WYŻSZA SZKOŁA ZARZADZANIA MARKETINGOWEGO I JĘZYKÓ OBCYCH W KATOWICACH

Semestr: III

Wykładowca:

Wyznaczanie prognoz jest pewna symulacja.

Podstawą jest model ekonometryczny, szczególnym jego przypadkiem jest funkcja trendu.

Wyliczenie wartości zmiennej prognozowanej i wyznaczenie błędu prognozowania.

Błąd jest nieodzowny w wyznaczaniu prognozy.

Klasyczne metody prognozowania wykorzystują wygładzanie szeregów czasowych.

Oprócz prognozy trzeba wyznaczyć błąd prognozy w 2 sposoby:

1. istnieje możliwość wyliczania błędu ex ande - podejście modelowe

2. stosuje się wyliczenie błędu ex post - podejście adaptacyjne

ex ande wykorzystywane w momencie wyznaczania samej prognozy

ex post możliwe do zastosowania kiedy wyznaczamy ciąg prognoz dotyczących kilku okresów.

KLASYCZNY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY

k

Y_t = ∑ α_i X_i + ξ_t

t=0

α_o, 1X_oi = 1 wyraz wolny, stały

k

Y_t = α₀ + ∑α_i * X_it + ξ_t

t=1

Dodatkowe warunki

Y_t i ξ_t - zmienne losowe

α₀ + ∑α_i* X_it- zmienne losowe

Zakłada się, że nadzieja matematyczna zmiennej objaśniającej będzie równa zmiennej nielosowej, ponadto dla każdego t wariancja jest równa sigma kwadrat.

Dal każdego t = h kowariancja pomiędzy składnikami są nie korelowane ze sobą.

KLASYCZNY MODEL REGRESJI

k

1E(ξ_t) = 0 → E(Y_t) = ∑ α_i X_it

t t=0

1D²(ξ_t) = 0² 1 Cov(ξ_t ξ_h) = 0

t t+h=1...n

Dla każdego t rozkład normalny

1 ξ_t ≈ η (0,0²)

t

t = 1,2,...,n n+1, n+2,n+h h = 1,2,...

h - wyprzedzenie czasowe prognozowania

Y₁, Y₂, ..., Y_n Y_n+1, Y_n+2, Y_n+h

obserwowane prognozowane

Błąd prognozy

U_t+h = Y_t+h - Y_pt+h

Y_p1t+h = f (Y₁,Y₂,...,Y_n)

y₁,y₂,...,y_n U_t+h = y_t+h - y_pt+h

Najprostszy sposób wyznaczania prognozy jest związany z modelem liniowym

Y = X_α + ξ

ξ1 Y1 1 X11 X12 . X1n

ξ2 Y2 1 X21 X22 . X2n

ξ = . Y = . X.= . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

ξ Yn 1 Xn1 Xn2 . Xnn

t

Metoda najmniejszych kwadratów

ϕ(α) = ( Y - Xα)^T ( Y - Xα)

a : ϕ (a) = min

a = (X^TX)^-1 X^TY

^

e = Y - Y = Y - X*a

Stopień dopasowania ocenia się za pomocą wariancji resztowej

e_t = y = ∑ α₁ * X_it

t=0

V(a) = I - (α - a) ( α - a)^T = (X^TX)^-1 δ²

V^(a) = (X^TX)^-1 S²_e

V₁₁ V₁₂ V_1n

V(a) = . . . = [V_ij] _(k+1)*(k+1)

. . .

D²(a_i) i=j =δ² 2ij

Vij= Cov (a_ia_j) i≠j =δ² 2ij

y - wynagrodzenie bieżące

y= 1970,8 -749,3x₁ + 1,6x₂ + 388,2x₃-697,9x₄ +e

stałe płeć wyagr. wykszt. rasa

pracownika przeciętne

y^

y= -3123,5+1,7x2+408,2x3+e

(701,5) (0,059) (64,220)

D^(y^i)- przeciętny zarobek

a= [∑(y_t-y) t] / [∑ (t-t)²], y = 1/n ∑y_t, t= 1/n ∑t

t=1 t=1 t=1

b= y - at, S²_e = [∑(yt - y^t)²]/ n-2

Metoda adaptacyjna - wykładnicza

D²(a) cov(a,b) 0,0751

V = = S²_e (X^TX)^-1 =

cov(a,b) D²(b) 0,0751 (2,6

1 1

• 1

. .

