1.Prędkość p. w ruchu złożonym. Wzór
r=r
A
+v=r’ u=r’
A
+x ’=^+x
^(lokalna) v=w+u
2.Przyspieszenie unoszenia
P.U. jest to przyspieszenie złożone z
przyspieszenia punktu ruchomego oraz
przyspieszenia stycznego i normalnego
p
U
=p
A
+p
UT
+p
UN
= p
A
+()
p
A
=dV
A
/dt
3. Przyspieszenie Coriolisa.
P.C.jest to przyspieszenie wynikające z
ruchu unoszenia p
C
=2w. P.C. jest równe
podwojonemu iloczynowi wektorowemu
prędkości kątowej i prędkości względnej,
jest prostopadłe do wektorów i w
pc=2wsin gdzie kąt między wektorami
w i . Zwrot tego przyspieszenia wynika z
przyjętego przez nas zwrotu, określonego
przez prawoskrętny prostokątny układ
współrzędnych. P.C. jest równe 0 gdy:
1.ruch unoszenia jest postępowy =0, 2.w
pewnej chwili prędkość względna punktu
jest równa 0 w=0, 3.prędkość względna
punktu jest równoległa do osi obrotu układu
ruchomego sin=0 =0 (ruch śrubowy).
P.C. występuje gdy układ unoszenia
dokonuje obrotu. Występuje, gdy punkt
znajduje się w początku ruchomego układu
wsp. Np. ruch obrotowy ziemi powoduje
powstawanie przyspieszenia coriolisa.
4. Przypadki ruchu względnego. Człowiek
w jadącym tramwaju, itp.
5. Równowaga względna. Występuje, gdy
siła bezwzględna jest równoważona przez
siłę unoszenia. Zakładamy że punkt znajduje
się w równowadze względem układu
ruchomego który porusza się względem
innego układu mającego cechy układu
Galileusza. Równanie ruchu punktu
względem układu ruchomego mpw=F-mpu-
mpc w przypadku równowagi w=0 pw=0
pc=0 Równanie równowagi względnej F-
mpu=0 F+F
U
=0
6. Równanie dynamiki ruchu względ
Dynamiczne równania ruchu p.m. w
ruchomym układzie odniesienia są takie, jak
gdyby układ był inercjalny pod warunkiem,
że do siły F
B
dodamy siłę unoszenia F
U
= -
ma
U
i Coriolisa F
C
= -ma
C.
F
W
=F+F
U
+F
C
mp=m.(d
2
r/dt)=F (pojedyncza siła lub zbiór
sił)
7. Prawo zmienności pędu w postaci
całkowej. Przyrost pędu układu w przeciągu
pewnego czasu = sumie impulsów wektora
głównego sił zew i wektora głównego
reakcji w przeciągu tego czasu. B-B
0
=całka
(t-t
0
) Sdt + całka (t-t
0
) Rdt Prawo zminności
pędu poawala na wyciagnięcie ogólnych
wniosków dotyczących ruchu układu: dB=0
B= stała C B
X
=C
X
B
Y
=C
Y
B
Z
=C
Z
– rów
skalarowe pędu
8. Prawo ruchu środka masy układu
punktów materialnych.
Środek masy układu materialnego porusza
się tak jak punkt materialny w którym
skupiona jest masa całego ciała i do której
przyłożone są siły równe wektorom
głównym sił zewnętrznych i reakcji
działających na dany układ. Mp
C
=S+R
mx’’
C
=Fix+Rix Prawo to upraszcza
roapatrywanie ruchu układu p.m. ale
zarazem nie możemy określić stosunku
ruchu tych p względem środka masy.
9. Prawo zmienności pędu i krętu układu
p.m.
