Spostrzeżenia bezpośrednie

Spostrzeżeniami bezpośrednimi nazywamy wyniki bezpośredniego porównania każdego przyrządu mierniczego z przedmiotem pomiaru. Na przykład rezultaty pomiaru długości taśmą, łatą lub podziałką przykładaną do mapy, pomiar kierunku poziomego lub pionowego odczytywanego bezpośrednio na kole teodolitu i wszelkie bezpośrednie odczyty na przyrządach geodezyjnych. Często spostrzeżenia bezpo­średnie służą do otrzymania innych wielkości, przedtem jednak — jeżeli to okaże się możliwe — powinny być wyrównane. Wyrównanie spostrzeżeń bezpośrednich będzie tylko wówczas możliwe, jeżeli ten sam przedmiot zmierzymy kilkakrotnie. Drugie i każde następne spostrzeżenie bezpośrednie tej samej wielkości będziemy nazywać spostrzeżeniem nadliczbowym. Spostrzeżenia bezpośrednie wykonane przez jednakowo biegłych obserwatorów, w podobnych warunkach zewnętrznych, przy użyciu tych samych przyrządów oraz tymi samymi metodami pomiarowymi nazywamy spostrzeżeniami jednakowo dokładnymi. Dla uzyskania najprawdopodobniejszej wartości z takich spostrzeżeń — zgodnie z zasadami przyjętymi w rachunku wyrównawczym — przyjmuje się następujący warunek:

tj. suma kwadratów błędów pozor­nych v równa jest minimum.

Aby z obserwacji o niejednakowej dokładności uzyskać wartości najprawdo­podobniejsze, należy przyjąć warunek wyjściowy

co ze względu na definicję wag można również napisać

Średnia arytmetyczna i jej własności

Najbardziej prawdopodobna wartość mierzonej bezpośrednio wielkości, czyli wartość wyrównana, to średnia arytmetyczna

Gdzie
— niezależne spostrzeżenia wyznaczanej wielkości, n — liczba tych spostrzeżeń.

Błąd pozorny spostrzeżenia - v jest to różnica między poszczególnymi spostrze­żeniami a średnią arytmetyczną

Suma błędów pozornych równa się zeru,

.

Warunek ten wykorzystuje się do kontroli poprawności rachunku średniej arytmetycznej i błędów pozornych.

Błąd średni pojedynczego spostrzeżenia obliczamy, gdy znane są błędy pozorne,

Ocenę dokładności wartości wyrównanej, tj. średniej arytmetycznej, otrzymuje się wg wzoru na błąd średni średniej arytmetycznej

Kontrolę rachunku sumy kwadratów błędów pozornych wykonujemy, wyko­rzystując zależność

Waga średniej arytmetycznej
równa jest sumie wag poszczególnych spostrze­żeń

Jeżeli
, wówczas

Ogólna średnia arytmetyczna i jej własności

Ogólna średnia arytmetyczna jest to najbardziej prawdopodobna wartość mie­rzonej wielkości, obliczona z uwzględnieniem wag poszczególnych spostrzeżeń. Otrzymujemy ją z wzoru

Błąd średni spostrzeżenia jednostkowego (spostrzeżenia o wadze równej jed­ności) obliczamy z wzoru

gdzie
jest liczbą spostrzeżeń nadliczbowych, co w wypadku spostrzeżeń bez­pośrednich jest równe
.

Suma iloczynów błędów pozornych przez odpowiadające im wagi jest równa zeru

którą to zależność wykorzystujemy do kontroli poprawności rachunku ogólnej średniej arytmetycznej i błędów pozornych.

Średni błąd i-tego spostrzeżenia o wadze
po wyrównaniu określamy z wzoru

Średni błąd ogólnej średniej arytmetycznej określamy z wzoru

Kontrolę rachunku sumy kwadratów błędów pozornych, mnożonych przez odpowiadające im wagi, wykonujemy, wykorzystując zależność

Waga ogólnej średniej arytmetycznej równa jest sumie wag poszczególnych spostrzeżeń
, a więc

Pomiar parami

Aby uzyskać kontrolę wyników przy wyznaczaniu wielkości kątów, długości boków, różnic wysokości itp. stosujemy pomiar podwójny. Do wyznaczenia średnich błędów każdej z wyznaczonych wielkości nie powinno się stosować powyżej po­danych wzorów ze względu na małą liczbę spostrzeżeń, tj. dwa.

