Zbiory ograniczone i kresy zbiorów
Def.
Liczb¦ m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb¦ M
ograniczeniem górnym zbioru X ⊂ R gdy
(
i)
^
x∈X
x ≥ m;
(
ii)
^
x∈X
x ≤ M.
Mówimy, »e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy ma
ograniczenie dolne (odp. górne).
Zbiór nazywamy ograniczonym gdy jest ograniczony z doªu i z góry,
tzn.
_
m,M∈R
^
x∈X
m ≤ x ≤ M.
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów
Def.
Liczb¦ m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb¦ M
ograniczeniem górnym zbioru X ⊂ R gdy
(
i)
^
x∈X
x ≥ m;
(
ii)
^
x∈X
x ≤ M.
Mówimy, »e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy ma
ograniczenie dolne (odp. górne).
Zbiór nazywamy ograniczonym gdy jest ograniczony z doªu i z góry,
tzn.
_
m,M∈R
^
x∈X
m ≤ x ≤ M.
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów
Def.
Liczb¦ m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb¦ M
ograniczeniem górnym zbioru X ⊂ R gdy
(
i)
^
x∈X
x ≥ m;
(
ii)
^
x∈X
x ≤ M.
Mówimy, »e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy ma
ograniczenie dolne (odp. górne).
Zbiór nazywamy ograniczonym gdy jest ograniczony z doªu i z góry,
tzn.
_
m,M∈R
^
x∈X
m ≤ x ≤ M.
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów
Def.
Liczb¦ m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb¦ M
ograniczeniem górnym zbioru X ⊂ R gdy
(
i)
^
x∈X
x ≥ m;
(
ii)
^
x∈X
x ≤ M.
Mówimy, »e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy ma
ograniczenie dolne (odp. górne).
Zbiór nazywamy ograniczonym gdy jest ograniczony z doªu i z góry,
tzn.
_
m,M∈R
^
x∈X
m ≤ x ≤ M.
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów
Def.
Liczb¦ m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb¦ M
ograniczeniem górnym zbioru X ⊂ R gdy
(
i)
^
x∈X
x ≥ m;
(
ii)
^
x∈X
x ≤ M.
Mówimy, »e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy ma
ograniczenie dolne (odp. górne).
Zbiór nazywamy ograniczonym gdy jest ograniczony z doªu i z góry,
tzn.
_
m,M∈R
^
x∈X
m ≤ x ≤ M.
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów
Def.
Liczb¦ m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb¦ M
ograniczeniem górnym zbioru X ⊂ R gdy
(
i)
^
x∈X
x ≥ m;
(
ii)
^
x∈X
x ≤ M.
Mówimy, »e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy ma
ograniczenie dolne (odp. górne).
Zbiór nazywamy ograniczonym gdy jest ograniczony z doªu i z góry,
tzn.
_
m,M∈R
^
x∈X
m ≤ x ≤ M.
Def.
Liczb¦ a nazywamy kresem dolnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego
najwi¦kszym ograniczeniem dolnym, tzn.
^
x∈X
x ≥ a i
^
ε>
0
_
x
0
∈
X
x
0
<
a + ε.
Liczb¦ b nazywamy kresem górnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego
najmniejszym ograniczeniem górnym, tzn.
^
x∈X
x ≤ b i
^
ε>
0
_
x
0
∈
X
x
0
>
b − ε.
Kres dolny zbioru X oznaczamy inf X a górny sup X piszemy
równie» inf X = −∞ (sup X = ∞), gdy X nie jest ograniczony z
doªu (odp. z góry).
Twierdzenie (Aksjomat ci¡gªo±ci (zbioru liczb rzeczywistych))
Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny.
(Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z doªu ma kres dolny.)
Def.
Liczb¦ a nazywamy kresem dolnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego
najwi¦kszym ograniczeniem dolnym, tzn.
^
x∈X
x ≥ a i
^
ε>
0
_
x
0
∈
X
x
0
<
a + ε.
Liczb¦ b nazywamy kresem górnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego
najmniejszym ograniczeniem górnym, tzn.
^
x∈X
x ≤ b i
^
ε>
0
_
x
0
∈
X
x
0
>
b − ε.
Kres dolny zbioru X oznaczamy inf X a górny sup X piszemy
równie» inf X = −∞ (sup X = ∞), gdy X nie jest ograniczony z
doªu (odp. z góry).
Twierdzenie (Aksjomat ci¡gªo±ci (zbioru liczb rzeczywistych))
Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny.
(Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z doªu ma kres dolny.)
Def.
Liczb¦ a nazywamy kresem dolnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego
najwi¦kszym ograniczeniem dolnym, tzn.
^
x∈X
x ≥ a i
^
ε>
0
_
x
0
∈
X
x
0
<
a + ε.
Liczb¦ b nazywamy kresem górnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego
najmniejszym ograniczeniem górnym, tzn.
^
x∈X
x ≤ b i
^
ε>
0
_
x
0
∈
X
x
0
>
b − ε.
