Matura 2005
Matura 2005
Matura 2005
Matura 2005
Zadania dla poziomu rozszerzonego wyróŜnione są kursywą.
Z
Z
A
A
D
D
A
A
N
N
I
I
A
A
D
D
O
O
P
P
O
O
W
W
T
T
A
A
R
R
Z
Z
A
A
N
N
I
I
A
A
P
P
R
R
Z
Z
E
E
D
D
M
M
A
A
T
T
U
U
R
R
Ą
Ą
Zestaw XI Ciągłość i pochodna funkcji
Zadanie 1.
Naszkicuj wykres funkcji f określonej następująco:
=
≠
−
=
0
dla
0
0
dla
6
,
5
max
)
(
x
x
x
x
x
f
i zbadaj jej ciągłość, jeśli relacja max(a, b) jest określona w następujący sposób:
<
≥
=
b
a
b,
b
a
a
b
a
gdy
gdy
,
)
,
max(
Zadanie 2.
Uzasadnij, Ŝe równanie
0
10
5
3
2
3
4
=
−
−
−
+
x
x
x
x
ma co najmniej jedno rozwiązanie.
Zadanie 3.
Oblicz na podstawie definicji pochodną funkcji
1
2
)
(
2
−
+
=
x
x
x
f
w punkcie
1
0
−
=
x
.
Zadanie 4.
Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji
x
x
x
g
1
)
(
+
=
, równoległej do prostej o równaniu
1
4
1
+
−
=
x
y
. Następnie zilustruj rozwiązanie zadania na płaszczyźnie z prostokątnym układem
współrzędnych.
Zadanie 5.
Zbadaj, ile rozwiązań ma równanie
0
1
9
6
2
3
=
+
+
+
x
x
x
i wskaŜ przedziały o długości 1
i o końcach będących liczbami całkowitymi, do których naleŜą te rozwiązania.
Zadanie 6.
WykaŜ, Ŝe dla kaŜdej liczby
2
≥
x
prawdziwa jest nierówność:
5
1
2
2
1
≥
+
x
x
.
Zadanie 7.
Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji
1
4
4
3
)
(
2
2
+
+
+
+
=
x
x
x
x
x
h
w przedziale
1
,
2
−
.
Zadanie 8.
Dany jest trójkąt ABC, w którym AC = b, AB = c i kąt CAB ma
°
30 . W trójkąt wpisujemy równo-
ległoboki w ten sposób, Ŝe jednym z wierzchołków kaŜdego równoległoboku jest A, a pozostałe 3
wierzchołki naleŜą odpowiednio do boków AB, BC i AC trójkąta. Który z tych równoległoboków
ma największe pole i ile procent pola danego trójkąta stanowi pole tego równoległoboku?