Jeżeli dysponujemy znaczną liczbą jednorodnych wielkości, mierzonych dwu­krotnie (parami), możemy obliczyć średnie błędy takich spostrzeżeń, przy czym — tak jak przy spostrzeżeniach bezpośrednich — rozróżniamy pomiary parami jedna­kowo i niejednakowo dokładne. Średnie błędy obliczone z par spostrzeżeń są tym wiarygodniejsze, im więcej jednorodnych par wykorzystamy do obliczeń. Przyjmując oznaczenia

gdzie d jest różnicą pary spostrzeżeń
i
tej samej wielkości, średni błąd różnicy spostrzeżeń obliczymy z wzoru

gdzie n jest liczbą par spostrzeżeń.

Średni błąd pojedynczego pomiaru (spostrzeżenia) wykonywanego parami obliczamy z wzoru

a błąd średni któregokolwiek podwójnego pomiaru, czyli średniej arytmetycznej dowolnej pary danego szeregu spostrzeżeń, wyrazi się wzorem

W przypadku pomiarów niejednakowo dokładnych wzory te przyjmują postać

oraz średni błąd jednostkowy.

Przed przystąpieniem do obliczania błędów średnich z par spostrzeżeń należy najpierw sprawdzić, czy obserwacje nie są obarczone błędami systematycznymi, a w razie ich istnienia błędy te usunąć. Przyjmujemy, że wykonane spostrzeżenia obarczone są błędami systematycznymi, jeżeli różnice d pary spostrzeżeń mają jeden i ten sam znak plus lub minus, albo gdy jeden z tych znaków wybitnie przeważa.

Systematyczną część różnicy
wyznacza się z równania

lub dla niejednakowo dokładnych różnic

Różnica uwolniona od wpływu błędów systematycznych wynosi

W tym wypadku średni błąd różnicy spostrzeżeń określa wzór

lub dla spostrzeżeń niejednakowo dokładnych

a średni błąd pojedynczego pomiaru

lub dla spostrzeżeń niejednakowo dokładnych

oraz błąd średni średniej arytmetycznej z dowolnej pojedynczej pary spostrzeżeń (błąd któregokolwiek podwójnego pomiaru)

i dla spostrzeżeń niejednakowo dokładnych

Zadania. Bazę dla niezależnej triangulacji miasta zmierzono 8 razy, otrzy­mując po 4 wyniki jednakowo dokładne w każdym kierunku, przy czym odczyty wykonano na specjalnej taśmie 50-metrowej z dokładnością odczytu ±0,2 mm. Wyniki pomiaru i obliczenia zestawiono w tabeli Obliczyć najprawdopodobniejszą długość bazy i jej błąd średni.

i	Li
1	650,1546 m	16,4 mm	+30,35 mm
2	650,1382 m	0,0 mm	+46,75 mm
3	650,2112 m	73,0 mm	-26,25 mm
4	650,1928 m	54,6 mm	-7,85 mm
5	650,2338 m	95,6 mm	-48,85 mm
6	650,2042 m	66,0 mm	-19,25 mm
7	650,1698 m	31,6 mm	+15,15 mm
8	650,1750 m	36,8 mm	+9,95 mm
Lw = 650,18495 m		374,0 mm	+102,20 mm -102,20 mm

Najpierw obliczamy wartość najprawdopodobniejszą, tj. średnią arytmetyczną
. Aby uniknąć działań na liczbach dużych, obieramy jako przybliżoną najmniejszą wartość spostrzeżenia
i odejmujemy ją od spostrzeżeń pozostałych. Otrzymujemy zatem spostrzeżenia zredukowane

Zredukowana wartość średniej arytmetycznej wynosi

a dodając
do wartości przybliżonej
, otrzymamy wartość wyrównaną.