Kres dolny zbioru X oznaczamy inf X a górny sup X piszemy
równie» inf X = −∞ (sup X = ∞), gdy X nie jest ograniczony z
doªu (odp. z góry).
Twierdzenie (Aksjomat ci¡gªo±ci (zbioru liczb rzeczywistych))
Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny.
(Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z doªu ma kres dolny.)
Def.
Liczb¦ a nazywamy kresem dolnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego
najwi¦kszym ograniczeniem dolnym, tzn.
^
x∈X
x ≥ a i
^
ε>
0
_
x
0
∈
X
x
0
<
a + ε.
Liczb¦ b nazywamy kresem górnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego
najmniejszym ograniczeniem górnym, tzn.
^
x∈X
x ≤ b i
^
ε>
0
_
x
0
∈
X
x
0
>
b − ε.
Kres dolny zbioru X oznaczamy inf X a górny sup X piszemy
równie» inf X = −∞ (sup X = ∞), gdy X nie jest ograniczony z
doªu (odp. z góry).
Twierdzenie (Aksjomat ci¡gªo±ci (zbioru liczb rzeczywistych))
Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny.
(Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z doªu ma kres dolny.)
Def.
Liczb¦ a nazywamy kresem dolnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego
najwi¦kszym ograniczeniem dolnym, tzn.
^
x∈X
x ≥ a i
^
ε>
0
_
x
0
∈
X
x
0
<
a + ε.
Liczb¦ b nazywamy kresem górnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego
najmniejszym ograniczeniem górnym, tzn.
^
x∈X
x ≤ b i
^
ε>
0
_
x
0
∈
X
x
0
>
b − ε.
Kres dolny zbioru X oznaczamy inf X a górny sup X piszemy
równie» inf X = −∞ (sup X = ∞), gdy X nie jest ograniczony z
doªu (odp. z góry).
Twierdzenie (Aksjomat ci¡gªo±ci (zbioru liczb rzeczywistych))
Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny.
(Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z doªu ma kres dolny.)
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.
Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.).
Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
,
−
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
,
−
1
6
,
1
8
,
−
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
,
−
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie,
jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie,
jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1,
2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2,
3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1,
2, 3,
5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2,
3, 5,
8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3,
5, 8,
13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5,
8, 13,
21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych
to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych
to ci¡g okre±lony
opisowo,
2,
3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3,
5, 7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2,
3, 5,
7, 11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3,
5, 7,
11, 13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5,
7, 11,
13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7,
11, 13,
17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11,
13, 17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, ... .
Ci¡gi liczbowe
Def.
Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych
w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby
naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a
n
(b
n
itp.). Ci¡g oznaczamy (a
n
)
a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci
funkcji) {a
n
}
.
Przykªady:
1.
a
n
=
(−
1)
n
2n
to ci¡g okre±lony wzorem,
−
1
2
,
1
4
, −
1
6
,
1
8
, −
1
10
,...
2.
b
1
=
1, b
2
=
1, b
n+2
=
b
n+1
+
b
n
to ci¡g okre±lony
rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3.
(
c
n
)
- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony
opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
I
Mówimy, »e ci¡g (a
n
)
jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy
zbiór {a
n
}
jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z
góry) [z doªu].
I
Ci¡g (a
n
)
nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy
odpowiednio:
(i)
^
n∈N
a
n
<
a
n+1
;
(ii)
^
n∈N
a
n
≤
a
n+1
.
Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi
malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a
nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o
ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.
I
Monotoniczno±¢ ci¡gu (a
n
)
okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy
kolejnych wyrazów a
n+1
−
a
n
. Je±li ci¡g (b
n
)
ma wyrazy
dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz
b
n+1
b
n
z 1.
I
Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:
a
n
jest ograniczony i nie jest monotoniczny,
ci¡g Fibbonaciego b
n
jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i
rosn¡cy od drugiego miejsca,
ci¡g c
n
jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.
I
Mówimy, »e ci¡g (a
n
)
jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy
zbiór {a
n
}
jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z
góry) [z doªu].
I
Ci¡g (a
n
)
nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy
odpowiednio:
(i)
^
n∈N
a
n
<
a
n+1
;
(ii)
^
n∈N
a
n
≤
a
n+1
.
Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi
malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a
nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o
ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.
I
Monotoniczno±¢ ci¡gu (a
n
)
okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy
kolejnych wyrazów a
n+1
−
a
n
. Je±li ci¡g (b
n
)
ma wyrazy
dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz
b
n+1
b
n
z 1.
I
Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:
a
n
jest ograniczony i nie jest monotoniczny,
ci¡g Fibbonaciego b
n
jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i
rosn¡cy od drugiego miejsca,
ci¡g c
n
jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.
I
Mówimy, »e ci¡g (a
n
)
jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy
zbiór {a
n
}
jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z
góry) [z doªu].
I
Ci¡g (a
n
)
nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy
odpowiednio:
(i)
^
n∈N
a
n
<
a
n+1
;
(ii)
^
n∈N
a
n
≤
a
n+1
.
Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy.
