1
7. Ruch punktu we współrzędnych
kartezjańskich
KINEMATYKA PUNKTU
Zadanie 1/7
Punkt porusza się w jednej płaszczyźnie.
Znaleźć:
1) równanie toru punktu,
2) położenie punktu w chwili początkowej,
3) prędkość i przyspieszenie punktu w charakterystycznych
punktach toru
jeśli równania ruchu punktu mają postać:
a)
0
,
0
cos
sin
2
>
>
=
=
k
b
kt
b
y
kt
a
x
b)
0
,
0
2
>
>
=
=
b
a
at
y
t
b
x
c)
kt
b
y
kt
a
x
sin
cos
=
=
d)
t
y
t
x
20
4
15
2
−
=
=
e)
0
,
0
sinh
cosh
>
>
=
=
b
a
kt
b
y
kt
a
x
f)
t
y
t
x
2
sin
5
1
2
cos
4
2
+
=
+
=
g)
0
,
0
sin
2
cos
>
>
=
=
b
a
kt
b
y
kt
a
x
2
Zadanie 2/7
Ci
ęż
ar
C
przesuwany jest po pionowej prowadnicy za pomoc
ą
linki
przerzuconej przez niewielki kr
ąż
ek
A
odległy od prowadnicy o
wielko
ść
OA
=
a
.
u
a
A
O
C
x
Poda
ć
pr
ę
dko
ść
i przyspieszenie
ci
ęż
aru w zale
ż
no
ś
ci od odległo
ś
ci
OC
=
x
, je
ś
li swobodny koniec linki
ci
ą
gni
ę
ty jest ze stał
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
u
.
3
2
2
2
2
x
a
u
x
a
x
x
u
x
C
C
−
=
+
−
=
&
&
&
Odp.:
Zadanie 3/7
Pr
ę
t
OA
obracaj
ą
c si
ę
wokół nieruchomego punktu
O
ze stał
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
k
ą
tow
ą
ω
0
, wprawia w ruch mały pier
ś
cie
ń
P
, nasuni
ę
ty
na poziomo zamocowany drut
d
. Punkt
B
zamocowania drutu
znajduje si
ę
w odległo
ś
ci
b
od nieruchomego punktu
O
.
Znale
źć
pr
ę
dko
ść
i przyspieszenie pier
ś
cienia w funkcji odci
ę
tej
x
.
P
d
B
x
b
O
ω
0
(
)
(
)
2
2
2
2
0
2
2
0
2
x
b
x
b
x
x
b
b
x
+
=
+
=
ω
ω
&
&
&
Odp.:
3
Zadanie 4/7
Suwak
A
zaopatrzony w pionowy pr
ę
t
AB
porusza si
ę
ze stał
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
u
po prostej poziomej w ten sposób,
ż
e pr
ę
t styka si
ę
w
punkcie
M
z nieruchomym okr
ę
giem o promieniu
r
ustawionym w
płaszczy
ź
nie pionowej.
Wyznaczy
ć
pr
ę
dko
ść
i przyspieszenie
punktu
M
w funkcji
k
ą
ta
ϕ
. W chwili
t
=0
pr
ę
t zajmował
poło
ż
enie
A
0
B
0
.
r
A
0
B
0
M
ϕ
u
A
x
y
ϕ
ϕ
3
2
cos
0
r
u
y
utg
y
x
u
x
M
M
M
M
−
=
−
=
=
=
&
&
&
&
&
&
Odp.:
Zadanie 5/7
Pr
ę
t
AB
o długo
ś
ci
l
porusza si
ę
w ten sposób,
ż
e jego ko
ń
ce
ś
lizgaj
ą
si
ę
po dwóch wzajemnie prostopadłych prostych.
x
y
l
a
M
B
A
x
A
v
A
a
A
(
)
(
)
2
3
2
2
3
2
2
2
2
A
A
A
A
A
A
M
A
A
A
M
A
M
A
M
x
l
x
a
a
x
l
l
a
y
x
l
l
ax
y
l
a
l
a
x
l
a
l
x
−
−
+
⋅
−
=
−
−
=
−
=
−
=
ν
ν
ν
&
&
&
&
&
&
Odp.:
Wyznaczy
ć
pr
ę
dko
ść
i przyspieszenie
punktu
M
, znajduj
ą
cego si
ę
w odległo
ś
ci
a
od ko
ń
ca
A
, w zale
ż
no
ś
ci od poło
ż
enia
x
A
,
pr
ę
dko
ś
ci
v
A
i przyspieszenia
a
A
ko
ń
ca
A
.
4
Zadanie 6/7
Krzywka w kształcie półkola o promieniu
r
porusza si
ę
ruchem
post
ę
powym ze stał
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
v
0
.
Znale
źć
pr
ę
dko
ść
i przyspieszenie pr
ę
ta
opieraj
ą
cego si
ę
na krzywce za po
ś
rednictwem
rolki o promieniu
ρ
i swobodnie poruszaj
ą
cego
si
ę
w pionowej prowadnicy. W chwili
pocz
ą
tkowej pr
ę
t zajmował najwy
ż
sze poło
ż
enie.
ρ
r
v
0
x
(
)
( )
(
)
(
)
( )
[
]
2
3
2
0
2
2
2
0
2
0
2
2
0
t
r
r
x
t
r
t
x
ν
ρ
ρ
ν
ν
ρ
ν
−
+
+
=
−
+
=
&
&
&
Odp.:
Zadanie 7/7
Kulka mo
ż
e przesuwa
ć
si
ę
w kanaliku w kształcie odcinka paraboli
o równaniu
x
=
y
2
/4. Równocze
ś
nie przesuwana jest za pomoc
ą
prowadnicy poruszaj
ą
cej si
ę
ze stał
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
ν
0
.
