Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
1
POLITECHNIKA POZNA
Ń
SKA
INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metoda
sił z wykorzystaniem symetrii i antysymetrii
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
2
6 kN/m
EI
10 kN
4
EI
3
3
2EI
PoniewaŜ rama jest symetryczna, do obliczenia nadliczbowych niewiadomych
skorzystamy z symetrii i antysymetrii obciąŜenia zewnętrznego. W tym celu tworzymy dwa
oddzielne schematy obciąŜenia dające w sumie obciąŜenie dane pierwotnie. Jedno z nich jest
symetryczne, drugie antysymetryczne.
W przypadku obciąŜenia symetrycznego wykresy NORMALNEJ i MOMENTU są
symetryczne, a wykres TNĄCEJ - antysymetryczny.
EI
5 kN
4
EI
3
3
2EI
5 kN
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
3
Do obliczeń bierzemy połowę ramy.
3 kN/m
EI
5 kN
3
4
2EI
STOPIEŃ STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI
SSN=5-3=2
1.
PRZYJMUJĘ UKŁAD PODSTAWOWY
3 kN/m
EI
5 kN
2EI
X
1
X
2
4
WARUNKI
0
1
1
=
∆
0
1
2
=
∆
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
4
0
)
(
)
(
)
(
2
1
1
1
1
=
∆
+
∆
+
∆
X
X
P
0
)
(
)
(
)
(
2
2
1
2
2
=
∆
+
∆
+
∆
X
X
P
GDZIE:
1
11
1
1
)
(
X
X
δ
=
∆
2
12
2
1
)
(
X
X
δ
=
∆
PO PRZEKSZTAŁCENIU:
0
1
2
12
1
11
=
+
+
P
X
X
δ
δ
δ
0
2
2
22
1
21
=
+
+
P
X
X
δ
δ
δ
∫
∑
=
EI
M
M
k
i
ik
δ
2.
STAN
1
1
=
X
H
A
R
A
M
A
A
EI
3
2EI
1
4
∑
:
X
1
=
A
H
∑
:
Y
0
=
A
R
∑
:
A
M
0
4
1
=
⋅
+
A
M
4
−
=
A
M
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
5
3.
WYKRES MOMENTU W STANIE
1
1
=
X
M
1
[m]
4
3
4
4.
STAN
1
2
=
X
H
A
R
A
M
A
A
EI
3
2EI
1
4
∑
:
X
0
=
A
H
∑
:
Y
0
=
A
R
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
6
∑
:
A
M
0
1
=
+
A
M
1
−
=
A
M
5.
WYKRES MOMENTU W STANIE
1
2
=
X
M
2
[m]
3
1
1
1
4
1
6.
STAN P
3 kN/m
H
A
R
A
M
A
A
EI
5 kN
3
2EI
4
∑
:
X
5
−
=
A
H
∑
:
Y
9
=
A
R
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
7
∑
:
A
M
0
4
5
5
,
1
3
3
=
⋅
−
⋅
⋅
−
A
M
5
,
33
=
A
M
7.
WYKRES MOMENTU W STANIE P
M
P
[kNm]
13,5
33,5
3
13,5
4
8.