Ci¡gi
malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a
nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o
ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.
I
Monotoniczno±¢ ci¡gu (a
n
)
okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy
kolejnych wyrazów a
n+1
−
a
n
. Je±li ci¡g (b
n
)
ma wyrazy
dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz
b
n+1
b
n
z 1.
I
Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:
a
n
jest ograniczony i nie jest monotoniczny,
ci¡g Fibbonaciego b
n
jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i
rosn¡cy od drugiego miejsca,
ci¡g c
n
jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.
I
Mówimy, »e ci¡g (a
n
)
jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy
zbiór {a
n
}
jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z
góry) [z doªu].
I
Ci¡g (a
n
)
nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy
odpowiednio:
(i)
^
n∈N
a
n
<
a
n+1
;
(ii)
^
n∈N
a
n
≤
a
n+1
.
Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi
malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a
nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi.
Mówimy te» o
ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.
I
Monotoniczno±¢ ci¡gu (a
n
)
okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy
kolejnych wyrazów a
n+1
−
a
n
. Je±li ci¡g (b
n
)
ma wyrazy
dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz
b
n+1
b
n
z 1.
I
Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:
a
n
jest ograniczony i nie jest monotoniczny,
ci¡g Fibbonaciego b
n
jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i
rosn¡cy od drugiego miejsca,
ci¡g c
n
jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.
I
Mówimy, »e ci¡g (a
n
)
jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy
zbiór {a
n
}
jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z
góry) [z doªu].
I
Ci¡g (a
n
)
nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy
odpowiednio:
(i)
^
n∈N
a
n
<
a
n+1
;
(ii)
^
n∈N
a
n
≤
a
n+1
.
Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy.
Ci¡gi
malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a
nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o
ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.
I
Monotoniczno±¢ ci¡gu (a
n
)
okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy
kolejnych wyrazów a
n+1
−
a
n
. Je±li ci¡g (b
n
)
ma wyrazy
dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz
b
n+1
b
n
z 1.
I
Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:
a
n
jest ograniczony i nie jest monotoniczny,
ci¡g Fibbonaciego b
n
jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i
rosn¡cy od drugiego miejsca,
ci¡g c
n
jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.
I
Mówimy, »e ci¡g (a
n
)
jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy
zbiór {a
n
}
jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z
góry) [z doªu].
I
Ci¡g (a
n
)
nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy
odpowiednio:
(i)
^
n∈N
a
n
<
a
n+1
;
(ii)
^
n∈N
a
n
≤
a
n+1
.
Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi
malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a
nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi.
Mówimy te» o
ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.
I
Monotoniczno±¢ ci¡gu (a
n
)
okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy
kolejnych wyrazów a
n+1
−
a
n
. Je±li ci¡g (b
n
)
ma wyrazy
dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz
b
n+1
b
n
z 1.
I
Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:
a
n
jest ograniczony i nie jest monotoniczny,
ci¡g Fibbonaciego b
n
jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i
rosn¡cy od drugiego miejsca,
ci¡g c
n
jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.
I
Mówimy, »e ci¡g (a
n
)
jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy
zbiór {a
n
}
jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z
góry) [z doªu].
I
Ci¡g (a
n
)
nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy
odpowiednio:
(i)
^
n∈N
a
n
<
a
n+1
;
(ii)
^
n∈N
a
n
≤
a
n+1
.
Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi
malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a
nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o
ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.
I
Monotoniczno±¢ ci¡gu (a
n
)
okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy
kolejnych wyrazów a
n+1
−
a
n
. Je±li ci¡g (b
n
)
ma wyrazy
dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz
b
n+1
b
n
z 1.
I
Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:
a
n
jest ograniczony i nie jest monotoniczny,
ci¡g Fibbonaciego b
n
jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i
rosn¡cy od drugiego miejsca,
ci¡g c
n
jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.
I
Mówimy, »e ci¡g (a
n
)
jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy
zbiór {a
n
}
jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z
góry) [z doªu].
I
Ci¡g (a
n
)
nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy
odpowiednio:
(i)
^
n∈N
a
n
<
a
n+1
;
(ii)
^
n∈N
a
n
≤
a
n+1
.
Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi
malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a
nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o
ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.
I
Monotoniczno±¢ ci¡gu (a
n
)
okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy
kolejnych wyrazów a
n+1
−
a
n
. Je±li ci¡g (b
n
)
ma wyrazy
dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz
b
n+1
b
n
z 1.
I
Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:
a
n
jest ograniczony i nie jest monotoniczny,
ci¡g Fibbonaciego b
n
jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i
rosn¡cy od drugiego miejsca,
ci¡g c
n
jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.
I
Mówimy, »e ci¡g (a
n
)
jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy
zbiór {a
n
}
jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z
góry) [z doªu].
I
Ci¡g (a
n
)
nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy
odpowiednio:
(i)
^
n∈N
a
n
<
a
n+1
;
(ii)
^
n∈N
a
n
≤
a
n+1
.
Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi
malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a
nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o
ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.