Pochodna wektora pędu układu
materialnego względem czasu równa jest
sumie geometrycznej sił zewnętrznych i
reakcji działających na układ
dB/dt=Fi+Ri Pochodna względem czasu
krętu układu materialnego względem
dowolnego stałego punktu równa jest sumie
momentu głównego sił zewnętrznych i
momentu głównego reakcji względem tego
samego punktu. dKo/dt=Mo+Ho Całka
wektorowa krętu L
0
+H
0
=0 dK
0
/dt=0
K
0
=const K
0
= stała C
10. Zasada energii kinetycznej u.p.m.
Przyrost elementarnej E
K
u.m. = sumie prac
elementarnych , sił wew zew i reakcji
dE
K
=d’L
Z
+d’L
W
+d’L
R
W tym przypadku
praca sił wew nie = 0 co utrudnia równanie
dla ciała sztywnego siły wew równoważą się
i rów jest prostsze.
Gdy więzy układu są idealne to praca reakcji
jest =0 równanie upraszcza się jeszcze
bardziej.
11. Prawo zmienności energii u.p.m. w
potencjalnym polu sił. Przyrost energii
kinetycznej układu = jest spadkowi
potencjału. Suma energii kinetycznej i
potencjalnej jest =energii całkowitej, czyli
E
2
+V
2
=E
1
+V
1
E
C2
=E
C1
Energia całkowita
układu w polu pot. Ma wartość stałą. Układy
te nazywamy zachowawczymi.
12. Energia kinetyczna ciała sztywnego
względem dowolnego punktu i środka
masy. (tw. Koniga).
E=1/2 (mV
2
C
+ I
lc
2
) Energia kinetyczna
jest równa sumie energii kinetycznej ruchu
postępowego z prędkością środka masy i
energii ruchu obrotowego wokół osi
przechodzącej przez środek masy. Energia
kinetyczna ciała skł się więc z dwóch części.
Pierwsza to energia ruchu postępowego
ciała z prędkością środka masy. Jeżeli
prędkość środka masy = 0, to ruch bryły jest
jest chwilowym ruchem obrotowym wokół
osi przechodzącej przez środek masy. Druga
część wzoru przedstawia więc energię
kinetyczną w ruchu obrotowym.
13. Prawo zmienności pędu ciała
sztywnego. B=mV
C
Pęd ciała sztywnego
równy jest iloczynowi masy ciała i
prędkości środka masy. Jeżeli ruch opisany
jest w układzie współrzędnych (ruchomych-
nieruchomych- środka masy)to korzystając
ze wzoru na prędkość możemy obliczyć
wektor B ze wzoru B= m.(V
A
+x)
14. Prawo zmienności krętu ciała
sztywnego. Kręt względem punktu O może
być obliczony na podstawie znanego krętu
względem p. A K
0
= r
A
xB+K
A
K
A
=
całka(m.)xVdm
15. Równania ruchu ciała sztywnego.
K
A
’+v
A
xmv
C
=M
A
mv
C
=B B’=S
K
A
’+v
A
xB=M.
A
Wystepujące w
powyższych wzorach pochodne są
pochodnymi bezwzględnymi, odniesionymi
do nieruchomego układu odniesienia. K
A
’
+xK
A
+v
A
xB=M
A
R.r.c.s. otrzymamy jako szczególny
przypadek równań ruchu układu
materialnego. Możemy je otrzymać za
pomocą zasady pędu i krętu. Pochodna pędu
względem czasu równa jest wektorowi
głównemu sił zewnętrznych i reakcji a
pochodna krętu względem nieruchomego
punktu momentowi głównemu sił
zewnętrznych i reakcji. B’=S K’o=Mo
B’x=Sx ...K’x=Mx...
16. Równania dynamiki ruchu
postępowego bryły. Jeżeli obierzemy p A
czyli początek układu ruchomego w środku
masy C, wtedy jak łatwo stwierdzić kręt
względem środka masy będzie równy 0.
Wtedy K’=0, a z równań ruchu wynika że
jest to możliwe tylko wtedy gdy moment
względem środka masy jest równy 0 Tak
więc rów krętu okeślają tylko war jaki musi
być spełniony przez siły zew i reakcje aby
ciało poruszało się ruchem postępowym.
W.K ale nie dostatecznym jest to aby
moment główny układu sił i reakcji
względem środka masy był równy 0. d/dt
(mv
CX
)=S
X
d/dt(mv
CY
)=S
Y
itd. – równania
środka masy.
