Wyznaczniki
i ich
zastosowanie
dr Tomasz Kowalski
Wykład 2
Wyznaczniki
i ich
zastosowanie
dr Tomasz Kowalski
Wykład 2
Slajd nr. 2 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Preliminaria
Rozpatrzmy macierz kwadratową [ a
ij
]
nxn
, gdzie n >1.
Symbolem A
ij
oznaczać będziemy macierz stopnia n - 1 powstałą z
macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
5
2
3
1
A
A
12
= [ 2 ]
Slajd nr. 3 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Preliminaria
Rozpatrzmy macierz kwadratową [ a
ij
]
nxn
, gdzie n >1.
Symbolem A
ij
oznaczać będziemy macierz stopnia n - 1 powstałą z
macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
5
2
3
1
A
A
22
= [ 1 ]
Slajd nr. 4 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Preliminaria
Rozpatrzmy macierz kwadratową [ a
ij
]
nxn
, gdzie n >1.
Symbolem A
ij
oznaczać będziemy macierz stopnia n - 1 powstałą z
macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
1 3 5
2 7 6
6 3
1
A
�
�
�
�
=�
�
�
�
-
�
�
A
22
=
1 5
6
1
�
�
�
�
-
�
�
Slajd nr. 5 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Preliminaria
Rozpatrzmy macierz kwadratową [ a
ij
]
nxn
, gdzie n >1.
Symbolem A
ij
oznaczać będziemy macierz stopnia n - 1 powstałą
z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
1 3 5
2 7 6
6 3
1
A
�
�
�
�
=�
�
�
�
-
�
�
A
31
=
3 5
7 6
�
�
�
�
�
�
Slajd nr. 6 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Definicja wyznacznika
Wyznacznikiem macierzy
A nazywamy liczbę oznaczaną przez det
A, która spełnia ( i jest jednoznacznie wyznaczona przez ) warunki:
1. Jeżeli A = [ a ] , to det A
= a.
2. Jeżeli A = [ a
ij
]
nxn
i n >1, to
1 1
1 2
11
11
12
12
det
( 1)
det
( 1)
det
...
A
a
A
a
A
+
+
= -
+ -
+
n
n
n
A
a
1
1
1
det
)
1
(
...
Powyższy wzór nazywamy
rozwinięciem
Laplace’a
względem pierwszego
wiersza.
Slajd nr. 7 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Oznaczenie
wyznacznika
Zamiast
pisać będziemy
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
2
22
21
1
12
11
det
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
2
22
21
1
12
11
.
Slajd nr. 8 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
1
Na podstawie punktu 1 definicji:
A = [ 4 ]
det A = 4
A = [ -3 ]
det A = -3
A = [ 0 ]
det A = 0
1. Jeżeli A = [ a ] , to det A
= a.
Slajd nr. 9 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie wyznacznika
[ ]
22
det a
macierzy stopnia
2
Niech
11
12
21
22
.
a
a
A
a
a
�
�
=�
�
�
�
Na podstawie definicji wyznacznika, stosując
rozwinięcie Laplace’a względem pierwszego wiersza
otrzymamy:
12
12
2
1
11
11
1
1
det
)
1
(
det
)
1
(
det
A
a
A
a
A
11 22
12 21
a a
a a
=
-
11
a
=
12
a
-
[ ]
21
det a =
Slajd nr. 10 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie wyznacznika
macierzy stopnia
2
Wzór ten łatwo zapamiętać w postaci
schematu:
11
12
21
22
a
a
a
a
11 22
12 21
a a
a a
=
-
Aby obliczyć wyznacznik macierzy stopnia 2 należy od
iloczynu elementów leżących na głównej przekątnej
odjąć iloczyn elementów na drugiej przekątnej.
