Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”

WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2012/2013

1. [7p.] a) Wyznaczyć zbiór tych liczb rzeczywistych x, dla których macierz

A =






1 1

1

0 x

1

1 1 x + 2






jest odwracalna. Następnie wyznaczyć A

−1

przyjmując x = −2.

[2p.] b) Dana jest macierz A wymiaru 2 × 3 i macierz diagonalna nieosobliwa B stopnia 3.
Podać jakiego wymiaru, o ile istnieją, są macierze A

T

B

3

i A

T

AB

−1

. Odpowiedź uzasadnić.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. [7p.] a) W oparciu o twierdzenie Kroneckera-Capelliego określić liczbę rozwiązań układu równań











x

1

+ x

2

+ 2x

3

+ x

4

= 5

2x

1

+ 3x

2

− x

3

− 2x

4

= 2

4x

1

+ 5x

2

+ 3x

3

= 7

[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy wymiaru m × n, przy min(m, n) ­ 3, z których
jedna jest rzędu pierwszego, a druga rzędu trzeciego. Odpowiedź uzasadnić odpowiednimi
obliczeniami.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [7p.] a) Wyznaczyć symetryczne odbicie początku przestrzennego układu współrzędnych względem

prostej l o równaniu











x = 1 − t
y = −2 + t
z = −2t

, t ∈ R,

[2p.] b) Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A(1, 3, 0), B(2, 4, 5) i C(3, 5, −1).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [4p.] a) Wyznaczyć

4

q

−2

√

3 + 2i

Wynik zinterpretować na płaszczyźnie zespolonej.
[5p.] b) Znaleźć funkcję holomorficzną, gdy dana jest jej część rzeczywista u(x, y) = e

x

cos y + y.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a

F (s) =

3s

2

− 7s + 10

s

3

− 3s

2

+ s + 5

wiedząc, że s = −1 jest jednym z pierwiastków wielomianu w mianowniku.
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a funkcji f (t) = sin t.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. *) [dla chętnych] [4p.] Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór



z ∈ C : |iz − 2| ¬ 6, Arg z <

7π

6