U
KŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
1
O
BLICZANIE UKŁADÓW STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH
METODĄ SIŁ
.
Zadana rama wygląda następująco:
Siły wewnętrzne od obciążenia zewnętrznego. Dobieram układ podstawowy w ten sposób
aby zachować symetrię:
Zapisuję układ równań kanonicznych:
=
∆
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
∆
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
∆
+
⋅
+
⋅
+
⋅
0
0
0
3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
P
P
P
X
X
X
X
X
X
X
X
X
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
∫
⋅
=
ds
EI
M
M
k
i
ik
δ
∫
⋅
=
∆
ds
EI
M
M
i
P
iP
U
KŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
2
Rysuję wykresy momentów od poszczególnych sił jednostkowych:
M
1
M
2
M
3
U
KŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
3
M
P
M
S
U
KŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
4
Korzystając z metody Wereszczegina- Mohra całkowania iloczynu dwóch funkcji (w tym
jednej prostoliniowej) otrzymuje się:
[
]
[
]
0
504
10
48
1
12
3
2
6
12
2
1
1
6
6
6
2
2
1
6
3
2
6
10
2
2
1
2
1
0
3
2
23
2
2
22
1
2
21
=
⋅
=
+
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
∫
∫
∫
ds
EI
M
M
EI
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
ds
EI
M
M
δ
δ
δ
[
]
+
=
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
+
=
⋅
=
∫
∫
∫
42
10
3
4
1
1
3
1
4
3
2
4
6
2
1
4
3
1
1
3
2
1
6
2
1
2
2
1
1
3
2
10
2
2
1
2
1
0
90
10
8
1
3
3
33
2
3
32
1
3
31
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
ds
EI
M
M
EI
ds
EI
M
M
δ
δ
δ
[
]
+
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
⋅
=
∆
=
⋅
=
∆
+
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
⋅
=
∆
∫
∫
∫
1668
10
3
232
1
2
5
8
6
4
6
3
2
1
3
1
4
3
2
6
128
2
1
4
3
1
1
3
2
6
56
2
1
2
2
1
1
2
1
8
2
4
10
2
3
2
1
3
2
56
10
2
2
1
2
1
0
3744
10
464
1
6
8
12
4
12
3
2
6
56
12
1
6
2
1
8
2
4
10
2
3
2
6
3
2
56
10
2
2
1
2
1
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
ds
EI
M
M
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
P
P
P
P
P
P
Sprawdzenie globalne delt:
+
⋅
⋅
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
∑∑
∫
∑∑
∫
942
10
3
340
1
942
10
3
340
1
12
3
2
6
12
2
1
1
4
3
1
1
3
2
6
1
2
1
1
3
1
4
3
2
6
4
2
1
2
1
13
3
1
16
3
2
16
6
2
1
16
3
1
13
3
2
13
6
2
1
2
1
13
3
2
10
2
13
2
1
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
2
2
EI
EI
EI
EI
EI
EI
ds
EI
M
ds
EI
M
i
k
ik
S
i
k
ik
S
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
U
KŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
5
+
⋅
⋅
−
=
∆
+
∆
+
∆
=
∆
+
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
⋅
∆
=
⋅
∑
∫
∑
∫
5412
10
3
1624
1
5412
10
3
1624
1
2
1
8
2
4
2
3
2
1
3
2
10
2
56
2
1
1
2
5
8
6
4
6
3
2
1
3
1
4
3
2
6
128
2
1
1
3
2
4
3
1
6
56
2
1
2
1
2
39
8
6
4
6
3
2
13
3
1
16
3
2
6
128
2
1
16
3
1
13
3
2
6
56
2
1
2
1
13
2
1
8
2
4
10
2
3
2
13
3
2
10
2
56
2
1
1
3
2
1
2
2
2
2
EI
EI
EI
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
ds
EI
M
M
P
P
P
iP
S
P
iP
S
P
Mając dane wszystkie wielkości podstawiam je do układu równań i rozwiązuje go:
=
∆
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
∆
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
∆
+
⋅
+
⋅
+
⋅
0
0
0
3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
P
P
P
X
X
X
X
X
X
X
X
X
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
]
[
687978
,
27
0
]
[
489344
,
5
0
1668
10
3
232
42
10
3
4
0
90
10
8
0
0
0
504
10
48
0
0
3744
10
464
90
10
8
0
216
10
48
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
kN
X
X
kN
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
=
=
=
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
M
P
U
KŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
6
T
P
N
P
Sprawdzenie kinematyczne:
M
P
U
KŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
7
M
i
EI
EI
EI
u
ds
EI
M
M
u
i
i
n
i
031
,
0
6
8
6
4
6
3
2
6
6
2
687
,
15
623
,
4
1
4
623
,
4
40
2
1
3
8
2
4
40
3
2
1
2
2
=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
=
⋅
=
∫
Dobieram odpowiedni przekrój dwuteowy:
43
,
96
5
,
19
1567
2
,
1
2
,
1
2
≥
≤
⋅
≤
⋅
W
cm
kN
W
kNcm
W
M
dop
σ
Dwuteownik 120:
[
]
cm
h
kNm
EI
cm
W
cm
I
0
,
12
4
,
672
7
,
54
328
2
3
4
=
=
=
=
U
KŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
8
Siły wewnętrzne od osiadania podpór
.