+
_
Slajd nr. 11 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie wyznacznika
macierzy stopnia
2
11
12
21
22
a
a
a
a
11 22
12 21
a a
a a
=
-
+
_
4 3
2 7
=
4 7
�
= 28 – 6 =
22
0
3
2 4
-
=
0 4 ( 3) 2
�- - �
= 0 + 6 = 6
3 2
- �
Slajd nr. 12 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie wyznacznika
macierzy stopnia
3
Niech
Na podstawie definicji wyznacznika, stosując
rozwinięcie Laplace’a względem pierwszego
wiersza otrzymamy:
1 1
1 2
1 3
11
11
12
12
13
13
det
( 1)
det
( 1)
det
( 1)
det
A
a
A
a
A
a
A
+
+
+
= -
+ -
+ -
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
11
a
=
22
23
32
33
a
a
a
a
12
a
-
21
23
31
33
a
a
a
a
13
a
+
21
22
31
32
a
a
a
a
Slajd nr. 13 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
22
23
21
23
21
22
11
12
13
32
33
31
33
31
32
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
-
+
=
11
a
=
31
22
13
33
21
12
23
32
11
32
21
13
23
31
12
33
22
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
11 22 33
11 32 23
12 21 33
12 31 23
13 21 32
13 31 22
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
-
-
+
+
-
=
22 33
32 23
(
)
a a
a a
-
12
a
-
21 33
31 23
(
)
a a
a a
-
13
a
+
21 32
31 22
(
)
a a
a a
-
=
Slajd nr. 14 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
11 22 33
12 31 23
13 21 32
11 32 23
12 21 33
13 22 31
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
+
+
+
-
-
-
11
12
13
21
22
23
31
32
33
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Slajd nr. 15 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
11 22 33
12 31 23
13 21 32
11 32 23
12 21 33
13 22 31
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
+
+
+
-
-
-
11
12
13
21
22
23
31
32
33
11
12
13
21
22
23
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
_
_
_
Aby obliczyć wyznacznik stopnia 3 należy
pomocniczo pod trzecim wierszem wyznacznika
dopisać dwa pierwsze.
Następnie obliczyć sześć iloczynów ( w każdym po
trzy czynniki ), przy czym iloczyny utworzone wzdłuż
głównej przekątnej należy dodać, a iloczyny
utworzone wzdłuż drugiej przekątnej - odjąć.
Slajd nr. 16 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
11 22 33
12 31 23
13 21 32
11 32 23
12 21 33
13 22 31
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
+
+
+
-
-
-
11
12
13
21
22
23
31
32
33
11
12
13
21
22
23
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
_
_
_
3 2 1
1 4 2
3 1 2
Slajd nr. 17 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
11 22 33
12 31 23
13 21 32
11 32 23
12 21 33
13 22 31
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
+
+
+
-
-
-
11
12
13
21
22
23
31
32
33
11
12
13
21
22
23
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
_
_
_
3 2 1
1 4 2
3 1 2
3 2 1
1 4 2
= 24+ 1 + 12
Slajd nr. 18 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
11 22 33
12 31 23
13 21 32
11 32 23
12 21 33
13 22 31
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
+
+
+
-
-
-
11
12
13
21
22
23
31
32
33
11
12
13
21
22
23
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
_
_
_
3 2 1
1 4 2
3 1 2
3 2 1
1 4 2
= 24+ 1 + 12- 12- 6- 4 = 15
Slajd nr. 19 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
11 22 33
12 31 23
13 21 32
11 32 23
12 21 33
13 22 31
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
+
+
+
-
-
-
11
12
13
21
22
23
31
32
33
11
12
13
21
22
23
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
_
_
_
2
2 0
1 3
2
0
2
1
-
-
-
-
Slajd nr. 20 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
11 22 33
12 31 23
13 21 32
11 32 23
12 21 33
13 22 31
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
+
+
+
-
-
-
11
12
13
21
22
23
31
32
33
11
12
13
21
22
23
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
_
_
_
2
2 0
1 3
2
0
2
1
2
2 0
1 3
2
-
-
-
-
-
-
-
= - 6+ 0 + 0
Slajd nr. 21 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
11 22 33
12 31 23
13 21 32
11 32 23
12 21 33
13 22 31
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
+
+
+
-
-
-
11
12
13
21
22
23
31
32
33
11
12
13
21
22
23
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
_
_
_
2
2 0
1 3
2
0
2
1
2
2 0
1 3
2
-
-
-
-
-
-
-
= - 6+ 0 + 0 - 0 + 8+ 2= 4
Slajd nr. 22 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
11 22 33
12 31 23
13 21 32
11 32 23
12 21 33
13 22 31
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
+
+
+
-
-
-
11
12
13
21
22
23
31
32
33
11
12
13
21
22
23
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
_
_
_
Zademonstrowany sposób obliczania wyznacznika
nosi nazwę
schematu Sarrusa
.
