17
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
I.
Ś
rodek masy układu ciał
Poło
Ŝ
enie
ś
rodka masy opisane jest wektorem:
kˆ
z
jˆ
y
iˆ
x
R
SM
SM
SM
SM
+
+
=
. Dla danego,
nieruchomego układu ciał,
ś
rodek masy znajduje si
ę
zawsze w tym samym miejscu, ale
współrz
ę
dne poło
Ŝ
enia
ś
rodka masy mog
ą
si
ę
zmienia
ć
w zale
Ŝ
no
ś
ci od wybranego układu
współrz
ę
dnych.
W danym układzie współrz
ę
dnych współrz
ę
dne poło
Ŝ
enia
ś
rodka masy oblicza si
ę
w
nast
ę
puj
ą
cy sposób:
...
m
x
m
x
m
x
M
x
3
3
2
2
1
1
SM
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
...
m
y
m
y
m
y
M
y
3
3
2
2
1
1
SM
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
...
m
z
m
z
m
z
M
z
3
3
2
2
1
1
SM
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
gdzie
]
z
,
y
,
x
[
1
1
1
to wektor poło
Ŝ
enia ciała o masie
1
m
,
]
z
,
y
,
x
[
2
2
2
to wektor poło
Ŝ
enia
ciała o masie
2
m
, a
]
z
,
y
,
x
[
3
3
3
to wektor poło
Ŝ
enia ciała o masie
3
m
, natomiast
M
jest
całkowit
ą
mas
ą
układu ciał i
...
m
m
m
M
3
2
1
+
+
+
=
.
Gdy mamy do czynienia nie z ciałami punktowymi, lecz z ciałami o wi
ę
kszych wymiarach,
mo
Ŝ
emy oblicza
ć
współrz
ę
dne
ś
rodka masy tych ciał, je
ś
li tylko znamy współrz
ę
dne
ś
rodków
masy ich elementów.
Np. Wektor poło
Ŝ
enia
ś
rodka masy koła pokazanego na rysunku mo
Ŝ
na
obliczy
ć
ze wzorów:
2
2
SM
1
1
SM
SM
m
x
m
x
M
x
⋅
+
⋅
=
⋅
2
2
SM
1
1
SM
SM
m
y
m
y
M
y
⋅
+
⋅
=
⋅
2
2
SM
1
1
SM
SM
m
z
m
z
M
z
⋅
+
⋅
=
⋅
gdzie
]
z
,
y
,
x
[
1
SM
1
SM
1
SM
oznacza wektor poło
Ŝ
enia
ć
wiartki koła o
masie
1
m
, a
]
z
,
y
,
x
[
2
SM
2
SM
2
SM
oznacza wektor poło
Ŝ
enia
ś
rodka masy pozostałej cz
ęś
ci
koła o masie
2
m
, natomiast M jest mas
ą
całkowit
ą
. Maj
ą
c to na uwadze, mo
Ŝ
na w prosty
sposób oblicza
ć
współrz
ę
dne
ś
rodka masy figur z wyci
ę
ciami.
II.
Zasady dynamiki Newtona. Układ inercjalny.
Siła wypadkowa działaj
ą
ca na ciało jest zawsze wektorow
ą
sum
ą
wszystkich sił działaj
ą
cych na
to ciało:
...
F
F
F
2
1
wyp
+
+
=
Zwykle ró
Ŝ
ne siły działaj
ą
ce na ciało s
ą
przyło
Ŝ
one do ró
Ŝ
nych punktów tego ciała. Pomimo tego
mo
Ŝ
emy je sumowa
ć
, aby w ten sposób otrzyma
ć
sił
ę
wypadkow
ą
działaj
ą
c
ą
na ciało.
Siła jest przyczyn
ą
zmian ruchu, a nie jest przyczyn
ą
samego ruchu, tzn. ciało mo
Ŝ
e si
ę
porusza
ć
nawet, gdy nie działaj
ą
na nie
Ŝ
adne siły.
Blok 3:
Zasady dynamiki Newtona. Siły.