Układ podstawowy przyjmuję podobnie jak w poprzednio:
( ) ( )
[
]
0
01
,
0
1
01
,
0
1
1
1
=
⋅
−
⋅
−
=
∆
=
∆
−
=
∆
∆
∆
∑
i
R
( ) ( )
(
)
[
]
004
,
0
012
,
0
2
01
,
0
1
01
,
0
1
2
2
=
⋅
−
⋅
+
⋅
−
=
∆
=
∆
−
=
∆
∆
∆
∑
i
R
U
KŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
9
( )
( )
0
0
1
01
,
0
2
1
01
,
0
2
1
2
3
=
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
∆
=
∆
−
=
∆
∆
∆
∑
i
R
Delty wykorzystuję z obliczonego wcześniej układu podstawowego:
=
∆
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
∆
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
∆
+
⋅
+
⋅
+
⋅
∆
∆
∆
0
0
0
3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
X
X
X
X
X
X
X
X
X
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
( )
[ ]
[ ]
[ ]
kN
X
kN
X
kN
X
EI
X
X
X
EI
X
X
X
EI
X
X
X
0
0041
,
0
0
0
0
42
10
3
4
0
90
10
8
0
004
,
0
0
504
10
48
0
0
0
90
10
8
0
216
10
48
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
=
−
=
=
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
M
∆
n
U
KŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
10
Sprawdzenie:
[
]
[ ]
[ ]
m
m
V
EI
EI
EI
V
ds
EI
M
M
R
V
K
K
i
n
i
K
01
,
0
01000074
,
0
6
3
2
6
0492
,
0
2
1
1
6
6
0246
,
0
2
1
6
3
2
0246
,
0
40
2
1
1
012
,
0
1
1
≈
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
−
⋅
⋅
=
∆
+
⋅
∑
∫
∆
U
KŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
11
Siły wewnętrzne od wpływu temperatur:
Schemat podstawowy przyjęto jak w poprzednim zadaniu:
[
]
C
t
kNm
EI
C
t
C
t
m
h
C
t
C
t
C
t
C
t
m
g
t
d
0
0
2
0
0
0
0
0
5
0
0
20
"
4
,
672
0
'
10
12
,
0
0
"
10
10
2
,
1
40
'
30
=
=
=
=
=
=
∆
−
=
⋅
=
=
∆
=
−
α
Delty od temperatur obliczam według wzoru:
∫
∫
+
∆
=
∆
ds
t
N
ds
h
t
M
t
i
t
i
it
0
α
α
M
1
N
1
4397893
,
0
10
12
12
,
0
40
12
6
10
12
12
,
0
40
6
40
2
1
2
6
6
0
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
+
∆
=
∆
−
−
∫
∫
ds
t
N
ds
h
t
M
t
i
t
i
it
α
α
U
KŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
12
M
2
N
2
(
)
0
0
0
=
=
∆
=
+
∆
=
∆
∫
∫
t
i
symetria
ds
t
N
ds
h
t
M
t
i
t
i
it
α
α
U
KŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
13
M
3
N
3
[
]
146738
,
0
20
10
2
,
1
6
1
10
12
12
,
0
40
6
2
5
2
10
12
12
,
0
40
1
40
2
1
2
5
6
6
0
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
+
∆
=
∆
−
−
−
∫
∫
ds
t
N
ds
h
t
M
t
i
t
i
it
α
α
Układ równań kanonicznych:
=
∆
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
∆
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
∆
+
⋅
+
⋅
+
⋅
0
0
0
3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
t
t
t
X
X
X
X
X
X
X
X
X
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
U
KŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
14
Podstawiamy obliczone delty od wpływu temperatur:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
[ ]
[ ]
[ ]
kN
X
kN
X
kN
X
EI
X
X
X
EI
X
X
X
EI
X
X
X
5921
,
0
0
6184
,
0
0
146738
,
0
42
10
3