X = t 1

. .

. .

n 1

MODEL TRENDU

D²(Y_t^) = D^(a)t² + 2cov^(a,b)t + D²^(b) + S²_e

I_t = , y_t - Z_t

MEDIANA

1. szereg jednostopniowy

X _n+1/2 n- nieparzyste

Me =

X_n/2 +X_n/2+1 n - parzyste

2

2. szereg wielostopniowy

Me = X₀ + C₀/n₀ ( n/2 - cum_-1)

KLASYCZNY MODEL EKONOMETRYCZNY

k

Y_t = ∑ α_iX_i + ξ_t

t=0

k

Y_t = ∑α_iX_it + α₀ + ξ_t

t=1

Błąd prognozy

U_t+h = Y_t+h - Y_pt+h

Y_pt+h = f(Y₁,Y₂,...,Y_n) Y_t,p+h = ∑ ai * X_in+h

Warunek kryterium najmniejszych kwadratów

ϕ(a) = u^Tu = (y - x_a)^T(y-x_a) = min

a= (X^TX)^-1 X^Ty Y^ = Xa - model oszacowany

A^-1 = (1/detA) * D^T

Reszta

e = Y - Y^ = Y - Xa - wektor reszt

Wariancja resztowa

Kowariancja

V(a) = E (α-a)(α-a)^T = (X^TX)^-1 * δ²

V^(a) = (X^TX)^-1 * S²_e

Prognoza na okresy n+1, n+h

k

Y_p,t+h = ∑ a_i * X_in+h

i=0

Ocena błędu prognozy

k

Y_t = ∑α_iX_it + ξ_t

i=0

Liniowa funkcja trendów

Y_t = a_t + b + ξ_t

Błąd prognozowania ex ante

U_n+h = Y_n+h - Y_p,n+h

k k

E(U_n+h) = E(Y_n+h) - E(Y_p,n+h) = ∑α_iX_i,n+h - ∑E(a_i) * X_i,n+h = 0

i=0 i=0

Nadzieja matematyczna predykatora = 0 - predykator jest nieobciążony

Błąd losowy prognozowania - wyrażony wariancją (nie jest mniejszy od wariancji składnika losowego)

D²(U_n+h) = D²(Y_n+h - Y_p,n+h) = D²(Y_n+h) + D²(Y_p,n+h)

Względny ład prognozy

γ(U_n+h) = * 100%

γ (un+h) ≤ γ %

Horyzont predykcji

H:max γ(U_n+h) ≤ γ₀

H:max D²(U_n+h) ≤ d₀

Metody wyrównywania wykładniczego

Y_t = α_y-1 + α(1-α)y_t-2 + α(1-α)² y_t-3

Y^_t+1 = α_yt + (1-α)y_t^

Ut(α) = yt - yt^(α)

U =1/m ∑ut

Wariancja ex post prognozowania

S²_u = 1/m ∑ u²t

t

S_u = √S²u

Np. γ₉ = S_k/y₉^ (względny błąd prognozy / ostatnie nasze prognozy y₉^)

Ocena parametrów trendu liniowego wyznacza metody NMK.

y_t = e^α+βt lub y_t = αβ^t β>0

β>1 rosnąca

β<1 malejąca

Wielomian drugiego stopnia (parabole)

y_t = α_t + α₁t α₂t² α2>0

Funkcja potęgowa

y_t = αt^β 0<β<1

Funkcja liniowo - odwrotnościowa

y_t = α + β/t β<0

Funkcja ilorazowa

y_t = αt/ β+t

Funkcja logistyczna

y_t = α / 1+ βe - δt α δ>0, β>1

Model potęgowy

y_t = αt^β

Średnie ruchome nieparzyste liczby składników

Średnie ruchome parzysta liczba składników

Ruchome średnie

Y_t+1(k) = 1/k ∑Y_i

Y_t+1(1) = 1*Y_t = Y_t

Y_t+1(2) = ½ (Y_t-1 + Y_t)

Metody wyznaczania prognoza pomocą średnich ruchomych.

