Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 13
ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO
FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
1. Badanie funkcji
Badanie funkcji ma na celu uzyskanie wyczerpujących informacji o tej funkcji potrzebnych do sporzą-
dzenia wykresu. Schemat badania funkcji:
1. Analiza funkcji:
-
określenie dziedziny,
- obliczenie granic na końcach przedziałów określoności,
- znalezienie równań ewentualnych asymptot,
- wyznaczenie punktów przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych,
- zbadanie, czy funkcja ma istotne dla jej zmienności własności szczególne, np. parzystość, nieparzystość,
okresowość).
2. Obliczenie i analiza pochodnej funkcji:
- wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji,
- znalezienie ekstremów i określenie ich rodzaju.
3. Obliczenie i analiza drugiej pochodnej funkcji:
- wyznaczenie przedziałów wklęsłości i wypukłości wykresu,
- znalezienie punktów przegięcia wykresu.
4. Sporządzenie tabelki zmienności na podstawie wyników z części 1-3.
5. Naszkicowanie wykresu.
Przykład 1. Zbadać funkcję i sporządzić jej wykres: a)
, b)
x
x
x
x
f
4
4
)
(
2
3
3
3
3
)
(
2
2
x
x
x
f
,
c)
2
5
4
)
(
2
x
x
x
x
f
, d)
1
)
(
x
x
e
x
f
, e)
x
x
x
f
ln
)
(
.
Rozwiązanie.
a) Dziedziną funkcji jest
R
D
. Funkcja nie posiada zatem asymptot pionowych.
Ponieważ
)
4
4
1
(
lim
)
4
4
(
lim
2
3
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
oraz
)
4
4
1
(
lim
)
4
4
(
lim
2
3
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
,
to funkcja nie posiada asymptot poziomych , może jednak posiadać asymptoty ukośne.
Jednakże
)
4
4
(
lim
)
(
lim
2
x
x
x
x
f
m
x
x
i podobnie
)
4
4
(
lim
)
(
lim
2
x
x
x
x
f
m
x
x
.
Oznacza to ostatecznie, że asymptot ukośnych nie ma.
Obliczając wartość funkcji w punkcie
otrzymujemy
0
x
0
)
0
(
f
, co oznacza, że wykres przechodzi przez
początek układu współrzędnych . Poszukując odciętych punktów wspólnych wykresu z osią OX
dostajemy
)
0
,
0
(
P
2
,
0
0
)
4
4
(
0
4
4
0
)
(
2
1
2
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
.
Tym samym dodatkowym punktem wykresu leżącym na osi OX jest
.
)
0
,
2
(
Q
Pochodna funkcji jest równa
. Szkic jej wykresu przedstawia rys.1.
4
8
3
)
(
2
/
x
x
x
f
Wykład 13. Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej
2
-
-
-
+ +
Znak
/
f
X
+ +
3
2
2
Rys. 1.
Obliczając drugą pochodną otrzymujemy
. Szkic wykresu przedstawia rys.2.
8
6
)
(
//
x
x
f
Znak
//
f
X
3
4
+ + +
_ _ _
Rys. 2.
Układamy tabelkę zmienności:
x
)
0
;
(
0
)
;
0
(
3
2
3
2
)
;
(
3
4
3
2
3
4
)
2
;
(
3
4
2
)
;
2
(
/
f
+ + 0
–
–
0 +
//
f
–
– – + +
f
0
27
32
max.
27
16
p.p
min.
0
Wykres funkcji przedstawiony jest na rys.3.
X
3
2
Y
0
3
4
27
16
27
32
2
x
x
x
x
f
4
4
)
(
2
3
Rys. 3.
b) Dziedziną funkcji jest
R
D
. Funkcja nie posiada zatem asymptot pionowych.
Ponieważ
3
1
3
lim
3
3
3
lim
2
3
2
3
2
2
]
[
x
x
x
x
x
x
oraz
3
1
3
lim
3
3
3
lim
2
3
2
3
2
2
]
[
x
x
x
x
x
x
,
to prosta
jest asymptotą poziomą obustronną funkcji i tym samym asymptot ukośnych wykres nie
posiada.
3
y
Obliczając wartość funkcji w punkcie
otrzymujemy
0
x
1
)
0
(
f
, co oznacza, że wykres przecina oś OY
w punkcie
. Poszukując odciętych punktów wspólnych wykresu z osią OX dostajemy
)
1
,
0
(
P
1. Tym samym punktami wykresu leżącymi na osi OX są
,
.
