1.Prędkość p. w ruchu złożonym. Wzór
r=r

A

+v=r’ u=r’

A

+x ’=^+x

^(lokalna) v=w+u
2.Przyspieszenie unoszenia
P.U. jest to przyspieszenie złożone z
przyspieszenia punktu ruchomego oraz
przyspieszenia stycznego i normalnego
p

U

=p

A

+p

UT

+p

UN

= p

A

+()

p

A

=dV

A

/dt

3. Przyspieszenie Coriolisa.
P.C.jest to przyspieszenie wynikające z
ruchu unoszenia p

C

=2w. P.C. jest równe

podwojonemu iloczynowi wektorowemu
prędkości kątowej i prędkości względnej,
jest prostopadłe do wektorów  i w
pc=2wsin gdzie  kąt między wektorami
w i . Zwrot tego przyspieszenia wynika z
przyjętego przez nas zwrotu, określonego
przez prawoskrętny prostokątny układ
współrzędnych. P.C. jest równe 0 gdy:
1.ruch unoszenia jest postępowy =0, 2.w
pewnej chwili prędkość względna punktu
jest równa 0 w=0, 3.prędkość względna
punktu jest równoległa do osi obrotu układu
ruchomego sin=0 =0 (ruch śrubowy).
P.C. występuje gdy układ unoszenia
dokonuje obrotu. Występuje, gdy punkt
znajduje się w początku ruchomego układu
wsp. Np. ruch obrotowy ziemi powoduje
powstawanie przyspieszenia coriolisa.
4. Przypadki ruchu względnego. Człowiek
w jadącym tramwaju, itp.
5. Równowaga względna. Występuje, gdy
siła bezwzględna jest równoważona przez
siłę unoszenia. Zakładamy że punkt znajduje
się w równowadze względem układu
ruchomego który porusza się względem
innego układu mającego cechy układu
Galileusza. Równanie ruchu punktu
względem układu ruchomego mpw=F-mpu-
mpc w przypadku równowagi w=0 pw=0
pc=0 Równanie równowagi względnej F-
mpu=0 F+F

U

=0

6. Równanie dynamiki ruchu względ
Dynamiczne równania ruchu p.m. w
ruchomym układzie odniesienia są takie, jak
gdyby układ był inercjalny pod warunkiem,
że do siły F

B

dodamy siłę unoszenia F

U

= -

ma

U

i Coriolisa F

C

= -ma

C.

F

W

=F+F

U

+F

C

mp=m.(d

2

r/dt)=F (pojedyncza siła lub zbiór

sił)
7. Prawo zmienności pędu w postaci
całkowej. Przyrost pędu układu w przeciągu
pewnego czasu = sumie impulsów wektora
głównego sił zew i wektora głównego
reakcji w przeciągu tego czasu. B-B

0

=całka

(t-t

0

) Sdt + całka (t-t

0

) Rdt Prawo zminności

pędu poawala na wyciagnięcie ogólnych
wniosków dotyczących ruchu układu: dB=0
B= stała C B

X

=C

X

B

Y

=C

Y

B

Z

=C

Z

– rów

skalarowe pędu
8. Prawo ruchu środka masy układu
punktów materialnych.
Środek masy układu materialnego porusza
się tak jak punkt materialny w którym
skupiona jest masa całego ciała i do której
przyłożone są siły równe wektorom
głównym sił zewnętrznych i reakcji
działających na dany układ. Mp

C

=S+R

mx’’

C

=Fix+Rix Prawo to upraszcza

roapatrywanie ruchu układu p.m. ale
zarazem nie możemy określić stosunku
ruchu tych p względem środka masy.
9. Prawo zmienności pędu i krętu układu
p.m.
Pochodna wektora pędu układu
materialnego względem czasu równa jest
sumie geometrycznej sił zewnętrznych i
reakcji działających na układ
dB/dt=Fi+Ri Pochodna względem czasu
krętu układu materialnego względem
dowolnego stałego punktu równa jest sumie
momentu głównego sił zewnętrznych i
momentu głównego reakcji względem tego
samego punktu. dKo/dt=Mo+Ho Całka
wektorowa krętu L

