresy sił normalnych, naprężeń
oraz przemieszczeń poprzecznych przekrojów pręta.
Równanie statyki:
3P
– 2P + P – R = 0
R = 2P
Metoda:
– metoda myślowych przekrojów.
Przekrój 1–1:
.
EA
Pa
EA
l
N
l
,
A
N
,
P
N
1
1
1
1
1
1
W przekroju 1
–1 siła wewnętrzna jest siłą rozciągającą. Dla uniknięcia
konfliktu znaków w pozostałych przekrojach kierunek sił wewnętrznych bę-
dzie zgodny z kierunkiem przyjętym w przekroju 1–1. Dzięki temu założeniu
zna
ki sił w pozostałych przekrojach należy odnosić do kierunku sił w tym
przekroju.
Przekrój 2–2:
.
EA
Pa
2
EA
l
N
l
,
A
P
A
N
,
P
P
2
P
N
2
2
2
2
2
2
W porównaniu z przekrojem 1–1, tutaj siła wewnętrzna jest siłą ściskają-
cą, naprężenia mają znak zgodny ze znakiem sił, nastąpiło skrócenie odcin-
ka, w którym umiejscowiony został przekrój 2–2.
Przekrój 3–3:
.
EA
4
Pa
3
A
2
E
l
N
l
,
A
2
P
A
2
N
,
P
P
2
P
N
3
3
3
3
3
3
Zmiana wielkości przekroju poprzecznego nie wpływa na wartość siły
wewnętrznej, ale ma wpływ na naprężenia i odkształcenia. Siła N3 ma znak
przeciwny do siły w przekroju 1–1, jest więc siłą ściskającą.
Przekrój 4–4:
.
EA
2
Pa
3
EA
2
l
N
l
,
A
P
A
2
N
,
P
2
P
3
P
2
P
N
4
4
4
4
4
4
W tym przekroju siła ma znak zgodny z kierunkiem w przekroju 1–1, jest
więc siłą rozciągającą. Wykresy sił normalnych i naprężeń przedstawiono
na rys. 2.6. Uskoki na wykresie sił wewnętrznych odpowiadają wartościom
sił zewnętrznych – w ten sposób jest zachowana ciągłość wykresu sił nor-
malnych.
08 Pręty, układy prętów
95
Całkowite wydłużenie swobodnego końca pręta jest sumą wydłużeń poszczególnych od-
cinków:
.
EA
4
Pa
2
3
4
3
2
1
EA
Pa
l
l
l
l
l
4
3
2
1
Wykres przemieszczeń poprzecznych przekrojów pręta pokazano na rysunku.
Po analizie czterech przekrojów do rozpatrzenia pozostał jeszcze niewielki
fragment pr
ęta. Jego analiza może mieć znaczenie przy sprawdzaniu po-
prawności wyników. Z warunków równowagi sił dla tego fragmentu pręta wy-
nika, że N
4
= R = 2P. Fakt ten potwierdza poprawność obliczeń.
Do obliczenia całkowitego wydłużenia pręta można wykorzystać zasadę superpozycji.
Zasada superpozycji
Obciążenie działające na pręt można rozłożyć na oddzielnie działające siły 3P, 2P i P.
Obniżenie swobodnego końca pręta wywołane tymi siłami (czynną, obciążoną część pręta
zakrop
kowano) wyrażają zależności:
.
EA
4
Pa
''
'l
''
l
'l
l
,
EA
2
Pa
9
EA
2
a
3
P
EA
a
3
P
''
'l
,
EA
Pa
7
EA
2
a
3
P
2
EA
a
2
P
2
''
l
,
EA
4
Pa
9
EA
2
l
5
,
1
P
3
'l
Zasadę superpozycji można zastosować również do obliczenia reakcji R. Zgodnie z ry-
sunkiem, reakcja ta wynosi R = 3P
– 2P + P = 2P.
Podsumowując ten przykład warto zapamiętać następujące zasady.