18
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
I zasada dynamiki Newtona
Je
Ŝ
eli na ciało nie działa
Ŝ
adna siła lub działaj
ą
ce siły równowa
Ŝą
si
ę
(czyli ich wypadkowa jest
równa zeru,
0
F
wyp
=
), to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza si
ę
ruchem jednostajnym
prostoliniowym.
Inercjalny układ odniesienia to taki układ, w którym spełniona jest I zasada dynamiki Newtona.
Ka
Ŝ
dy układ inercjalny wzgl
ę
dem ka
Ŝ
dego innego układu inercjalnego porusza si
ę
ruchem
jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku.
II zasada dynamiki Newtona
Je
Ŝ
eli na ciało o masie
m
działa niezrównowa
Ŝ
ona siła zewn
ę
trzna
wyp
F
, to nadaje ona temu
ciału przyspieszenie
a
, zgodnie ze wzorem:
m
F
a
wyp
=
Wypadkowa siła i przyspieszenie ciała maj
ą
ten sam kierunek i zwrot.
Bezpo
ś
rednio z równania wektorowego, nie mo
Ŝ
emy obliczy
ć
Ŝ
adnych wielko
ś
ci algebraicznych.
Dlatego niezb
ę
dna jest zamiana równania wektorowego na równania algebraiczne.
Z jednego równania wektorowego otrzymujemy tyle równa
ń
algebraicznych, ile współrz
ę
dnych
przestrzennych zostało zaanga
Ŝ
owane w zadaniu (czyli najwy
Ŝ
ej trzy).
Aby okre
ś
li
ć
II zasad
ę
dynamiki Newtona dla konkretnego zagadnienia w zadaniu, nie wystarczy
zapisa
ć
:
m
a
F
wyp
⋅
=
; trzeba jawnie wymieni
ć
wszystkie siły składaj
ą
ce si
ę
na sił
ę
wypadkow
ą
.
III zasada dynamiki Newtona
Je
Ŝ
eli ciało A działa na ciało B sił
ą
AB
F
, to ciało B działa na ciało A sił
ą
BA
F
, tak
ą
,
Ŝ
e
BA
AB
F
F
−
=
,
czyli równ
ą
co do warto
ś
ci i maj
ą
c
ą
ten sam kierunek, ale przeciwne zwroty.
Siły
AB
F
i
BA
F
nazywane s
ą
czasem siłami akcji-reakcji i zawsze wyst
ę
puj
ą
parami.
Siły te jednak nigdy nie równowa
Ŝą
si
ę
, poniewa
Ŝ
przyło
Ŝ
one s
ą
do ró
Ŝ
nych ciał.
III.
Trygonometria k
ą
tów ostrych.
Bardzo cz
ę
sto w zadaniach z dynamiki, siły działaj
ą
ce na ciało nie le
Ŝą
na jednej prostej. Aby
zapisa
ć
te równania w postaci algebraicznej, musimy rozło
Ŝ
y
ć
wszystkie siły na składowe (lub
mówi
ą
c inaczej – w wybranym przez nas układzie współrz
ę
dnych obliczy
ć
wszystkie współrz
ę
dne
wszystkich sił). Niezb
ę
dna do tego celu staje si
ę
znajomo
ść
funkcji trygonometrycznych i warto
ś
ci
tych funkcji dla podstawowych (najcz
ęś
ciej wyst
ę
puj
ą
cych w zadaniach) k
ą
tów ostrych.
Funkcje trygonometryczne k
ą
ta ostrego to ilorazy par boków w trójk
ą
cie prostok
ą
tnym. Mo
Ŝ
na
skutecznie nauczy
ć
si
ę
rozró
Ŝ
niania definicji poszczególnych funkcji trygonometrycznych, bez
uczenia si
ę
ich na pami
ęć
, a jedynie zapami
ę
tuj
ą
c trzy reguły dotycz
ą
ce tych ilorazów.
19
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
1. Tylko w definicji funkcji sinus i cosinus w mianowniku pojawia si
ę
długo
ść
przeciwprostok
ą
tnej.