I
Monotoniczno±¢ ci¡gu (a
n
)
okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy
kolejnych wyrazów a
n+1
−
a
n
. Je±li ci¡g (b
n
)
ma wyrazy
dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz
b
n+1
b
n
z 1.
I
Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:
a
n
jest ograniczony i nie jest monotoniczny,
ci¡g Fibbonaciego b
n
jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i
rosn¡cy od drugiego miejsca,
ci¡g c
n
jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.
I
Mówimy, »e ci¡g (a
n
)
jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy
zbiór {a
n
}
jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z
góry) [z doªu].
I
Ci¡g (a
n
)
nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy
odpowiednio:
(i)
^
n∈N
a
n
<
a
n+1
;
(ii)
^
n∈N
a
n
≤
a
n+1
.
Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi
malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a
nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o
ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.
I
Monotoniczno±¢ ci¡gu (a
n
)
okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy
kolejnych wyrazów a
n+1
−
a
n
. Je±li ci¡g (b
n
)
ma wyrazy
dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz
b
n+1
b
n
z 1.
I
Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:
a
n
jest ograniczony i nie jest monotoniczny,
ci¡g Fibbonaciego b
n
jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i
rosn¡cy od drugiego miejsca,
ci¡g c
n
jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.
I
Mówimy, »e ci¡g (a
n
)
jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy
zbiór {a
n
}
jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z
góry) [z doªu].
I
Ci¡g (a
n
)
nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy
odpowiednio:
(i)
^
n∈N
a
n
<
a
n+1
;
(ii)
^
n∈N
a
n
≤
a
n+1
.
Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi
malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a
nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o
ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.
I
Monotoniczno±¢ ci¡gu (a
n
)
okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy
kolejnych wyrazów a
n+1
−
a
n
. Je±li ci¡g (b
n
)
ma wyrazy
dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz
b
n+1
b
n
z 1.
I
Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:
a
n
jest ograniczony i nie jest monotoniczny,
ci¡g Fibbonaciego b
n
jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i
rosn¡cy od drugiego miejsca,
ci¡g c
n
jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.
I
Mówimy, »e ci¡g (a
n
)
jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy
zbiór {a
n
}
jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z
góry) [z doªu].
I
Ci¡g (a
n
)
nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy
odpowiednio:
(i)
^
n∈N
a
n
<
a
n+1
;
(ii)
^
n∈N
a
n
≤
a
n+1
.
Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi
malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a
nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o
ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.
I
Monotoniczno±¢ ci¡gu (a
n
)
okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy
kolejnych wyrazów a
n+1
−
a
n
. Je±li ci¡g (b
n
)
ma wyrazy
dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz
b
n+1
b
n
z 1.
I
Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:
a
n
jest ograniczony i nie jest monotoniczny,
ci¡g Fibbonaciego b
n
jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i
rosn¡cy od drugiego miejsca,
ci¡g c
n
jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.
Granica wªa±ciwa ci¡gu
Def. (granica wªa±ciwa)
Mówimy, »e ci¡g a
n
jest zbie»ny do granicy a ∈ R, co zapisujemy
lim a
n
=
a
(
lub lim
n→∞
a
n
=
a)
gdy
^
ε>
0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
|
a
n
−
a| < ε.
Przykªady:
1.
lim
(−
1)
n
2n
=
0.
2.
Ci¡g okre±lony wzorem d
n
= (−
1)
n n
n+1
nie jest zbie»ny do
»adnej granicy.
Granica wªa±ciwa ci¡gu
Def. (granica wªa±ciwa)
Mówimy, »e ci¡g a
n
jest zbie»ny do granicy a ∈ R, co zapisujemy
lim a
n
=
a
(
lub lim
n→∞
a
n
=
a)
gdy
^
ε>
0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
|
a
n
−
a| < ε.
Przykªady:
1.
lim
(−
1)
n
2n
=
0.
2.
Ci¡g okre±lony wzorem d
n
= (−
1)
n n
n+1
nie jest zbie»ny do
»adnej granicy.
Granica wªa±ciwa ci¡gu
Def. (granica wªa±ciwa)
Mówimy, »e ci¡g a
n
jest zbie»ny do granicy a ∈ R, co zapisujemy
lim a
n
=
a
(
lub lim
n→∞
a
n
=
a)
gdy
^
ε>
0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
|
a
n
−
a| < ε.
Przykªady:
1.
lim
(−
1)
n
2n
=
0.
2.
Ci¡g okre±lony wzorem d
n
= (−
1)
n n
n+1
nie jest zbie»ny do
»adnej granicy.
Granica wªa±ciwa ci¡gu
Def. (granica wªa±ciwa)
Mówimy, »e ci¡g a
n
jest zbie»ny do granicy a ∈ R, co zapisujemy
lim a
n
=
a
(
lub lim
n→∞
a
n
=
a)
gdy
^
ε>
0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
|
a
n
−
a| < ε.
Przykªady:
1.
lim
(−
1)
n
2n
=
0.
2.
Ci¡g okre±lony wzorem d
n
= (−
1)
n n
n+1
nie jest zbie»ny do
»adnej granicy.