1
Na wykresach sił wewnętrznych musza być widoczne wszystkie siły zewnętrzne
czynne (obciążenia) i bierne (reakcje).
2
We wszystkich myślowych przekrojach wskazane jest konsekwentne stosowanie
wspólnej umowy określającej znaki sił wewnętrznych.
Należy podkreślić, ze powyższe zasady znajdują zastosowanie
nie tylko w układach prętowych, ale również w wałach i belkach.
Zasady te mają więc uniwersalny charakter.
08 Pręty, układy prętów
96
P
RZYKŁAD
Sztywna (nieodkształcalna) belka AB jest podtrzymywana w położeniu poziomym za po-
mocą pręta CD. Korzystając z warunku wytrzymałościowego, określić dopuszczalną wartość
siły P. Dla obciążenia równego obciążeniu dopuszczalnemu obliczyć obniżenie końca B bel-
ki. Przyjąć średnicę pręta CD wynoszącą d = 20 mm,
dop
= 160 MPa, E = 2
10
5
MPa.
Dzięki metodzie myślowych przekrojów w pręcie CD zostaje „ujawniona” siła wewnętrzna
S. Wykorzystując zasadę zesztywnienia, równania statyki można ułożyć dla nieodkształco-
nego układu prętów. Z trzech równań równowagi dla płaskiego układu sił w tym zadaniu bę-
dzie wykorzystana suma momen
tów względem punktu A (jest to najkorzystniejszy punkt).
Pozostałe dwa równania statyki mogą być wykorzystane np. do obliczenia reakcji R
A
.
Równanie statyki:
.
sin
a
b
a
P
S
0
sin
S
b
a
P
0
A
M
Warunek wytrzymałościowy:
,
4
d
A
,
A
S
A
S
2
dop
dop
.
kN
064
,
12
10
5
,
1
1
4
87
,
36
sin
1
160
20
P
,
b
a
4
sin
a
d
P
4
d
sin
a
b
a
P
3
o
2
dop
dop
2
dop
dop
2
W powyższym wzorze
= arctg 0,75 = 36,87. Do dalszych obliczeń przyjęto P
dop
= 12 kN.
Siła wewnętrzna w pręcie CD wynosi:
.
kN
50
87
,
36
sin
1
5
,
2
12
sin
a
b
a
P
S
o
Przed przystąpieniem do obliczenia przemieszczeń należy wprowadzić pewne uprosz-
czenia, związane z praktycznym, inżynierskim charakterem wytrzymałości materiałów.
Ponieważ odkształcenia i przemieszczenia są bardzo małe, łuki określające nowe położenie
punktów można zastąpić odcinkami prostymi prostopadłymi do pierwotnego (nieodkształco-
nego) położenia prętów (rys. c). Należy też przestrzegać zasady zgodności odkształceń z
kierunkami sił.
Z prawa Hooke'a obliczyć można wydłużenie pręta CD (F =
cm
2
)
.
mm
1
10
87
,
36
sin
10
2
75
,
0
50
sin
EA
c
S
EA
l
S
l
4
o
5
CD
CD
Przemieszczenie punktu B
Przemieszczenie punktu B jest spowodowane wydłużeniem się pręta CD. Na skutek tego
wydłużenia punkt C przemieszcza się w dół o odcinek CC'. Korzystając z twierdzenia Talesa,
można obliczyć przemieszczenie BB'
.
mm
145
,
4
10
87
,
36
sin
1
10
2
75
,
0
5
,
1
1
12
sin
a
EA
c
b
a
P
a
b
a
'
CC
'
BB
,
sin
a
EA
c
b
a
P
sin
EA
c
S
sin
l
'
CC
4
o
3
2
5
2
3
2
2
3
3
CD
08 Pręty, układy prętów
97
P
RZYKŁAD
Dwa pręty połączone przegubem A są obciążone pionowa siła P. Obliczyć prze-
mieszczenie przeg
ubu A. Przyjąć: P = 10000 N, a = 1 m, E = 2
10
6
MPa, A
1
= 2 cm
2
,
A
2
= 1 cm
2
,
= 30
,
= 60
.