Sprawdzenie. Po obliczeniu błędów po­zornych sprawdzamy, czy [v] = 0, a następnie

Błąd średni pojedynczego spostrzeżenia

Błąd średni średniej arytmetycznej

Błąd średni błędu średniego pojedynczego spostrzeżenia

a błąd średni średniego błędu średniej arytmetycznej

oraz dla kontroli z wzoru

Ostateczna zatem wartość wyrównana bazy po zaokrągleniu

a jej błąd względny

Spostrzeżenia te były jednakowo dokładne, tzn. waga każdego z nich

a wiec waga wartości wyrównanej wynosi

.

Zadanie. W ciągu poligonowym pomierzono kąty w dwóch seriach. Obli­czyć ich wartości średnie i scharakteryzować dokładność pomiarów. Wyniki po­miarów i potrzebne obliczenia podano w poniższej tablicy.

Rozwiązanie. Błąd średni pojedynczego spostrzeżenia:

Błąd średni średniej arytmetycznej

Punkt	Seria 1	Seria 2	Średnia	d	Punkt
1	2	3	4	5	6
i	grady	grady	grady	cc	i
1 2 3 4 5 6 7 8	208,44 12 194,18 32 195,01 26 203,91 86 196,85 74 198,75 08 209,33 92 190,52 60	208,43 92 194,18 34 195,01 34 203,91 76 196,85 90 198,75 16 209,33 88 190,52 54	208,44 02 194,18 33 195,01 30 203,91 81 196,85 82 198,75 12 209,33 90 190,52 57	+20 -2 -8 +10 -16 -8 +4 +6	1 2 3 4 5 6 7 8
Σ = 1597,02 90		1597,02 84	1597,02 87	+ 6	Σ

Zadanie. Zmierzono jednym teodolitem 10 różnych kątów w obu położe­niach lunety, przy czym dokładność pomiaru każdego kąta była jednakowa. Scha­rakteryzować dokładność tych pomiarów przyjmując, że zostały wykonane parami. Wyniki pomiaru i obliczenia podano w tabeli.

Nr kąta	Kąt		d	Średnia	Błąd s	d' = d-s
		KP					KL
1	2	3	4	5	6	7
i	grady	grady	cc	grady	cc	cc
1	15,106	15,102	+ 40	15,10 40	+ 53	-13
2	28,204	28,198	+ 60	28,20,10			+ 7
3	36,982	36,980	+ 20	36,98 10			-33
4	72,375	72,370	+ 50	72,37 25			-3
5	60,860	60,854	+ 60	60,85 70			+ 7
6	87,418	87,412	+ 60	87,41 50			+ 7
7	55,536	55,528	+ 80	55,53 20			+ 27
8	91,722	91,715	+ 70	91,71 85			+ 17
9	43,640	43,635	+ 50	43,63 75			- 3
10	22,054	22,050	+ 40	22,05 20			-13
Σ = 513,897		513,844	+ 530	513,87 05		+ 65 -65

Wszystkie różnice d mają ten sam znak plus, przyjmujemy zatem, że wykonane spostrzeżenia obarczone są błędami systematycznymi. Systematyczną część różnicy d obliczamy według wzoru:

Błąd ten usuwamy przez odjęcie go od każdej różnicy, co daje nową różnicę pozbawioną błędu systematycznego:

Zatem błąd średni różnicy:

błąd średni pojedynczego spostrzeżenia (pomiaru pojedynczego kąta)

i błąd średni średnich arytmetycznych otrzymanych z poszczególnych par

Uwaga. Ponieważ w przypadku istnienia błędu systematycznego s różnice nie mają charakteru błędów prawdziwych różnic, w mianowniku powyższych wzo­rów mamy n-l zamiast n.

Zadanie. Kąt zmierzono 5 razy, obliczyć wartość najprawdopodobniejszą i podać błędy średnie.