Odp.:
Znale
źć
pr
ę
dko
ść
i przyspieszenie kulki w chwili, gdy zajmuje ona
poło
ż
enie okre
ś
lone przez współrz
ę
dn
ą
x
k
=4. W chwili pocz
ą
tkowej
kulka zajmowała poło
ż
enie okre
ś
lone współrz
ę
dn
ą
x
0
.
ν
0
y
x
x
0
3
2
0
0
0
2
0
x
y
x
y
x
x
ν
ν
ν
−
=
=
=
=
&
&
&
&
&
&
5
Zadanie 8/7
Ko
ń
ce linijki AB poruszaj
ą
si
ę
po dwóch wzajemnie prostopadłych
prostych
0x
i
0y
, przy czym k
ą
t
ϕ
=
ω
t
(
ω
=const).
Odp.:
Poda
ć
równanie toru ruchu
punktu
M
znajduj
ą
cego si
ę
w
odległo
ś
ciach
a
i
b
od ko
ń
ców
linijki oraz obliczy
ć
jego
pr
ę
dko
ść
i przyspieszenie w
chwilach, gdy znajdzie si
ę
on na
prostych
0x
oraz
0y
.
x
B
A
M
a
b
0
ϕ
y
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
0
0
0
2
=
=
=
−
=
=
=
M
M
M
M
M
M
y
b
y
y
a
x
x
a
x
&
&
&
&
&
&
ω
ω
2
0
0
0
ω
ω
b
y
y
b
y
x
a
x
x
M
M
M
M
M
M
−
=
=
=
=
−
=
=
&
&
&
&
&
&
0
0
0
2
=
−
=
=
=
=
−
=
M
M
M
M
M
M
y
b
y
y
a
x
x
a
x
&
&
&
&
&
&
ω
ω
2
0
0
0
ω
ω
b
y
y
b
y
x
a
x
x
M
M
M
M
M
M
=
=
−
=
=
=
=
&
&
&
&
&
&
Zadanie 9/7
Pocisk wystrzelono z pr
ę
dko
ś
ci
ą
pocz
ą
tkow
ą
ν
0
=700m/s pod k
ą
tem
α
1
=60
o
do poziomu. Po jakim czasie
∆
t
nale
ż
y wystrzeli
ć
drugi
pocisk pod k
ą
tem
α
2
=45
o
i z tak
ą
sam
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
pocz
ą
tkow
ą
, aby
pociski zderzyły si
ę
w locie? Na jakiej wysoko
ś
ci
h
i w jakiej
odległo
ś
ci
l
od miejsca wystrzału nast
ą
pi zderzenie? Opór powietrza
pomin
ąć
, przyj
ąć
przyspieszenie ziemskie
g
=9.81m/s
2
.
Odp.:
∆
t
=104.5sek, h=9786m, l=36575m
Zadanie 10/7
Punkt zakre
ś
la figur
ę
Lissajous zgodnie z równaniami
Znale
źć
promie
ń
ρ
krzywizny toru w punkcie o współrz
ę
dnych
x
=0,
y
=0.
Odp.: ρ=∞
t
a
y
t
a
x
ω
ω
sin
2
sin
−
=
−
=
6
Zadanie 11/7
Punkt zakre
ś
la figur
ę
Lissajous zgodnie z równaniami
Znale
źć
pr
ę
dko
ść
i przyspieszenie punktu oraz promie
ń
ρ
A
krzywizny
toru w punkcie
A
okre
ś
lonym współrz
ę
dn
ą
x
A
=5.
kt
y
kt
x
cos
3
sin
5
=
=
5
81
0
9
5
0
2
=
=
=
−
=
=
A
A
A
A
A
y
k
y
k
x
x
ρ
&
&
&
&
&
&
Odp.:
Zadanie 12/7
Ruch punktu opisany jest równaniami
Znale
źć
równanie toru w postaci
y(x)
oraz pr
ę
dko
ść
i przyspieszenie
punktu w zale
ż
no
ś
ci od jego poło
ż
enia.
(
)
0
,
,
>
=
=
−
k
f
d
fe
y
de
x
kt
kt
Odp.:
y
k
y
ky
y
x
k
x
kx
x
x
fd
y
2
2
=
−
=
=
=
=
&
&
&
&
&
&
Zadanie 13/7
W mechanizmie korbowym przedstawionym na rysunku korba
OA
o długo
ś
ci
r
obraca si
ę
ze stał
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
k
ą
tow
ą
ω
wokół
nieruchomego punktu
O
.
Wyznaczy
ć
poło
ż
enie, pr
ę
dko
ść
i przyspieszenie tłoka
B
w funkcji
poło
ż
enia korby okre
ś
lonego k
ą
tem
ϕ
. Stosunek długo
ś
ci korby do
długo
ś
ci
l
korbowodu
AB
wynosi
r
/
l
=
k
(0<k<1).
B
O
ω
ϕ
A
y
x
l
r
Odp.:
(
)
−
−
+
−
=
−
+
=
−
+
=
2
3
2
2
4
2
2
2
2
2
2
cos
1
cos
2
cos
sin
cos
1
2
2
sin
cos
cos
1
1
sin
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
k
k
k
r
x
k
k
r
x
k
k
r
x
B
B
B
&
&
&