,
1
0
3
3
0
)
(
2
1
2
x
x
x
x
f
)
0
,
1
(
1
Q
)
0
,
1
(
2
Q
Wykład 13. Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej
3
Ponieważ
)
(
3
3
3
3
)
(
3
)
(
3
)
(
2
2
2
2
x
f
x
x
x
x
x
f
, dla każdego
R
x
, to funkcja jest parzysta.
Pochodna funkcji jest równa
2
2
2
2
2
2
/
2
2
2
/
2
/
)
3
(
2
)
3
3
(
)
3
(
6
)
3
(
)
3
)(
3
3
(
)
3
(
)
3
3
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
2
2
)
3
(
24
x
x
.
Ponieważ w rozpatrywanej dziedzinie mianownik wyrażenia jest dodatni, to znak pochodnej jest identyczny
jak znak funkcji
, której szkic wykresu przedstawiony jest na rys.4.
x
x
g
24
)
(
Znak
/
f
0
Rys. 4.
Obliczając drugą pochodną otrzymujemy:
4
2
2
2
2
4
2
/
2
2
2
2
/
//
)
3
(
2
)
3
(
2
24
)
3
(
24
)
3
(
]
)
3
[(
24
)
3
(
)
24
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
3
2
2
4
2
2
2
2
)
3
(
)
3
3
(
24
)
3
(
)
4
3
)(
3
(
24
x
x
x
x
x
x
.
W rozpatrywanej dziedzinie znak drugiej pochodnej jest identyczny jak znak funkcji
, której
szkic wykresu przedstawiony jest na rys.5.
2
3
3
)
(
x
x
h
+ + +
- -
Znak
//
f
X
- -
1
1
Rys. 5.
Układamy tabelkę zmienności:
x
)
1
;
(
-1
)
0
;
1
(
0
)
1
;
0
(
1
)
;
1
(
/
f
-
-
0 + +
//
f
-
0 + + 0
-
f
1
0
p.p.
min.
-
1
0
p.p.
1
Wykres funkcji przedstawiony jest na rys.6.
3
3
3
)
(
2
2
x
x
x
f
X
1
-1
Y
1
3
Rys. 6.
Wykład 13. Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej
4
c) Funkcja
2
5
4
)
(
2
x
x
x
x
f
0
2
x
, zatem
)
;
2
(
)
2
;
(
D
.
jest okre
na, gdy
ślo
Ponieważ
]
[
1
5
4
2
x
x
,
0
2
lim
2
x
x
]
[
1
5
4
lim
2
x
x
,
0
2
2
x
x
to prosta
jest asymptotą pionową obustronną wy resu funkcji. Z faktu, że
2
x
k
]
[
]
[
1
1
4
lim
2
5
4
lim
2
5
2
x
x
x
x
x
x
x
x
,
]
[
]
[
4
lim
5
4
lim
2
x
x
x
x
,
1
1
2
2
5
x
x
x
x
wynika, że wykres nie posiada asymptot poziomych, może jednak posiadać asymptoty ukośne.
Ponieważ
1
1
1
lim
2
5
4
lim
)
(
lim
2
2
5
4
2
2
]
[
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
m
,
2
2
5
4
lim
)
2
5
4
(
lim
]
)
(
[
lim
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
mx
x
f
n
x
x
x
2
1
2
5
2
lim
[
x
lim
2
2
5
]
x
x
x
x
.
x
oraz granice przy
x
s
ą ukośną obustronną jest prosta
2
x
y
.
0 wynosi
ą analogiczne, to asymptot
Wartość funkcji w punkcie
x
2
5
)
0
(
f
, że wykres przecina oś OY w punkcie
. Oznacza to
)
2
,
0
(
P
. Równanie
0
)
(
5
x
f
przyjmuje postać
i jest równaniem sprzecznym (
0
5
4
2
x
x
0
).
Wykres nie przecina osi OX.
Obliczając pochodną otrzymujemy:
2
/
2
/
2
/
)
2
(
)
2
)(
5
4
(
)
2
(
)
5
4
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
f
2
2
)
2
(
)
5
4
(
)
2
)(
4
2
(
x
x
x
x
x
2
2
2
3
4
)
5
4
8
4
x
x
x
x
x
x
2
2
)
2
(
)
2
(
4
2
x
x
x
.
Znak pochodnej jest identyczny jak znak trójmianu
, którego szkic wykresu przedstawio-
ny jest na rys.7.
3
4
)
(
2
x
x
x
g
+ +
-
Znak
/
f
-
X
- -
+ +
1
2
3
Rys. 7.