Innym sposobem obliczania wyznacznika stopnia 3,
wywodzącym się z definicji, jest
schemat
Laplace’a
.
Slajd nr. 23 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
11 22 33
12 31 23
13 21 32
13 22 31
12 21 33
11 32 23
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
+
+
+
-
-
-
11
22
33
12
13
21
23
31
32
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Slajd nr. 24 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
11 22 33
12 31 23
13 21 32
13 22 31
12 21 33
11 32 23
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
+
+
+
-
-
-
11
22
33
12
13
21
23
31
32
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Slajd nr. 25 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
11 22 33
12 31 23
13 21 32
13 22 31
12 21 33
11 32 23
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
+
+
+
-
-
-
11
22
33
12
13
21
23
31
32
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Slajd nr. 26 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
11 22 33
12 31 23
13 21 32
13 22 31
12 21 33
11 32 23
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
+
+
+
-
-
-
13
2
11
12
21
23
32
3
2
3
3
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Slajd nr. 27 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
11 22 33
12 31 23
13 21 32
13 22 31
12 21 33
11 32 23
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
+
+
+
-
-
-
13
2
11
12
21
23
32
3
2
3
3
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Slajd nr. 28 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
11 22 33
12 31 23
13 21 32
13 22 31
12 21 33
11 32 23
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
+
+
+
-
-
-
13
2
11
12
21
23
32
3
2
3
3
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Slajd nr. 29 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie wyznacznika
macierzy stopnia
3
� � �
� � �
� � �
� �
�
�
� �
= �
� + � �
�
�
�
�
�
�
�
�
+
� �
� �
� �
�
�
�
� �
�
�
� �
- �
� -
� � -
�
�
�
�
�
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
Slajd nr. 30 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
2
1 2
1 3
2
4 2
1
-
-
= - 6
Slajd nr. 31 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
2
1 2
1 3
2
4 2
1
-
-
= - 6
- 8
Slajd nr. 32 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
2
1 2
1 3
2
4 2
1
-
-
= - 6
- 8 + 4
Slajd nr. 33 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
2
1 2
1 3
2
4 2
1
-
-
= - 6
- 8 + 4 - 24
Slajd nr. 34 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
2
1 2
1 3
2
4 2
1
-
-
= - 6
- 8 + 4 - 24 - 1
Slajd nr. 35 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
3
2
1 2
1 3
2
4 2
1
-
-
= - 6
- 8 + 4 - 24 - 1 - 8 = - 43
Slajd nr. 36 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
11
12
13
14
a
a
a
a
� � � �
� � � �
� � � �
1 1
1 2
11
11
12
12
1 3
1 4
13
13
14
14
( 1)
det
( 1)
det
( 1)
det
( 1)
det
a
A
a
A
a
A
a
A
+
+
+
+
= -
+ -
+
+ -
+ -
11
11
12
12
13
13
14
14
det
det
det
det
a
A
a
A
a
A
a
A
=
-
+
-
Slajd nr. 37 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