P
P
A
A
1
S
S
2
90
o
A
A
1
V
A
H
A
x
y
w
w
1
1
2
A
A
1
V
A
H
A
1
2
a
b
c
d
A
a)
b)
c)
a
A
1
A
2
d)
2
l
1
l
1
l
2
l
Równania równowagi (rys. b):
.
0
sin
S
sin
S
0
)
(
P
)
2
(
,
0
P
cos
S
cos
S
0
)
(
P
)
1
(
2
1
2
1
Po rozwiązaniu powyższego układu otrzymuje się wartości sił wewnętrznych
.
N
5000
)
sin(
sin
P
S
,
N
8660
)
sin(
sin
P
S
2
1
Wydłużenia prętów: znając długości prętów:
,
m
155
,
1
sin
a
l
,
m
2
sin
a
l
2
1
z prawa Hooke’a wyznacza się:
.
mm
289
,
0
10
1
10
2
155
,
1
5000
EA
l
S
l
,
mm
433
,
0
10
2
10
2
2
8660
EA
l
S
l
6
2
2
2
2
6
1
1
1
1
Opierając się na rysunku c, składowe pionową i poziomą przemieszczenia wyznacza
się z zależności:
,
mm
519
,
0
60
cos
289
,
0
30
cos
433
,
0
cos
l
cos
l
y
x
V
2
1
A
.
mm
034
,
0
60
sin
289
,
0
30
sin
433
,
0
sin
l
sin
l
w
w
H
2
1
1
A
Znak „
” przy przemieszczeniu H
A
wskazuje, że kierunek przemieszczenia przyjęty
na rys. a jest niewłaściwy. Ten wniosek jest prawdziwy tylko wówczas, gdy od-
kształcenia prętów przyjęto zgodnie z kierunkami sił założonymi w równaniach
statyki.
08 Pręty, układy prętów
98
Układy prętowe statycznie niewyznaczalne
Zadania statycznie niewyznaczalne charakteryzują się tym, że liczba
niewiadomych jest większa od liczby równań statyki. Rozwiązanie zada-
nia statycznie niewyznaczalnego wymaga ułożenia dodatkowych rów-
nań geometrycznych.
Równania geometryczne buduje się wykorzystując zasadę nieroz-
dzielności konstrukcji, polegającą na tym, że odkształcona konstrukcja
stanowi w dalszym ciągu jedną całość i tym samym odkształcenia jej
wszystkich elementów są ze sobą powiązane poprzez istnienie więzów
(przegubów). Równania geometryczne wykorzystując ten fakt są równa-
niami zawie
rającymi odkształcenia wszystkich elementów RG = f(Δl
i
).
Przy wykorzystaniu prawa fizycznego (prawo Hooke’a), równanie geo-
metryczne przekształca się tak, że występują w nim siły wewnętrzne,
czyli RG = f(S
i
). Równania w tej postaci mogą razem z równaniami staty-
ki tworzyć układ pozwalający na rozwiązanie zadania.
P
RZYKŁAD
Dla pręta przedstawionego na rysunku wykonać wykresy sił normalnych, naprężeń
oraz przemieszczeń poprzecznych przekrojów pręta. Do obliczeń przyjąć następują-
ce dane liczbowe: P = 70 kN, F = 4 cm
2
, a = 0,6 m, E = 2
10
5
MPa.
Zadanie jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalne
. Równanie statyki musi
być uzupełnione równaniem geometrycznym, uwzględniającym fakt, że całkowite
wydłużenie pręta jest równe zeru.
a
N
L
[kN]
[MPa]
[mm]
P
a
a
F
3F
B
R
R
A
30
40
25
75
100
0,075
0,225
P
R
A
B
R
Równanie statyki ma postać
.