Wskaźnik średniego indeksu wyznaczonych cech

Indeks zmiennej o podstawie stałej

I_t/c = y_t/y_c I_t/c = d_t/c + 1 d_k/c = (y_t - y_c)/y_c

Indeks o podstawie łańcuchowej stosunek do okresu poprzedniego

I_t = y_t/ (y_t - 1) I_t = d_t + 1 d_t = (y_t - y_t-1) / y_t-1

d = I + 1 I = √ I₁ * I₂ * I₃ * ... * I_n+1 * I_n

I₁ * I₂ * I₃ = y₁/y₀ * y₂/y₁ * y₃/y₂ = y₃/y₀ = I_3/0

I_t = y_t / y_{t -1}

y_t = I₁ * y_t-1

I_k-1 = y_t-1/y_t-2

y_t-1 = I_k-1 * y_t-2

y_t = I_tI_k-1y_t-2

y_t = I_tI_x-1 I_t-2 y_t-3

y_t= I * y_t-1

Prognoza y_t = I₂y_t-2

y_t-1 = Iy_t-2

y_k = I³y_t-3

Ogólny wzór na metodę prognozowania - wskaźnik indeksu średniego

y_t = I_k * y_t-k

t	yt
1	6	-1,66	-	-
2	10	1,30	-	-
3	13	1,00	-	-
4	13	1,07	-	--
5	14		-	0,64	0,40
6	18		17,36	-1,5	2,25
7	20		21,50	-4,6	21,16
8	22		26,60	-8,98	80,64
9	24		32,98	15,08	104,45
10	24			14,44

Stopień pierwiastka jest równy liczbie wymnażanych indeksów

I = ⁴√ 2,33 = 1,24

y₆ = I * y₅ = 1,24 * 14 = 17,36

y_t = I^k * y_t-k

y_t+k = I^k * y_t

y₇= I² * y₅ = (1,24)² * 14 = 1,24*17,36=21,50

y₈ = I³ * y₅ = I * y₇ = 1,24*21,50=26,60

y₉ = I⁴ * y₅ = I * y₈ = 1,24*26,60=32,98

Ex post

e_t = y_t - y_t

e = 1/m ∑ e_t

e = -1/4 * 14,44 = -3,61

Wartości zmiennej prognozowanej są przeszacowywane o 3,61.

Dostajemy tą prognozę obciążona błędem systematycznym.

Błąd przeciętny prognozowania wyliczmy na podstawie ex post

S²_k = 1/m ∑ e²_t = ¼ * 104,45 = 26,11

Se = √ 26,11 = 5,11

Średni błąd prognozowania V_k

V_t = S_e / y_t

V₈ = 5,11/26,60 = 0,19

V₆ = 5,11/17,36 = 0,29

t	yt	yt	ξt = yt-yt	h	yt,h	gt,h	yt
1	1	7	-6	1	1,67	0,14 (1/7)	3,64 (7*0,52)
2	8	9	-1	2	7,34	0,88 (8/9)	8,10 (9*0,9)
3	12	11	1	3	13,66	1,09 (12/11)	12,32
4	17	13	4	4	17	1,3	15,86
5	9	15	-6	1	33	0,6
6	16	17	-1	2		0,94
7	22	19	3	3		1,15
8	26	21	5	4		1,23
9	19	23	-4	1		0,82
10	22	25	-3	2		0,88
11	31	27	4	3		1,14
12	33	29	4	4		1,13
13		31			25,67
14		33			31,34
15		35			27,66
16		37			41,33