0

+H

0

=0 dK

0

/dt=0

K

0

=const K

0

= stała C

10. Zasada energii kinetycznej u.p.m.
Przyrost elementarnej E

K

u.m. = sumie prac

elementarnych , sił wew zew i reakcji
dE

K

=d’L

Z

+d’L

W

+d’L

R

W tym przypadku

praca sił wew nie = 0 co utrudnia równanie
dla ciała sztywnego siły wew równoważą się
i rów jest prostsze.
Gdy więzy układu są idealne to praca reakcji
jest =0 równanie upraszcza się jeszcze
bardziej.
11. Prawo zmienności energii u.p.m. w
potencjalnym polu sił. Przyrost energii
kinetycznej układu = jest spadkowi
potencjału. Suma energii kinetycznej i
potencjalnej jest =energii całkowitej, czyli
E

2

+V

2

=E

1

+V

1

E

C2

=E

C1

Energia całkowita

układu w polu pot. Ma wartość stałą. Układy
te nazywamy zachowawczymi.
12. Energia kinetyczna ciała sztywnego
względem dowolnego punktu i środka
masy. (tw. Koniga).

E=1/2 (mV

2

C

+ I

lc



2

) Energia kinetyczna

jest równa sumie energii kinetycznej ruchu
postępowego z prędkością środka masy i
energii ruchu obrotowego wokół osi
przechodzącej przez środek masy. Energia
kinetyczna ciała skł się więc z dwóch części.
Pierwsza to energia ruchu postępowego
ciała z prędkością środka masy. Jeżeli
prędkość środka masy = 0, to ruch bryły jest
jest chwilowym ruchem obrotowym wokół
osi przechodzącej przez środek masy. Druga
część wzoru przedstawia więc energię
kinetyczną w ruchu obrotowym.
13. Prawo zmienności pędu ciała
sztywnego. B=mV

C

Pęd ciała sztywnego

równy jest iloczynowi masy ciała i
prędkości środka masy. Jeżeli ruch opisany
jest w układzie współrzędnych (ruchomych-
nieruchomych- środka masy)to korzystając
ze wzoru na prędkość możemy obliczyć
wektor B ze wzoru B= m.(V

A

+x)

14. Prawo zmienności krętu ciała
sztywnego. Kręt względem punktu O może
być obliczony na podstawie znanego krętu
względem p. A K

0

= r

A

xB+K

A

K

A

=

całka(m.)xVdm
15. Równania ruchu ciała sztywnego.
K

A

’+v

A

xmv

C

=M

A

mv

C

=B B’=S

K

A

’+v

A

xB=M.

A

Wystepujące w

powyższych wzorach pochodne są
pochodnymi bezwzględnymi, odniesionymi
do nieruchomego układu odniesienia. K

A

’

+xK

A

+v

A

xB=M

A

R.r.c.s. otrzymamy jako szczególny
przypadek równań ruchu układu
materialnego. Możemy je otrzymać za
pomocą zasady pędu i krętu. Pochodna pędu
względem czasu równa jest wektorowi
głównemu sił zewnętrznych i reakcji a
pochodna krętu względem nieruchomego
punktu momentowi głównemu sił
zewnętrznych i reakcji. B’=S K’o=Mo
B’x=Sx ...K’x=Mx...
16. Równania dynamiki ruchu
postępowego bryły. Jeżeli obierzemy p A
czyli początek układu ruchomego w środku
masy C, wtedy jak łatwo stwierdzić kręt
względem środka masy będzie równy 0.
Wtedy K’=0, a z równań ruchu wynika że
jest to możliwe tylko wtedy gdy moment
względem środka masy jest równy 0 Tak
więc rów krętu okeślają tylko war jaki musi
być spełniony przez siły zew i reakcje aby
ciało poruszało się ruchem postępowym.
W.K ale nie dostatecznym jest to aby
moment główny układu sił i reakcji
względem środka masy był równy 0. d/dt
(mv