Granica wªa±ciwa ci¡gu
Def. (granica wªa±ciwa)
Mówimy, »e ci¡g a
n
jest zbie»ny do granicy a ∈ R, co zapisujemy
lim a
n
=
a
(
lub lim
n→∞
a
n
=
a)
gdy
^
ε>
0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
|
a
n
−
a| < ε.
Przykªady:
1.
lim
(−
1)
n
2n
=
0.
2.
Ci¡g okre±lony wzorem d
n
= (−
1)
n n
n+1
nie jest zbie»ny do
»adnej granicy.
Granica wªa±ciwa ci¡gu
Def. (granica wªa±ciwa)
Mówimy, »e ci¡g a
n
jest zbie»ny do granicy a ∈ R, co zapisujemy
lim a
n
=
a
(
lub lim
n→∞
a
n
=
a)
gdy
^
ε>
0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
|
a
n
−
a| < ε.
Przykªady:
1.
lim
(−
1)
n
2n
=
0.
2.
Ci¡g okre±lony wzorem d
n
= (−
1)
n n
n+1
nie jest zbie»ny do
»adnej granicy.
Granice niewªa±ciwe
Mówimy, »e ci¡g a
n
jest zbie»ny do:
1.
∞
, co zapisujemy
lim a
n
= ∞
gdy
^
M>0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
a
n
>
M
2.
−∞
, co zapisujemy lim a
n
= −∞
gdy
^
M>0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
a
n
< −
M
Przykªady:
1.
Ci¡g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci.
2.
lim(n − n
2
) = −∞
.
3.
Ci¡g a
n
= (−
2)
n
nie jest zbie»ny do »adnej granicy.
Granice niewªa±ciwe
Mówimy, »e ci¡g a
n
jest zbie»ny do:
1.
∞
, co zapisujemy lim a
n
= ∞
gdy
^
M>0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
a
n
>
M
2.
−∞
, co zapisujemy
lim a
n
= −∞
gdy
^
M>0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
a
n
< −
M
Przykªady:
1.
Ci¡g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci.
2.
lim(n − n
2
) = −∞
.
3.
Ci¡g a
n
= (−
2)
n
nie jest zbie»ny do »adnej granicy.
Granice niewªa±ciwe
Mówimy, »e ci¡g a
n
jest zbie»ny do:
1.
∞
, co zapisujemy lim a
n
= ∞
gdy
^
M>0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
a
n
>
M
2.
−∞
, co zapisujemy lim a
n
= −∞
gdy
^
M>0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
a
n
< −
M
Przykªady:
1.
Ci¡g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci.
2.
lim(n − n
2
) = −∞
.
3.
Ci¡g a
n
= (−
2)
n
nie jest zbie»ny do »adnej granicy.
Granice niewªa±ciwe
Mówimy, »e ci¡g a
n
jest zbie»ny do:
1.
∞
, co zapisujemy lim a
n
= ∞
gdy
^
M>0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
a
n
>
M
2.
−∞
, co zapisujemy
lim a
n
= −∞
gdy
^
M>0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
a
n
< −
M
Przykªady:
1.
Ci¡g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci.
2.
lim(n − n
2
) = −∞
.
3.
Ci¡g a
n
= (−
2)
n
nie jest zbie»ny do »adnej granicy.
Granice niewªa±ciwe
Mówimy, »e ci¡g a
n
jest zbie»ny do:
1.
∞
, co zapisujemy lim a
n
= ∞
gdy
^
M>0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
a
n
>
M
2.
−∞
, co zapisujemy lim a
n
= −∞
gdy
^
M>0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
a
n
< −
M
Przykªady:
1.
Ci¡g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci.
2.
lim(n − n
2
) = −∞
.
3.
Ci¡g a
n
= (−
2)
n
nie jest zbie»ny do »adnej granicy.
Granice niewªa±ciwe
Mówimy, »e ci¡g a
n
jest zbie»ny do:
1.
∞
, co zapisujemy lim a
n
= ∞
gdy
^
M>0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
a
n
>
M
2.
−∞
, co zapisujemy lim a
n
= −∞
gdy
^
M>0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
a
n
< −
M
Przykªady:
1.
Ci¡g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci.
2.
lim(n − n
2
) = −∞
.
3.
Ci¡g a
n
= (−
2)
n
nie jest zbie»ny do »adnej granicy.
Granice niewªa±ciwe
Mówimy, »e ci¡g a
n
jest zbie»ny do:
1.
∞
, co zapisujemy lim a
n
= ∞
gdy
^
M>0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
a
n
>
M
2.
−∞
, co zapisujemy lim a
n
= −∞
gdy
^
M>0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
a
n
< −
M
Przykªady:
1.
Ci¡g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci.
2.
lim(n − n
2
) = −∞
.
3.
Ci¡g a
n
= (−
2)
n
nie jest zbie»ny do »adnej granicy.
Granice niewªa±ciwe
Mówimy, »e ci¡g a
n
jest zbie»ny do:
1.