prognozy

y_t = 2t + 5 + ξ_t

MODEL SZEREGU KLASOWEGO

Szereg czasowy

y_t = f(t) + a(t) + ξ_t

funkcja odzwierciedlająca

wahania sezonowe

ξt - losowe wahania w tym zadaniu - addytyczne

y_t = f(k) b(t) - ξ_t

Ocena wskaźnika sezonowości ah

T - bieżący identyfikator danych

y_t,h = f(t) + a_h + ξ_t

a_h = 1/m∑ξ _t,h

a₁ = 1/3 (ξ1 + ξ5 + ξ9) = 1/3 ( -6-6-4) = -16/3 = -5,33

a₂ = 1/3 (ξ2 + ξ6 + ξ10) = 1/3 (-1-1-3) = -5/3 = -1,66

a₃ = 1/3 (ξ3 + ξ7 + ξ11) = 1/3 (1+3+4) = 8/3 = 2,66

Model

y_t,h = y_t+ a_h

Średni wskaźnik sezonowości dla kwartału będziemy dodawać do funkcji trendu

y_1,1 = 7-5,33 = 1,67

Błąd prognozy - nie obliczmy bo za dużo zmiennych

MODEL MULTIPLIKATYCZNY

y_t = f(t)b(t)ξ_t

y_t,h - f(k) b_h ξ_t,h

Oceny wskaźników sezonowości

bn = 1/m ∑ y_t,h/y_t

g_t,h = y_t,h / y_t

b₁ = 1/3 (0,14+0,6+0,82) = 0,52

b₂ = 1/3 (0,88+0,04+0,88) =0,9

b₃ = 1/3 (1,09+1,15+1,14) = 1,12

b₄ = 1/3 (1,3+1,23+1,13) = 1,22

Ocena funkcji

y_t = y_t - b_h

Struktura czasowa wykazuje wahania sezonowe. Trend rosnący z wahaniami sezonowymi.

Czy do tego by pasował model multipliatyczny?

W tym przypadku by pasowała funkcja trendu wyznaczona na podstawie średnich.

1. Podstawowe własności modeli ekonometrycznych (estymacja modelu, parametry określające zgodność modelu z danymi i wariancja resztowa), współrzędne zbieżności, determinacji, współrzędne funkcji regresji ≠0.
   
   Model ekonometryczny z 1 zmienną lun 2 lub 3 wymaga prognozy na podstawie podanego modelu. Wartości zmiennej objaśnianej.

2. Metoda najmniejszych kwadratów - estymacja trendu liniowego kwadratów nieliniowych.
   Trend z jedna zmienną objaśniającą - czas.
   !!! Oszacować parametry trendu
   Wariancja rusztowa - błąd prognozy (współrzędne zbieżności, determinacja)

3. Metody klasyczne - najstarsze

4. Wyznaczanie trendu metodą najmniejszych kwadratów, metody adaptacyjne - średnie scentrowane (mediany)

5. Średnie ruchome scentrowane

6. Wahania sezonowe

7. Ocena dokładności składników losowych za pomocą wariancji ex post, wskaźniki prognozowania

MODELOWANIA SZEREGÓW CZASOWYCH

Metoda autoregesyjna

Y₁,Y₂,...,Y_t, ..Y_n - zależności liniowe autokorelacji

Autokorelacja do badania stopnia zależności.

Yt	Yt-1	Yt-2	Yt-Y	Yt-1-Y	(Yt-Y)^2	(Yt-Y)(Yt-1Y)
2	4	0	0,9	2,9	0,81	2,61
4	0	0	2,9	-1,1	8,41	-3,19
0	0	1	-1,1	-1,1	1,21	1,21
0	1	0	-1,1	-0,1	1,21	0,11
1	0	-	-0,1	-1,1	0,01	0,11
0	-	-	-1,1		1,21	∑0,85
					∑12,86

Model autoregresji

t

Y_t = α₀ + ∑ α_dY_t-1 + ξ _t

d-1

t h

Y_t = α₀ + ∑ α₁γ_t-1 + ∑βx_t + ξ_t

• t-1

PROGNOZY I SYMULACJE TESTY Z NASZEGO EGZAMINU

TEST 1

1. Zapisać i wyjaśnić własności funkcji opisującej trend paraboliczny

2. Trend wzrostu sprzedaży wody mineralnej ma postać Yt= 2t+180, gdzie t= 1,2,3... Kwartalne addytywne wskaźniki sezonowości sprzedaży wody wynoszą -50, -10, 40, 20 odpowiednio dla kwartałów I, II, III, IV. Prognozy na kolejne kwartały roku 10 wynoszą odpowiednio:

3. Notowania kursów akcji w kolejnych okresach wynoszą: 20, 30, 40, 50, 60. Zcentrowane średnie ruchome dwu-okresowe określa ciąg:

4. Współczynnik determinacji trendu liniowego wyznaczonego na podstawie 12 obserwacji wynosi 0,95, a suma kwadratów odchyleń zmiennej objaśnianej od jej średniej wynosi 20. Wartość wariancji resztowej jest równa:

5. W latach od 1 do 10 trend wzrostu sprzedaży pewnego towaru ma postać Yt= t²-2t+80 Średni względny błąd predykcji ex-ante poziomu sprzedaży na rok 12 jest równy 4%. Jaka jest wartość wariancji predykcji ex-ante na rok 12.

