Wzory na obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej
Pochodne podstawowych funkcji elementarnych:
0
)
(
=
′
c
(pochodna stałej)
x
x
e
e
=
′
)
(
1
1
)
(arctan
2
+
=
′
x
x
1
)
(
−
⋅
=
′
α
α
α
x
x
1
,
0
,
ln
(
)
≠
>
=
′
a
a
a
a
a
x
x
1
1
)
cot
arc
(
2
+
−
=
′
x
x
x
x
cos
)
(sin
=
′
x
x
1
)
(ln
=
′
x
x
cosh
)
(sinh
=
′
x
x
sin
)
(cos
−
=
′
a
x
x
a
ln
1
)
(log
=
′
x
x
sinh
)
(cosh
=
′
x
x
2
cos
1
)
(tan
=
′
2
1
1
)
(arcsin
x
x
−
=
′
x
x
2
cosh
1
)
(tanh
=
′
x
x
2
sin
1
)
(cot
−
=
′
2
1
1
)
(arccos
x
x
−
−
=
′
x
x
2
sinh
1
)
(coth
−
=
′
Przykładowo, ponieważ
1
)
(
−
⋅
=
′
α
α
α
x
x
, to w szczególności:
jeśli
x
y
=
, to
1
=
′
y
; jeśli
2
x
y
=
, to
x
y
2
=
′
; jeśli
x
y
=
, to
x
y
2
1
=
′
;
jeśli
1
1
−
=
=
x
y
x
, to
2
1
2
x
x
y
−
=
−
=
−
′
.
Pochodna funkcji pomnożonej przez stałą:
(
)
)
(
)
(
x
f
x
f
′
⋅
=
′
⋅
α
α
.
Pochodna sumy funkcji:
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
′
+
′
=
′
+
.
Pochodna iloczynu funkcji:
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
′
⋅
+
⋅
′
=
′
⋅
.
Pochodna ilorazu funkcji:
2
))
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
′
⋅
−
⋅
′
=
′
.
Pochodna funkcji złożonej:
jeżeli
)
(
(
x
g
f
y
=
, to
)
(
))
(
(
x
g
x
g
f
y
′
⋅
′
=
′
.
Przykładowo:
Jeśli
x
x
y
sin
2
⋅
=
, to
x
x
x
x
y
cos
sin
2
2
⋅
+
⋅
=
′
(pochodna iloczynu);
Jeśli
x
x
y
sin
3
=
, to
x
x
x
x
y
2
sin
cos
3
sin
3
−
=
′
(pochodna ilorazu);
Jeśli
x
x
y
5
2
−
=
, to
x
x
x
x
x
x
y
5
2
5
2
5
2
1
2
2
)
5
2
(
−
−
−
=
−
=
′
(pochodna funkcji złożonej).