17. Ruch obrotowy ciała sztywnego.
Ruch obrotowy ciała sztywnego dokoła osi
stałej jest ruchem o jednym sto-pniu
swobody. Ruch ciała określa się jednym
równaniem ruchu podającym zależność kąta
obrotu od czasu. Najkorzystniej jest jako
równanie to przyjąć jedno z równań krętu
d/dt(I)=Ml lub Il=Ml Il-moment
bezwładności względem osi obrotu Ml-
moment sił zewnętrznych i reakcji
względem osi obrotu
18. Niewyrównoważenie statyczne i
dynamiczne ciała sztywnego. W
maszynach zawierających elementy
wirujące występuje okresowa zmiana siły
działającej na łożyska co wywołuje drgania.
Dynamiczne- występują gdy środek masy
ciała wirującego nie leży na osi obrotu oraz
oś ta nie jest osią główną, ponieważ przy
wykonywaniu ele nie zawsze da się to
spełnić, więc każdy ele jest poddawany spr.
Dodając lub odejmując masę można
wpłynąć na położenie środka masy i
rozkład momentów bezwładności-
wyrównoważenie.
19. Reakcje dynamiczne łożysk. Jeżeli
środek masy ciała leży na osi obrotu i
jednocześnie oś ta jest osią główną ciała dla
dowolnego jej punktu to reakcje dynamiczne
są równe 0. Reakcje dynamiczne występują
jeżeli środek masy ciała wirującego nie leży
na osi obrotu oraz jeżeli oś ta nie jest osią
główną. Do reakcji statycznych
wynikających z obciążenia siłami dochodzą
reakcje dynamiczne konieczne do
utrzymania ciała w określonym ruchu
obrotowym. Reakcje te wynikają ze zmian
pędu i krętu ciała. Gdy oś obrotu nie
przechodzi przez środek masy ciała
występuje okresowa zmiana siły działającej
na łożyska. Siła ta przenosząc się na
elementy fundamentu wywołuje drgania
20. Dynamika ruchu płaskiego. Jest to
ruch o trzech stopniach swobody. Ciało
poruszające się tym ruchem może wykonać
obr dookoła osi prostopadłej do płaszczyzny
ruchu (przechodzącej przez śridek masy)
x,y,. Są to dwa ruchy postępowe i jeden
obr.
21. Dynamika toczącego się koła.
Ruch taki wykonują koła pojazdu jeżeli
pudło pojazdu wykonuje ruch postępowy po
linii prostej. Przy takim ruchu koło toczy się
po jezdni obracając się jednocześnie. Koło
obciążone jest siłami przekazanymi przez oś
na której zostało osadzone oraz reakcjami
prostej (jezdni) i własną siłą ciężkości.
Przyjmujemy że siły obciążające koło
przekazane przez oś z uwzględnieniem
własnego ciężaru sprowadzają się do dwóch
składowych pionowej P i poziomej F oraz
pary sił o momencie M. Siły te przyłożone
są w punkcie C. Zakładamy że punkt ten
pokrywa się ze środkiem masy koła. Ze
strony toru (jezdni) działa na koło reakcja
normalna N i siła tarcia T. Reakcja
normalna ze względu na opór toczny
przesunięta jest o f w kierunku ruchu a siła
tarcia skierowana w dodatnią stronę osi x
gdyż przeciwstawia się poślizgowi koła po
szynie przy wskazanym kierunku działania
momentu M. Jeżeli koło toczy się bez
poślizgu to między prędkością środka masy
C a prędkością kątową istnieje związek r-
vc=0 czyli =vc/r Równania ruchu są
następujące mv’c=F+T 0=N-P I’=M-Nf-Tr
mV
C
’=F+T=F+(M.-Qfr-k
2
F)/r
2
+k
2
k-ramię
bezwładności
22. Równania ruchu pojazdów. Rów ruchu
środka masy (całego pojazdu) F
X
=(GV
C
’-
T
i
-W+F-Gsin)g=0 Rów ruchu koła: -
M.
Bi
-M.
Oi
+T
i
r
i
-N
i
f
i
=0 M
Bi
=J
i
=(Gk
2
V
C
’)/gr
i
z tych wzorów obliczamy
T
i
=(N
i
f
i
+M.