6. W miesiącach od stycznia do kwietnia zaobserwowano następujące indeksy łańcuchowe tygodniowych dochodów sklepu (w%): 114,116,116,118. Jakie było średnie tempo zmian. Wyznaczyć prognozę na podstawie indeksu średniego na miesiąc lipiec, gdy wiadomo, ze dochód sklepu w kwietniu wynosił 10 tyś. Zł.

7. W miesiącach od stycznia do lipca zaobserwowano nast. Miesięczne wydatki (w zł): 4,5,8,10,12,14,15. Oszacować trend metodą najmniejszych kwadratów na podstawie danych od stycznia do kwietnia i wyznaczyć na jego podstawie prognozy wydatków do lipca. Wyliczyć i zinterpretować średnią i wariancje ex-post błędów prognoz.

TEST 2

1. Trend wzrostu sprzedaży wody mineralnej ma postać Yt = 2t+180, gdzie t= 1,2,3.... Kwartalne multiplikatywne wskaźniki sezonowości sprzedaży wody wynoszą 120%, 50%, 140% i 90% odpowiednio dla kwartałów I, II, III, IV. Prognozy na kolejne kwartały roku 10 wynoszą odpowiednio:

2. Zapisać i wyjaśnić funkcje opisującą trend wykładniczy (*potęgowy)

3. Notowania kursów akcji w kolejnych okresach wynoszą 2,3,4,5,3. Średnie ruchome trój-okresowe określa ciąg:

4. Współczynnik zbieżności trendu liniowego wyznaczonego na podstawie 12 obserwacji wynosi 0,1, a wariancja resztowa 2. Wówczas suma kwadratów odchyleń zmiennej objaśnianej od jej średniej wynosi:

5. W latach od 1 do 10 trend wzrostu sprzedaży pewnego towaru ma postać Yt=t²-2t+80. Wariancja predykcji ex-ante wynosi 16 na rok 12. Średni względny błąd predykcji ex-ante poziomu sprzedaży na rok 12 jest równy:

6. W miesiacach od stycznia do kwietnia zaobserwowano następujące tygodniowe zyski sklepu (w tyś zł) 4,5,6,6,8,. Jakie było średnie tempo zmian . Wyznaczyć prognozę na podstawie indeksu średniego na miesiąc czerwiec

7. W miesiącach od stycznia do kwietnia zaobserwowano następujące miesięczne wydatki (w zł) 4,6,10,8. na podstawie trendu :y=3t+1 wyznaczyć drugi ciąg prognoz na miesiące od stycznia (t=1) do kwietnia. Wyliczyć średnią oraz wariancje ex-post błędów. Wyliczyć współczynniki Theila dla obu metod prognozowania.

TEST 3

1. W latach od 1 do 10 trend wzrostu sprzedaży pewnego towaru ma postać Yt=t²-2t+80. Wariancja predykcji ex-ante wynosi 16 na rok 12. Średni względny błąd predykcji ex-ante poziomu sprzedaży na rok 12 jest równy:

2. Trend wzrostu sprzedaży wody mineralnej ma postać Yt=2t+180 gdzie t=1,2,3,....Kwartalne multiplikatywne wskaźniki sezonowości sprzedaży wody wynoszą 50%, 100%, 200% i 80% Odpowiednio dla kwartałów I, II, III i IV. Prognozy na kolejne kwartały roku 10 wynoszą odpowiednio.

3. Zapisać i wyjaśnić funkcję opisującą trend potęgowy.

4. Notowania kursów akcji w kolejnych okresach wynoszą 2,3,4,5,3. Zcentrowane średnie ruchome trój-okresowe określa ciąg.

5. Współczynnik zbieżności trendu liniowego wyznaczonego na podstawie 12 obserwacji wynosi 0,2 a wariancja resztowa 2. Wówczas suma kwadratów odchyleń zmiennej objaśnianej od jej średniej wynosi:

6. W miesiącach od stycznia do kwietnia zaobserwowano następujące tygodniowe zyski sklepu (w tyś zł): 4,5,6,6,8. Jakie było średnie tempo zmian. Wyznaczyć prognozę na podstawie indeksu średniego na miesiąc czerwiec.

7. W kolejnych miesiącach zaobserwowano następujące tygodniowe wydatki (w zł) 4,6,4,8,5,6 Wyznaczyć ciąg prognoz metodą średnich ruchomych 3-składnikowych. Wyliczyć średnią oraz wariancje ex-post błędów. Wyliczyć współczynniki Theila dla obu metod prognozowania.