P
R
R
,
0
P
R
R
0
P
)
1
(
B
A
B
A
Równanie geometryczne przyjmuje, że całkowite wydłużenie pręta jest równe zeru
.
0
L
)
2
(
Korzystając z metody myślowych przekrojów można określić wydłużenie poszczegól-
nych odcinków, w których dokonano myślowych przekrojów. Dodatkowo można
określić dane, potrzebne do wykonanie wykresów wymienionych w temacie zadania.
Myślowe przekroje przedstawia rysunku.
08 Pręty, układy prętów
99
Przekrój 1–1
Przekrój 2–2
Przekrój 3–3
Przekrój 3–3
1
1
1
N
R
A
R
A
2
2
2
N
P
R
A
3
3
N
3
B
R
3
N
3
3
W poszczególnych przekrojach uzyskano:
Prze
krój 1–1:
.
F
3
E
a
N
l
,
F
N
,
R
N
1
1
1
1
1
A
1
W przekroju 1
–1 siła wewnętrzna N
1
jest siłą rozciągającą. Dla uniknięcia konfliktu
znaków, w pozostałych przekrojach kierunek sił wewnętrznych będzie zgodny z kie-
runkiem przyjętym w przekroju 1–1. Dzięki temu założeniu znaki sił w pozostałych
przekrojach należy odnosić do kierunku sił w tym przekroju.
Prze
krój 2–2:
.
EF
a
N
l
,
F
N
,
R
N
2
2
2
2
A
2
Przekrój 3–3:
.
EF
a
N
l
,
F
N
,
P
R
N
3
3
3
3
A
3
Z równania geometrycznego (2) otrzymuje się
.
kN
30
70
7
3
P
7
3
R
0
EF
a
)
P
R
(
EF
a
R
EF
3
a
R
,
0
L
L
L
L
A
A
A
A
3
2
1
Po wyznaczeniu
z równania statyki (1) reakcji R
B
= P
– R
A
= 40 kN, wyznaczyć
można dane do wykonania wykresów. Siły wewnętrzne wynoszą: N
1
= N
2
= 30 kN,
N
3
= 30
– 70 = – 40 kN – na tym odcinku pręt jest ściskany. Naprężenia i wydłużenia
wynoszą
,
MPa
100
10
4
40
3
N
,
MPa
100
10
4
30
F
N
,
MPa
25
10
4
3
30
F
3
N
3
3
2
2
1
1
.
mm
300
,
0
10
4
10
2
6
,
0
40
EF
a
N
L
,
mm
225
,
0
10
4
10
2
6
,
0
30
EF
a
N
L
,
mm
075
,
0
10
4
10
2
3
6
,
0
30
EF
3
a
N
L
4
5
3
3
4
5
2
2
4
5
1
1
Odpowiednie wykresy przedstawiono na rys. 2.14. Dla sprawdzenia poprawności
obliczeń rozpatrzono dodatkowo przekrój 3-3. Warto też sprawdzić równanie geome-
tryczne:
.
0
300
,
0
225
,
0
075
,
0
l
l
l
l
3
2
1
08 Pręty, układy prętów
100
P
RZYKŁAD
Dla prętów przedstawionych na rysunku wyznaczyć siły i naprężenia w prętach
oraz prze
mieszczenie węzła A. Przyjąć: P = 25 kN, L = 1,2 m, E = 2
10
5
MPa, A = = 2
cm
2
.
Wydzielając myślowo przegub A, otrzymuje się płaski układ sił zbieżnych. Z wa-
runków równowagi wynika, że zwroty sił w prętach 2 i 3 muszą być przeciwnie skie-
rowane
– przyjęto tutaj, że pręt 2 jest ściskany.
P
P
2A
A
A
L
L
0,
5L
x
y
A
A
A
S
1
2
S
3
S
l
1
2
l
3
l
1
2
3
1
A
a)
b)
c)
Równania statyki (rys. b):
.