∞
, co zapisujemy lim a
n
= ∞
gdy
^
M>0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
a
n
>
M
2.
−∞
, co zapisujemy lim a
n
= −∞
gdy
^
M>0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
a
n
< −
M
Przykªady:
1.
Ci¡g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci.
2.
lim(n − n
2
) = −∞
.
3.
Ci¡g a
n
= (−
2)
n
nie jest zbie»ny do »adnej granicy.
Granice niewªa±ciwe
Mówimy, »e ci¡g a
n
jest zbie»ny do:
1.
∞
, co zapisujemy lim a
n
= ∞
gdy
^
M>0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
a
n
>
M
2.
−∞
, co zapisujemy lim a
n
= −∞
gdy
^
M>0
_
n
0
∈N
^
n>n
0
a
n
< −
M
Przykªady:
1.
Ci¡g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci.
2.
lim(n − n
2
) = −∞
.
3.
Ci¡g a
n
= (−
2)
n
nie jest zbie»ny do »adnej granicy.
Arytmetyka granic
Twierdzenie
Je»eli ci¡gi (a
n
)
i (b
n
)
s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:
1.
lim(a
n
±
b
n
) =
lim a
n
±
lim b
n
),
2.
lim(c · a
n
) =
c · lim a
n
, gdzie c ∈ R,
3.
lim(a
n
·
b
n
) =
lim a
n
·
lim b
n
,
4.
lim
a
n
b
n
=
lim a
n
lim b
n
, o ile lim b
n
6=
0,
5.
lim(a
n
)
k
= (
lim a
n
)
k
, gdzie k ∈ N,
6.
lim
k
√
a
n
=
k
√
lim a
n
.
Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a
n
=
3n
3
−
n
2
n
3
+
5n
2
+
n
; b
n
= (
p
n
2
+
10 − n); c
n
=
r
4
n
+
2
n
2
2n
+
3
n
.
Arytmetyka granic
Twierdzenie
Je»eli ci¡gi (a
n
)
i (b
n
)
s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:
1.
lim(a
n
±
b
n
) =
lim a
n
±
lim b
n
),
2.
lim(c · a
n
) =
c · lim a
n
, gdzie c ∈ R,
3.
lim(a
n
·
b
n
) =
lim a
n
·
lim b
n
,
4.
lim
a
n
b
n
=
lim a
n
lim b
n
, o ile lim b
n
6=
0,
5.
lim(a
n
)
k
= (
lim a
n
)
k
, gdzie k ∈ N,
6.
lim
k
√
a
n
=
k
√
lim a
n
.
Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a
n
=
3n
3
−
n
2
n
3
+
5n
2
+
n
; b
n
= (
p
n
2
+
10 − n); c
n
=
r
4
n
+
2
n
2
2n
+
3
n
.
Arytmetyka granic
Twierdzenie
Je»eli ci¡gi (a
n
)
i (b
n
)
s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:
1.
lim(a
n
±
b
n
) =
lim a
n
±
lim b
n
),
2.
lim(c · a
n
) =
c · lim a
n
, gdzie c ∈ R,
3.
lim(a
n
·
b
n
) =
lim a
n
·
lim b
n
,
4.
lim
a
n
b
n
=
lim a
n
lim b
n
, o ile lim b
n
6=
0,
5.
lim(a
n
)
k
= (
lim a
n
)
k
, gdzie k ∈ N,
6.
lim
k
√
a
n
=
k
√
lim a
n
.
Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a
n
=
3n
3
−
n
2
n
3
+
5n
2
+
n
; b
n
= (
p
n
2
+
10 − n); c
n
=
r
4
n
+
2
n
2
2n
+
3
n
.
Arytmetyka granic
Twierdzenie
Je»eli ci¡gi (a
n
)
i (b
n
)
s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:
1.
lim(a
n
±
b
n
) =
lim a
n
±
lim b
n
),
2.
lim(c · a
n
) =
c · lim a
n
, gdzie c ∈ R,
3.
lim(a
n
·
b
n
) =
lim a
n
·
lim b
n
,
4.
lim
a
n
b
n
=
lim a
n
lim b
n
, o ile lim b
n
6=
0,
5.
lim(a
n
)
k
= (
lim a
n
)
k
, gdzie k ∈ N,
6.
lim
k
√
a
n
=
k
√
lim a
n
.
Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a
n
=
3n
3
−
n
2
n
3
+
5n
2
+
n
; b
n
= (
p
n
2
+
10 − n); c
n
=
r
4
n
+
2
n
2
2n
+
3
n
.
Arytmetyka granic
Twierdzenie
Je»eli ci¡gi (a
n
)
i (b
n
)
s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:
1.
lim(a
n
±
b
n
) =
lim a
n
±
lim b
n
),
2.
lim(c · a
n
) =
c · lim a
n
, gdzie c ∈ R,
3.
lim(a
n
·
b
n
) =
lim a
n
·
lim b
n
,
4.
lim
a
n
b
n
=
lim a
n
lim b
n
, o ile lim b
n
6=
0,
5.
lim(a
n
)
k
= (
lim a
n
)
k
, gdzie k ∈ N,
6.
lim
k
√
a
n
=
k
√
lim a
n
.
Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a
n
=
3n
3
−
n
2
n
3
+
5n
2
+
n
; b
n
= (
p
n
2
+
10 − n); c
n
=
r
4
n
+
2
n
2
2n
+
3
n
.
Arytmetyka granic
Twierdzenie
Je»eli ci¡gi (a
n
)
i (b
n
)
s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:
1.
lim(a
n
±
b
n
) =
lim a
n
±
lim b
n
),
2.
lim(c · a
n
) =
c · lim a
n
, gdzie c ∈ R,
3.
lim(a
n
·
b
n
) =
lim a
n
·
lim b
n
,
4.
lim
a
n
b
n
=
lim a
n
lim b
n
, o ile lim b
n
6=
0,
5.
lim(a
n
)
k
= (
lim a
n
)
k
, gdzie k ∈ N,
6.
lim
k
√
a
n
=
k
√
lim a
n
.
Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a
n
=
3n
3
−
n
2
n
3
+
5n
2
+
n
; b
n
= (
p
n
2
+
10 − n); c
n
=
r
4
n
+
2
n
2
2n
+
3
n
.
Arytmetyka granic
Twierdzenie
Je»eli ci¡gi (a
n
)
i (b
n
)
s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:
1.
lim(a
n
±
b
n
) =
lim a
n
±
lim b
n
),
2.
lim(c · a
n
) =
c · lim a
n
, gdzie c ∈ R,
3.
lim(a
n
·
b
n
) =
lim a
n
·
lim b
n
,
4.
lim
a
n
b
n
=
lim a
n
lim b
n
, o ile lim b
n
6=
0,
5.
lim(a
n
)
k
= (
lim a
n
)
k
, gdzie k ∈ N,
6.
lim
k
√
a
n
=
k
√
lim a
n
.
Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a
n
=
3n
3
−
n
2
n
3
+
5n
2
+
n
;
b
n
= (
p
n
2
+
10 − n); c
n
=
r
4
n
+
2
n
2
2n
+
3
n
.
Arytmetyka granic
Twierdzenie
Je»eli ci¡gi (a
n
)
i (b
n
)
s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:
1.
lim(a
n
±
b
n
) =
lim a
n
±
lim b
n
),
2.
lim(c · a
n
) =
c · lim a
n
, gdzie c ∈ R,
3.
lim(a
n
·
b
n
) =
lim a
n
·
lim b
n
,
4.
lim
a
n
b
n
=
lim a
n
lim b
n
, o ile lim b
n
6=
0,
5.
lim(a
n
)
k
= (
lim a
n
)
k
, gdzie k ∈ N,
6.
lim
k
√
a
n
=
k
√
lim a
n
.
Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a
n
=
3n
3
−
n
2
n
3
+
5n
2
+
n
; b
n
= (
p
n
2
+
10 − n);
c
n
=
r
4
n
+
2
n
2
2n
+
3
n
.
Arytmetyka granic
Twierdzenie
Je»eli ci¡gi (a
n
)
i (b
n
)
s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:
1.
lim(a
n
±
b
n
) =
lim a
n
±
lim b
n
),
2.
lim(c · a
n
) =
c · lim a
n
, gdzie c ∈ R,
3.
lim(a
n
·
b
n
) =
lim a
n
·
lim b
n
,
4.
lim
a
n
b
n
=
lim a
n
lim b
n
, o ile lim b
n
6=
0,
5.
lim(a
n
)
k
= (
lim a
n
)
k
, gdzie k ∈ N,
6.
lim
k
√
a
n
=
k
√
lim a
n
.
Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a
n
=
3n
3
−
n
2
n
3
+
5n
2
+
n
;
b
n
= (
p
n
2
+
10 − n); c
n
=
r
4
n
+
2
n
2
2n
+
3
n
.
Arytmetyka granic
Twierdzenie
Je»eli ci¡gi (a
n
)
i (b
n
)
s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:
1.
lim(a
n
±
b
n
) =
lim a
n
±
lim b
n
),
2.
lim(c · a
n
) =
c · lim a
n
, gdzie c ∈ R,
3.
lim(a
n
·
b
n
) =
lim a
n
·
lim b
n
,
4.
lim
a
n
b
n
=
lim a
n
lim b
n
, o ile lim b
n
6=
0,
5.
lim(a
n
)
k
= (
lim a
n
)
k
, gdzie k ∈ N,
6.
lim
k
√
a
n
=
k
√
lim a
n
.
Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a
n
=
3n
3
−
n
2
n
3
+
5n
2
+
n
; b
n
= (
p
n
2
+
10 − n);
c
n
=
r
4
n
+
2
n
2
2n
+
3
n
.