CX

)=S

X

d/dt(mv

CY

)=S

Y

itd. – równania

środka masy.
17. Ruch obrotowy ciała sztywnego.
Ruch obrotowy ciała sztywnego dokoła osi
stałej jest ruchem o jednym sto-pniu
swobody. Ruch ciała określa się jednym
równaniem ruchu podającym zależność kąta
obrotu od czasu. Najkorzystniej jest jako
równanie to przyjąć jedno z równań krętu
d/dt(I)=Ml lub Il=Ml Il-moment
bezwładności względem osi obrotu Ml-
moment sił zewnętrznych i reakcji
względem osi obrotu
18. Niewyrównoważenie statyczne i
dynamiczne ciała sztywnego. W
maszynach zawierających elementy
wirujące występuje okresowa zmiana siły
działającej na łożyska co wywołuje drgania.
Dynamiczne- występują gdy środek masy
ciała wirującego nie leży na osi obrotu oraz
oś ta nie jest osią główną, ponieważ przy
wykonywaniu ele nie zawsze da się to
spełnić, więc każdy ele jest poddawany spr.
Dodając lub odejmując masę można
wpłynąć na położenie środka masy i
rozkład momentów bezwładności-
wyrównoważenie.
19. Reakcje dynamiczne łożysk. Jeżeli
środek masy ciała leży na osi obrotu i
jednocześnie oś ta jest osią główną ciała dla
dowolnego jej punktu to reakcje dynamiczne
są równe 0. Reakcje dynamiczne występują
jeżeli środek masy ciała wirującego nie leży
na osi obrotu oraz jeżeli oś ta nie jest osią
główną. Do reakcji statycznych
wynikających z obciążenia siłami dochodzą
reakcje dynamiczne konieczne do
utrzymania ciała w określonym ruchu
obrotowym. Reakcje te wynikają ze zmian
pędu i krętu ciała. Gdy oś obrotu nie
przechodzi przez środek masy ciała
występuje okresowa zmiana siły działającej
na łożyska. Siła ta przenosząc się na
elementy fundamentu wywołuje drgania
20. Dynamika ruchu płaskiego. Jest to
ruch o trzech stopniach swobody. Ciało
poruszające się tym ruchem może wykonać
obr dookoła osi prostopadłej do płaszczyzny
ruchu (przechodzącej przez śridek masy)
x,y,. Są to dwa ruchy postępowe i jeden
obr.
21. Dynamika toczącego się koła.

Ruch taki wykonują koła pojazdu jeżeli
pudło pojazdu wykonuje ruch postępowy po
linii prostej. Przy takim ruchu koło toczy się
po jezdni obracając się jednocześnie. Koło
obciążone jest siłami przekazanymi przez oś
na której zostało osadzone oraz reakcjami
prostej (jezdni) i własną siłą ciężkości.
Przyjmujemy że siły obciążające koło
przekazane przez oś z uwzględnieniem
własnego ciężaru sprowadzają się do dwóch
składowych pionowej P i poziomej F oraz
pary sił o momencie M. Siły te przyłożone
są w punkcie C. Zakładamy że punkt ten
pokrywa się ze środkiem masy koła. Ze
strony toru (jezdni) działa na koło reakcja
normalna N i siła tarcia T. Reakcja
normalna ze względu na opór toczny
przesunięta jest o f w kierunku ruchu a siła
tarcia skierowana w dodatnią stronę osi x
gdyż przeciwstawia się poślizgowi koła po
szynie przy wskazanym kierunku działania
momentu M. Jeżeli koło toczy się bez
poślizgu to między prędkością środka masy
C a prędkością kątową istnieje związek r-
vc=0 czyli =vc/r Równania ruchu są
następujące mv’c=F+T 0=N-P I’=M-Nf-Tr
mV

C

’=F+T=F+(M.-Qfr-k

2

F)/r

2

+k

2

k-ramię

bezwładności
22. Równania ruchu pojazdów. Rów ruchu
środka masy (całego pojazdu) F

X

=(GV

C

’-

T

i

-W+F-Gsin)g=0 Rów ruchu koła: -

M.

Bi

-M.

Oi

+T

i

r

i

-N

i

f

i

=0 M

Bi

=J

i

=(Gk

2

V

C

’)/gr

i

z tych wzorów obliczamy
T

i

=(N

i

f

i

+M.

Oi

)/r

i

+(Q

i

V

i

’k

2

)/gr

i

podstawiając

to równanie do pierwszego otrzymamy rów
ruchu.
23. Dynamiczne równania Eulera dla
bryły sztywnej. 
A’



+(C-B)











’



+(A-

C)











’



+(B-A)







=M.



