Biotechnologia I rok 

Lista 3 (estymacja) 

!

!

1.  100 losowo wybranym osobom zadano pytanie na temat czasu oczekiwania na autobus 
(min). Na podstawie uzyskanych odpowiedzi obliczono średnią = 10  i odchylenie stand. =2 .  
a) Ile wynosi punktowe oszacowanie nieznanej wartości  średniego czasu oczekiwania. 
b) Oszacować przedziałowo ten parametr przy współczynniku ufności 0,9 
c) Co się stanie gdy współczynnik ten zwiększymy do 0,95 – odpowiedzieć nie szacując 

nowego przedziału. 

!

2. W losowo wybranej grupie 20 inwestorów giełdowych stwierdzono, że średni wiek wynosi 
34 lata, zaś odchylenie standardowe wieku 6 lat.  
a) Jakie jest punktowe oszacowanie nieznanego średniego wieku  ogółu inwestorów w tym 

kraju? 

b) Oszacować metodą przedziałową przeciętny wiek inwestorów. Przyjąć współczynnik 

ufności 0,95. (odp : (31,2; 36,8) ) 

c) Jak można poprawić precyzję szacunku. 

 3. W oparciu o informacje z 25 losowo wybranych prywatnych szkół średnich ustalono, że 
przeciętne czesne w tych szkołach wyniosło 500 zł, zaś odchylenie standardowe 146 zł.  

 Jaki współczynnik ufności zastosowano przy przedziałowej estymacji średniej wielkości 
czesnego w szkołach średnich, jeśli maksymalny błąd szacunku stanowił 10% wartości 
estymatora? (odp: 0,9 ). 

!

4. Z szeregu badań wiadomo, że poziom leukocytów we krwi (tys/mm

3

)  ma rozkład 

normalny o odchyleniu standardowym 0,3. W pewnym instytucie doświadczalnym 
postanowiono sprawdzić możliwość zastosowania w analizie krwi pewnego nowego aparatu 
do badania przeciętnego poziomu leukocytów. 
a) Jak liczna powinna być próba badanych osób, aby przy współczynniku ufności 0,95 

maksymalny błąd szacunku  wynosił 0,1 tys/ mm

3 

? 

b) Zbudować przedział ufności dla przeciętnego poziomu leukocytów we krwi (1-α = 0,95), 

jeśli w próbie o liczebności wyznaczonej w punkcie a) średni  poziom leukocytów 
wynosił 8. 

Odp : 35,  (7,9; 8,1)    

!

5.  Roczne wydatki na promocję firm z pewnej branży mają rozkład normalny. 
a) Ile wynosił współczynnik ufności przy przedziałowej estymacji średniej wysokości tych 
wydatków dla wszystkich firm branży, jeśli na podstawie wyników 9-elementowej próby 
przedsiębiorstw uzyskano przedział o długości 1500 zł, a odchylenie standardowe wydatków 
w badanej próbie firm wyniosło 995 zł? 
b) Jak liczna powinna być próba, aby z prawdopodobieństwem 0,95 oszacować odsetek firm 
tej branzy reklamujących się w TV z maksymalnym błędem 0,02? Badanie pilotażowe 
wskazuje, iż takich firm powinno być około 20 %. 

Odp. . a) 0,95   b) 1537     

!

6.  W  środowisku  studenckim  pewnej  uczelni  pojawiły  się  głosy  na  temat  konieczności 
zwiększenia liczby godzin z języków obcych. Oszacować punktowo i   przedziałowo ( 1-α = 
0,95)    odsetek  studentów  popierających  ten  pogląd  ,  jeśli    w  próbie  600  studentów    400 
wypowiedziało się  „za”. Jakie konsekwencje będzie miało zmniejszenie współczynnika  

Biotechnologia I rok 

Lista 3 (estymacja) 

!

!

!

ufności  do  0,9.  Ile  wynosi  maksymalny  błąd  szacunku.  Jak  liczebność  próby  wpływa  na 
wielkość maksymalnego błędu szacunku 

!

7. W badaniach opinii publicznej próba 1068-mio osobowa gwarantuje, że przy 
współczynniku ufności 0,95 maksymalny błąd szacunku nie przekroczy 3 %. O ile należałoby 
zwiększyć próbę, aby przy tym samym współczynniku ufności błąd wynosił tylko 2% ?  
Odp. 1333 

!

8. Jaki współczynnik ufności przyjęto przy przedziałowej estymacji odsetka miejsc zajętych  
na spektaklu Romeo i Julia, jeżeli otrzymano przedział (50,8 % - 69,2%), oraz wiadomo,że na 
losowo wybranym przedstawieniu stwierdzono obecność 80 osób w sali liczącej 133 miejsca. 
Odp. 0,97    

!

9. Towarzystwo Miłośników Poznania (TMP) chce przeforsować decyzję, aby poznańskie 
„koziołki” na miejskim ratuszu pokazywały się częściej, a nie tylko w południe. 
a) Jak liczną próbę należałoby wylosować dla oszacowania odsetka mieszkańców miasta 

popierających ten pogląd przy założeniu, że współczynnik ufności wynosi 0,95, zaś 
maksymalny błąd szacunku 5% (wcześniej takie szacunki nie były prowadzone). 

b) Zbuduj właściwy przedział dla 1-α = 0,95 jeśli w wylosowanej próbie  o liczebności 

obliczonej w punkcie a) ¾ mieszkańców miasta zaakceptowało propozycję TMP. 

Odp. a) 385  b)   (0,707; 0,793)    

!

10. Aby oszacować odsetek pracujących mieszkańców pewnego osiedla korzystających z 
metra, pobrano losowo 200 osób i stwierdzono, że 72 spośród nich dojeżdża regularnie 
metrem do pracy. Z jakim prawdopodobieństwem można oczekiwać, że przedział o końcach 
29,3% - 42,7% pokrywać będzie nieznany procent osób dojeżdżających metrem do pracy 
wśród wszystkich pracujących mieszkańców tego osiedla? 
Odp. 0,95    

!

11. Oszacuj metodą przedziałową (1-α= 0,95) częstość kupowania wybielającej pasty do 

zębów. W próbie 200 osób, pastę taką kupiło 30% klientow. 

     Ile osób należałoby wylosować do próby, aby przy tej samej ufności uzyskać oszacowanie 

częstości kupowania takiej pasty z wymaganym absolutnym błędem szacunku 2,5%. 

Odp. (0,236; 0,364);  1291 lub 1537 

!

PYTANIE TEORETYCZNE –wskaż prawdziwe odpowiedzi. 
16. Przedziały ufności dla średniej w populacji normalnej, konstruowane przy tym samym 
współczynniku ufności, ale w oparciu o różne, ale jednakowo liczne próby mają: 

a) zawsze jednakowe długości przedziałów; 
b) jednakowe długości przedziałów, ale tylko wtedy, gdy znane jest σ ; 
c) przy nieznanym σ: różne długości zależne od wyników  średnich arytmetycznych 

otrzymanych z próby ; 

d) przy nieznanym σ : różne długości zależne od wyników odchyleń standardowych 

otrzymanych z próby.