Pochodna funkcji
Przyrost argumentu na osi x powoduje przyrost wartości funkcji f na osi y.
Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu ustalonego punktu x
0
oraz niech ∆x oznacza przyrost argumentu. Niech ∆y oznacza odpowiadający
mu przyrost wartości funkcji f .
Wtedy
f (x
0
+ ∆x) = f (x
0
) + ∆y
Stąd
∆y = f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
).
Definicja 1. Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu ustalonego
punktu x
0
. Iloraz
∆y
∆x
=
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w x
0
dla przyrostu ∆x.
Definicja 2. Jeżeli istnieje granica skończona
lim
∆x→0
∆y
∆x
,
to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x
0
i oznaczamy ją przez:
f
0
(x),
dy
dx
.
Przykład. Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = x
2
.
Uwaga: Są funkcje (nawet ciągłe), które w pewnych punktach nie mają
pochodnej - np. y = |x| w x
0
= 0.
Definicja 3. Funkcja ma pochodną w zbiorze A, gdy ma pochodną w każdym
punkcie tego zbioru.
Wzory
Funkcja
Pochodna funkcji
Uwagi
c
0
c ∈ R
x
α
αx
α−1
α ∈ R, x zależne od α
a
x
a
x
ln a
a > 0, x ∈ R
e
x
e
x
x ∈ R
log
a
x
1
x ln a
0 < a 6= 1, x > 0
ln x
1
x
x > 0
sin x
cos x
x ∈ R
cos x
− sin x
x ∈ R
tg x
1
cos
2
x
x 6=
π
2
+ kπ, k ∈ Z
ctg x
−
1
sin
2
x
x 6= kπ, k ∈ Z
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji f w punkcie.
1
Niech funkcja f będzie ciągła w pewnym otoczeniu ustalonego punktu x
0
oraz
niech P (x
0
, y
0
), Q(x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y).
Sieczną P Q nazywamy prostą przechodzącą przez punkty P i Q. Kąt na-
chylenia siecznej do dodatniej półosi osi x wyraża się wzorem
tg ϕ =
∆y
∆x
.
Podczas gdy Q przesuwa się wzdłuż wykresu funkcji f w kierunku punktu
P mamy ∆x → 0. Zatem przy przejściu granicznym otrzymujemy styczną do
wykresu funkcji f w punkcie x
0
, której kąt nachylenia do dodatniej półosi osi x
wyraża się wzorem:
tg α = lim
∆x→0
∆y
∆x
= f
0
(x
0
).
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x
0
, y
0
):
y = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f (x
0
)
Przykład. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = e
x
w P = (0, 1).
Twierdzenia o pochodnych
Twierdzenie 1. Jeżeli funkcje f oraz g mają pochodną właściwą w x, to
a) (f (x) ± g(x))
0
= f
0
(x) ± g
0
(x),
b)(f (x) · g(x))
0
= f
0
(x) · g(x) + f (x) · g
0
(x),
c) (
(f (x)
g(x)
)
0
=
f
0
(x)·g(x)−f (x)·g
0
(x)
g(x)
2
d) [(f (x))
g(x)
]
0
= (f (x))
g(x)
(g
0
(x) · ln(f (x)) + f
0
(x) ·
g(x)
f (x)
).
Przykłady y =
sin x
x
, y = x
2
· e
x
, y = x
sin x
.
Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja y = f (x) ma pochodną właściwą w x
0
oraz
funkcja g(y) ma pochodną właściwą w y
0
= f (x
0
), to
[g(f (x))]
0
= g
0
(f (x)) · f
0
(x)
Przykłady y = log
2
(x
3
+x
2
−9), y = ln(3x−4), y = sin(2x
2
−5), y = (2x+3)
4
,
y = e
sin x
.
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna f
0
(x) funkcji f (x) jest także funkcją, a zatem, możemy liczyć z
niej pochodną.
Definicja 4. Niech f
0
(x) będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu
x
0
i mającą w nim pochodną. Wówczas
f
00
(x) = [f
0
(x)]
0
.
Definicja 5. Niech f (x) mającą pochodne do n−tego rzędu w pewnym otoczeniu
punktu x
0
. Wówczas
f
(n)
(x
0
) = [f
(n−1)
(x
0
)]
0
.
Przykłady (3x
4
+ 1)
00
, (e
3x
· cos 2x)
00
, sin
5
x.
2