A,B,C- rzuty krętów na główne osie
bezwładności
24. Zjawisko żyroskopowe. 
Żyroskop jest to ciało mające kształt bryły
obrotowej obracającej się szybko wokół
swej osi symetrii. Oś obrotu oprócz
prędkości kątowej 1 ma jeszcze prędkość
kątową 2 wokół osi z przechodzącej przez
środek masy O. Ciało wykonuje ruch kulisty
i ruch ten jest precesją regularną. Dla
wywołania ruchu przykładamy moment sił
zewnętrznych Mo. Zakładamy że 2 obrotu
osi wirującej jest dużo mniejsza od 1
obrotu własnego a więc kręt nie zależy od
2 tylko od 1 i leży na osi obrotu
własnego. Żyroskop wykorzystywany jest
jako wskaźnik położenia i zmian kierunku
ruchu oraz do sterowania ruchem obiektów
ruchomych. W tym celu zostaje on
zamocowany w przegubach
umożliwiających swobodny ruch żyroskopu
względem obiektu ruchomego. Stosow w
samolotach (sztuczny horyzont) statki
(stabilizacja)
25. Co to jest ruch kulisty bryły. Precesja
regularna.
Ruch kulisty ciała sztywnego występuje,
gdy jeden z punktów układy związanego z
ciałem jest nieruchomy. Ruch ten jest
ruchem o trzech stopniach swobody. K’=M.
(można zrzutować na osie x,y,z w układzie
nieruchomym). W układzie ruchomym
K’^+xK

0

=M

0



Precesja regularna jest to szczególny
przypadek ruchu kulistego ciała w którym
prędkości kątowe obrotu własnego i precesji
są stałe ’=1=const ’=2=const a
prędkość kątowa nutacji jest równa 0 więc
kąt nutacji jest stały ’=0 =0=const Ruch
ten cechuje się tym że ciało obraca się
wokół osi własnej  z prędkością kątową 1
a oś ta obraca się wokół osi stałej z z
prędkością kąt-ową 2. Kąt między osiami
jest stały. Stałe prędkości oznaczają że kąty
 i  zmieniają się w sposób jednostajny.
Ruch opisany jest równaniami ruchu =1t
=2t =0 przy założeniu że w chwili
początkowej t=0 kąty  i  są równe 0
=1+2
26. Uproszczona teoria precesji
regularnej – wyprowadzić wzór na
moment.
27. Pojęcie więzów układu mechanicznego
, ich klasyfikacja.
Układ którego punkty nie mogą zajmować
dowolnych położeń i mieć dowolnych
prędkości niezależnie od działających sił
nazywamy nieswobodnym. Na położenie i
prędkości wszystkich lub niektórych
punktów układu nałożone są warunki
ograniczające ich swobodę zwane więzami.
Więzy określone równaniami nazywają się
więzami dwustronnymi, nierównościami
jedno-stronnymi. Jeżeli równanie więzów
zawiera tylko współrzędne punktów to
nazywamy je więzami geometrycznymi.
Równania więzów mogą być także zależne
od prędkości punktów (więzy

