AiR III rok środa parzysta godz. 11:15
Podstawy automatyki - ćwiczenia
Lista nr 2
1)
Wyznaczyć opis w przestrzeni stanu dla równań
a)
u
y
dt
dy
dt
y
d
6
5
2
2
b)
u
dt
du
dt
u
d
dt
u
d
y
dt
dy
dt
y
d
dt
y
d
8
17
8
6
11
6
2
2
3
3
2
2
3
3
2)
Dla przykładu z zadania 1a wyznaczyć macierz tranzycyjną:
a) metodą odwrotnego przekształcenia Laplace’a
b) metodą diagonalizacji macierzy
3)
Rozwiązać równania stanu z zadania 1a przy następujących założeniach:
a) u(t)=0, y’(0)=0, y(0)=1
b) u(t)=2*1(t), y’(0)=y(0)=0
4)
Wyznaczyć transmitancję operatorową dla równań stanu wyznaczonych w
zadaniu 1
OPIS UKŁADÓW DYNAMICZNYCH W PRZESTRZENI STANÓW
D
B
A
sI
C
s
G
1
]
[
)
(
Wyznaczanie równań stanu na podstawie równania różniczkowego
Metoda ogólna
W przypadku równania różniczkowego rzędu n-tego
d
n
y
dt
n
+ a
n-1
d
n-1
y
dt
n-1
+...+ a
1
dy
dt
+a
0
y= b
0
u
z prostym składnikiem wymuszającym, jako zmienne stanu przyjmuje się
)
1
(
2
1
,
,
,
n
n
y
x
y
x
y
x
Wówczas otrzymujemy równania stanu
1
0
0
1
1
3
2
2
1
n
i
i
i
n
n
n
u
b
x
a
x
x
x
x
x
x
x
i równanie wyjścia
1
x
y
W przypadku równania różniczkowego rzędu n-tego z wymuszeniem zawierającym
pochodne
d
n
y
dt
n
+ a
n-1
d
n-1
y
dt
n-1
+...+ a
1
dy
dt
+a
0
y= b
m
d
m
u
dt
m
+ b
m-1
d
m-1
u
dt
m-1
+...+ b
1
du
dt
+b
0
u
wyznacza się opis metodą ogólną w postaci
u
c
c
c
x
x
x
x
a
a
a
a
x
x
x
x
n
n
n
n
n
n
2
1
1
2
1
1
2
1
0
1
2
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
u
c
x
x
x
y
n
0
2
1
0
0
1
Następnie stosujemy podstawienie :
u
c
x
y
o
1
,
u
c
u
c
x
u
c
x
y
o
o
1
2
1
'
'
'
, .........
Powyższe wyrażenia należy podstawić do równania różniczkowego, porównać stronami i
wyliczyć współczynniki
,....
,
,
2
1
c
c
c
o
c
x
Rozwiązywanie równań stanu
Rozwiązanie równania
Bu
Ax
x
spełniające warunek początkowy
0
0
)
(
x
t
x
ma postać:
t
t
t
A
t
t
A
d
Bu
e
x
e
t
x
0
0
)
(
)
(
)
(
0
)
(
At
e
t)
(
- macierz tranzycyjna.
W przypadku gdy
0
)
(t
u
rozwiązanie ma postać:
0
0
)
(
)
(
x
t
x
e
t
x
At
Wyznaczanie macierzy tranzycyjnej -metoda odwrotnego przekształcenia Laplace’a
e
At
=L
-1
[(sI-A)
-1
]
Wyznaczanie macierzy tranzycyjnej -metoda diagonalizacji macierzy
Metoda ta oparta jest na następującej zależności
Minorem M
ij
nazywamy wyznacznik (n-1) - szego stopnia otrzymanego przez opuszczenie i-
tego wiersza i j-tej kolumny z wyznacznika n-tego stopnia
Dopełnienie algebraiczne D
ij
określa się z zależności D
ij
=(-1)
i+ j
M
ij
Macierz dołączoną macierzy kwadratowej A
d
otrzymuje się przez transpozycję macierzy,
w której każdy element A zastąpiono przez jego dopełnienie algebraiczne
A A
d
=A
d
A=|A| I
Macierz odwrotna A
-1
jest macierzą dołączoną podzieloną przez wyznacznik macierzy
|
A
|
A
A
d
1
A
-1
A=A A
-1
=I
Jeśli A jest macierzą o wymiarach n x n, to wyznacznik |A- I| nazywa się wielomianem
charakterystycznym macierzy A
I - macierz jednostkowa, w której wszystkie elementy na przekątnej są równe 1
Równanie |A- I|=0 nazywa się równaniem charakterystycznym
Pierwiastki równania charakterystycznego
1,
2,..., n
stanowią wartości własne macierzy A
Wektor niezerowy V
i
który spełnia równanie AV
i
=
i
V
i
nazywa się wektorem własnym
macierzy A związanym z wartością własną
i
Wektory własne wyznacza się z następującego równania [A-
i
I ] V
i
=0
Jeśli
1,
2,..., n
są pojedynczymi wartościami własnymi macierzy A, a wektory V
1
, V
2
,..., V
n
są wektorami własnymi macierzy A, to kolumny macierzy przekształcenia
diagonalizującego P stanowią wektory własne macierzy A
P=[V
1
, V
2
,..., V
n
]
Jeśli macierz A ma postać
i wartości własne macierzy A są pojedyncze
1,
2,...,
n,
to macierz diagonalizująca P ma
postać