W definicji funkcji tangens i cotangens w mianowniku pojawia si
ę
długo
ść
drugiej
przyprostok
ą
tnej.
2. W liczniku ka
Ŝ
dej funkcji trygonometrycznej znajduje si
ę
długo
ść
jednej z przyprostok
ą
tnych.
3. W licznikach dwóch funkcji co- znajduj
ą
si
ę
długo
ś
ci przyprostok
ą
tnych poło
Ŝ
onych przy k
ą
cie
W licznikach pozostałych dwóch funkcji (sinus i tangens) znajduj
ą
si
ę
długo
ś
ci
przyprostok
ą
tnych poło
Ŝ
onych daleko od k
ą
ta.
T
ę
ostatni
ą
reguł
ą
mo
Ŝ
na zapami
ę
ta
ć
tak
Ŝ
e mnemotechnicznie: litera c znajduje si
ę
blisko
pocz
ą
tku alfabetu, dlatego funkcje cosinus i cotangens maj
ą
w licznikach długo
ś
ci
przyprostok
ą
tnych poło
Ŝ
onych przy k
ą
cie; natomiast litery s i t znajduj
ą
si
ę
daleko od pocz
ą
tku
alfabetu, dlatego funkcje sinus i tangens maj
ą
w licznikach długo
ś
ci przyprostok
ą
tnych
poło
Ŝ
onych z dala od k
ą
ta.
Stosuj
ą
c powy
Ŝ
sze reguły, mo
Ŝ
emy obliczy
ć
funkcje trygonometryczne dwóch k
ą
tów ostrych w
trójk
ą
cie prostok
ą
tnym, w którym długo
ś
ci boków oznaczono symbolami (
przeciwprostok
ą
tna w
kolorze czerwonym
, przyprostok
ą
tne w kolorze czarnym):
k
ą
t
α
k
ą
t
β
20
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
►
Przykład 3.1: Rozkład na składowe siły ci
ęŜ
ko
ś
ci klocka
znajduj
ą
cego si
ę
na równi.
Zwykle w zadaniu z równi
ą
dany jest k
ą
t nachylenia zbocza równi do
poziomu, jak pokazano na rysunku. Wówczas, chc
ą
c rozpisa
ć
sił
ę
ci
ęŜ
ko
ś
ci na składowe, musimy znale
źć
ten sam k
ą
t w trójk
ą
cie sił, w
którym
c
F
jest przeciwprostok
ą
tn
ą
, a przyprostok
ą
tnymi s
ą
dwie
składowe siły ci
ęŜ
ko
ś
ci.
K
ą
t
α
w trójk
ą
cie sił znajdujemy tak, jak pokazano na rysunku. Wektor
czerwony, to składowa siły ci
ęŜ
ko
ś
ci prostopadła do czerwonej linii
(zbocza równi), a wektor niebieski (siła ci
ęŜ
ko
ś
ci) to wektor prostopadły do niebieskiej linii
(podstawy równi). Poniewa
Ŝ
k
ą
t
α
znajduje si
ę
pomi
ę
dzy czerwon
ą
a niebiesk
ą
lini
ą
na równi, to
ten sam k
ą
t
α
znajduje si
ę
pomi
ę
dzy czerwonym a niebieskim wektorem w trójk
ą
cie sił.
Składowa oznaczona kolorem czerwonym ma długo
ść
α
=
⊥
cos
mg
F
, a składowa oznaczona
kolorem czarnym – ma długo
ść
α
=
sin
mg
F
||
.
Warto
ś
ci funkcji trygonometrycznych dla podstawowych k
ą
tów nierozwartych mo
Ŝ
na
odtworzy
ć
w tabeli. Wystarczy tylko pami
ę
ta
ć
,
Ŝ
e
0
0
sin
o
=
.
Wypełniamy tabel
ę
dla funkcji sinus, zaczynaj
ą
c od k
ą
ta
o
0
, dla którego wpisujemy
2
0
o
0
sin
=
.