11
12
13
14
a
a
a
a
� � � �
� � � �
� � � �
11
11
12
12
13
13
14
14
det
det
det
det
a
A
a
A
a
A
a
A
=
-
+
-
11
12
13
14
a
a
a
a
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
=
-
+
-
Slajd nr. 38 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
11
12
13
14
a
a
a
a
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
=
-
+
-
2 3 0
3
1 0 2
1
3 2
1 2
2 4 1
0
-
=
-
2�
0 2 1
2
1 2
4 1 0
-
Slajd nr. 39 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
2 3 0
3
1 0 2
1
3 2
1 2
2 4 1
0
-
=
-
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
11
12
13
14
a
a
a
a
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
=
-
+
-
2�
0 2 1
2
1 2
4 1 0
-
3
- �
1 2 1
3
1 2
2 1 0
-
Slajd nr. 40 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
2 3 0
3
1 0 2
1
3 2
1 2
2 4 1
0
-
=
-
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
11
12
13
14
a
a
a
a
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
=
-
+
-
2�
0 2 1
2
1 2
4 1 0
-
3
- �
1 2 1
3
1 2
2 1 0
-
0
+ �
0
1 4 4 2 4 4 3
Slajd nr. 41 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
2 3 0
3
1 0 2
1
3 2
1 2
2 4 1
0
-
=
-
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
11
12
13
14
a
a
a
a
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
=
-
+
-
2�
0 2 1
2
1 2
4 1 0
-
3
- �
1 2 1
3
1 2
2 1 0
-
0
+ �
0
1 4 4 2 4 4 3
( 3)
- - �
1 0 2
3 2
1
2 4 1
-
Slajd nr. 42 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
2 3 0
3
1 0 2
1
3 2
1 2
2 4 1
0
-
=
-
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
2�
0 2 1
2
1 2
4 1 0
-
3
- �
1 2 1
3
1 2
2 1 0
-
( 3)
- - �
=
1 0 2
3 2
1
2 4 1
-
2 (
= �
0 +2+ 16
0 2 1
2
1 2
-
Slajd nr. 43 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
2 3 0
3
1 0 2
1
3 2
1 2
2 4 1
0
-
=
-
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
2�
0 2 1
2
1 2
4 1 0
-
3
- �
1 2 1
3
1 2
2 1 0
-
( 3)
- - �
=
1 0 2
3 2
1
2 4 1
-
2 (
= �
0 +2+ 16
0 2 1
2
1 2
-
+ 4- 0- 0 )
Slajd nr. 44 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
2 3 0
3
1 0 2
1
3 2
1 2
2 4 1
0
-
=
-
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
2�
0 2 1
2
1 2
4 1 0
-
3
- �
1 2 1
3
1 2
2 1 0
-
( 3)
- - �
=
1 0 2
3 2
1
2 4 1
-
2 (
= �
0 +2+ 16
0 2 1
2
1 2
-
+ 4- 0- 0 )
3 (
- �
0 +3+ 8
1 2 1
3
1 2
-
Slajd nr. 45 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
2 3 0
3
1 0 2
1
3 2
1 2
2 4 1
0
-
=
-
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
2�
0 2 1
2
1 2
4 1 0
-
3
- �
1 2 1
3
1 2
2 1 0
-
( 3)
- - �
=
1 0 2
3 2
1
2 4 1
-
2 (
= �
0 +2+ 16
0 2 1
2
1 2
-
+ 4- 0- 0 )
3 (
- �
0 +3+ 8
1 2 1
3
1 2
-
+ 2- 2- 0 ) +
Slajd nr. 46 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
2 3 0
3
1 0 2
1
3 2
1 2
2 4 1
0
-
=
-
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
2�
0 2 1
2
1 2
4 1 0
-
3
- �
1 2 1
3
1 2
2 1 0
-
( 3)
- - �
=
1 0 2
3 2
1
2 4 1
-
2 (
= �
0 +2+ 16
0 2 1
2
1 2
-
+ 4- 0- 0 )
3 (
- �
0 +3+ 8
1 2 1
3
1 2
-
+ 2- 2- 0 ) +
3 (
+ �
2 +24+ 0
1 0 2
3 2
1
-