Obliczając drugą pochodną otrzymujemy:
4
/
2
2
2
/
2
//
)
2
(
]
)
2
)[(
3
4
(
)
2
(
)
3
4
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
f
4
2
2
)
2
(
)
2
(
2
)
3
4
(
)
2
)(
4
2
(
x
x
x
x
x
x
4
)
2
(
x
2
)]
3
4
(
2
)
2
)(
4
2
)[(
2
(
x
x
x
x
x
4
4
)
2
(
)
2
(
x
x
2
2
)
2
(
2
)
6
8
2
8
8
2
)(
2
(
x
x
x
x
x
x
.
W rozpatrywanej dziedzinie znak drugiej pochodnej jest identyczny jak znak funkcji
, której
szkic wykresu przedstawiony jest na rys.8.
2
)
(
x
x
h
Wykład 13. Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej
5
Znak
//
f
2
Rys. 8
Układamy tabelkę zmienności:
0
.
x
)
0
;
(
)
0
(
1
;
1
)
1
(
2
;
2
)
2
(
3
;
3
)
;
3
(
/
f
+ +
–
+
0
–
X
0
//
f
–
–
–
+ +
X
f
min.
2
2
max.
5
- 2
X
X
X
X
Wykres funkcji przedstawiony jest na rys.9.
2
Y
X
2
5
4
)
(
2
x
x
x
x
f
y
x
2
2 3
1
-2
2
5
Rys. 9.
1
)
(
x
x
e
x
f
jest określona, gdy
0
1
x
, zatem
;
(
D
)
;
1
(
)
1
.
d) Funkcja
0
lim
]
[
]
[
0
1
1
1
e
e
e
x
x
x
,
1
x
ową praw
]
[
]
[
0
1
1
lim
e
e
e
x
x
.
Prosta 1 jest asymptotą pion
ostronną wykresu funkcji.
x
Z faktu, że
e
e
x
1
1
1
1
]
[
oraz
e
e
e
e
x
x
1
1
1
1
lim
lim
]
[
,
x
x
x
ę poziomą obustronną o równaniu
e
e
x
x
lim
lim
x
x
e
y
wynika, że wykres posiada asymptot
.
Wartość funkcji w punkcie
wynosi
0
x
1
)
0
(
f
sprzeczny
. Oznacza to, że wykres przecina oś OY w punkcie
. Równanie
jest równaniem
m. Wykres nie przecina osi OX (leży powyżej osi).
)
1
,
0
(
P
0
)
(
x
f
Obliczając pochodną otrzymujemy:
2
1
2
1
/
1
/
1
)
(
)
(
e
x
x
e
x
e
x
f
x
x
)
1
(
1
)
1
(
1
x
x
x
x
x
x
x
.
W rozpatrywanej dziedzinie pochodna jest ujemna.
Obliczając drugą pochodną otrzymujemy:
Wykład 13. Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej
6
4
2
)
1
(
)
1
(
x
x
/
2
1
2
/
1
/
1
//
]
)
1
[(
)
1
(
)
(
)
(
x
e
x
e
e
x
f
x
x
x
x
x
x
4
)
1
(x
1
2
2
1
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
1
x
e
x
x
e
x
x
x
x
4
1
4
1
4
1
1
)
1
(
)
1
2
(
)
1
(
)
2
2
1
(
)
1
(
)
1
(
2
x
x
e
x
x
e
x
x
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
.
W rozpatrywanej dziedzinie znak drugiej pochodnej jest identyczny jak znak funkcji
, której
szkic wykresu przedstawiony jest na rys.10.
1
2
)
(
x
x
h
Znak
//
f
1
2
X
Rys. 10.
Układamy tabelkę zm nności
0
ie
:
x
)
0
;
(
)
;
1
0
(
2
2
1
)
1
;
(
2
1
1
)
;
1
(
/
f
–
–
–
–
X
//
f
–
– 0 +
+
X
f
e
1
e
1
p.p.
0
X
X
X
X
e
Wykres funkcji przedstawiony jest na rys.11.
1
)
(
x
x
e
x
f
1
1
e
Y
X
Ry
e) Funkcja
s. 11.
x
x
x
f
ln
)
(
jest określona, gdy
i
0
x
0
ln
x
. Zatem
)
;
1
(
)
1
;
0
(
D
.
Ponieważ
0
ln
lim
0
x
x
,
0
]
[
x
ln
lim
1
x
x
]
[
0
1
x
,
]
[
0
1
ln
lim
1
x
x
x
, to asymptotą pionową jest
1
x
.
