Równania obserwacyjne. Równania normalne

Dodatek. Układ równań obserwacyjnych i odpowiadający mu układ równań normalnych

Układ równań obserwacyjnych (poprawek)

Układ normalny

,
,
, itp.

Rozwiązanie układu równań normalnych (metoda pierwiastka krakowianowego Banachiewicza):

[aa]	[ab]	[ac]	[la]	1
	[bb]	[bc]	[lb]		1
		[cc]	[lc]			1
A1	B1	C1	L1	M1				A1+B1+C1+L1+M1
	B2	C2	L2	M2	N2			B2 +C2+L2+M2+N2
		C3	L3	M3	N3	P3		C3+L3+M3+N3+P3

Dodatkowa kontrola obliczeń. Sprawdzić czy
,
?

Wartości niewiadomych wyznacza się na podstawie zależności

,
,
,

Błąd średni jednostkowy pojedynczej obserwacji
otrzymujemy wyznaczając poprawki z równań obserwacyjnych
tj. wystarczy podstawić do nich wartości znalezionych niewiadomych
. Błąd
, gdzie n to ogólna ilość obserwacji,
ilość obserwacji nadliczbowych, k - ilość niewiadomych. Sumę
kwadratów poprawek można obliczyć także ze wzorów:

.

Błędy średnie niewiadomych w powyższym przypadku wyrażone są wzorami:

,

Oznaczenie kąta	Przyrosty współrzędnych wzdłuż lewego i prawego ramienia kąta	Tangens przybliżonej wartości kąta		Wartości kąta α Przybliżona Obserwowana		l = αprz - αobs	Współczynniki kierunkowe			Równanie obserwacyjne kąta
													αprz	αobs Poprawka Wartość wyrównana
															A	B
Wielokrotne wcięcie wprzód (kolorem czerwonym oznaczono wielkości otrzymane w wyniku wyrównania)
1	2469,14 -370,37 1234,53 494,04		16 77087 28 65250 0,58532	30°20'29"	30°20'00" 0" 30°20'00"	29"	92 144		-12 53
2	493,82 2716,05 -1254,61 864,41		3780125 1738106 2,17485	65°16'25"	65°19'00" -8" 65°18'52"	-35"	13 -112		74 78
3	-2222,22 -123,45 -1728,43 -1851,64.		3901577 4069537 0,95868	45°47'29"	43°47'30" 9" 43°47'39"	-1"	- 93 -56		- 5 -60
4	493,79 -1728,19 2222,22 123,45		3901377 683965 4,41350	77°14'01"	77°14'00" 11" 77°14'11"	1"	32 93		-110 5

W naszym przypadku układ równań poprawek (układ obserwacyjny) jest następujący

,

W nawiasie zapisano go w postaci symbolicznej.

Stowarzyszony z powyższym układ równań normalnych ma, więc postać:

gdzie:

Zauważmy, że układ normalny (przeciwnie do wyjściowego) posiada tyle równań ile jest niewiadomych tj. dwa równania i dwie zmienne
,
. Powyższe zależności można, przez analogię, łatwo rozszerzyć na większą liczbę niewiadomych. Po wyznaczeniu wartości współczynników
itp. otrzymujemy:

Korzystając z algorytmu pierwiastka krakowianowego mamy:

;
;

;

;
;

;

25148	544	878	1	0	26571
544	37440	8120	0	1	46105
158,6	3,430	5,537	0,006305	0	167,6	167,6
0	193,5	42,07	-0,0001118	0,005168	235,3	235,5

;
;

Po podstawieniu wartości
i
do równań poprawek otrzymujemy:

Teraz możemy wyznaczyć błąd średni pojedynczego spostrzeżenia:

.

(Błąd średni zaokrąglamy w górę).

Następnie wyznaczamy błędy średnie współrzędnych wyznaczanego punktu

;

Do rozwiązania układu można zastosować tutaj (ekonomiczniejszą w tym przypadku od metody pierwiastka krakowianowego) metodę wyznacznikową tj.

Tak jak w powyższym przypadku z równań obserwacyjnych wyznaczamy wartości poprawek
,
,
,
.

Aby wyznaczyć błędy średnie należy wyznaczyć macierz (krakowian) odwrotną do macierzy (krakowianu) współczynników
układu równań normalnych.

, to dopełnienia algebraiczne elementów macierzy a.

Błędy średnie
pojedynczej obserwacji i współrzędnych
wyznaczamy ze związków:

,
,
.

Schowek. Dla rozwiązania układu równań normalnych metodą Banachiewicza.

1

Obliczenie przybliżonych współrzędnych p. 31

X₀ = F₍₁₎ = 1604,90; Y₀ = F₍₂₎ = 1601,69

X = 2839,51

Y = 737,28

X = 1111,11

Y = 3329,88

65°19'00"

X = 370,37

Y = 1107,65

31

24

17

18

X₀ = 1604,90

Y₀ = 1601,69

43°47'30"

30°20'00"

77°14'01"

2

3

4

1

20

X = 3333,33

Y = 3453,33

Szkic

---