Pochodna funkcji
Iloraz różnicowy
Założenia: Dany jest punkt x i funkcja f określona w
otoczeniu punktu x; h jest liczbą różną od zera i taką, że
x + h należy do tego otoczenia.
Wyrażenie
h
x
f
h
x
f
)
(
)
(
nazywamy ilorazem
różnicowym funkcji f w punkcie x.
Pochodna funkcji
Granicę:
h
x
f
h
x
f
h
)
(
)
(
lim
0
- o ile ta granica istnieje -
nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x i oznaczamy
symbolem:
)
(
' x
f
albo
dx
x
df
)
(
Czytaj: „f prim od x” albo „df po dx w punkcie x”.
Przykład 1. Wyprowadzimy wzór na pochodną funkcji
2
)
(
x
x
f
.
Mamy:
2
)
(
x
x
f
,
2
)
(
)
(
h
x
h
x
f
.
Zatem:
h
x
f
h
x
f
x
f
h
)
(
)
(
lim
)
(
'
0
h
x
h
xh
x
h
x
h
x
h
h
2
2
2
0
2
2
0
2
lim
)
(
lim
h
h
x
h
h
h
xh
h
h
)
2
(
lim
2
lim
0
2
0
x
h
x
h
2
)
2
(
lim
0
Możemy też napisać:
x
x
2
'
2
Interpretacja. Dla ustalonego x pochodna staje się liczbą,
np. pochodna funkcji
2
x
w punkcie
3
x
jest równa 6. Ta
liczba jest równa tangensowi kąta jaki tworzy styczna do
wykresu funkcji w tym punkcie z osią Ox.
Przykład 2. Wyprowadzimy wzór na pochodną funkcji
x
x
f
1
)
(
.
Mamy:
x
x
f
1
)
(
,
h
x
h
x
f
1
)
(
.
Zatem:
h
x
f
h
x
f
x
f
h
)
(
)
(
lim
)
(
'
0
h
x
h
x
h
x
x
h
x
h
x
h
h
)
(
lim
1
1
lim
0
0
2
0
0
1
)
(
1
lim
1
)
(
lim
x
x
h
x
h
x
h
x
h
h
h
Możemy też napisać:
2
'
1
1
x
x
Przykład 3. Wyprowadzimy wzór na pochodną funkcji
x
x
f
)
(
.
Mamy:
x
x
f
)
(
,
h
x
h
x
f
)
(
.
Zatem:
h
x
f
h
x
f
x
f
h
)
(
)
(
lim
)
(
'
0
h
x
h
x
h
0
lim
x
h
x
x
h
x
h
x
h
x
h
0
lim
)
(
lim
)
(
lim
0
0
x
h
x
h
h
x
h
x
h
x
h
x
h
h
x
x
h
x
h
2
1
1
lim
0
Możemy też napisać:
x
x
2
1
'
Wzory na pochodne podstawowych funkcji
W podobny sposób jak w przykładach 1-3 można
wyprowadzić wzory na pochodne innych funkcji. Oto
najważniejsze z tych wzorów:
0
'
const
1
'
x
x
x
2
'
2
2
'
3
3x
x
3
'
4
4x
x
……
1
'
n
n
nx
x
2
'
1
1
x
x
x
x
2
1
'
x
x
cos
sin
'
x
x
sin
cos
'
x
x
e
e
'
a
a
a
x
x
ln
'
x
x
1
ln
'
a
x
x
a
ln
1
log
'
Rachunek pochodnych
)
(
'
)
(
'
x
f
a
x
f
a
Pochodna sumy:
)
(
'
)
(
'
)
(
)
(
'
x
g
x
f
x
g
x
f
Przykład 4.
4
6
7
2
3
)
(
2
3
5
x
x
x
x
x
f
0
1
6
2
7
3
2
5
3
)
(
'
2
4
x
x
x
x
f
6
14
6
15
2
4
x
x
x
Przykład 5.
x
x
x
f
cos
4
sin
3
)
(
)
sin
(
4
cos
3
)
(
'
x
x
x
f
x
x
sin
4
cos
3
Przykład 6
4
1
)
(
x
x
f
Najpierw zapiszmy inaczej wzór tej funkcji:
4
)
(
x
x
f
Zatem:
5
5
4
4
)
(
'
x
x
x
f
Przykład 7.
5
3
)
(
x
x
f
Najpierw zapiszmy inaczej wzór tej funkcji:
5
3
)
(
x
x
f
Zatem:
5
2
5
2
5
3
5
3
)
(
'
x
x
x
f
Rachunek pochodnych – c.d.
Pochodna iloczynu:
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(
'
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
Przykład 8.
x
x
x
f
sin
)
(
3
'
)
(sin
sin
)
(
'
3
'
3
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
cos
sin
3
3
2
Przykład 9.
x
e
x
x
f
)
(
'
)
(
)
(
'
'
x
x
e
x
e
x
x
f
x
xe
e
e
x
e
x
x
x
x
x
2
2
2
1
Rachunek pochodnych – c.d.
Pochodna ilorazu:
2
'
)]
(
[
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
Przykład 10.
1
3
2
)
(
2
x
x
x
x
f
2
2
2
)
1
3
(
)'
1
3
)(
2
(
)
1
3
(
)'
2
(
)
(
'
x
x
x
x
x
x
x
x
f
2
2
)
1
3
(
3
)
2
(
)
1
3
)(
2
2
(
x
x
x
x
x
2
2
2
)
1
3
(
6
3
2
6
2
6
x
x
x
x
x
x
2
2
)
1
3
(
2
2
3
x
x
x
Przykład 11.
x
x
f
tg
)
(
Najpierw zapiszmy inaczej wzór tej funkcji:
x
x
x
f
cos
sin
)
(
x
x
x
x
x
x
f
2
cos
)'
(cos
sin
cos
)'
(sin
)
(
'
x
x
x
x
x
2
cos
)
sin
(
sin
cos
cos
x
x
x
x
2
2
2
2
cos
1
cos
sin
cos
Rachunek pochodnych – c.d.
Pochodna funkcji złożonej:
)
(
'
))
(
(
'
))
(
(
'
x
h
x
h
g
x
h
g
Różniczkowalność funkcji
Wyznaczanie pochodnej funkcji nazywamy
różniczkowaniem tej funkcji. Dział analizy matematycznej
zajmujący się pochodnymi i ich zastosowaniami
nazywamy rachunkiem różniczkowym.
Jeżeli istnieje pochodna funkcji f w punkcie x, to
mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w tym
punkcie.
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w każdym punkcie
przedziału, to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w
tym przedziale.
Przykład 15. Pokażemy, że funkcja
x
x
f
)
(
nie jest
różniczkowalna w punkcie
0
x
.
Rozwiązanie. Należy wykazać, że nie istnieje granica
h
x
f
h
x
f
h
)
(
)
(
lim
0
gdy
0
x
.
Dla
0
x
mamy:
0
0
)
0
(
)
(
f
x
f
,
h
h
f
h
x
f
)
(
)
(
.
Obliczmy granice jednostronne:
h
h
h
x
f
h
x
f
h
h
0
lim
)
(
)
(
lim
0
0
1
lim
0
h
h
h
h
h
h
x
f
h
x
f
h
h
0
lim
)
(
)
(
lim
0
0
1
lim
0
h
h
h
Granice lewo- i prawostronna nie są sobie równe, zatem
granica
h
x
f
h
x
f
h
)
(
)
(
lim
0
dla
0
x
nie istnieje.
