Część 1
OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ MATODĄ SIŁ
1
POLITECHNIKA POZNAŃSKA
INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI
ĆWICZENIE NR 1
OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ METODĄ SIŁ
Agnieszka Sysak Gr. 3
2004-03-16
Część 1
OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ MATODĄ SIŁ
1
POLITECHNIKA POZNAŃSKA
INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI
ĆWICZENIE NR 1
OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ METODĄ SIŁ
Agnieszka Sysak Gr. 3
2004-03-16
Część 1
OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ MATODĄ SIŁ
2
Dla ramy przestrzennej wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych wywołanych zadanym obciążeniem.
Przyjąć, że rama składa się z prętów stalowych o przekroju kołowym (G=0,375E, J
s
=2J).
10 kN
5 kN/m
4,0
3,0
5,0
[m]
x
y
z
Układ jest statycznie niewyznaczalny dlatego określamy stopień statycznej niewyznaczalności i dobieramy
układ podstawowy.
SSN = 2
W celu rozwiązania zadania metodą sił przyjmujemy układ podstawowy
10 kN
5 kN/m
4,0
3,0
5,0
[m]
X
2
X
1
A
B
x
y
z
który musi spełniać warunki kinematycznej zgodności z układem wyjściowym. Oznacza to, że
przemieszczenie punktu A po kierunku osi y oraz przemieszczenie punktu B po kierunku osi z muszą być
równe zero.
A
y
=0
B
z
=0
Agnieszka Sysak Gr. 3
2004-03-16
Część 1
OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ MATODĄ SIŁ
3
Na powyższe przemieszczenia wpływ mają nadliczbowe siły X
i
oraz obciążenie zewnętrzne. Równania
kanoniczne przyjmą zatem postać:
A
y
=
11
⋅X
1
12
⋅X
2
1 P
=0
B
z
=
21
⋅X
1
22
⋅X
2
2 P
=0
Przemieszczenia w ramie przestrzennej obliczamy pomijając wpływ sił normalnych i tnących:
1 ⋅
ik
=
∑∫
M
i
y
M
k
y
EJ
y
dx
∑∫
M
i
z
M
k
z
EJ
z
dx
∑∫
M
i
s
M
k
s
GJ
s
dx
gdzie:
M
i
y
,
M
k
y
,
M
i
z
,
M
k
z
- momenty zginające liczone odpowiednio względem osi y i z,
M
i
s
,
M
k
s
- momenty skręcające liczone względem osi pręta,
J
s
- biegunowy moment bezwładności.
Ponieważ przekrój pręta jest kołowy to J
y
= J
z
=J. Podstawiając dane G i J
s
otrzymamy:
1 ⋅
ik
=
∑∫
M
i
y
M
k
y
EJ
dx
∑∫
M
i
z
M
k
z
EJ
dx
∑∫
M
i
s
M
k
s
0,75 EJ
dx
Kolejnym etapem jest wyznaczenie wartości momentów zginających i skręcających od sił
jednostkowych, przyłożonych kolejno w miejsca niewiadomych X
1
i X
2
, oraz od obciążenia zewnętrznego.
•
Stan od obciążenia X
1
= 1
4,0
3,0
5,0
[m]
X
1
=1
x
y
z
Agnieszka Sysak Gr. 3
2004-03-16
Część 1
OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ MATODĄ SIŁ
4
4,0
3,0
5,0
[m]
4,0
3,0
5,0
[m]
x
x
y
y
z
z
M
1
[m]
M
s
1
[m]
4
4
3
_
-4
_
-3
•
Stan od obciążenia X
2
= 1
4,0
3,0
5,0
[m]
x
y
z
X
2
=1
4,0
3,0
5,0
[m]
4,0
3,0
5,0
[m]
x
x
y
y
z
z
M
2
[m]
M
s
2
[m]
5
3
3
5
+
3
5
+
Agnieszka Sysak Gr. 3
2004-03-16
Część 1
OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ MATODĄ SIŁ
5
•
Stan od obciążenia P
10 kN
5 kN/m
4,0
3,0
5,0
[m]
x
y
z
4,0
3,0
5,0
[m]
4,0
3,0
5,0
[m]
x
x
y
y
z
z
M
0
P