Nr	Kąt
1	115°14'10'
2	115°14'50'
3	115°13'40'
4	115°15'10"
5	115°15'00"

Odpowiedź. Wartość najprawdopodobniejsza

Błąd średni pojedynczego spostrzeżenia

Waga wartości najprawdopodobniejszej

Zadanie. Długość zmierzono 5-krotnie (tab.), obliczyć wartość naj­prawdopodobniejsza i podać błędy średnie oraz błąd względny.

Odpowiedź: Wartość najprawdopodobniejsza

Nr	Długość
1	345,14 m
2	345,19 m
3	345,23 m
4	345,17 m
5	345,27 m

Błąd średni pojedynczego spostrzeżenia

Błąd względny

Waga wartości najprawdopodobniejszej
.

Zadanie. Powierzchnię działki wyznaczono 5-krotnie (tabl.), wyrównać wynik, obliczyć błędy średnie i błąd względny.

Nr	Powierzchni
1	1895 m^2
2	1897 m^2
3	1890 m^2
4	1898 m^2
5	1893 m^2

Odpowiedź: Wartość wyrównana

Błąd średni pojedynczego pomiaru:

Waga wartości wyrównanej
. Błąd względny

Zadanie. Wysokość reperu niwelacyjnego uzyskano 5-krotnie z jednakową dokładnością (tabl.). Wyrównać wyniki i obliczyć błędy średnie.

Nr	Wysokość
1	78,365 m
2	78,356 m
3	78,360 m
4	78,355 m
5	78,358 m

Odpowiedź: Wysokość wyrównana

Błąd średni pojedynczego pomiaru:

Waga wartości wyrównanej
.

Pkt	1 seria	2 seria
		grady
1	200,10 44	200,10 39
2	206,05 69	206,05 83
3	198,60 32	198,60 22
4	184,56 69	184,56 74
5	207,04 70	207,04 49
6	198,76 76	198,76 63
7	205,36 04	205,36 15
8	210,43 74	210,43 94
9	196,80 06	196,80 12

Zadanie. W ciągu poligonowym pomierzo­no kąty w dwóch seriach (tab.). Obliczyć błędy średnie.

Odpowiedź: Błąd średni pojedynczej ob­serwacji w każdej serii:

Błąd średni średniej arytmetycznej z dwóch serii (błąd pary):

Zadanie. Przy niwelacji ze środka i tej samej odległości między niwelatorem a łatami otrzymaliśmy różnice między dwukrotnie mierzonymi spadami na tych samych stanowiskach, podane w tabeli. Obliczyć średni błąd pojedynczego pomiaru i średniej arytmetycznej z pary pomiarów.

Nr	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
d	+ 2	-1	-2	+ 3	+ 1	0	+ 4	-3	-4	+ 2	-2	+1 mm

Odpowiedź: Błąd średni pojedynczego pomiaru

Błąd średni spadu określanego z pary spostrzeżeń

Jeżeli waga pojedynczego wyznaczenia spadu p = 1, to waga spadu określanego z pary spostrzeżeń
, co można sprawdzić na podstawie powyższych błędów średnich.

Zadanie. Dwukrotny tachimetryczny pomiar prawie równych długości boków ciągu sytuacyjnego dał różnice podane w metrach w poniższej tabeli.

Nr	1	2	3	4	5	6	7	8	9
d	-0,9	+ 0,5	-0,7	-0,9	-0,6	-1,0	+ 0,6	-0,9	-0,7

Obliczyć błąd średni pojedynczego pomiaru i średniej arytmetycznej z pary pomiarów. Suma tych różnic d = 4,6 m, wobec czego przewaga znaków ujemnych nasuwa przypuszczenie, że istnieje tu błąd systematyczny, który obliczymy korzystając z wzoru

i który odejmujemy od różnic d, otrzymując różnice zredukowane

przy czym

Odpowiedź: Średni błąd pojedynczego pomiaru:

oraz błąd średniej arytmetycznej z pary pomiarów:

Zadanie. Długość boku zmierzono z jednakową dokładnością w dwóch odcinkach. 4-krotny pomiar odcinka
w terenie nachylonym do poziomu pod kątem 5^o±10' i 3-krotny pomiar odcinka
w terenie poziomym zestawiono w tabelach:

Nr	Długość
1	196,75 m
2	196,69 m
3	196,78 m
4	196,66 m
Nr	Długość
1	208,13 m
2	208,19 m
3	208,07 m

Długość boku wyniesie zatem

Obliczyć najprawdopodobniejszą długość boku D oraz jej błąd średni.

