Funkcje jednej i wielu zmiennych,
pochodne funkcji skalarnych
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Politechniki Rzeszowskiej
Funkcje jednej i wielu zmiennych,
pochodne funkcji skalarnych
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Politechniki Rzeszowskiej
Funkcja jednej zmiennej
Zmienn
ą
y nazywamy funkcj
ą
zmiennej x, zwanej
argumentem funkcji albo zmienn
ą
niezale
Ŝ
n
ą
, je
Ŝ
eli
ka
Ŝ
dej warto
ś
ci x wzi
ę
tej z pewnego zbioru Z
odpowiada oznaczona warto
ść
zmiennej y. Zbiór Z
dopuszczalnych warto
ś
ci argumentu x nazywamy
obszarem oznaczono
ś
ci funkcji y.
Bronsztejn Siemiendiajew: Poradnik encyklopedyczny matematyka, s. 346
2
y
x
=
Obszar oznaczono
ś
ci: zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
y
x
=
Obszar oznaczono
ś
ci: zbiór wszystkich liczb rzeczywistych
nieujemnych.
Podstawowe postacie
analitycznego okre
ś
lenia funkcji
1
0
w postaci jawnej, gdy y jest wyra
Ŝ
one przez x za
pomoc
ą
wzoru y=f(x). Przykład y=f(x)=lnx (x>0).
2
0
w postaci uwikłanej, gdy x i y s
ą
zwi
ą
zane
równaniem F(x,y)=0. Przykład x
y
-xy=0.
3
0
w postaci parametrycznej, gdy odpowiadaj
ą
ce sobie
warto
ś
ci x i y s
ą
wyra
Ŝ
one przez trzeci
ą
zmienn
ą
t
(parametr) za pomoc
ą
równa
ń
x=
ϕ
(t), y=
θ
(t).
( )
( )
x t
a cos t, y t
b sin t
=
=
Przykład
Bronsztejn Siemiendiajew: Poradnik encyklopedyczny matematyka, s. 349
Sposoby okre
ś
lania funkcji
1
0
za pomoc
ą
tablic warto
ś
ci funkcji,
2
0
za pomoc
ą
wykresów,
3
0
za pomoc
ą
jednego albo kilku wzorów.
Bronsztejn Siemiendiajew: Poradnik encyklopedyczny matematyka, s. 348
Funkcja a.y
1 dla x
0
a.y
0 dla x
0
1 dla x
0
−
<
=
=
+
>
1
-1
y
x
0
Funkcja c.y
1/ n dla n calkowitych dodatnich
c.y
0
dla pozostalych liczb
=
y
x
0
1
1
2
3
4
5
Funkcja 1/x
x
0
2
4
1/x
1/ n dla n calkowitych dodatnich
c.y
0
dla pozostlych liczb
=
2
1
f (x)
x
=
100
10
2
f (x)
x
=
3
9
Oscylator harmoniczny
tłumiony i nie tłumiony
±
x
m
maksymalne wychylenia oscylatora, x=0 poło
Ŝ
enie
równowagi. Tarcie jest powodem tłumienia ruchu.
Wielko
ś
ci charakteryzuj
ą
ce oscylator: m – masa, k –
współczynnik charakteryzuj
ą
cy spr
ęŜ
yn
ę
, b – współczynnik
tłumienia.
m
k
b
Tłumiony oscylator
Siła oporu:
-
bdx(t)/dt.
Spr
ęŜ
yna działa na cz
ą
stk
ę
sił
ą
F(t)=–kx(t).
Aby okre
ś
li
ć
zale
Ŝ
no
ść
poło
Ŝ
enia od czasu nale
Ŝ
y
zada
ć
warunki pocz
ą
tkowe:
• pocz
ą
tkowe wychylenie x
0
=x(t=0),
• pocz
ą
tkow
ą
pr
ę
dko
ść
:
( )
( )
0
t 0
v
dx t / dt
x 0
=
=
≡
ɺ
Zale
Ŝ
no
ść
poło
Ŝ
enia cz
ą
stki
oscylatora od czasu
( )
2
1
2
2
b
b
4km
x t
C exp
t
2m
b
b
4km
C exp
t .