4
0
90
10
8
0
0
0
504
10
48
0
0
439789
,
0
90
10
8
0
216
10
48
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
=
=
=
=
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
Wykres końcowy od wpływu temperatury:
M
t
T
t
U
KŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
15
T
t
M
i
U
KŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
16
N
i
[ ]
m
V
V
h
t
EI
EI
V
ds
t
N
ds
h
t
M
ds
EI
M
M
V
k
k
t
k
t
i
t
i
i
t
k
000025099
,
0
6
12
6
40
2
1
004
,
0
6
6
2
3024
,
4
0784
,
6
4
,
672
1
4
3024
,
4
40
2
1
2
4
,
672
1
6
12
6
40
2
1
6
6
2
3024
,
4
0784
,
6
2
2
1
4
3024
,
4
40
2
1
2
1
0
0
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
∆
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
+
∆
+
⋅
=
∫
∫
∫
α
α
α
Obliczam zadane przemieszczenie
Korzystam z twierdzenia redukcyjnego. Wykorzystuję końcowy wykres momentów dla
układu statycznie niewyznaczalnego i rysuję wykres momentów od przyłożonej jednostkowej
siły wirtualnej dla schematu zastępczego.
U
KŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
17
]
[
0093
,
0
2
3952
,
0
8
2
4
40
3
2
3952
,
0
3
2
63
,
4
40
2
1
1
2
3952
,
0
5808
,
1
8
6
4
6
3
2
3952
,
0
3
2
5808
,
1
3
1
6
63
,
4
2
1
3952
,
0
3
1
5808
,
1
3
2
6
67
,
15
2
1
2
1
2
1116
,
4
9251
,
2
8
6
4
6
3
2
1116
,
4
3
2
9251
,
2
3
1
6
67
,
15
2
1
1116
,
4
3
1
9251
,
2
3
2
6
63
,
4
2
1
2
1
1185
,
0
3
1
9251
,
2
3
2
40
2
1
63
,
4
2
1
9251
,
2
3
1
1185
,
0
3
2
315
,
2
40
2
1
2
1
9251
,
2
8
3
1185
,
0
8
5
8
2
4
3
2
2
1
1185
,
0
3
2
315
,
2
40
2
1
2
1
1185
,
0
8
5
8
2
4
40
3
2
2
1
1
2
2
2
2
2
m
EI
EI
EI
EI
V
ds
EI
M
M
V
k
n
u
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
+
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
∫
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
cwicz mechanika budowli obliczanie ukladow statycznie niewyznaczalnych metoda sil krata
cwicz mechanika budowli obliczanie ukladow statycznie niewyznaczalnych metoda sil luk
cwicz mechanika budowli obliczanie ukladow statycznie niewyznaczalnych metoda sil luk
cwicz mechanika budowli obliczanie ukladow statycznie niewyznaczalnych metoda sil krata
Mechanika Budowli obliczanie ukladow statycznie niewyznaczalnych metoda sil (rama przestrzenna)
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metoda sił z wykorzystaniem symetrii i antysymetrii
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metoda sił z wykorzystaniem symetrii i antysymetrii
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił
wykl mechanika budowli 12 luki statycznie niewyznaczalne
J Ledziński Mechanika budowli cz 2 Statyka prętowych układów statycznie niewyznaczalnych
J Ledziński Mechanika budowli cz 2 Statyka prętowych układów statycznie niewyznaczalnych
cwicz mechanika budowli metoda przemieszczen rama ugiecie
cwicz mechanika budowli przemieszczen metoda pracy wirtualnej
więcej podobnych podstron