Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Ci gi i szeregi liczbowe
– wykład 5.
52
28
Ci gi liczbowe
Definicja.
Ci giem liczbowym
o wyrazach rzeczywistych nazywamy funkcj
R
N →
:
)
(
n
a
. Warto tej funkcji dla liczby natu-
ralnej n nazywamy n
−tym wyrazem ci gu.
Definicja.
Ci g
)
(
n
a nazywamy:
rosn cym
, gdy
n
n
a
a
>
+1
,
malej cym
, gdy
n
n
a
a
<
+1
.
1. Przykład.
Zbadaj monotoniczno ci gu
4
3
1
2
+
+
=
n
n
a
n
.
=
+
+
−
+
+
=
+
+
−
+
+
+
+
=
−
+
4
3
1
2
7
3
3
2
4
3
1
2
4
)
1
(
3
1
)
1
(
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
)
4
3
)(
7
3
(
)
7
3
)(
1
2
(
)
4
3
)(
3
2
(
+
+
+
+
−
+
+
n
n
n
n
n
n
0
)
4
3
)(
7
3
(
5
>
+
+
=
n
n
Ci g jest rosn cy.
2. Przykład.
Zbadaj monotoniczno ci gu
!
2
n
a
n
n
=
0
1
1
!
2
1
1
2
!
2
!
2
)
1
(
!
2
2
!
2
)!
1
(
2
1
1
<
+
−
⋅
=
−
+
=
−
+
⋅
=
−
+
=
−
+
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
dla
1
>
n
.
Ci g jest malej cy.
Definicja.
Ci g nazywamy
ograniczonym
, gdy zbiór jego wyrazów jest ograniczony.
Analogicznie definiujemy
ograniczono z dołu
oraz
ograniczono z góry
.
3. Przykład.
Ci g
n
n
n
a
)
1
(
)
cos(
−
=
π
=
nie jest monotoniczny. Jest ograniczony z góry przez liczb
1
=
M
, jest te
ograniczony z dołu przez liczb
1
−
=
m
.
4. Przykład.
Ci g
n
b
n
=
jest rosn cy. Jest ograniczony z dołu przez
1
=
m
, nie jest ograniczony z góry.
5. Przykład.
Ci g
1
+
=
n
n
c
n
jest rosn cy. Jest zatem ograniczony z dołu przez liczb
2
1
1
=
= c
m
. Po-
niewa
1
1
1
1
<
+
−
=
n
c
n
, wi c ci g jest ograniczony z góry przez liczb
1
=
M
.
Definicja.
Ci g
)
(
n
a jest
zbie ny do granicy wła ciwej
a, gdy w zbiorze
)
,
(
ε
+
ε
−
=
ε
a
a
a
U
znajduj si prawie wszystkie wyrazy
ci gu (tzn. wszystkie po odrzuceniu sko czenie wielu wyrazów pocz tkowych). Zapisujemy to symbolicznie w postaci
ε
>
∈
>
ε
∞
→
∈
∀
∃
∀
⇔
=
a
n
n
n
n
n
n
a
a
a
U
N
0
0
0
lim
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Ci gi i szeregi liczbowe
– wykład 5.
53
Definicja.
Ci g
)
(
n
a jest
zbie ny do ∞
∞
∞
∞
, gdy dla ka dej ustalonej liczby M prawie wszystkie wyrazy ci gu s od niej wi ksze:
M
a
a
n
n
n
n
M
n
n
>
∀
∃
∀
⇔
∞
=
>
∈
∈
∞
→
0
0
lim
N
R
Definicja.
Ci g
)
(
n
a jest
zbie ny do −−−−∞
∞
∞
∞
, gdy dla ka dej ustalonej liczby m prawie wszystkie wyrazy ci gu s od niej mniejsze:
m
a
a
n
n
n
n
m
n
n
<
∀
∃
∀
⇔
−∞
=
>
∈
∈
∞
→
0
0
lim
N
R
Definicja.
Ci g maj cy granic (wła ciw lub niewła ciw ) nazywamy
zbie nym
, ci g nie maj cy granicy (wła ciwej lub niewła-
ciwej) nazywamy
rozbie nym
.
Fakt.
Ci g zbie ny ma dokładnie jedn granic .
6. Przykład.
Uzasadni , e
1
1
lim
=
+
∞
→
n
n
n
.
Niech
0
>
ε
b dzie dowolne i niech
n
n
a
n
1
+
=
. Wówczas
)
1
,
1
(
1
ε
+
ε
−
=
∈
ε
U
n
a
⇔
ε
+
<
<
ε
−
1
1
n
a
⇔
ε
+
<
+
<
ε
−
1
1
1
n
n
⇔
ε
<
<
ε
−
n
1
⇔
ε
> 1
n
Je li wzi
0
n równe cz ci całkowitej liczby
ε
1
, to wyrazy ci gu o numerach wi kszych od
0
n (prawie wszystkie
wyrazy ci gu) nale do
ε
1
U .