2m
−
−
=
−
+
+
−
+
−
Stałe C
1
i C
2
zale
Ŝą
od warunków
pocz
ą
tkowych.
Analiza wymiarowa rozwi
ą
zania
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ][ ] [ ] [ ]
1
2
2
2
2
2
2
2
C
C
x
L
b
b
b
4km
1
1
b
1
M
b
2m
t
T
m
M
T
T
M / T
M
km
b
k m
b
k
.
M
T
=
=
=
−
−
=
=
⇒
=
=
⇒
=
=
⇒
=
⇒
=
=
Sprawdzenie:
[ ] [ ] [ ] [ ]
2
2
F
1
L
M
kx
F
k
M
L
L
T
T
=
⇒
=
=
=
[ ] [ ] [ ] [ ][ ]
2
1
1
L
M
bv
F
b
F
M
v
L / T
T
T
=
⇒
=
=
=
Drgania silnie tłumione (b
2
>4mk)
m
1, 0,
b
1, 2 ,
k
0, 25.
=
=
=
( )
( )
( )
( )
a)
;
b
x 0
x 0
0
0, 5; x 0
1,
, 5; x 0
1, 75
)
.
75
=
= −
=
=
ɺ
ɺ
a
b
x(t)
t
( )
( )
0,27 t
0.93t
0,27 t
0.93t
a) x t
3, 3e
2,8e
b) x t
1, 9e
2, 4e
−
−
−
−
=
−
= −
+
Rozwi
ą
zanie
Warunki pocz
ą
tkowe
Drgania słabo tłumione (b
2
<4mk)
( )
(
)
2
2
4km b
4km b
x t
exp
bt / 2m
A cos
t
A sin
t
2m
2m
−
−
=
−
+
a) m
1,
b
0,125,
k
1,
b) m
1,
b
0,
k
1,
=
=
=
=
=
=
( )
( )
x 0
2,
x 0
0
=
=
ɺ
x(t)
t
a
b
( )
(
)
(
)
( )
( )
0,625t
a) x t
2e
cos 0, 998t
0,125sin 0, 998t
,
b) x t
cos t ,
−
=
+
=
Tłumienie krytyczne (b
2
=4mk)
( )
[
]
1
2
b
x t
exp
t
C
C t
2m
=
−
+
m
1,
b
1,
k
0, 25.
=
=
=
( )
( )
x 0
0, 5
x 0
1, 75
=
=
ɺ
( )
t / 2
1
x t
e
2t
2
−
=
+
Granica funkcji
Funkcja y=f(x) ma w punkcie x=a granic
ę
A, co
zapisujemy:
( )
x
a
A
lim f x ,
→
=
je
Ŝ
eli przy x d
ąŜą
cym do a warto
ść
funkcji zbli
Ŝ
a
si
ę
nieograniczenie do liczby A.
( )
x
a
A
lim f x ,
→
=
je
Ŝ
eli dla dowolnie małej dodatniej liczby
ε
mo
Ŝ
na dobra
ć
tak
ą
dodatni
ą
liczb
ę
η
,
Ŝ
e dla ka
Ŝ
dej
warto
ś
ci x z przedziału a-
η
<x<a+
η
(z wyj
ą
tkiem by
ć
mo
Ŝ
e, warto
ś
ci x=a) odpowiednia warto
ść
f(x) le
Ŝ
y
w przedziale A-
ε
<f(x)<A+
ε
A-
ε
A+
ε
a-
η
A+
η
A
y
x
a
Pochodna funkcji f(x) w punkcie x
( )
(
) ( )
/
x
0
f x
x
f x
df (x)
f
x
lim
dx
x
∆ →
+ ∆ −
=
≡
∆
x
X+
∆
x
f(x+
∆
x)
X
f(x)
Zwi
ą
zek pochodnej w punkcie x
i stycznej do krzywej w tym punkcie
Pochodna funkcji f(x)
w punkcie x jest równa
tangensowi k
ą
ta pomi
ę
dzy
styczn
ą
do krzywej i osi
ą
x.
dy
dx
α
x
x
0
y
dy
tg
x
dx
lim
∆ →
∆ = = α
∆
∆
x
x
∆
y
x
y
y
.