TEST 4

1. Zapisać i wyjaśnić własności funkcji opisującej trend logarytmiczny .

2. Trend wzrostu sprzedaży piwa ma postać : Yt=2t+10, gdzie t=1,2,3,.... Kwartalne addytywne wskaźniki sezonowości sprzedaży wody wynoszą -5,-1,4,2 odpowiednio dla kwartałów I, II, III, IV. Prognozy na kolejne kwartały roku 10 wynoszą odpowiednio:

3. Notowania kursów dolara względem złotego w kolejnych dniach wynoszą 4,3,4,5,60. Uprzednie średnie ruchome dwu-okresowe określa ciąg:

4. Współczynnik determinacji trendu logistycznego wyznaczonego na podstawie 12 obserwacji wynosi 0,95 a suma kwadratów odchyleń zmiennej objaśnianej od jej średniej wynosi 20. Wartość wariancji resztowej jest równa.

5. W latach od 1 do 10 trend wzrostu sprzedaży pewnego towaru ma postać: Yt=t²-2t+80 Średni względny błąd predykcji ex-ante poziomu sprzedaży na rok 12 jest równy 4%. Jaka jest wartość wariancji predykcji ex-ante na rok 12.

6. W miesiącach od stycznia do kwietnia zaobserwowano nast. Indeksy łańcuchowe tygodniowych dochodów hurtowni, (w%): 110,110,120,120 Jakie było średnie tempo zmian. Wyznaczyć prognozę na podstawie indeksu średniego na miesiąc lipiec , gdy wiadomo, że dochód sklepu w kwietniu wynosił 100 tyś zł.

7. W miesiącach od stycznia do lipca zaobserwowano nast. miesięczne wydatki (w zł) 4,5,8,10,12,14,15 . Oszacować metodą najmniejszych kwadratów trend na podstawie danych od stycznia do kwietnia i wyznaczyć na jego podstawie prognozy wydatków do lipca. Wyliczyć i zinterpretować średnią i wariancję ex-post błędów prognoz.

http://otior.w.interia.pl

PROGNOZOWANIE I SYULACJA

-STRONA 23 -

Parametry

Obserwacje zmiennych objaśniających (egzogeniczne)

Składnik losowy = objaśnia wpływ czynników niewyjaśnionych

0

ξ

S²_e = e^Te *

1

n-k^-1

1

n-1

n

S²_e = ∑ e²_k

t=1

1

n-k^-1

X₀ - początek przedziału mediany

C₀ - długość przedziału mediany

n₀- liczba przedziału mediany

cum_-1 - liczba kumulacji przedziału poprzedzającego przedział mediany

S²_e = e^Te

1

n-k-1

1

n-1

n

S²_e = ∑ e²_t

t=1

1

n-k-1

e_t = y_i - ∑α_iX_it

D(U_n+h)

Y_p,n+h

h- wyprzedzenie czasowe

a=

∑yt -y)t

∑(t-t)²

b = y - at

n

y = ∑yt

t=1

1

n

n

t = 1/n ∑t

t=1

S²_e =

∑(y_t-y_t)²

n-2

t+(k-1/2)

Y_t(k) = ∑Yi

i=t-(k-1/2)

1

k

t-(k/2-1)

Y_t(k) = (1/2Y_t-k/2 + ∑Yi + 1/2Y_{t +k/2})

i=t-(k/2+1)

1

k

I = √ I₂ I₃ I₄ I₅

4

I = √ = √

4

y₂ y₃ y ₄ y₅

y₁ y₂ y₃ y₄

4

y₅

y₁

4

0

-2

-4

-6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Średni wskaźnik sezonowości modelu multiplikatycznego

Żeby policzyć tak jak myśmy to zrobili to tak powinno to wyglądać

NASZ PRZYPADEK

stałe

λ =

Cov (Y_t, Y_t-1)

D(Y_t) D(Y_t-1)

D²(Yt) = δ²

t

λt = const

t-1

γd =

C_t,t-d = ∑(Y_t-Y)(Y_t-1-Y)

t

S2t-d = ∑(Y_t-1-Y)²

t

Y= ∑Y_t

t

γd =

C_t,t-1 = ∑(Y_t - Y)(Y_t-1 - Y)

C_t,t-d

S_t, S_t-d

1

n-d

1

n-d

1

n

C_t,t-d

S²_t

1

n-1

---