kinematyczne). Oba rodzaje więzów mogą
być ponadto zależne od czasu (więzy
niestacjonarne). Więzy niezależne od czasu-
więzy stacjonarne. Więzy całkowalne są to
więzy kinematyczne które można
przedstawić jako pochodną innej funkcji
która jest funkcją współrzędnych i czasu.
Wtedy rów więzów kinematycznych może
być zastąpione równoważnym rów więzów
geometrycznych. Wieży idealne- są to więzy
dwustronne przy których suma prac
przygotowanych i reakcji wywołanych tymi
więzami na dowolnym przesunięciu
przygotowanym jest równa 0.
30. Zdefiniować i podać przykłady
więzów niholonomicznych.
Są to więzy kinematyczne nie całkowalne.
Patrz pyt. 28
31. Określenie przemieszczenia
przygotowanego i pracy przygotowanej.
Przesunięciem przygotowanym nazywamy
takie dowolnie pomyślane przez
obserwatora przesunięcie będące jednym z
przesunięć możliwych nie związane ani z
działającymi siłami ani z czasem. Jeżeli na
punkt materialny działa siła Fi to po nadaniu
punktom przesunięcia przygotowanego ri
zostanie wykonana praca elementarna
Li=Firi Pracę elementarną siły na
przesunięciu przygotowanym nazywamy
pracą przygotowaną. W położeniu
równowagi układu suma prac
przygotowanych wszystkich sił zew i reakcji
= 0. Zasada ta przedstawia warunek
konieczny i dostateczny równowagi układu
mechanicznego. Zastosowanie- dla
dowolnych układów materialnych
32. Zdefiniować przyrost przygotowany,
współrzędną uogólnioną i siłę uogólnioną.
Wsp uogólnione- niezależne wsp których
liczba jest najmniejszą potrzebną do
określenia położenia układu (3n-k) Mogą to
być wsp kątowe bądż liniowe. Liczba wsp
uogólnionych jest najmniejszą potrzebną do
określenia położenia i ruchu. Min liczbę wsp
potrzebną do określenia położenia układu
nazywamy liczba stopni swobody S=3n-k.
Siła uogólniona- wielkość która pomnożona
przez przyrost przygotowany wsp
uogólnionej daje wartość pracy wykonanej
przez układ sił działających na dany układ
materialny na przesunięciach
przygotowanych wywołanych przyrostem
wsp uogólnionej Przyrost przygotowany-
33. Interpretacja geometryczna
przesunięcia przygotowanego.
34. Znane zasady mechaniki analitycznej.
Zasady różniczkowe i całkowe. Obszar tej
mechaniki nie jest precyzyjnie określony.
Oprócz omówienia zasad mechaniki do
mech analitycznej zalicza się rów ruchu
zapisana za pomocą rów więzów, przesunięć
i prac przygotowanych. Należy więc
zaliczyć do tej mechaniki rów Lagrangea i
Hmiltona.
35. Zasda d’Lamberta, sformuowanie i
zastosowanie.
Suma iloczynów skalarnych sum sił
zewnętrznych i wewnętrznych działających
na punkty układu oraz wektorów (-mipi) i
przesunięć przygotowanych punktów układu
materialnego jest równa 0. (Fi+Wi-
mipi)ri=0. Do badania ruchu układu
swobodnego pod działaniem sił
zewnętrznych może być zastosowana
zasada: Układ sił zewnętrznych działających
na punkty układu materialnego swobodnego
równo-waży się w każdej chwili z układem
sił bezwładności S+SB=0 MO+MBO=0 Dla
układu nieswobodnego: Układ wektorów
złożony z sił bezwładności układu
materialnego sił zewnętrznych działających
na ten układ oraz z sił reakcji
ograniczających ruchy tego układu jest
układem równoważnym 0. S+SB+R=0
MO+MBO+HO=0
36. Równanie Lagrangea II rodzaju
d/dtE/q’j-E/qj=Qj j=1,2,...,s
Są to równania różniczkowe zwyczajne II
rzędu. Rozwiązanie tych równań stanowi
najkrótszy sposób badania ruchu. Liczba
równań różniczkowych jest przy tej
metodzie najmniejsza i rów-na liczbie stopni
swobody układu. W równaniach tych
występuje s niewiadomych
przedstawiających s współrzędnych
uogólnionych określających ruch układu.
Równania te nie zawierają reakcji toteż nie
pozwalają one na wyznaczenie wartości tych
reakcji
37.Równania Lagrange’a potencjal
W przypadku gdy siły zewnętrzne działające
na układ mają potencjał siłę uogólnioną
można obliczyć jako pochodną potencjału
względem odpowiedniej współrzędnej Qj=-
V/qj wtedy równania Lagrange’a
d/dt(E/q’j)-E/qj+V/qj=0 Potencjał
kinetyczny L=E-V jest to różnica energii
kinetycznej i potencjału sił. Ponieważ

potencjał nie zależy od prędkości
uogólnionej d/dt(L/q’j)-L/qj=0
Potencjał kinetyczny przedstawia nadmiar
energii kinetycznej nad potencjalną.
38. Wyznaczenie siły uogólnionej
odpowiadającej danej współrzędnej
uogólnionej w równaniach Lagrnge’a ,
przykład.
Siłę uogólnioną można obliczyć jako
pochodną potencjału względem
odpowiedniej współrzędnej w przypadku
gdy potencjał jest przedstawiony jako
funkcja współrzędnych uogólnionych Q