Odpowiedź:

Zadanie. Wyrównanie azymutu węzłowego. Azymut jednego z boków na punkcie węzłowym obliczono z czterech ciągów poligonowych. Znaleźć jego wartość najprawdopodobniejszą i obliczyć błędy średnie. Rozwiązanie i obliczenia pośrednie zestawiono w tablicy:

Nr	n	Wagi	Azymut	A'	A'^2	pA'	v	pv
		p	grady	cc	cc		cc
1	2	3	4	5	6	7	8	9
I	9	1,11	119,16 30	30	900	33,30	- 45,3	- 50,283
II	3	3,33	119,1600	0	0	0	- 75,3	-250,749
III	6	1,67	119,17 42	142	20164	237,14	+ 66,7	+ 111,389
IV	7	1,43	119,18 08	208	43264	297,44	+ 132,7	+ 189,761
Sumy		7,54 Aw = 119,16 75				567,88		+ 301,150 -301,032

Waga
, gdzie n jest liczbą katów w ciągu. Aby uniknąć mnożenia wielkich liczb, przyjmujemy A₀ = 119,16 00^g i tę wartość odejmujemy od pozostałych azymutów. Z wielkości A' = A-A₀ obliczamy średnią arytmetyczną ważoną

Wynik ten dodajemy do A₀ i otrzymujemy wartość wyrównaną A wpisaną w tablicy w kolumnie 4. Po obliczeniu błędów pozornych i zsumowaniu iloczynów pv stwierdzamy, że ich suma nieznacznie odbiega od zera, co ma swe źródło w za­okrągleniu miejsc dziesiętnych. Następnie sprawdzamy warunek

Błąd średni azymutu o wadze p = 1:

Średni błąd pojedynczego azymutu:

Błędy te wynoszą:

Średni błąd wartości wyrównanej:

i waga wartości wyrównanej:

Zadanie. Wyrównać współrzędne y poligonowego punktu węzłowego, obliczając ich wagi według wzoru

gdzie L jest sumą długości boków ciągu poligonowego:

Nr	d	p	y	y'	py'	v	pv		m
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	m		m	cm	cm	cm	cm		cm
I	1650	0,6	925,46	17	10,2	-8,8	-5,28	0,77	±14,0
II	974	1,0	925,34	5	5,0	+ 3,2	+ 3,20	1,00	10,7
III	1225	0,8	925,52	23	18,4	-14,8	-11,84	0,89	12,1
IV	592	1,7	925,29	0	0	+ 8,2	+ 13,94	1,30	8,3
Sumy		4,1 yw = 925,37			33,6		+ 0,02

W tabeli w kolumnie 1 podano nr ciągu poligonowego, z którego obliczono współrzędne, w kolumnie 2 sumę długości boków w całych metrach, w kolumnie 5 zredukowane współrzędne z kolumny 4 dla uniknięcia mnożenia dużych liczb. Kolumna 9 ułatwia obliczenie kolumny 10; w kolumnie 10 podano średnie błędy poszczególnych wartości użytych do obliczenia współrzędnej y punktu węzłowego. W ostatnim wierszu kolumny 4 wpisane są współrzędne wyrównane y_w obliczone według wzoru

co dodajemy do współrzędnych przybliżonych y₀ = 925,29 m. Kontrola rachunkowa

daje wystarczającą zgodność wyników

Średni błąd jednostkowy dla p = 1

i błąd wartości wyrównanej

Kontrola rachunkowa

Wartość wyrównana współrzędnej punktu węzłowego wynosi

Zadanie. Dane są wysokości 4 reperów niwelacyjnych, 4 spady, na pod­stawie których z tych 4 reperów wyznaczono wysokość reperu, oraz 4 odległości, wzdłuż których niwelowano (tab) Wyrównać wysokość reperu 5.