Oi
)/r
i
+(Q
i
V
i
’k
2
)/gr
i
podstawiając
to równanie do pierwszego otrzymamy rów
ruchu.
23. Dynamiczne równania Eulera dla
bryły sztywnej.
A’
+(C-B)
’
+(A-
C)
’
+(B-A)
=M.
A,B,C- rzuty krętów na główne osie
bezwładności
24. Zjawisko żyroskopowe.
Żyroskop jest to ciało mające kształt bryły
obrotowej obracającej się szybko wokół
swej osi symetrii. Oś obrotu oprócz
prędkości kątowej 1 ma jeszcze prędkość
kątową 2 wokół osi z przechodzącej przez
środek masy O. Ciało wykonuje ruch kulisty
i ruch ten jest precesją regularną. Dla
wywołania ruchu przykładamy moment sił
zewnętrznych Mo. Zakładamy że 2 obrotu
osi wirującej jest dużo mniejsza od 1
obrotu własnego a więc kręt nie zależy od
2 tylko od 1 i leży na osi obrotu
własnego. Żyroskop wykorzystywany jest
jako wskaźnik położenia i zmian kierunku
ruchu oraz do sterowania ruchem obiektów
ruchomych. W tym celu zostaje on
zamocowany w przegubach
umożliwiających swobodny ruch żyroskopu
względem obiektu ruchomego. Stosow w
samolotach (sztuczny horyzont) statki
(stabilizacja)
25. Co to jest ruch kulisty bryły. Precesja
regularna.
Ruch kulisty ciała sztywnego występuje,
gdy jeden z punktów układy związanego z
ciałem jest nieruchomy. Ruch ten jest
ruchem o trzech stopniach swobody. K’=M.
(można zrzutować na osie x,y,z w układzie
nieruchomym). W układzie ruchomym
K’^+xK
0
=M
0
Precesja regularna jest to szczególny
przypadek ruchu kulistego ciała w którym
prędkości kątowe obrotu własnego i precesji
są stałe ’=1=const ’=2=const a
prędkość kątowa nutacji jest równa 0 więc
kąt nutacji jest stały ’=0 =0=const Ruch
ten cechuje się tym że ciało obraca się
wokół osi własnej z prędkością kątową 1
a oś ta obraca się wokół osi stałej z z
prędkością kąt-ową 2. Kąt między osiami
jest stały. Stałe prędkości oznaczają że kąty
i zmieniają się w sposób jednostajny.
Ruch opisany jest równaniami ruchu =1t
=2t =0 przy założeniu że w chwili
początkowej t=0 kąty i są równe 0
=1+2
26. Uproszczona teoria precesji
regularnej – wyprowadzić wzór na
moment.
27. Pojęcie więzów układu mechanicznego
, ich klasyfikacja.
Układ którego punkty nie mogą zajmować
dowolnych położeń i mieć dowolnych
prędkości niezależnie od działających sił
nazywamy nieswobodnym. Na położenie i
prędkości wszystkich lub niektórych
punktów układu nałożone są warunki
ograniczające ich swobodę zwane więzami.
Więzy określone równaniami nazywają się
więzami dwustronnymi, nierównościami
jedno-stronnymi. Jeżeli równanie więzów
zawiera tylko współrzędne punktów to
nazywamy je więzami geometrycznymi.
Równania więzów mogą być także zależne
od prędkości punktów (więzy
kinematyczne). Oba rodzaje więzów mogą
być ponadto zależne od czasu (więzy
niestacjonarne). Więzy niezależne od czasu-
więzy stacjonarne. Więzy całkowalne są to
więzy kinematyczne które można
przedstawić jako pochodną innej funkcji
która jest funkcją współrzędnych i czasu.
Wtedy rów więzów kinematycznych może
być zastąpione równoważnym rów więzów
geometrycznych. Wieży idealne- są to więzy
dwustronne przy których suma prac
przygotowanych i reakcji wywołanych tymi
więzami na dowolnym przesunięciu
przygotowanym jest równa 0.
30. Zdefiniować i podać przykłady
więzów niholonomicznych.
Są to więzy kinematyczne nie całkowalne.