WYZNACZANIE
δ
∫
∑
=
EI
M
M
k
i
ik
δ
Dla ułatwienia obliczeń korzystam równieŜ ze wzoru Mohra-Wiereszczagina
∫
⋅
=
B
A
S
dx
x
g
x
f
η
)
(
)
(
EI
EI
333
,
21
)
4
3
2
4
4
5
,
0
(
1
11
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
EI
EI
EI
5
,
5
)
1
4
1
(
1
)
1
3
1
(
2
1
22
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
δ
EI
EI
8
)
1
4
4
5
,
0
(
1
12
=
⋅
⋅
⋅
=
δ
Zgodnie z twierdzeniem Maxwella
ki
ik
δ
δ
=
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
8
EI
8
21
12
=
=
δ
δ
EI
EI
P
664
,
214
)]
5
,
13
3
/
1
5
,
33
3
2
(
4
4
5
,
0
[
1
1
−
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
δ
EI
EI
EI
P
75
,
100
)
1
5
,
33
4
5
,
0
1
5
,
13
4
5
,
0
(
1
)
1
3
8
3
3
3
2
1
5
,
13
3
5
,
0
(
2
1
2
2
−
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
=
δ
WYZNACZANIE X
1
, X
2
0
75
,
100
5
,
5
8
0
664
,
214
8
333
,
21
2
1
2
1
=
−
+
=
−
+
EI
X
EI
X
EI
EI
X
EI
X
EI
]
[
11
,
8
]
[
017
,
7
2
1
kN
X
kN
X
=
=
5 kN
EI
2EI
3 kN/m
7,017
8,11
4
∑
:
X
kN
H
A
017
,
2
=
∑
:
Y
kN
R
A
9
=
∑
:
A
M
kNm
M
A
678
,
2
=
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
9
M
N
[kNm]
3
2,678
5,39
5,39
8,11
4
3
2,678
5,39
5,39
8,11
4
5,39
5,39
2,678
3
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
10
T
N
[kN]
7,017
3
-
4
7,017
9
+
7,017
3
-
7,017
4
9
+
-
+
7,017
7,017
9
3
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
11
N
N
[kN]
4
3
7,017
-
7,017
9
9
-
7,017
9
9
3
3
7,017
-
7,017
4
9
9
-
7,017
9
9
3
9.
WYKONUJE SPRAWDZENIE KINEMATYCZNE
∫
∑
=
⋅
dx
EI
M
M
o
n
)
(
)
(
1
δ
W tym celu przyjmuję nowy układ podstawowy
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
12
2EI
3
EI
R
A
H
A
X
1
5 kN
3 kN/m
X
2
H
B
4
10.
STAN OBCIĄśENIA WIRTUALNEGO W NOWYM UKŁADZIE
PODSTAWOWYM
H
A
R
A
1
EI
3
2EI
4
H
B
∑
:
A
M
25
,
0
−
=
A
H
∑
:
Y
0
=
A
R
∑
:
X
25
,
0
−
=
B
H
11.
WYKRES MOMENTU W STANIE OBCIĄśENIA WIRTUALNEGO
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
13
M [m]
3
1
4
12.
OBLICZANIE ZEROWEGO PRZEMIESZCZENIA PUNKTU A
EI
EI
A
0178
,
0
]
1
3
2
678
,
2
4
2
1
)
1
3
1
(
39
,
5
4
5
,
0
[
1
1
1
=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
ϕ
BŁĄD PROCENTOWY
0
%
49
,
0
%
100
)
5897
,
3
:
0178
,
0
(
≈
=
⋅
EI
EI
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
14
W przypadku obciąŜenia antysymetrycznego wykresy NORMALNEJ i MOMENTU
są antysymetryczne, a wykres TNĄCEJ - symetryczny.
EI
3
5 kN
3 kN/m
EI
4
3
2EI
3 kN/m
5 kN
Do obliczeń bierzemy połowę ramy.
3 kN/m
EI
5 kN
3
4
2EI
STOPIEŃ STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI
SSN=4-3=1
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
15
13.
PRZYJMUJĘ UKŁAD PODSTAWOWY
2EI
3
EI
5 kN
3 kN/m
4
X
1
WARUNKI
0
1
1
=
∆
0
)
(
)
(
1
1
1
=
∆
+
∆
X
P
GDZIE:
1
11
1
1
)
(
X
X
δ
=
∆
PO PRZEKSZTAŁCENIU:
0
1
1
11
=
+
P
X
δ
δ
∫
∑
=
EI
M
M
k
i
ik
δ
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
16
14.
STAN
1
1
=
X
3
R
A
H
A
M
A
A
EI
1
4
2EI
∑
:
X
0
=
A
H
∑
:
Y
1
−
=
A
R
∑
:
A
M
0
3
1
=
⋅
+
A
M
3
−
=
A
M
15.