Dla kolejnych k
ą
tów warto
ś
ci funkcji sinus to połówki pierwiastków kolejnych liczb naturalnych:
α
o
0
o
30
o
45
o
60
o
90
sin
α
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
Podobnie zaczynaj
ą
c od k
ą
ta
o
90
wypełniamy tabel
ę
dla wiersza odpowiadaj
ą
cego funkcji
cosinus (bo
2
0
o
90
cos
=
).Kolejne warto
ś
ci połówek pierwiastków kolejnych liczb naturalnych
wpisujemy w lew
ą
stron
ę
.
Korzystaj
ą
c z zale
Ŝ
no
ś
ci:
α
α
=
α
cos
sin
tg
oraz
α
α
=
α
sin
cos
ctg
, wypełniamy cał
ą
tabel
ę
:
α
o
0
o
30
o
45
o
60
o
90
cos
α
2
4
2
3
2
2
2
1
2
0
sin
α
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
tg
α
0
3
3
1
3
-
ctg
α
-
3
1
3
3
0
Czasami pomocne staj
ą
si
ę
wzory to
Ŝ
samo
ś
ci trygonometrycznych, zwanych jedynkami
trygonometrycznymi:
•
1
cos
sin
2
2
=
α
+
α
, dla ka
Ŝ
dego k
ą
ta
α
•
α
=
α
ctg
1
tg
, dla ka
Ŝ
dego k
ą
ta
2
k
π
≠
α
, gdzie
C
k
∈
21
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
IV.
Szczególne siły.
Siła ci
ęŜ
ko
ś
ci, siła grawitacji oraz ci
ęŜ
ar
Siły ci
ęŜ
ko
ś
ci i grawitacji oraz ci
ęŜ
ar maj
ą
takie same kierunki, zwroty i warto
ś
ci jedynie w
szczególnych przypadkach. Ogólnie nale
Ŝ
y przyj
ąć
,
Ŝ
e nie oznaczaj
ą
tego samego.
Siła grawitacji
)
F
(
g
– jest sił
ą
wyst
ę
puj
ą
c
ą
w prawie powszechnego ci
ąŜ
enia:
2
g
r
m
M
G
F
⋅
=
.
Siła ci
ęŜ
ko
ś
ci
)
F
(
c
jest sum
ą
siły grawitacji i siły od
ś
rodkowej (bezwładno
ś
ci) wynikaj
ą
cej z ruchu
Ziemi:
odś
g
c
F
F
F
+
=
; siła ci
ęŜ
ko
ś
ci równa
g
m
F
c
⋅
=
, gdzie
|
g
|
zale
Ŝ
y od tego, w którym miejscu
na kuli ziemskiej si
ę
znajdujemy.
Ci
ęŜ
ar ciała
)
Q
(
jest wskazaniem wagi spr
ęŜ
ynowej, je
Ŝ
eli ciało znajduje si
ę
na podło
Ŝ
u lub
wskazaniem siłomierza, je
Ŝ
eli ciało jest na nim zawieszone. Dla ciała znajduj
ą
cego si
ę
na
podło
Ŝ
u, ci
ęŜ
ar jest zatem zawsze równy sile nacisku ciała na podło
Ŝ
e (a warto
ść
ci
ęŜ
aru jest
równa warto
ś
ci siły spr
ęŜ
ysto
ś
ci podło
Ŝ
a):
N
Q
=
oraz
R
N
−
=
, z czego wynika,
Ŝ
e
|
R
|
|
N
|
|
Q
|
=
=
.
Nazwy tych trzech sił s
ą
cz
ę
sto (nieprawidłowo) stosowane wymiennie, wi
ę
c za ka
Ŝ
dym razem
nale
Ŝ
y zada
ć
pytanie, o któr
ą
sił
ę
tak naprawd
ę
chodzi w danym zagadnieniu.
Siła nacisku
Siła nacisku ciała znajduj
ą
cego si
ę
na podło
Ŝ
u jest sił
ą
przyło
Ŝ
on
ą
do podło
Ŝ
a, a nie do ciała; z
tego wzgl
ę
du nie pojawia si
ę
w równaniach ruchu dla ciał.