Nr	Reper dany	Spad	d	Reper nowy	p
1	2	3	4	5	6
	m	m	km	m
1	89,1561	+2,370	2,5	91,5261	0,4
2	92,2736	-0,748	3,2	91,5256	0,3
3	95,7218	-4,190	1,0	91,5318	1,0
4	90,9041	+ 0,625	1,7	91,5291	0,6

Wagi przyjęto tu jako odwrotności odległości, ponieważ im większa odległość, tym większa liczba stanowisk, a zatem więcej źródeł błędów. Można także przyjąć, że waga jest odwrotnie proporcjonalna do liczby stanowisk niwelatora.

Odpowiedź: Wyrównana wysokość szukanego reperu

przy błędzie średnim jednostkowego spostrzeżenia, tj. błędzie średnim niwelacji na 1 km

Zadanie. Powierzchnię działki pomierzono 4 różnymi sposobami i z różnymi średnimi błędami (tab.). Obliczyć wartość najprawdopodobniejszą tej powierzchni.

Nr spostrzeżenia	1	2	3	4
Powierzchnia w m2	1282	1286	1285	1280
Błąd średni w m2	±2	±3	±1	±4
Obliczona waga	4,0	1,8	16,0	1,0

Rozwiązanie. Wobec danych błędów średnich poszczególnych spostrzeżeń obliczamy ich wagi po przyjęciu dla najmniej dokładnego czwartego spostrzeżenia wagi p₄ = 1. A więc

Podobnie znajdujemy wagi dla pozostałych spostrzeżeń. Wyrównana wartość powierzchni

błąd średni spostrzeżenia jednostkowego (p = 1)

i błąd względny

Zadanie. Różnicę wysokości między dwoma punktami wyznaczono niwelatorem pięcioma różnymi drogami (tab.). Wyrównać wyniki i podać dokład­ność niwelacji.

Nr ciągu	1	2	3	4	5
Różnica wysokości w m	4,165	4,173	4,178	4,169	4,171
Długość w km	1,7	2,1	1,4	0,6	1,0

Odpowiedź: Wyrównana różnica wysokości

Błąd średni na 1 km

Zadanie. Czterech różnych techników pomierzyło tym samym teodolitem ten sam kąt i uzyskało następujące wyniki:

1. technik przy 6 repetycjach 76°19'38",

2. technik przy 3 repetycjach 76°19'12",

3. technik przy 1 repetycji 76°19'57",

4. technik przy 2 repetycjach 76°19'02" Wyrównać wyniki i określić dokładność pomiaru.

Odpowiedź: Wartość wyrównana 76°19'27,1 "±9,9". Błąd średni spostrzeżenia jednostkowego o wadze p = 1

Błędy średnie wyników poszczególnych obserwatorów

Waga wartości wyrównanej p_w = 12.

Zadanie. Rożnymi przyrządami zmierzono długość odcinka i otrzymano następujące wyniki:

Wyrównać wyniki i określić dokładność pomiaru.

Odpowiedź: Wartość wyrównana

Błąd średni jednostkowego spostrzeżenia (p₄ = 1)

Błąd względny wartości wyrównanej

Zadanie. W trójkącie zmierzono dwa kąty

α — 70,45 69^g w 5 repetycjach, β — 76,49 27 ^g w 3 repetycjach,

70,45 92 ^g w 3 repetycjach, 76,49 01 ^g w 4 repetycjach,

70,45 71 ^g w 2 repetycjach, 76,49 67 ^g w 1 repetycji.

Obliczyć trzeci kąt trójkąta i jego błąd średni.

Odpowiedź: γ = 53,05 05 ^g ± 17^cc.

Zadanie. Wyrównanie węzłowego reperu niwelacyjnego. Wysokość reperu wyznaczono 4 drogami i otrzymano następujące wyniki:

wysokość 115,175 m na podstawie ciągu o długości 1,5 km

115,162 m „ „ „ 3,6 km

115,180 m „ „ „ 4,7 km

115,170 m „ „ „ 2,8 km.

Znaleźć najprawdopodobniejszą wysokość reperu i podać dokładność niwelacji.

