LISTA 3
(na 1 ćwiczenia)
Ciągi liczbowe
3.1. Uzasadnić, że podane ciągi są monotoniczne i ograniczone.
(a) a
n
=
n
2n + 1
,
(b) b
n
=
2
n
3
n
+ 2
,
(c) c
n
=
(n!)
2
(2n)!
,
(d) d
n
= sin
π
2n + 1
,
(e) e
n
=
(n + 2)
2
2
n+2
,
(f) f
n
=
√
n + 8 −
√
n + 3,
(g) g
n
=
1
2
+
1
2
2
+
1
2
3
+ · · · +
1
2
n
.
3.2. Korzystając z odpowiedniej definicji granicy ciagu liczbowego, uzasadnić, że
(a) lim
n→∞
n
n + 2
= 1,
(b) lim
n→∞
n
2
+ 1
2n
= +∞,
(c) lim
n→∞
n + 4
n + 2
6= 2.
3.3. Uzasadnić, podając odpowiednie przykłady, że poniższe wyrażenia są nieoznaczone
0
0
,
∞
∞
,
0 · ∞,
∞ − ∞,
1
∞
,
∞
0
,
0
0
.
3.4. Obliczyć granice ciągów liczbowych.
(a) a
n
=
2n − 3
3n + 4
,
(b) b
n
=
n
2
+ 3n − 8
2n + 5
,
(c) c
n
=
n
2
+ n − 3
n
3
+ 2n + 1
,
(d) d
n
=
(2n
3
+ 3)
8
(2n
4
+ 7)
6
,
(e) e
n
=
n +
√
n
3
+ 7
3
√
n
2
+ 5 − 4n
,
(f) f
n
=
8
n+2
+ 2
n
2
3n+1
+ 3
n
+ 4
,
(g) g
n
=
1 + 2 + 3 + · · · + n
n
2
,
(h) h
n
=
√
n + 8 −
√
n + 3,
(i) i
n
=
√
n
2
+ 4n + 1 −
√
n
2
+ 3,
(j) j
n
=
√
2n + 1 −
√
n + 23,
(k) k
n
=
√
9
n
+ 4 · 3
n
+ 1 −
√
9
n
+ 3,
(l) l
n
= n
30
− 2 · n
21
− 3 · n
9
+ 3,
(m) m
n
= 7
n
− 2 · 5
2n
− 3 · 2
n+5
+ 4,
(n) m
n
=
n + 4
n + 1
n+3
,
(o) o
n
=
n
2
+ 3
n
2
+ 1
!
n
2
,
(p) p
n
=
2n + 1
2n + 5
1−3n
,
(r) r
n
=
4n + 1
2n − 1
n+6
,
(s) s
n
=
3
n
+ 2
n
5
n
+ 3
n
n
.
3.5. Dla danego ciągu (a
n
) dobrać ciąg (b
n
) postaci b
n
= n
p
lub b
n
= α
n
tak, aby ciągi (a
n
) i (b
n
)
były tego samego rzędu.
(a) a
n
=
1
n
2
+ 4n + 3
,
(b) a
n
=
n
2
n
3
+ 7
,
(c) a
n
=
√
n + 9 −
√
n + 1,
(d) a
n
=
1
3 · 2
n
+ 2 · 3
n
,
(e) a
n
=
3
n
4
n
+ 5
n
,
(f) a
n
=
4
n+2
5 · 2
n+1
+ 2 · 3
n
.
Podobne zadania (także rozwiązane ) można znaleźć w skrypcie:
M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS,
Wrocław 2008, rozdział 1.
Jolanta Sulkowska