i

=-

deltv/deltq

i

. Niezależne współrzędne

których licz-ba jest najmniejszą potrzebną
do określenia położenia układu nazywamy
współrzędnymi uogólnionymi. Mogą być
dowolnymi współrzędnymi liniowymi lub
kątowymi. Siłą uogólnioną nazywamy taką
wielkość która pomnożona przez przyrost
przygotowany qj współrzędnej uogólnionej
daje wartość pracy wykonanej przez układ
sił działających na dany układ materialny na
przesunięciach przygotowanych
wywołanych przyrostem współrzędnej
uogólnionej. Qj=Lj/qj.
39. Ogólne równanie mechaniki. Zasada
d’Alamberta dla układu nieswobodnego
Suma iloczynów skalarnych sum sił
zewnętrznych i wewnętrznych działających
na punkty układu oraz wektorów (-mipi) i
przesunięć przygotowanych punktów układu
materialnego jest równa 0. (Fi+Wi-
mipi)ri=0. Do badania ruchu układu
swobodnego pod działaniem sił
zewnętrznych może być zastosowana
zasada: Układ sił zewnętrznych działających
na punkty układu materialnego swobodnego
równo-waży się w każdej chwili z układem
sił bezwładności S+SB=0 MO+MBO=0 Dla
układu nieswobodnego: Układ wektorów
złożony z sił bezwładności układu
materialnego sił zewnętrznych działających
na ten układ oraz z sił reakcji
ograniczających ruchy tego układu jest
układem równoważnym 0. S+SB+R=0
MO+MBO+HO=0
40. Siły zderzeniowe
Jeżeli zderzenie następuje w chwili t

0

i trwa

przez przeciąg czasu  to możemy impuls
siły określić wzorem J=całka(t0+tał-t0)Fdt.
Gdy tał dąży do zera to F dąży do niesk.- s.
Zderz. lub chwilowa.
41. Uderzenie punktu mat o przegrodę.
Punkt uderzenia o powierzchnię przegrody
będącej w spoczynku z prędkością v1 której
kierunek tworzy kąt α (padania) z normalną
powierzchni przegrody. Po uderzeniu punkt
odbija się i porusza się z prędkością v2
tworząc kąt β (odbicia) z normalną. W
trakcie zderzenia wystąpi reakcja mająca
charakter siły zderzeniowej
mv

2

cosβ + mv

2

cosα = J

mv

2

sinβ - mv

2

sinα = 0

J – impuls reakcji normalnej.
Współczynnik restytucji – stosunek
bezwzględnych wartości normalnych
składowych prędkości po i przed
zderzeniem i jest niezależny od prędkości i
wymiarów ciał zderzających się tylko od
materiałów z których są wykonane.
k = ¦v

2n

/v

1n

¦= v

2

cosβ/v

1

cosα

Przy uderzeniu idealnie sprężystym k = 1
przy plastycznym k = 0.
42. Udowodnić że dla ciała idealnie
sprężyst impuls jest dwukrotnie większy
niż dla ciała idealnie plast.
J = mv

1

(k+1)cos kspręż=1, kplast=0

43. Rozpraszanie en. Kinetycznej przy
zderzeniu
Punkt uderza w przegrodę prostopadle do jej
powierzchni =0 k=v2/v1 v2=kv1.
Różnica energii kinetycznej po i przed
zderzeniem wynosi E2-E1= Następuje więc
ubytek energii kinetycznej tym większy im
mniejszy jest współczynnik restytucji. W
przypadku zderzenia plastycznego cała
energia kinetyczna zostaje stracona. W
przypadku uderzenia idealnie sprężystego
nie ma straty energii. W przypadku
częściowo sprężystego zderzenia część
energii kinetycznej zostaje stracona,
zamienia się w ciepło.
44. Ruch ciała sztywnego pod działaniem
sił zderzeniowych
Uderzenie jest to suma impulsów sił
zderzeniowych J oraz reakcji zderz R jeżeli
ciało nie jest swobodne. Moment główny
impulsów sił zderzeniowych-L, a moment
reakcji-H Ruch ten bada się za pomocą
prawa zmienności pędu i krętu. B

2

-B

1

=J+R,

K

2

-K

1

=L+H 2-po zderz, 1-przed. Rzutując

te równania na osie układu współrzęn.
Otrzymamy równania określające przyrosty
prędkości postępowej i kątowej ciała
wywołanej impulsami sił zderzeniowych
m.(x’

2

-x’

1

)=J

x

+R

x

itd.

45. Równanie przyrostów prędkości
postępowej

Impulsowi zderzenia odpowiadającemu
niesk małemu przedziałowi czasu 
odpowiada skończony przyrost prędkości p.
m. Wynikający ze wzoru m.(v-v

0

)=J Stąd

wartość prędkości po zderzeniu v=v

0

+J/m.

