Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2012/2013
1. [7p.] a) Wyznaczyć zbiór tych liczb rzeczywistych x, dla których macierz
A =
1 1
1
0 x
1
1 1 x + 2
jest odwracalna. Następnie wyznaczyć A
−1
przyjmując x = −2.
[2p.] b) Dana jest macierz A wymiaru 2 × 3 i macierz diagonalna nieosobliwa B stopnia 3.
Podać jakiego wymiaru, o ile istnieją, są macierze A
T
B
3
i A
T
AB
−1
. Odpowiedź uzasadnić.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. [7p.] a) W oparciu o twierdzenie Kroneckera-Capelliego określić liczbę rozwiązań układu równań
x
1
+ x
2
+ 2x
3
+ x
4
= 5
2x
1
+ 3x
2
− x
3
− 2x
4
= 2
4x
1
+ 5x
2
+ 3x
3
= 7
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy wymiaru m × n, przy min(m, n) 3, z których
jedna jest rzędu pierwszego, a druga rzędu trzeciego. Odpowiedź uzasadnić odpowiednimi
obliczeniami.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [7p.] a) Wyznaczyć symetryczne odbicie początku przestrzennego układu współrzędnych względem
prostej l o równaniu
x = 1 − t
y = −2 + t
z = −2t
, t ∈ R,
[2p.] b) Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A(1, 3, 0), B(2, 4, 5) i C(3, 5, −1).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [4p.] a) Wyznaczyć
4
q
−2
√
3 + 2i
Wynik zinterpretować na płaszczyźnie zespolonej.
[5p.] b) Znaleźć funkcję holomorficzną, gdy dana jest jej część rzeczywista u(x, y) = e
x
cos y + y.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7p.] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a
F (s) =
3s
2
− 7s + 10
s
3
− 3s
2
+ s + 5
wiedząc, że s = −1 jest jednym z pierwiastków wielomianu w mianowniku.
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a funkcji f (t) = sin t.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. *) [dla chętnych] [4p.] Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór
z ∈ C : |iz − 2| ¬ 6, Arg z <
7π
6