[kNm]
M
s0
P
[kNm]
60
40
50
30
+
60
-10
_
30
90
10
Obliczamy potrzebne w równaniach kanonicznych przemieszczeniach korzystając z metody Wereszczagina
– Mohra:
EJ
11
=2 ⋅
1
2
⋅4 ⋅4 ⋅
2
3
⋅4
1
2
⋅3 ⋅3 ⋅
2
3
⋅3
1
0,75
⋅
[
−4 ⋅3 ⋅−4−3⋅4 ⋅−3
]
=163,6
EJ
22
=2 ⋅
1
2
⋅3 ⋅3 ⋅
2
3
⋅3 4 ⋅5 ⋅5
1
2
⋅5 ⋅5 ⋅
2
3
⋅5
1
0,75
⋅
[
5 ⋅3 ⋅5 3 ⋅5 ⋅3
]
=319,6
EJ
12
=−1
2
⋅4 ⋅4 ⋅5
1
0,75
⋅−4⋅3 ⋅5 =−120,0
EJ
1 P
=−1
2
⋅40 ⋅4 ⋅
2
3
⋅4
2
3
⋅5
⋅4
2
8
⋅4 ⋅
1
2
⋅4 −
1
2
⋅60 ⋅3 ⋅
2
3
⋅3
1
2
⋅4 ⋅4 ⋅
2
3
⋅10
1
3
⋅90
1
0,75
⋅[−4 ⋅3 ⋅−10−3 ⋅4 ⋅60]=−846,6
EJ
2 P
=−1
2
⋅50 ⋅5 ⋅
2
3
⋅5
1
2
⋅30 ⋅3 ⋅
1
3
⋅3 −
1
2
⋅10 90⋅4 ⋅5
1
0,75
⋅−10⋅3 ⋅5 =−1571,6
Agnieszka Sysak Gr. 3
2004-03-16
Część 1
OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ MATODĄ SIŁ
6
Układ równań kanonicznych przyjmuje postać:
{
163,6
EJ
⋅X
1
− 120,0
EJ
⋅X
2
− 846,
6
EJ
=0
−120,0
EJ
⋅X
1
319,
6
EJ
⋅X
2
− 1571,
6
EJ
=0
Z rozwiązania powyższego układu otrzymano następujące wyniki:
{
X
1
=12,111 [kN ]
X
2
=9,463 [kN ]
Wartości momentów zginających i skręcających w układzie niewyznaczalnym otrzymamy korzystając z
zasady superpozycji:
M
n
=M
P
0
M
1
⋅X
1
M
2
⋅X
2
M
sn
=M
s
P
0
M
1
s
⋅X
1
M
2
s
⋅X
2
4,0
3,0
5,0
[m]
4,0
3,0
5,0
[m]
x
x
y
y
z
z
M
(n)
[kNm]
M
s(n)
[kNm]
23,667
8,444
2,685
30
+
23,667
-11,129
_
30
42,685
11,129
+
28,389
28,389
28,389
14,399
2,42
•
Sprawdzenie równowagi w węzłach
x
x
y
y
z
z
23,667
30
11,129
30
11,129
8,444
2,685
28,389
28,389
11,129
23,667
Agnieszka Sysak Gr. 3
2004-03-16
Część 1
OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ MATODĄ SIŁ
7
•
Kontrola kinematyczna
W celu wykonania kontroli kinematycznej korzystamy z twierdzenia redukcyjnego. Do sprawdzenia przyjęto
układy podstawowe takie jak w stanach X
1
= 1 oraz X
2
= 1 z tą różnicą, że tym razem przyłożone siły
jedynkowe są siłami wirtualnymi.
1 ⋅
A
y
=
∑∫
M
1
y
M
y n
EJ
∑∫
M
1
z
M
z n
EJ
∑∫
M
1
s
M
sn
0,75 EJ
1 ⋅
B
z
=
∑∫
M
2
y
M
y n
EJ
∑∫
M
2
z
M
z n
EJ
∑∫
M
2
s
M
sn
0,75 EJ
EJ
A
y
=1
2
⋅8,444 ⋅4 ⋅
2
3
⋅4
2
3
⋅5
⋅4
2
8
⋅4 ⋅
1
2
⋅4 −
1
2
⋅3 ⋅23,667 ⋅
2
3
⋅3
1
2
⋅4 ⋅4 ⋅
2
3
⋅11,129
1
3
⋅42,685
1
0,75
⋅−4 ⋅3 ⋅−11,129−3 ⋅4 ⋅23,667=
=200,548 −200,608 =−0,060 ≈0
EJ
B
z
=1
2
⋅28,389 ⋅3 ⋅
2
3
⋅3 −
1
2
⋅2,685 ⋅5 ⋅
2
3
⋅5
1
2
⋅3 ⋅3 ⋅
2
3
⋅28,389
1
3
⋅30
−
−1
2
⋅11,129 42,685⋅4 ⋅5
1
0,75
⋅3 ⋅5 ⋅28,389 −3 ⋅5 ⋅11,129=
=−345,181345,200=0,019 ≈0
Ponieważ przy obliczeniu przemieszczeń pominięto wpływ normalnych i tnących, wykresy te w układzie
niewyznaczalnym musimy wykonać rozwiązując układ od obliczonych nadliczbowych i obciążenia
zewnętrznego.
10 kN
5 kN/m
4,0
3,0
5,0
[m]
9,463 kN
12,111 kN
x
y
z
Agnieszka Sysak Gr. 3
2004-03-16
Część 1
OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ MATODĄ SIŁ
8
4,0
3,0
5,0
[m]
4,0
3,0
5,0
[m]
x
x
y
y
z
z
N
(n)
[kN]
T
(n)
[kN]
-0,537
-9,463
_
_
-0,537
-0,537
7,889
+
7,889
+
_
_
-7,889
_
+
12,111
2,42
•
Sprawdzenie równowagi w węzłach
7,889
7,889
7,889
7,889
0,537
0,537
0,537
0,537
0,537
9,463
10,0
Agnieszka Sysak Gr. 3
2004-03-16