Odpowiedź: Najprawdopodobniejsza wysokość reperu:

Jednostkowy błąd średni niwelacji (na 1 km):

Zadanie. Azymut węzłowy obliczono na podstawie 4 ciągów poligonowych i otrzymano następujące wyniki:

125,165^g na podstawie ciągu nr I o 5 kątach,

125,172 „ „ II o 8 kątach,

125,139 „ „ III o 12 kątach,

125,156 „ „ IV o 7 kątach.

Wyrównać wyniki i określić ich dokładność. Odpowiedź: Wartość wyrównana azymutu

i błąd średni jednostkowy dla azymutu o wadze p = 1

Zadanie. W ciągu poligonowym pomierzono dwukrotnie 10 toków (tab.). Obliczyć średnie arytmetyczne, wagi i błędy średnie.

Nr	D1	D2	d	Dsr	p =100/D
1	2	3	4	5	6
	m	m	cm	m
1	113,42	113,39	+3	113,40	0,88
2	184,16	184,22	-6	184,19	0,54
3	142,18	142,14	+4	142,16	0,70
4	2C8.20	208,26	-6	208,23	0,48
5	280,79	280,71	+8	280,75	0,36
6	196,12	196,18	-6	196,15	0,51
7	130,10	130,06	+4	130,08	0,77
8	91,92	91,95	-3	91,94	1,09
9	75,52	75,50	+2	75,51	1,32
10	163,06	163,11	-5	163,08	0,61
I	1585,47	1585,52		1585,49

Odpowiedź: Dane spostrzeżenia nie są jednakowo dokładne, ponieważ pomiar większej długości stwarza więcej źródeł błędów, jest zatem mniej dokładny. Obliczając wagę p = 100/D, przyjmujemy bok poligonu o długości 100 m jako opowiadający jednostce wagi.

Błąd średni jednokrotnie mierzonej długości o wadze p = 1 tj. o boku o dłu­gości 100 m, wynosi

Błąd średni dwukrotnie mierzonej długości 100 m:

Zadanie. Pomiędzy reperami różnych ciągów niwelacyjnych wykonano dwukrotnie niwelację na niejednakowo długich 10 odcinkach. Obliczyć wagi i wyznaczyć błędy średnie wykonanych spostrzeżeń przyjmując, że są to obserwacje wykonane parami (tab).

Nr	sl	s2	d	Ssr	D	p=1/D	bs	d'
1	2	3	4	5	6	7	8	9
	m	m	mm	m	km		mm	mm
1	-1,692	-1,688	-4	-1,690	1,1	0,91	-2	-2
2	-2,371	-2,369	-2	-2,370	2,3	0,43	-4	+2
3	+ 0,547	+ 0,550	-3	+ 0,548	0,7	1,43	-1	-2
4	+ 1,190	+ 1,187	+3	+ 1,188	1,8	0,56	-3	+6
5	-0,874	-0,871	-3	-0,872	0,9	1,11	-1	-2
6	-1,427	-1,423	-4	-1,425	2,7	0,37	-4	0
7	-2,054	-2,049	-5	-2,052	3,4	0,29	-5	0
8	+ 1,920	+ 1,914	+6	+ 1,917	2,5	0,40	-4	+10
9	+ 0,532	+ 0,540	-8	+ 0,536	0,8	1,25	-1	-7
10	-0,746	-0,739	-7	-0,742	1,4	0,71	-2	-5
	-4,975	-4,948	-27	-4,962	17,6

Rozwiązanie: Suma różnic między spadami (-27 mm) ze swoją przewagą znaków ujemnych uzasadnia przypuszczenie, że istnieje tu błąd systematyczny, który obliczymy według wzoru

Zakładając, że błąd systematyczny, popełniany na ciągu o długości 1 km, rośnie proporcjonalnie do odległości, obliczymy go dla każdego spadu

i po odjęciu go od każdej różnicy, otrzymamy różnicę zredukowaną

Błąd średni na 1 km dla raz mierzonego spadu

Błąd średni na 1 km dla dwukrotnie mierzonego spadu pary spostrzeżeń

1

---