Siła nacisku jest skierowana prostopadle do podło
Ŝ
a i zwrócona w stron
ę
podło
Ŝ
a, a jej warto
ść
mo
Ŝ
na obliczy
ć
z równo
ś
ci:
|
R
|
|
N
|
=
, gdzie
R
jest sił
ą
spr
ęŜ
ysto
ś
ci podło
Ŝ
a, przyło
Ŝ
on
ą
do ciała.
Siły: nacisku ciała na podło
Ŝ
e i spr
ęŜ
ysto
ś
ci podło
Ŝ
a s
ą
siłami akcji-reakcji, czyli siłami
wzajemnego oddziaływania, wynikaj
ą
cego z III zasady dynamiki Newtona.
Siła tarcia
Tarcie jest sił
ą
wyst
ę
puj
ą
c
ą
pomi
ę
dzy dwoma stykaj
ą
cymi si
ę
ciałami, b
ę
d
ą
c
ą
skutkiem
oddziaływania mi
ę
dzy cz
ą
steczkami dwóch materiałów, z których te ciała s
ą
wykonane.
Tarcie jest sił
ą
równoległ
ą
do granicz
ą
cych ze sob
ą
powierzchni obu ciał.
W przybli
Ŝ
eniu mo
Ŝ
emy traktowa
ć
tarcie jako sił
ę
o warto
ś
ci niezale
Ŝ
nej od pola powierzchni
tr
ą
cych ciał.
Siły tarcia zawsze wyst
ę
puj
ą
parami jako siły akcji i reakcji: je
Ŝ
eli np. podło
Ŝ
e działa sił
ą
tarcia na
ciało na nim si
ę
znajduj
ą
ce, to tak
Ŝ
e ciało działa na podło
Ŝ
e sił
ą
tarcia o takiej samej warto
ś
ci i
kierunku, ale przeciwnym zwrocie.
W zadaniach jednak bardzo rzadko korzystamy z tej własno
ś
ci, poniewa
Ŝ
bardzo rzadko pojawiaj
ą
si
ę
zagadnienia, w których nale
Ŝ
y rozwa
Ŝ
y
ć
jednocze
ś
nie ruch obu tr
ą
cych o siebie ciał.
Dlatego w dalszej cz
ęś
ci b
ę
dziemy mówi
ć
wył
ą
cznie o tarciu, jako sile przyło
Ŝ
onej do ciała
przyci
ś
ni
ę
tego do jakiej
ś
powierzchni.
22
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Rozró
Ŝ
niamy dwa rodzaje tarcie: tarcie statyczne i tarcie kinetyczne.
Tarcie statyczne istnieje mi
ę
dzy ciałem a powierzchni
ą
, z któr
ą
si
ę
ono styka (ciało spoczywa na
tym podło
Ŝ
u lub jest przyci
ś
ni
ę
te do powierzchni), ale tylko wtedy, gdy do ciała zostanie
przyło
Ŝ
ona siła, która mogłaby je wprawi
ć
w ruch (gdyby tarcia statycznego nie było). Mo
Ŝ
na
powiedzie
ć
,
Ŝ
e tarcie statyczne pojawia si
ę
jako odpowied
ź
na przyło
Ŝ
on
ą
sił
ę
zewn
ę
trzn
ą
, która
nie jest prostopadła do podło
Ŝ
a.
Tarcia statycznego prawie nigdy nie mo
Ŝ
na obliczy
ć
ze wzoru, bowiem jego warto
ść
za ka
Ŝ
dym
razem dostosowuje si
ę
do warto
ś
ci składowej siły zewn
ę
trznej równoległej do powierzchni styku.
Istnieje jednak pewna warto
ść
graniczna tego tarcia – tzw. maksymalne tarcie statyczne. Je
ś
li
warto
ść
składowej siły zewn
ę
trznej równoległej do powierzchni tr
ą
cych ciał przekroczy
maksymaln
ą
warto
ść
siły tarcia statycznego, ciało zostanie wprawione w ruch.