Z faktu, że
x
x
ln
lim
x
x
x
x
H
lim
1
lim
1
]
[
wynika, że funkcja nie posiada asymptoty poziomej,
x
może natomiast posiadać asymptotę ukośną.
W tym wypadku jednak
0
1
ln
]
x
x
m
x
x
, co oznaczałoby, że asymptota jest poziom
a taka nie istnieje.
1
lim
)
(
lim
[
x
f
a,
Wykład 13. Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej
7
Wykres funkcji nie przecina osi układu współrzędnych.
Pochodna funkcji jest równa
x
x
x
x
x
f
2
/
/
ln
1
ln
)
ln
(
)
(
czny jak znak funkcji
. Mianownik wyrażenia jest w zbiorze D dodatni,
zatem znak pochodnej jest identy
1
ln
)
(
x
x
g
. Szkic jej wykresu przedstawia rys.12.
0 1
+ +
Znak
/
f
X
e
_ _ _
Rys. 12.
Obliczając drugą pochodną otrzymujemy
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
4
4
2
2
1
/
2
//
ln
)
ln
2
(
ln
ln
ln
)
1
(ln
ln
)
ln
1
ln
(
)
(
.
jak znak funkcji
)
ln
2
(
ln
)
(
x
x
x
h
Znak pochodnej jest w zbiorze D taki sam
. Szkic wykresu tej funkcji
przedstawia rys.13.
+ + +
Znak
//
f
0
-
X
2
e
_ _
1
Rys. 13.
Układamy tabelkę zm
ności
ien
:
x
)
1
;
0
(
1
)
1
(
e
;
e
)
;
(
2
e
e
2
e
)
;
(
2
e
/
f
–
–
+
+
X
0
//
f
–
X +
+
–
0
f
0
X
X
e
min.
2
2
e
p.p
X
Wykres funkcji przedstawiony jest na rys.14.
2
2
e
0
2
e
1
x
x
x
f
ln
)
(
X
Y
e
e
Rys. 14.
Wykład 13. Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej
8
2. Najmniejsza i największa wartość funkcji na przedziale
Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale domkniętym
b
a ;
. Z twierdzenia Weierstrassa wynika,
że istnieją punkty
b
a
x
x
;
,
2
1
, takie że
m
x
f
)
(
1
,
M
x
f
)
(
2
, gdzie m oznacza wartość najmniejszą
funkcji na przedziale, a M - wartość największą.
Jeżeli dodatkowo założyć, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale, to punktami, w których mogą
wystąpić te wartości są : a) końce przedziału, b) punkty wewnętrzne, w których występuje ekstremum.
Przypadki te zilustrowane zostały na rys.15.
Y
X
a
x
1
b
x
2
M
m
y
f x
( )
Y
X
b
x
2
a
x
1
M
m
y
f x
( )
Rys. 15.
Uwaga.
Aby znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji f na przedziale
a b
;
w przypadku,
gdy funkcja jest różniczkowalna wystarczy:
1. Wyznaczyć punkty, w których pochodna jest równa zeru (punkty takie nazywamy stacjonarnymi) leżące
w przedziale.
2. Obliczyć wartości funkcji na końcach przedziału oraz w punktach stacjonarnych wyznaczonych w 1.
Największa z obliczonych wartości funkcji jest wtedy wartością największą, najmniejsza-najmniejszą.
Przykład 2.
Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji
)
(x
f
y
na przedziale I :
a)
,
3
3
)
(
x
x
x
f
2
;
0
I
, b)
3
;
2
,
)
(
2
I
e
x
f
x
x
.
Rozwiązanie.
a) Ponieważ
, to
.
2
/
3
3
)
(
x
x
f
1
,
1
0
3
3
0
)
(
2
1
2
/
x
x
x
x
f
Wynika stąd, że jedynym punktem stacjonarnym leżącym wewnątrz przedziału
2
;
0
jest
.
1
x
W poniższej tabelce zestawiono wartości funkcji na końcach przedziału i w punkcie stacjonarnym:
x
0 1 2
f x
( )
0 2 2
Wynika z nich, że )
1
(
2
),
2
(
2
f
M
f
m
.
b) Ponieważ
2
/
( )
(1 2 )
x x
f x
e
x
, to
2
1
0
2
1
0
)
(
/
x
x
x
f
.
Wynika stąd, że jedynym punktem stacjonarnym leżącym wewnątrz przedziału
3
;
2
jest
2
1
x
.
Mamy zatem:
x
2
2
1
3
f x
( )
2
e
4
3
e
12
e
Oznacza to, że
4
3
12
1
( ),
(3)
2
m
e
f
M
e
f
.