Pochodna stałej
( )
f x
a
=
(
) ( )
x
0
x
0
x
0
f x
x
f x
df (x)
lim
dx
x
a
a
0
lim
lim
0
x
x
∆ →
∆ →
∆ →
+ ∆ −
=
=
∆
−
=
=
=
∆
∆
Pochodna funkcji liniowej
( )
f x
x
=
(
) ( )
(
)
x
0
x
0
x
0
f x
x
f x
df (x)
lim
dx
x
x
x
x
x
lim
lim
1
x
x
∆ →
∆ →
∆ →
+ ∆ −
=
=
∆
+ ∆ −
∆
=
=
∆
∆
Pochodna funkcji kwadratowej
( )
2
f x
x
=
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
2
2
x
0
2
2
2
2
2
x
0
x
0
2
2
x
0
x
0
x
0
df x
x
x
x
lim
dx
x
x
x
x
x
2x x
x
x
lim
lim
x
x
2x x
x
2x x
x
lim
lim
x
x
2x
lim x
2x
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
+ ∆
−
=
=
∆
+ ∆
−
+ ∆ + ∆
−
=
=
=
∆
∆
∆ − ∆
∆ − ∆
=
=
∆
∆
=
−
∆ =
Twierdzenia o granicach funkcji
( ) ( )
( )
( )
x
a
x
a
x
a
lim f x
g x
lim f x
lim g x
→
→
→
+
=
+
Je
Ŝ
eli granice w punkcie a obydwu funkcji istniej
ą
, to
( ) ( )
( )
( )
x
a
x
a
x
a
lim f x g x
lim f x
lim g x
→
→
→
=
Pochodna sumy funkcji
( )
( )
( )
( )
1
2
n
f x
u x
u
x
u
x
=
+
+ +
…
( )
( )
( )
( )
1
2
n
f ' x
u ' x
u '
x
u '
x
=
+
+ +
…
Pochodna iloczynu funkcji
( ) ( ) ( )
f x
u x v x
=
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
d u x v x
df x
du x
dv x
v x
u x
dx
dx
dx
dx
=
=
+
Pochodna ilorazu funkcji
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
du x
dv x
v x
u x
u x
d
dx
dx
dx v x
v
x
−
=
Pochodna funkcji zło
Ŝ
onej
( ) ( )
( )
( )
( )
y x
f u , u
g x
y x
f g x
=
=
⇒
=
( )
( ) ( )
( ) ( )
df g x
df g dg x
f ' g g ' x
dy
dg
dx
=
=
Pochodna funkcji sinx
(
)
[
]
x
0
x
0
1
x
x
0
x
0
x
0
x
0
sin x
x
sin x
d sin x
lim
dx
x
sin x cos x
sin x cos x
sin x
lim
x
sin x cos x
sin x cos x sin x
lim
x
sin x
x cos x sin x
lim
x
x cos x
x
lim
cos x lim
cos x
x
x
∆ →
∆ →
∆
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
+ ∆ −
=
=
∆
∆ +
∆
−
=
=
∆
∆ +
∆
−
=
=
∆
+ ∆
−
=
=
∆
∆
∆
=
=
=
∆
∆
Ró
Ŝ
niczka zmiennej niezale
Ŝ
nej
Niech x b
ę
dzie zmienn
ą
niezale
Ŝ
n
ą
Oznaczenie przyrostu x:
∆
x.
Gdy
∆
x jest bardzo małe
u
Ŝ
ywamy oznaczenia dx
Ró
Ŝ
niczka funkcji
Iloczyn
nazywamy ró
Ŝ
niczk
ą
dy funkcji y=f(x) w punkcie x.