Arytmetyka granic
Twierdzenie
Je»eli ci¡gi (a
n
)
i (b
n
)
s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:
1.
lim(a
n
±
b
n
) =
lim a
n
±
lim b
n
),
2.
lim(c · a
n
) =
c · lim a
n
, gdzie c ∈ R,
3.
lim(a
n
·
b
n
) =
lim a
n
·
lim b
n
,
4.
lim
a
n
b
n
=
lim a
n
lim b
n
, o ile lim b
n
6=
0,
5.
lim(a
n
)
k
= (
lim a
n
)
k
, gdzie k ∈ N,
6.
lim
k
√
a
n
=
k
√
lim a
n
.
Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a
n
=
3n
3
−
n
2
n
3
+
5n
2
+
n
; b
n
= (
p
n
2
+
10 − n); c
n
=
r
4
n
+
2
n
2
2n
+
3
n
.
Twierdzenie
1.
Je±li lima
n
= ±∞
, to lim
1
a
n
=
0.
2.
Je»eli lim a
n
=
0 i a
n
>
0 (a
n
<
0), to lim
1
a
n
= ∞ (−∞)
.
Twierdzenie (O trzech ci¡gach)
Je»eli lim a
n
=
lim c
n
=
b oraz a
n
≤
b
n
≤
c
n
dla prawie wszystkich
n ∈ N, to lim b
n
=
b.
Przykªady:
1.
lim
n
√
n = 1;
2.
lim
n
√
a = 1 dla dowolnego a > 0;
3.
Wyznaczy¢ granic¦ ci¡gu a
n
=
n
√
2
n
+
5
n
.
Twierdzenie
1.
Je±li lima
n
= ±∞
, to lim
1
a
n
=
0.
2.
Je»eli lim a
n
=
0 i a
n
>
0 (a
n
<
0), to lim
1
a
n
= ∞ (−∞)
.
Twierdzenie (O trzech ci¡gach)
Je»eli lim a
n
=
lim c
n
=
b oraz a
n
≤
b
n
≤
c
n
dla prawie wszystkich
n ∈ N, to lim b
n
=
b.
Przykªady:
1.
lim
n
√
n = 1;
2.
lim
n
√
a = 1 dla dowolnego a > 0;
3.
Wyznaczy¢ granic¦ ci¡gu a
n
=
n
√
2
n
+
5
n
.
Twierdzenie
1.
Je±li lima
n
= ±∞
, to lim
1
a
n
=
0.
2.
Je»eli lim a
n
=
0 i a
n
>
0 (a
n
<
0), to lim
1
a
n
= ∞ (−∞)
.
Twierdzenie (O trzech ci¡gach)
Je»eli lim a
n
=
lim c
n
=
b oraz a
n
≤
b
n
≤
c
n
dla prawie wszystkich
n ∈ N, to lim b
n
=
b.
Przykªady:
1.
lim
n
√
n = 1;
2.
lim
n
√
a = 1 dla dowolnego a > 0;
3.
Wyznaczy¢ granic¦ ci¡gu a
n
=
n
√
2
n
+
5
n
.
Twierdzenie
1.
Je±li lima
n
= ±∞
, to lim
1
a
n
=
0.
2.
Je»eli lim a
n
=
0 i a
n
>
0 (a
n
<
0), to lim
1
a
n
= ∞ (−∞)
.
Twierdzenie (O trzech ci¡gach)
Je»eli lim a
n
=
lim c
n
=
b oraz a
n
≤
b
n
≤
c
n
dla prawie wszystkich
n ∈ N, to lim b
n
=
b.
Przykªady:
1.
lim
n
√
n = 1;
2.
lim
n
√
a = 1 dla dowolnego a > 0;
3.
Wyznaczy¢ granic¦ ci¡gu a
n
=
n
√
2
n
+
5
n
.
Twierdzenie
1.
Je±li lima
n
= ±∞
, to lim
1
a
n
=
0.
2.
Je»eli lim a
n
=
0 i a
n
>
0 (a
n
<
0), to lim
1
a
n
= ∞ (−∞)
.
Twierdzenie (O trzech ci¡gach)
Je»eli lim a
n
=
lim c
n
=
b oraz a
n
≤
b
n
≤
c
n
dla prawie wszystkich
n ∈ N, to lim b
n
=
b.
Przykªady:
1.
lim
n
√
n = 1;
2.
lim
n
√
a = 1 dla dowolnego a > 0;
3.
Wyznaczy¢ granic¦ ci¡gu a
n
=
n
√
2
n
+
5
n
.
Twierdzenie
1.
Je±li lima
n
= ±∞
, to lim
1
a
n
=
0.
2.
Je»eli lim a
n
=
0 i a
n
>
0 (a
n
<
0), to lim
1
a
n
= ∞ (−∞)
.
Twierdzenie (O trzech ci¡gach)
Je»eli lim a
n
=
lim c
n
=
b oraz a
n
≤
b
n
≤
c
n
dla prawie wszystkich
n ∈ N, to lim b
n
=
b.
Przykªady:
1.
lim
n
√
n = 1;
2.
lim
n
√
a = 1 dla dowolnego a > 0;
3.
Wyznaczy¢ granic¦ ci¡gu a
n
=
n
√
2
n
+
5
n
.