Slajd nr. 47 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
2 3 0
3
1 0 2
1
3 2
1 2
2 4 1
0
-
=
-
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
2�
0 2 1
2
1 2
4 1 0
-
3
- �
1 2 1
3
1 2
2 1 0
-
( 3)
- - �
=
1 0 2
3 2
1
2 4 1
-
2 (
= �
0 +2+ 16
0 2 1
2
1 2
-
+ 4- 0- 0 )
3 (
- �
0 +3+ 8
1 2 1
3
1 2
-
+ 2- 2- 0 ) +
3 (
+ �
2 +24+ 0
1 0 2
3 2
1
-
- 8 + 4- 0 ) =
Slajd nr. 48 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
2 3 0
3
1 0 2
1
3 2
1 2
2 4 1
0
-
=
-
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
2�
0 2 1
2
1 2
4 1 0
-
3
- �
1 2 1
3
1 2
2 1 0
-
( 3)
- - �
=
1 0 2
3 2
1
2 4 1
-
2 (
= �
0 +2+ 16
0 2 1
2
1 2
-
+ 4- 0- 0 )
3 (
- �
0 +3+ 8
1 2 1
3
1 2
-
+ 2- 2- 0 ) +
3 (
+ �
2 +24+ 0
1 0 2
3 2
1
-
- 8 + 4- 0 ) =
2 22 3 11 3 20
= � - � + � =
44 33 60 71
-
+ =
Slajd nr. 49 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Własności wyznaczników
Jeżeli jeden z wierszy macierzy A składa
się z samych zer, to wyznacznik równy jest
zeru.
1.
Jeżeli elementy pewnego wiersza macierzy
są proporcjonalne do elementów innego
wiersza, to wyznacznik macierzy jest równy
zeru.
2.
Jeżeli elementy pewnego wiersza
pomnożymy przez liczbę k , to wyznacznik
tej macierzy zostanie
pomnożony przez
k.
3.
Slajd nr. 50 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Własności wyznaczników - cd
Wyznacznik macierzy i macierzy
transponowanej do niej są sobie równe.
5.
Jeżeli do pewnego wiersza macierzy dodamy
inny wiersz pomnożony przez pewną liczbę, to
wyznacznik nie zmieni się.
4.
Na podstawie własności 5. podobne
własności jak 1.- 4. można sformułować dla
kolumn.
Slajd nr. 51 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Własności wyznaczników - cd
Jeżeli elementy pewnej kolumny macierzy są
proporcjonalne do elementów innej kolumny,
to wyznacznik macierzy jest równy zeru.
7.
Jeżeli jedna z kolumn macierzy A składa
się z samych zer, to wyznacznik równy jest
zeru.
6.
Jeżeli elementy pewnej kolumny pomnożymy
przez liczbę k , to wyznacznik tej macierzy
zostanie pomnożony przez k.
8.
Jeżeli do pewnej kolumny macierzy dodamy
inną kolumnę pomnożoną przez pewną liczbę,
to wyznacznik nie zmieni się.
9.
Slajd nr. 52 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Własności wyznaczników - cd
Wyznacznik macierzy jednostkowej jest
równy 1.
1
1.
Wyznacznik macierzy zerowej jest równy
zeru.
1
0.
0 0 0
det 0 0 0
0
0 0 0
�
�
�
�=
�
�
�
�
�
�
1 0 0
det 0 1 0
1
0 0 1
�
�
�
�=
�
�
�
�
�
�
Slajd nr. 53 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
Jedną z metod obliczania takich
wyznaczników jest tzw.
metoda obniżania
stopnia
.
Polega ona na tym, że przez wykonanie na
kolumnach odpowiednich operacji, macierz
doprowadza się do postaci, w której wszystkie
elementy pierwszego wiersza, z wyjątkiem jednego,
są równe zeru.
Wówczas zastosowane do obliczenia wyznacznika
takiej macierzy rozwinięcie Laplace’a względem
pierwszego wiersza sprowadzi się do jednego tylko
składnika zawierającego wyznacznik stopnia
niższego o jeden niż wyjściowy.