( )
( )
df x
f ' x
x
x
dx
∆ =
∆
Interpretacja geometryczna
ró
Ŝ
niczki funkcji
x
y
α
∆∆∆∆
x
∆∆∆∆
y
( )
x
y
x tg
x y ' x
∆ = ∆ ⋅ α = ∆ ⋅
Funkcje wielu zmiennych
Zmienn
ą
u nazywamy funkcj
ą
n zmiennych niezale
Ŝ
nych
(
)
1
2
n
n
x, y, z,
, t albo x , x ,
, x
,
…
…
Bronsztejn Siemiendiajew: Poradnik encyklopedyczny matematyka, s. 367
okre
ś
lon
ą
w pewnym obszarze oznaczono
ś
ci, je
Ŝ
eli
ka
Ŝ
demu zespołowi warto
ś
ci zmiennych niezale
Ŝ
nych z
tego obszaru odpowiada okre
ś
lona warto
ść
u.
Oznaczenia
Funkcja dwóch zmiennych:
( )
u
f x, y .
=
Funkcja trzech zmiennych:
(
)
u
F x, y, z .
=
Funkcja n zmiennych:
(
)
1
2
3
n
u
x , x , x ,
, x
= φ
…
Przykład funkcji dwóch zmiennych
( )
(
)
f x, y
x y
a
x, y
a;
,
0
α β
=
− ≤
≤ α β >
x
y
-a
-a
a
a
Obszar okre
ś
lono
ś
ci jest kwadratem o boku o długo
ś
ci 2a
Przedstawienie geometryczne
funkcji dwóch zmiennych
(x,y)
(
)
P x, y, u
Punktowi (x,y) płaszczyzny odpowiada punkt P(x,y,u)
w przestrzeni. Zbiór punktów P tworzy powierzchni
ę
.
Pochodna cz
ą
stkowa
Pochodn
ą
cz
ą
stkow
ą
funkcji wielu zmiennych
(
)
u
f x, y, z,
, t
=
…
wzgl
ę
dem jednej z tych zmiennych, np. y, oznaczon
ą
symbolami
y
y
u
f
, u ,
, f
y
y
∂
∂
∂
∂
/
/
okre
ś
la wzór
(
) (
)
y
0
f x, y
y, z,
, t
f x, y, z,
, t
u
lim
y
y
∆ →
+ ∆
−
∂ =
∂
∆
…
…
Funkcja fali.
Ć
wiczenie: wyznaczanie cz
ę
sto
ś
ci drga
ń
widełek stroikowych metod
ą
pomiaru
cz
ę
sto
ś
ci dudnienia
( )
0
t
x
y x, t
A cos 2
=
π
−
− α
τ λ
Interpretacja geometryczna pochodnej
cz
ą
stkowej funkcji dwóch zmiennych
u
y
x
(
)
2
u
x sin x
y
= ⋅
−
Zmienna x ustalona (x=1,4)
( )
( )
(
)
x 1,4
2
u x, y
du x, y
y
dy
x cos 1, 4
y
=
∂
=
=
∂
= −
−
φ
Cz
ą
stkowa ró
Ŝ
niczka funkcji
wielu zmiennych
Ró
Ŝ
niczki zmiennych niezale
Ŝ
nych x, y itd. s
ą
ich
przyrostami
∆
x,
∆
y itd., którym mo
Ŝ
na nada
ć
dowoln
ą
warto
ść
(dodatni
ą
albo ujemn
ą
).
Ró
Ŝ
niczk
ę
cz
ą
stkow
ą
funkcji wielu zmiennych
u=f(x,y,..,t)
wzgl
ę
dem jednej z tych zmiennych, np. wzgl
ę
dem x
oznaczmy symbolem
∆
x
u albo
∆
x
f:
x
x
u
u
f
x
x
∂
∆ = ∆ =
∆
∂
Zupełna ró
Ŝ
niczka funkcji
wielu zmiennych
Sum
ę
ró
Ŝ
niczek cz
ą
stkowych
u
u
u
u
u
x
y
z
t
x
y
z
t
∂
∂
∂
∂
∆ =
∆ +
∆ +
∆ + +
∆
∂
∂
∂
∂
…
nazywamy ró
Ŝ
niczk
ą
zupełn
ą
.