Patrz pyt. 28
31. Określenie przemieszczenia
przygotowanego i pracy przygotowanej.
Przesunięciem przygotowanym nazywamy
takie dowolnie pomyślane przez
obserwatora przesunięcie będące jednym z
przesunięć możliwych nie związane ani z
działającymi siłami ani z czasem. Jeżeli na
punkt materialny działa siła Fi to po nadaniu
punktom przesunięcia przygotowanego ri
zostanie wykonana praca elementarna
Li=Firi Pracę elementarną siły na
przesunięciu przygotowanym nazywamy
pracą przygotowaną. W położeniu
równowagi układu suma prac
przygotowanych wszystkich sił zew i reakcji
= 0. Zasada ta przedstawia warunek
konieczny i dostateczny równowagi układu
mechanicznego. Zastosowanie- dla
dowolnych układów materialnych
32. Zdefiniować przyrost przygotowany,
współrzędną uogólnioną i siłę uogólnioną.
Wsp uogólnione- niezależne wsp których
liczba jest najmniejszą potrzebną do
określenia położenia układu (3n-k) Mogą to
być wsp kątowe bądż liniowe. Liczba wsp
uogólnionych jest najmniejszą potrzebną do
określenia położenia i ruchu. Min liczbę wsp
potrzebną do określenia położenia układu
nazywamy liczba stopni swobody S=3n-k.
Siła uogólniona- wielkość która pomnożona
przez przyrost przygotowany wsp
uogólnionej daje wartość pracy wykonanej
przez układ sił działających na dany układ
materialny na przesunięciach
przygotowanych wywołanych przyrostem
wsp uogólnionej Przyrost przygotowany-
33. Interpretacja geometryczna
przesunięcia przygotowanego.
34. Znane zasady mechaniki analitycznej.
Zasady różniczkowe i całkowe. Obszar tej
mechaniki nie jest precyzyjnie określony.
Oprócz omówienia zasad mechaniki do
mech analitycznej zalicza się rów ruchu
zapisana za pomocą rów więzów, przesunięć
i prac przygotowanych. Należy więc
zaliczyć do tej mechaniki rów Lagrangea i
Hmiltona.
35. Zasda d’Lamberta, sformuowanie i
zastosowanie.
Suma iloczynów skalarnych sum sił
zewnętrznych i wewnętrznych działających
na punkty układu oraz wektorów (-mipi) i
przesunięć przygotowanych punktów układu
materialnego jest równa 0. (Fi+Wi-
mipi)ri=0. Do badania ruchu układu
swobodnego pod działaniem sił
zewnętrznych może być zastosowana
zasada: Układ sił zewnętrznych działających
na punkty układu materialnego swobodnego
równo-waży się w każdej chwili z układem
sił bezwładności S+SB=0 MO+MBO=0 Dla
układu nieswobodnego: Układ wektorów
złożony z sił bezwładności układu
materialnego sił zewnętrznych działających
na ten układ oraz z sił reakcji
ograniczających ruchy tego układu jest
układem równoważnym 0. S+SB+R=0
MO+MBO+HO=0
36. Równanie Lagrangea II rodzaju
d/dtE/q’j-E/qj=Qj j=1,2,...,s
Są to równania różniczkowe zwyczajne II
rzędu. Rozwiązanie tych równań stanowi
najkrótszy sposób badania ruchu. Liczba
równań różniczkowych jest przy tej
metodzie najmniejsza i rów-na liczbie stopni
swobody układu. W równaniach tych
występuje s niewiadomych
przedstawiających s współrzędnych
uogólnionych określających ruch układu.
Równania te nie zawierają reakcji toteż nie
pozwalają one na wyznaczenie wartości tych
reakcji
37.Równania Lagrange’a potencjal
W przypadku gdy siły zewnętrzne działające
na układ mają potencjał siłę uogólnioną
można obliczyć jako pochodną potencjału
względem odpowiedniej współrzędnej Qj=-
V/qj wtedy równania Lagrange’a
d/dt(E/q’j)-E/qj+V/qj=0 Potencjał
kinetyczny L=E-V jest to różnica energii
kinetycznej i potencjału sił. Ponieważ