Maksymaln
ą
warto
ść
siły tarcia statycznego obliczamy ze wzoru:
N
T
s
max
s
µ
=
, gdzie
s
µ
jest
współczynnikiem tarcia statycznego, charakterystycznym dla pary materiałów, z których wykonane
s
ą
tr
ą
ce o siebie ciała;
N
- jest warto
ś
ci
ą
siły nacisku ciała na powierzchni
ę
, z któr
ą
si
ę
styka.
Z praktycznych wzgl
ę
dów wzór ten jest jednak bezu
Ŝ
yteczny, poniewa
Ŝ
w równaniach ruchu ciała
pró
Ŝ
no by szuka
ć
warto
ś
ci siły nacisku (przyło
Ŝ
onej do podło
Ŝ
a). Dlatego bardziej praktyczny jest
wzór:
R
T
s
max
s
µ
=
, gdzie
R
jest warto
ś
ci
ą
siły reakcji (spr
ęŜ
ysto
ś
ci) podło
Ŝ
a (powierzchni, do
której ciało jest przyciskane).
Tarcie kinetyczne istnieje mi
ę
dzy ciałem a powierzchni
ą
, z któr
ą
si
ę
ono styka wtedy, gdy ciało
porusza si
ę
wzgl
ę
dem tej powierzchni.
Tarcie kinetyczne mo
Ŝ
na zawsze obliczy
ć
ze wzoru:
N
T
k
k
µ
=
, gdzie
k
µ
jest współczynnikiem
tarcia kinetycznego, charakterystycznym dla pary materiałów, z których wykonane s
ą
tr
ą
ce o
siebie ciała;
N
- jest warto
ś
ci
ą
siły nacisku ciała na powierzchni
ę
, z któr
ą
si
ę
styka.
Jednak z powodów praktycznych wyja
ś
nionych powy
Ŝ
ej dla tarcia statycznego, warto
ść
tarcia
kinetycznego obliczamy ze wzoru:
R
T
k
k
µ
=
, gdzie
R
jest warto
ś
ci
ą
siły reakcji (spr
ęŜ
ysto
ś
ci)
podło
Ŝ
a (powierzchni, do której ciało jest przyciskane).
Dla małych szybko
ś
ci ciał warto
ść
współczynnika tarcia kinetycznego ( a tym samym warto
ść
samego tarcia) jest niezale
Ŝ
na od szybko
ś
ci, z jak
ą
ciało porusza si
ę
wzgl
ę
dem powierzchni
tr
ą
cej.
Naci
ą
g nici
Siła naci
ą
gu nici niespr
ęŜ
ystej to siła, z jak
ą
ni
ć
jest napinana. Siła ta co do warto
ś
ci jest równa
sile spr
ęŜ
ysto
ś
ci, z jak
ą
ni
ć
działa na przyczepione do niej ciało.
Naci
ą
g nici jest jednakowy wzdłu
Ŝ
całej nici. Jest on liczbowo równy sile, któr
ą
wskazałby
siłomierz, gdyby
ś
my ni
ć
rozci
ę
li i wstawili go w miejscu rozci
ę
cia.
Je
Ŝ
eli rozpatrujemy układ ciał poł
ą
czonych niewa
Ŝ
k
ą
i nierozci
ą
gliw
ą
nici
ą
, to siła spr
ęŜ
ysto
ś
ci nici
jest jedn
ą
z sił składowych siły wypadkowej działaj
ą
cej na pojedyncze ciało, czyli wchodzi do II
zasady dynamiki Newtona dla pojedynczego ciała. Nie uwzgl
ę
dnia si
ę
jej jednak, je
ś
li
rozpatrujemy układ jako cało
ść
i wypisujemy II zasad
ę
dynamiki Newtona dla całego układu,
poniewa
Ŝ
wówczas wyst
ę
puje ona jako siła wewn
ę
trzna w tym układzie.
23
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
V.
Kinematyka i dynamika ruchu po okr
ę
gu.
Ruch po okr
ę
gu jest ruchem post
ę
powym, krzywoliniowym.