Przykładowo:
01
,
0
=
ε
100
0
=
n
001
,
0
=
ε
1000
0
=
n
0001
,
0
=
ε
10000
0
=
n
.
Fakt
.
Warunkiem koniecznym zbie no ci ci gu jest jego ograniczono . Nie jest to warunek wystarczaj cy, np. ci g
n
n
n
a
)
1
(
cos
−
=
π
=
jest ograniczony, lecz rozbie ny.
Fakt
.
Je li ci g jest zbie ny do granicy wła ciwej, to jest ograniczony.
Fakt
.
Monotoniczno nie jest warunkiem koniecznym zbie no ci, np. ci g
( )
n
n
x
2
1
1
−
+
=
jest zbie ny, cho nie jest monoto-
niczny.
Fakt.
Je li ci g jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbie ny do granicy wła ciwej.
Fakt
(
T
WIERDZENIE
o trzech ci gach).
g
b
g
c
a
c
b
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
N
n
=
=
=
≤
≤
∀
∃
∞
→
∞
→
∞
→
>
∈
lim
lim
lim
,
0
0
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Ci gi i szeregi liczbowe
– wykład 5.
54
7. Przykład.
0
!
lim
=
∞
→
n
n
n
n
,
Wystarczy do oszacowania
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
1
...
3
2
1
!
0
<
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
=
<
zastosowa twierdzenie o trzech ci gach.
8. Przykład.
0
!
sin
lim
=
n
n
.
Wystarczy do oszacowania
n
n
n
n
1
!
sin
1
≤
≤
−
zastosowa twierdzenie o trzech ci gach.
Fakt
.
( )
e
=
+
→
1
1
lim
0
.
Liczb niewymiern e, równ
...
7182
,
2
...
!
5
1
!
4
1
!
3
1
!
2
1
1
1
≈
+
+
+
+
+
+
nazywamy
liczb Eulera
. Jest ona podstaw loga-
rytmu naturalnego (ln oznacza logarytm przy podstawie e).
9. Przykład.
3
3
3
lim
−
−
=
+
e
n
n
n
,
=
+
−
+
=
+
−
→∞
−
→∞
3
3
3
3
)
3
(
lim
3
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
3
)
3
(
3
3
3
3
3
1
lim
+
−
−
−
+
+
−
+
∞
→
n
n
n
n
n
3
3
9
3
lim
−
+
+
−
=
=
∞
→
e
e
n
n
n
.
10. Przykład.
1
1
2
2
2
1
lim
−
−
=
+
e
n
n
n
,
=
+
−
+
=
+
−
∞
→
−
∞
→
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
)
1
(
lim
1
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
)
1
2
(
1
2
2
)
1
(
2
1
1
1
lim
+
−
−
+
−
+
+
−
→∞
n
n
n
n
n
1
1
1
lim
2
2
−
−
−
−
=
=
∞
→
e
e
n
n
n
11. Przykład.
2
2
1
lim
−
=
−
e
n
n
n
2
2
2
1
1
lim
1
lim
−
−
−
∞
→
∞
→
=
−
+
=
−
e
n
n
n
n
n
n
n
Fakt.
(Ci g
)
(
n
a jest zbie ny do granicy g)
⇔ (ka dy jego podci g jest zbie ny do granicy g).
Ostatnie twierdzenie stosujemy chc c udowodni rozbie no ci gu: wystarczy wskaza dwa podci gi ci gu zbie ne do
ró nych granic.
12. Przykład.
Uzasadnij rozbie no ci gu
)
cos(
π
=
n
a
n
.
Poniewa
−
=
π
=
,
1
,
1
)
cos(
ych
nieparzyst
dla
parzystych
dla
n
n
n
a
n
wi c podci g zło ony z nieparzystych wyrazów ci gu ma granic
−1, za podci g zło ony z parzystych wyrazów ci gu
ma granic 1.
13. Przykład.
Uzasadnij rozbie no ci gu
2
sin
π
=
n
d
n
.
W tym ci gu istniej podci gi zbie ne odpowiednio do granic
0, 1, −1.
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Ci gi i szeregi liczbowe
– wykład 5.
55
29
Szeregi liczbowe
Definicja.
Niech
)
(
n
a b dzie ci giem liczbowym o wyrazach rzeczywistych. Ci g sum cz ciowych
n
n
n
a
a
a
S
S
+
+
+
=
...
:
)
(
2
1
nazywamy
szeregiem liczbowym
. Szereg liczbowy nazywamy zbie nym, gdy ci g sum cz ciowych ma sko czon
granic S:
S
S
n
n
=
∞
→
lim
.