46. Środek uderzenia
Jest to punkt w którym nie zaobserwuje się
wstrząsu wywołanego uderzeniem ciała
Współrzędna tego punktu-y

a

=k

x

2

/y

c

Uderzenie nie wywoła wstrząsu jeżeli
kierunek jego jest prostopadły do
płaszczyzny przech przez oś obrotu i środek
masy Oś obrotu jest osią główną punktu
będącego rzutem punktu uderzenia na oś obr
oraz punkt uderzenia leży w odległości
danej od osi obrotu Wykorzystuje się to przy
projektowaniu narzędzi i maszyn
47. Zderzenia proste, centralne
Przy zderzeniu dwóch ciał powierzchnie
tych ciał zetkną się w jednym punkcie.
Punkt A I ciała zetknął się z punktem D II
ciała. Powierzchnie tych ciał w punkcie
zetknięcia mają wspólną normalną (linia
zderzenia). Prędkość względna punktu A w
stosunku do punktu D jest równa i
przeciwna prędkości względnej punktu D w
stosunku do punktu A. Jeżeli te prędkości
względne są położone na linii zderzenia to
zderzenie nazywamy prostym w
przeciwnym razie ukośnym. Przy zderzeniu
prostym siły chwilowe działają na linii
zderzenia. Jeżeli linia zderzenia przechodzi
przez środek masy ciała to zderzenie
nazywamy centralnym w odróżnieniu od
zderzenia mimośrodowego w przypadku
przeciwnym.
48. Zderzenie dwóch kul
Zakładamy że dwie kule o masach m1 i m2
poruszają się ruchem postępowym z
prędkościami v11 i v12 przed zderzeniem
tak że torem środka masy każdej z nich jest
prosta na której znajdują się ich środki O1 i
O2. Aby zderzenie było możliwe v11-
v12>0. Rzut wektora pędu na oś x wobec
braku sił zewnętrznych jest stały. Po
uderzeniu kule zaczną poruszać się z
prędkościami v12 i v22 skierowanymi także
wzdłuż osi x. Stałość pędu oznacza że pęd
układu po i przed zderzeniem jest taki sam
m1v12+m2v22=m1v11+m2v21 Stosunek
prędkości względnych obu kul po i przed
zderzeniem jest równy współczynnikowi
restytucji k=v12-v22/v11-v21 Przy
zderzeniu plastycznym k=0 przy idealnie
sprężystym k=1.
49. Współczynnik restytucji przy
zderzeniu dwóch kul
W.R. jest to stosunek prędkości względnych
obu kul po i przed zderzeniem. Prędkości
względne mają różne znaki gdyż kule przed
zderzeniem się zbliża-ją a po zderzeniu
oddalają się od siebie k=v12-v22/v11-v21
50. Określenie impulsu i rozpraszania
energii przy zderzeniu kul

38-40

51 .Równanie ruchu punktu o zmiennej
masie
mdv/dt+dm/dt(v-u)=F v-prędkość punktu u-
prędkość dołączającej się cząstki
52. Równanie ruchu punktu materialnego
o zmiennej masie w postaci II pr
Newtona
Gdy prędkość względna dołączającej się
masy jest równa zero w=0 mdv/dt=F.
Równanie ma formalnie postać identyczną z
równaniem ruchu punktu o stałej masie, z
tym że masa jest funkcją czasu.
53. Kiedy równanie Mieszczerskiego
Gdy prędkość bezwzględna dołączającej się
masy jest równa 0. Otrzymuje-my
mdv/dt+dm/dtv=F, więc d/dt(mv)=F.
54. Równanie ruchu rakiety
Ruch rakiety w czasie działania silnika
rakietowego jest ruchem ciała o zmiennej
masie podczas którego następuje wypływ
gazów spalinowych z dyszy silnika z
prędkością względną uzyskiwaną w wyniku
spalania paliwa. Zakładamy że prędkość
względna gazów jest styczna do trajektorii
oraz prędkość względna gazów jest stała
w=u-v=-w -wektor jednostkowy styczny
do trajektorii. mdv/dt=F-wdm/dt
55. Równanie ruchu p.m. o zmiennej
masie na kierunek styczny do toru.
Przyjmijmy

że

do

wyznaczenia

rów

zakładamy

prawo

zmienności

prądu.

Zakładamy że w czasie t mamy masę m.,V.
W czsie dt do pm. Dołącza się cząstka o dm
i u. W skutek tego w czasie t+dt masa
całkowita wynosi m.+dm i prędkość V+dV.
Sumaryczny pęd dołączającej się masy w
chwili t wynosi B(t)=mV+dmU U-prędkość
bezwzględna

Po

dołączeniu

wynosi

B(t+dt)=(m.+dm)(V+dV)