Granica  i ciągłośd funkcji 

 

1

 

MB 

 

Granica funkcji 

Funkcja 

, określona na zbiorze 

, ma w punkcie 

 granicę równą  , co zapisuje się: 

,  przy 

  lub 

,  gdy  spełnione  są  warunki  określone  w  dwu 

równoważnych definicjach: 

1.  definicja Heinego:  

 

 

2.  definicja Cauchy’ego:  

 

 

 

Granice jednostronne 

Niech funkcja 

 będzie określona na zbiorze 

. Granicę prawostronną funkcji w punkcie 

 oznaczamy 

 i definiujemy: 

1.  definicja   Heinego: 

 

2.  definicja  Cauchy’ego: 

 

 Natomiast granicę lewostronną definiujemy : 

1.  definicja   Heinego: 

 

2.  definicja  Cauchy’ego: 

 

Łatwo  zaobserwowad,  że  granica  funkcji    w  punkcie 

  istnieje  wtedy  i  tylko  wtedy,  gdy  istnieją 

granice jednostronne w tym punkcie i są sobie równe. 

Granica  i ciągłośd funkcji 

 

2

 

MB 

 

Ciągłość funkcji 

Funkcja 

, określona na zbiorze 

, jest ciągła w punkcie 

, jeśli: 

 

 

Mówimy, że funkcja   jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. 

Zauważmy, że można mówid o ciągłości funkcji tylko w punktach jej dziedziny. Z powyższej definicji 

wynika, że funkcja jest ciągła w punkcie, jeśli ma w tym punkcie granicę równą wartości. 

 

 

 

 

Podstawowe własności granicy funkcji w punkcie 

Jeśli funkcje

 i   określone na zbiorze 

 mają granice właściwe 

 i 

 to: 

, 

, 

, 

 

  (o ile 

 oraz dla 

 

, 

 (o ile wyrażenia po obu stronach mają sens). 

 
Podobnie jak dla ciągów tak i dla funkcji możemy mówid o granicy niewłaściwej.  

 
Definicja 

1.  Funkcja 

, określona na zbiorze 

, ma w punkcie 

 granicę niewłaściwą  , 

gdy: 

, 

. 

Granica  i ciągłośd funkcji 

 

3

 

MB 

2.  Funkcja 

, określona na zbiorze 

, ma w punkcie 

 granicę niewłaściwą 

, 

gdy: 

, 

.