Granic ci gu sum cz ciowych nazywamy wówczas
sum szeregu
niesko czonego i piszemy
∞
=
=
1
n
n
a
S
.
14. Przykład.
Obliczymy sum szeregu
∞
=
+
1
)
1
(
1
n
n
n
.
Przy tworzeniu ci gu sum cz ciowych zastosujemy wzór
1
1
1
)
1
(
1
+
−
=
+
n
n
n
n
.
1
1
1
1
1
5
1
4
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
1
(
4
4
3
2
1
+
+
−
=
−
+
+
−
+
−
+
−
+
−
=
n
a
n
n
a
a
a
a
n
S
∞
=
+
1
)
1
(
1
n
n
n
1
)
1
(
lim
lim
1
1
=
−
=
=
+
∞
→
∞
→
n
n
n
n
S
.
15. Przykład.
Obliczy sum szeregu
∞
=
+
1
)
2
(
1
n
n
n
.
Przy tworzeniu ci gu sum cz ciowych zastosujemy wzór
)
2
(
2
1
2
1
)
2
(
1
+
−
=
+
n
n
n
n
.
)
2
(
2
1
)
1
(
2
1
4
1
2
1
)
2
(
2
1
2
1
12
1
8
1
10
1
6
1
8
1
4
1
6
1
2
1
4
4
3
2
1
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
+
+
+
−
−
+
=
−
+
+
−
+
−
+
−
+
−
=
n
n
a
n
n
a
a
a
a
n
S
∞
=
+
1
)
2
(
1
n
n
n
4
3
)
2
(
2
1
)
1
(
2
1
4
1
2
1
)
(
lim
lim
=
−
−
+
=
=
+
+
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
S
.
16. Przykład.
Obliczy sum szeregu
∞
=1
2
1
n
n
.
Jest to szereg geometryczny, którego sum liczymy ze wzoru
q
a
S
−
=
1
1
, o ile
1
|
|
<
q
. Zatem
1
1
2
1
2
1
2
1
1
=
−
=
∞
=
n
n
.
Fakt.
Warunkiem koniecznym na to, by szereg był zbie ny, jest by ci g wyrazów d ył do zera:
∞
=1
n
n
a jest zbie ny
0
lim
=
∞
→
n
n
a
,
0
lim
≠
∞
→
n
n
a
∞
=1
n
n
a jest zbie ny.
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Ci gi i szeregi liczbowe
– wykład 5.
56
30
Kryteria (warunki wystarczaj ce) zbie no ci szeregów
1
°°°°
Kryterium porównawcze (1):
Je li szeregi
∞
=
∞
=
1
1
,
n
n
n
n
b
a
spełniaj zało enia
n
n
b
a
≤
≤
0
, to ze zbie no ci drugiego szeregu (majoranty) wynika zbie -
no pierwszego szeregu (minoranty); z rozbie no ci pierwszego szeregu (minoranty) wynika rozbie no drugiego
szeregu (majoranty).
Fakt.
>
α
≤
α
<
∞
=
α
1
1
0
1
1
dla
zbie ny
jest
dla
rozbie ny
jest
szereg
n
n
2
°°°°
Kryterium porównawcze(2):
Je li dla szeregów
∞
=
∞
=
1
1
,
n
n
n
n
b
a
o wyrazach dodatnich istnieje sko czona granica
0
lim
>
=
∞
→
k
b
a
n
n
n
, to rozpatrywane
szeregi s jednocze nie zbie ne albo jednocze nie rozbie ne.
17. Przykład.
∞
=
−
2
)
1
(
1
n
n
n
jest rozbie ny, gdy
n
n
n
n
1
1
)
1
(
1
2
=
>
−
i minoranta
∞
=1
1
n
n
jest roz-
bie na.
18. Przykład.
∞
=
−
⋅
1
1
3
1
n
n
n
jest zbie ny, gdy
1
3
1
3
1
1
n
n
n
⋅
<
−
−
i majoranta
∞
=
−
1
1
3
1
n
n
jest zbie na (jako
szereg geometryczny).
19. Przykład.
∞
=1
1
sin
n
n
jest rozbie ny, gdy
1
1
1
sin
lim
=
∞
→
n
n
n
(korzystali my ze wzoru
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
) i
szereg
∞
=1
1
n
n
jest rozbie ny.
20. Przykład.
∞
=
+
+
1
2
2
1
2
ln
n
n
n
jest zbie ny, gdy
1
1
)
1
1
1
ln(
lim
1
1
2
ln
lim
2
2
2
2
2
=
+
+
=
+
+
∞
→
n
n
n
n
n
n
(korzystali my ze
wzoru
1
)
1
ln(
lim
0
=
+
→
x
x
x
) i szereg
∞
=1
2
1
n
n
jest zbie ny.