Slajd nr. 54 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
3
2
1 4
2
1
0 1
1 0
1 2
0
1 2 1
-
-
-
-
Jako „roboczą” kolumnę wybieramy kolumnę z liczbą 1
lub – 1 na początku i przepisujemy „na swoje
miejsce” nowego wyznacznika.
=
1
0
1
2
-
Slajd nr. 55 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie
wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
3
2
1 4
2
1
0 1
1 0
1 2
0
1 2 1
-
-
-
-
Jako „roboczą” kolumnę wybieramy kolumnę z liczbą 1
lub – 1 na początku i przepisujemy „na swoje
miejsce” nowego wyznacznika.
=
1
0
1
2
-
Do każdej z pozostałych kolumn dodamy wyróżnioną
kolumnę pomnożoną przez liczbę tak dobraną, aby
po zsumowaniu kolumn uzyskać zero w wierszu
pierwszym.
Slajd nr. 56 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
3
2
1 4
2
1
0 1
1 0
1 2
0
1 2 1
-
-
-
-
Do kolumny 1. dodajemy „roboczą” kolumnę
pomnożoną przez 3 i wpisujemy jako nową kolumnę
1.
=
1
0
1
2
-
+ �
0
+
3
�
2
2
6
Slajd nr. 57 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
3
2
1 4
2
1
0 1
1 0
1 2
0
1 2 1
-
-
-
-
Do kolumny 2. dodajemy „roboczą” kolumnę
pomnożoną przez -2 i wpisujemy jako nową
kolumnę 2.
=
1
0
1
2
-
0
2
2
6
+ �
0
2
( )
+
-
�
1
-
2
-5
Slajd nr. 58 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
3
2
1 4
2
1
0 1
1 0
1 2
0
1 2 1
-
-
-
-
Do kolumny 4. dodajemy „roboczą” kolumnę
pomnożoną przez 4 i wpisujemy jako nową kolumnę
4.
=
1
0
1
2
-
0
2
2
6
0
1
2
5
-
-
�+
0
4
�+
1
6
9
Slajd nr. 59 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
3
2
1 4
2
1
0 1
1 0
1 2
0
1 2 1
-
-
-
-
=
1
0
1
2
-
0
2
2
6
0
1
2
5
-
-
0
1
6
9
( 1)
=+-
=
2 1 1
2
2 6
6
5 9
-
-
Slajd nr. 60 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
( 1)
=+-
=
2 1 1
2
2 6
6
5 9
2 1 1
2
2 6
-
-
-
Slajd nr. 61 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
( 1)
=+-
=
2 1 1
2
2 6
6
5 9
2 1 1
2
2 6
-
-
-
(
-
- 36-10 + 36
Slajd nr. 62 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Obliczanie wyznacznika
macierzy stopnia
większego niż 3
( 1)
=+-
=
2 1 1
2
2 6
6
5 9
2 1 1
2
2 6
-
-
-
(
-
- 36-10 + 36+ 12+ 60-
18 )
= -
44
Slajd nr. 63 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Twierdzenie Cauchy’ego
Jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi tego
samego stopnia oraz C = AB, to spełniony jest
warunek:
det
det
det .
C
A
B
=
�
Slajd nr. 64 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki
Przykład
Czy det
det
det ?
C
A
B
=
�
2 2
1 5
A
�
�
=� �
�
�
3 1
2 4
B
�
�
=�
�
-
�
�
2 2
1 5
�
�
�
�
�
�
3 1
2 4
�
�
�
�
-
�
�
AB C
�
�
=
=
�
�
�
�
2 1
0
-7 2
1
112 8 14
= �
detA
=
10 - 2 = 8
detB
=
12 + 2 =
14
detC
=
42 +
70
=
112
Równość zachodzi.
Slajd nr. 65 / 65
Tomasz Kowalski – Wykład 2:
Wyznaczniki