0
cos
S
S
0
)
(
P
)
2
(
,
0
P
sin
S
S
0
)
(
P
)
1
(
3
2
3
1
Równanie geometryczne (rys. c):
.
tg
l
sin
l
y
x
l
)
3
(
2
3
1
Ponieważ: tg
= 0,5l/l = 0,5,
= 26,565
oraz
obliczając z prawa Hooke’a wydłużenia
prętów
cos
EA
2
L
S
l
,
EA
L
S
l
,
EA
L
S
l
1
3
2
2
1
1
,
równanie geometryczne przekształca się do postaci
2
3
1
S
2
S
25
,
1
S
)
3
(
.
Z równań (1)–(3) otrzymuje się S
1
= 21,8 kN, S
2
= 6,4 kN, S
3
= 7,2 kN.
Naprężenia w prętach:
.
MPa
18
10
A
2
S
,
MPa
32
10
A
S
,
MPa
109
10
A
S
3
3
2
2
1
1
Przemieszczenie przegubu A:
.
mm
68
,
0
19
,
0
65
,
0
,
mm
19
,
0
10
2
10
2
2
,
1
4
,
6
EA
L
S
l
,
mm
65
,
0
10
2
10
2
2
,
1
8
,
21
EA
L
S
l
2
2
A
4
5
2
2
AH
4
5
1
1
AV
08 Pręty, układy prętów
101
Naprężenia termiczne
Pod wpływem zmian temperatury elementy konstrukcyjne zmieniają swoje wymia-
ry. Zmianę długości pręta obliczyć można z następującej zależności:
.
T
L
L
t
Współczynnik rozszerzalności liniowej
jest cechą charakterystyczną materiału.
Pręt poddany działaniu temperatury, będący elementem układu prętów, oddziałuje na
sąsiednie pręty. Całkowite odkształcenie pręta jest sumą odkształcenia termicznego i
odkształcenia sprężystego, wywołanego siłami powstałymi na skutek oddziaływania
sąsiadujących prętów. Odkształcenie to można obliczyć z zależności:
,
L
L
L
n
t
gdzie:
L
t
– wydłużenie termiczne,
L
n
– wydłużenie sprężyste, zgodne z prawem Hooke'a.
Znaczenie znaków w powyższej zależności:
+
L
t
,
–
L
t
– wydłużenie związane ze wzrostem temperatury (
T > 0) lub skr
ócenie
związane z obniżenie temperatury (
T < 0),
+
L
n
,
–
L
n
– wydłużenie lub skrócenie, zgodnie ze znakami sił przyjętymi w równa-
niach równowagi,
P
RZYKŁAD
Pręt o długości L i polu powierzchni A został poddany działaniu podwyższonej
temperatury
T. Obliczyć naprężenia powstałe w pręcie.
L
R
A
R
T
R
R
R
Superpozycja
Działanie
temperatury
Działanie
siły reakcji
T
Pod wpływem temperatury, w utwierdzeniach pręta pojawiają się reakcje R. Za-
stosowanie zasady superpozycji umożliwia oddzielne rozpatrzenie działania tempera-
tury i reakcji R. Po oswobodzeniu pręta od górnego utwierdzenia, może się on swo-
bodnie wydłużać pod wpływem temperatury i jego wydłużenie wynosi
.
L
T
T
T
W wyniku działania siły, skrócenie pręta wynosi (wg prawa Hooke’a)
.
EA
L
R
R
Ponieważ zadanie jest statycznie niewyznaczalne, równanie geometryczne ma
postać
T
=
R
, a stąd
.
E
T
A
R
,
EA
T
R
,
EA
L
R
L
T
T
T
T
Przyjmując dane: L = 1 m, A = 3 cm
2
,
T = 25
C,
T
= 1,2
10
-5
1/
C otrzymuje się:
.