W ruchu tym oprócz pr
ę
dko
ś
ci chwilowej
v
, przemieszczenia
r
∆
, drogi
s
i szybko
ś
ci
u
,
definiuje si
ę
tak
Ŝ
e wielko
ś
ci zwi
ą
zane z periodyczno
ś
ci
ą
tego ruchu:
•
okres ruchu
T
jest to czas, w jakim ciało przeb
ę
dzie drog
ę
równ
ą
długo
ś
ci całego okr
ę
gu
i wróci do punktu startu
•
cz
ę
stotliwo
ść
f
jest to liczba
n
pełnych obiegów okr
ę
gu wykonanych w pewnym
czasie
t
:
t
n
f
=
; cz
ę
stotliwo
ść
wyra
Ŝ
a si
ę
w hercach:
s
1
1
Hz
1
=
; cz
ę
stotliwo
ść
mo
Ŝ
na
wyrazi
ć
za pomoc
ą
okresu:
T
1
f
=
Mo
Ŝ
na tak
Ŝ
e zdefiniowa
ć
wielko
ś
ci k
ą
towe:
•
k
ą
t zakre
ś
lony
α
∆
przez ciało, wyra
Ŝ
ony w mierze łukowej
(w radianach)
•
szybko
ść
k
ą
tow
ą
,
ω
jako
t
∆
α
∆
=
ω
, gdzie
α
∆
jest k
ą
tem
wyra
Ŝ
onym w mierze łukowej (w radianach), zakre
ś
lonym
przez ciało w czasie
t
∆
•
przyspieszenie k
ą
towe
ε
, wyra
Ŝ
one jako
t
∆
ω
∆
=
ε
W ruchu tym ciało uzyskuje przyspieszenie
a
o dwóch prostopadłych do siebie składowych:
•
przyspieszenie do
ś
rodkowe:
d
a
zwrócone stale wzdłu
Ŝ
promienia do
ś
rodka okr
ę
gu;
przyspieszenie to ma warto
ść
r
v
a
2
d
=
, gdzie
v
jest warto
ś
ci
ą
chwilowej pr
ę
dko
ś
ci ciała, a
r
- promieniem okr
ę
gu; przyspieszenie
do
ś
rodkowe wyst
ę
puje zawsze wtedy, gdy ruch jest krzywoliniowy,
nawet, je
ś
li jest jednostajny (czyli warto
ść
pr
ę
dko
ś
ci ciała pozostaje
stała)
•
przyspieszenie styczne:
s
a
, stale styczne do okr
ę
gu;
przyspieszenie to ma warto
ść
t
v
a
s
∆
∆
=
, gdzie v jest warto
ś
ci
ą
pr
ę
dko
ś
ci ciała; przyspieszenie styczne wyst
ę
puje tylko wtedy, gdy
szybko
ść
ciała w ruchu po okr
ę
gu zmienia si
ę
(czyli zmienia si
ę
warto
ść
pr
ę
dko
ś
ci ciała).
Pomi
ę
dzy wielko
ś
ciami k
ą
towymi i liniowymi wyst
ę
puj
ą
zwi
ą
zki:
wielko
ść
liniowa
wielko
ść
k
ą
towa zwi
ą
zek
s
α
∆
r
s
⋅
α
∆
=
v
ω
r
v
⋅
ω
=
s
a
ε
r
a
s
⋅
ε
=
24
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Siła do
ś
rodkowa nie jest jedn
ą
z sił działaj
ą
cych na ciało. Siła do
ś
rodkowa jest prostopadł
ą
do
toru składow
ą
siły wypadkowej działaj
ą
cej na ciało poruszaj
ą
ce si
ę
po okr
ę
gu. Siła do
ś
rodkowa
jest zatem równoległa do linii ł
ą
cz
ą
cej
ś
rodek okr
ę
gu i punkt, w którym znajduje si
ę
ciało i
zawsze jest zwrócona do
ś
rodka okr
ę
gu, a jej warto
ść
wyra
Ŝ
a si
ę
wzorem:
r
v
m
a
m
F
2
d
d
=
⋅
=
.
W ruchu jednostajnym po okr
ę
gu siła do
ś
rodkowa jest dokładnie równa sile wypadkowej
działaj
ą
cej na ciało.