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Ci gi i szeregi liczbowe
– wykład 5.
57
3
°°°°
Kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego
(1)
.
Je li w szeregu
∞
=1
n
n
a o wyrazach dodatnich
g
a
n
n
n
=
∞
→
lim
, to
<
>
∞
=
1
1
1
g
g
a
n
n
dla
zbie ny
jest
dla
rozbie ny
jest
szereg
Kryterium nie orzeka o zbie no ci szeregu, gdy
1
lim
=
∞
→
n
n
n
a
.
21. Przykład.
∞
=
+
1
2
1
3
1
n
n
n
n
n
jest zbie ny, gdy
1
3
1
1
1
1
3
1
lim
1
3
1
lim
lim
1
1
)
1
(
<
=
+
−
+
=
+
=
−
+
−
+
−
∞
→
∞
→
∞
→
e
n
n
n
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
22. Przykład.
∞
=2
)
(ln
1
n
n
n
jest zbie ny, gdy
1
0
ln
1
lim
lim
<
=
=
∞
→
∞
→
n
a
n
n
n
n
.
4°°°° Kryterium ilorazowe d’Alemberta
(2)
.
Je li w szeregu
∞
=1
n
n
a o wyrazach dodatnich
g
a
a
n
n
n
=
+
∞
→
1
lim
, to
<
>
∞
=
1
1
1
g
g
a
n
n
dla
zbie ny
jest
dla
rozbie ny
jest
szereg
Kryterium nie orzeka o zbie no ci szeregu, gdy
1
lim
1
=
+
∞
→
n
n
n
a
a
.
23. Przykład.
∞
=1
!
3
n
n
n
n
n
jest rozbie ny, gdy
lim
lim
(
)!
(
)
!
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
n
n
n
e
→∞
+
→∞
+
+
→∞
=
+
+
⋅
=
+
= >
1
1
1
3
1
1
3
3
1
1
3
1
.
24. Przykład.
∞
=1
2
2
2
)
!
(
n
n
n
jest zbie ny, gdy
lim
lim
(
)! (
)!
! !
lim
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
n n
n
→∞
+
→∞
+
→∞
+
=
+ ⋅ +
⋅
⋅
=
+
= <
1
1
2
2 1
1
1
2
2
1
2
0 1
2
2
.
5
°°°°
Kryterium Leibniza
(3)
dla szeregów naprzemiennych.
Szereg postaci
∞
=
−
−
1
1
)
1
(
n
n
n
a , gdzie
)
(
n
a
jest ci giem malej cym do zera nazywa si
szeregiem naprzemiennym
(
0
>
n
a
). Ka dy szereg naprzemienny jest zbie ny i
1
1
1
2
1
)
1
(
a
a
a
a
n
n
n
<
−
<
−
∞
=
−
(1)
Augustin Cauchy (1789-1857): matematyk francuski.
(2)
Jean Lerond d’Alembert (1717-1783): matematyk francuski.
(3)
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716): matematyk niemiecki.
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Ci gi i szeregi liczbowe
– wykład 5.
58
25. Przykład.
Szeregami naprzemiennymi s :
2
ln
...
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
=
+
−
+
−
+
−
(szereg anharmoniczny),
4
...
11
1
9
1
7
1
5
1
3
1
1
π
=
+
−
+
−
+
−
,
3
2
...
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1
=
+
−
+
−
+
−
(jako geometryczny).
6
°°°°
Zbie no
bezwzgl dna i zbie no
warunkowa.
Je li szereg
∞
=1
|
|
n
n
a jest zbie ny, to i szereg
∞
=1
n
n
a jest zbie ny. W tym przypadku szereg
∞
=1
n
n
a nazywamy
bez-
wzgl dnie zbie nym
. Implikacja odwrotna nie zachodzi.
Je li szereg
∞
=1
|
|
n
n
a nie jest zbie ny, ale szereg
∞
=1
n
n
a jest zbie ny, to szereg
∞
=1
n
n
a nazywamy
warunkowo zbie -
nym
.
26. Przykład.
∞
=
+
−
1
1
1
)
1
(
n
n
n
jest zbie ny warunkowo.
27. Przykład.
∞
=
+
−
1
3
1
)
2
(
1
)
1
(
n
n
n
jest zbie ny bezwzgl dnie (porówna z
∞
=1
3
1
n
n
).
Fakt.
Je li szereg jest zbie ny bezwzgl dnie, to dowolna zmiana kolejno ci wyrazów nie narusza zbie no ci szeregu ani nie
zmienia sumy szeregu.
Fakt (twierdzenie Riemanna).
Je li szereg jest warunkowo zbie ny, to zmieniaj c kolejno jego wyrazów mo na otrzymywa ze szeregi o dowolnie
pomy lanych sumach a tak e szeregi rozbie ne.