MPa
60
10
2
25
10
2
,
1
,
kN
18
10
3
10
2
25
10
2
,
1
R
5
5
1
5
5
08 Pręty, układy prętów
102
Na
prężenia montażowe
Poszczególne elementy dużej, złożonej konstrukcji są wykonywane z
odchyłkami wymiarowymi, założonymi przez konstruktora. W wyniku nie-
korzystnego zbiegu oko
liczności suma tych odchyłek może spowodować
powstanie
luzu montażowego, który w czasie montażu konstrukcji musi
być „zlikwidowany” przez działanie dodatkowych sił. Powoduje to po-
wstanie w konstrukcji dodatkowych naprężeń, zwanych naprężeniami
montażowymi. W krańcowym przypadku konstrukcja mająca spełniać
określone zadania (np. przenosić obciążenia) już w czasie montażu mo-
że ulec zniszczeniu. Najczęściej spotykaną przyczyną luzów montażo-
wych jest nieprzestrzeganie ustalo
nych warunków konstrukcyjnych i
technologicznych w
wyniku lekceważenia zasad sztuki inżynierskiej.
Należy też wspomnieć, że w pewnych sytuacjach wywołanie naprężeń
wstępnych jest działaniem celowym, np. w połączeniach śrubowych na-
ciąg wstępny zapobiega odkręcaniu się nakrętek, a w połączeniach koł-
nierzowych zapewnia szczelność połączenia.
Naprężenia montażowe mogą osiągnąć spore wartości, tak że po do-
daniu obciążenia zapas wytrzymałości może być już niewielki.
P
RZYKŁAD
W konstrukcji podtrzymywanej przez trzy pręty, w trakcie montażu okazało się, że
środkowy pręt został wykonany krótszy o
w stosunku do dokumentacji. Ob
liczyć
naprężenie w prętach po zmontowaniu konstrukcji. Do obliczeń przyjąć: P = 10 kN, L
= 1 m, A = 2 cm
2
, E = 2
10
5
MPa,
= 1 mm.
Równania statyki dla zmontowanej konstrukcji:
.
N
N
0
a
N
a
N
0
)
C
(
M
,
P
N
N
N
0
P
3
1
3
1
3
2
1
Równanie geometryczne (zadanie statycznie niewyznaczalne):
.
L
L
2
1
Zgodnie z prawem Hooke’a:
.
EA
2
L
N
L
,
EA
L
N
L
1
2
1
1
P
L
A
2A
A
a
a
L
A
2A
A
a
a
2
L
L
1
P
N
1
3
N
2
N
C
08 Pręty, układy prętów
103
Po rozwiązaniu układu 3 równań otrzymuje się:
.
L
EA
2
P
N
,
L
2
EA
4
P
N
N
2
3
1
Rozwiązanie liczbowe uwzględniające trzy sytuacje:
1. Konstrukcja idea
lna, obciążona siłą P (
= 0).
.
MPa
5
,
12
10
2
2
5
,
kN
5
2
P
N
,
MPa
5
,
12
10
2
5
,
2
,
kN
5
,
2
4
P
N
N
2
2
3
1
3
1
Znak „-” przy sile N
2
oznacza złe założenie kierunku tej siły w równaniu statyki.
2
. Konstrukcja z luzem montażowym, bez obciążenia siłą (P = 0).
.
MPa
100
10
2
2
40
,
kN
40
L
EA
N
,
MPa
100
10
2
20
,
kN
20
L
2
EA
N
N
2
2
3
1
3
1
3. Konstrukcja z luzem monta
żowym, obciążona siłą P.
.
MPa
5
,
87
10
2
2
35
,
kN
35
5
L
EA
2
P
N
,
MPa
5
,
112
10
2
5
,
22
,
kN
5
,
22
20
5
,
2
L
2
EA
4
P
N
N
2
2
3
1
3
1
Dla 3. przypadku znajduje potwierdzenie zasada superpozycji.