U
KŁADY
P
RZESTRZENNE
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
1
O
BLICZANIE UKŁADÓW PRZESTRZENNYCH STATYCZNIE
NIEWYZNACZALNYCH METODĄ SIŁ
.
Zadana rama:
4
3
6
Dobieram układ podstawowy i zapisuję układ równań kanonicznych:
6
3
U
KŁADY
P
RZESTRZENNE
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
1
O
BLICZANIE UKŁADÓW PRZESTRZENNYCH STATYCZNIE
NIEWYZNACZALNYCH METODĄ SIŁ
.
Zadana rama:
4
3
6
Dobieram układ podstawowy i zapisuję układ równań kanonicznych:
6
3
U
KŁADY
P
RZESTRZENNE
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
2
=
∆
+
⋅
+
⋅
=
∆
+
⋅
+
⋅
0
0
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
P
P
X
X
X
X
δ
δ
δ
δ
∫
∫
⋅
+
⋅
=
ds
EI
M
M
ds
EI
M
M
k
s
i
s
k
i
ik
δ
∫
∫
⋅
+
⋅
=
∆
ds
EI
M
M
ds
EI
M
M
k
s
i
s
i
P
iP
Parametry przekroju
rurowego
I
I
E
G
s
2
375
,
0
=
=
Rysuję wykresy momentów od poszczególnych sił jednostkowych:
M
1
[m]
6
4
3
M
s
1
[m]
3
6
4
U
KŁADY
P
RZESTRZENNE
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
3
Równowaga węzłów:
M
2
[m]
3
4
6
M
s
2
[m]
3
6
U
KŁADY
P
RZESTRZENNE
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
4
Równowaga węzłów:
M
P
[kNm]
6
4
3
M
s
P
[kNm]
6
4
3
U
KŁADY
P
RZESTRZENNE
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
5
Równowaga węzłów:
Korzystając z metody Wereszczegina- Mohra całkowania iloczynu dwóch funkcji (w tym
jednej prostoliniowej) otrzymuje się:
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
ds
EI
M
M
P
P
k
s
i
s
k
i
ik
1
4320
4
180
3
75
,
0
1
180
4
4
2
1
1
1
10260
180
3
6
180
3
6
75
,
0
1
6
3
1
180
6
2
1
6
3
2
180
6
2
1
3
3
2
180
3
2
1
1
1
168
4
3
6
75
,
0
1
4
6
6
2
1
1
1
)
3
(
3
,
244
4
4
3
75
,
0
1
3
3
6
4
4
6
3
3
2
3
3
2
1
4
3
2
4
4
2
1
1
1
369
3
3
6
6
3
6
75
,
0
1
3
3
2
3
3
2
1
6
3
2
6
6
2
1
2
1
2
1
12
22
11
⋅
−
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
=
∆
⋅
−
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
∆
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
+
⋅
=
∫
∫
δ
δ
δ
δ
Sprawdzenie globalne delt:
[
]
3
1
949
1
472
1
3
3
6
10
10
3
75
,
0
1
75
,
0
)
3
(
3
,
477
4
3
1
10
3
2
6
10
2
1
10
3
1
4
3
2
6
4
2
1
3
3
6
3
3
2
3
3
2
1
2
6
3
2
6
6
2
1
4
3
2
4
4
2
1
1
75
,
0
22
21
12
11
2
2
2
2
⋅
=
+
+
+
=
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
+
∑∑
∫
∫
∑∑
∫
∫
EI
EI
EI
ds
EI
M
EI
ds
EI
M
ds
EI
M
ds
EI
M
i
k
ik
S
S
S
i
k
ik
S
S
S
δ
δ
δ
δ
δ
δ
U
KŁADY
P
RZESTRZENNE
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
6
Mając dane wszystkie wielkości podstawiam je do układu równań i rozwiązuje go:
=
−
⋅
+
⋅
=
−
⋅
+
⋅
0
4320
3
1
244
168
0
10260
168
369
2
1
2
1
X
X
X
X
kN
X
kN
X
0925
,
2
7575
,
28
2
1
−
=
=
4
3
6
Siły występujące w poszczególnych prętach:
Pręt 1
U
KŁADY
P
RZESTRZENNE
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
7
Pręt 2
Pręt 3
Pręt 4
U
KŁADY
P
RZESTRZENNE
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
8
Pręt 5
Końcowy wykres momentów:
M
n
[kNm]
M
s
n
[kNm]
Kontrola kinematyczna:
[
]
EI
EI
EI
u
ds
EI
M
M
ds
EI
M
M
u
S
S
n
n
0225
,
0
825
,
15
3
6
3
6
7275
,
93
75
,
0
1
2
63
,
171
6
2
1
4
825
,
15
6
2
1
2
7275
,
93
3
2
1
4
545
,
172
6
2
1
1
1
1
1
1
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
=
∫
∫
U
KŁADY
P
RZESTRZENNE
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
9
[
]
EI
EI
EI
u
ds
EI
M
M
ds
EI
M
M
u
S
S
n
n
0075
,
0
4
825
,
15
3
75
,
0
1
4
63
,
171
6
2
1
4
825
,
15
6
2
1
2775
,
6
3
6
3
3
2
2775
,
6
3
2
1
37
,
188
3
2
180
3
1
4
4
2
1
1
2
2
2
2
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
=
⋅
+
⋅
=
∫
∫
Końcowy wykres tnących:
T
n
[kN]
Końcowy wykres normalnych:
N
n
[kN]