WYKRES MOMENTU W STANIE
1
1
=
X
M
1
[m]
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
17
3
3
3
3
4
16.
STAN P
3 kN/m
H
A
R
A
M
A
A
EI
5 kN
3
2EI
4
∑
:
X
5
−
=
A
H
∑
:
Y
9
=
A
R
∑
:
A
M
0
4
5
5
,
1
3
3
=
⋅
−
⋅
⋅
−
A
M
5
,
33
=
A
M
17.
WYKRES MOMENTU W STANIE P
M
P
[kNm]
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
18
13,5
33,5
3
13,5
4
18.
WYZNACZANIE
δ
∫
∑
=
EI
M
M
k
i
ik
δ
Dla ułatwienia obliczeń korzystam równieŜ ze wzoru Mohra-Wiereszczagina
∫
⋅
=
B
A
S
dx
x
g
x
f
η
)
(
)
(
EI
EI
EI
5
,
40
)
3
4
3
(
1
)
3
3
/
2
3
3
5
,
0
(
2
1
11
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
EI
EI
EI
P
1875
,
297
)
3
5
,
33
4
5
,
0
3
5
,
13
4
5
,
0
(
1
)
3
5
,
0
3
8
3
3
3
/
2
3
3
/
2
5
,
13
3
5
,
0
(
2
1
2
1
−
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
δ
WYZNACZANIE X
1
0
1875
,
297
5
,
40
1
=
−
EI
X
EI
]
[
338
,
7
1
kN
X
=
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
19
3 kN/m
EI
5 kN
3
4
2EI
7,338
∑
:
X
5
−
=
A
H
∑
:
Y
652
,
1
=
A
R
∑
:
A
M
486
,
11
=
A
M
19.
WYKRESY RAMY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNEJ
M
N
[kNm]
11,486
3
8,514
8,514
4
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
20
T
N
[kN]
-
5
3
+
1,667
5
7,338
4
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
21
-
5
3
+
5
7,338
4
5
5
3
N
N
[kN]
3
1,667
-
1,667
4
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
22
3
1,667
-
1,667
4
1,667
1,667
3
20.
WYKONUJE SPRAWDZENIE KINEMATYCZNE
W tym celu przyjmuję nowy układ podstawowy
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
23
3 kN/m
H
A
R
A
X
1
A
EI
5 kN
3
4
R
B
2EI
21.
STAN OBCIĄśENIA WIRTUALNEGO W NOWYM UKŁADZIE
PODSTAWOWYM
H
A
R
A
1
A
EI
3
4
R
B
2EI
∑
:
X
0
=
B
H
∑
:
A
M
3
1
−
=
B
R
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
24
∑
:
Y
3
1
=
A
R
WYKRES MOMENTU W STANIE OBCIĄśENIA WIRTUALNEGO
M [m]
3
1
1
4
∑ ∫
=
⋅
m
o
n
dx
EI
M
M
)
(
)
(
1
δ
EI
EI
EI
A
00335
,
0
)
1
486
,
11
4
5
,
0
1
514
,
8
4
5
,
0
(
1
)
1
5
,
0
3
8
3
3
3
/
2
1
3
/
2
514
,
8
3
5
,
0
(
2
1
1
2
−
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
⋅
ϕ
BŁĄD PROCENTOWY
0
%
056
,
0
%
100
)
944
,
5
:
00335
,
0
(
≈
=
⋅
EI
EI
Wykresy w układzie statycznie niewyznaczalnym
M [kNm]
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
25
8,808
3
3,124
4
14,164
13,904
3
3,124
13,904
8,11
T [kN]
-
2,983
3
+
10,667
7,338
4
7,017
3
2,983
7,338
7,017
N [kN]
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
Gr. 3 rok III
26
3
7,017
-
4
14
-
7,017
4
3
14
4
10,667
7,333