Pochodna cząstkowa funkcji wielu zmiennych względem wybranej zmiennej, to "zwykła" pochodna tej funkcji obliczona przy założeniu, że pozostałe zmienne mają ustalone wartości.

Na przykład dla funkcji f(x,y) = x³ + 3xy − y² można obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych x i y:

Zapis
nazywamy notacją Leibniza, a f_x(x,y) - notacją Lagrange'a.

Pochodne wyższych rzędów oblicza się różniczkując znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo nazywamy mieszanymi.

Pochodne czyste

i pochodne mieszane - różniczkowanie, które było dokonywane jako pierwsze, zapisujemy w symbolice Leibniza jako pierwsze od prawej strony (a w symbolice Lagrange'a od lewej):

Uogólnione twierdzenie Schwartza mówi, że jeśli wszystkie pochodne mieszane względem pewnych zmiennych są ciągłe w danym punkcie, ich wartość zależy wyłącznie od tego, względem których zmiennych różniczkujemy i ilokrotnie, natomiast nie zależy od kolejności w jakiej przeprowadza się różniczkowania.

Definicja

Niech U będzie otwartym podzbiorem przestrzeni Banacha X, Y będzie przestrzenią Banacha,
. Mówimy, że f ma w
pochodną w kierunku
, jeżeli istnieje granica

Granicę tę, jeśli istnieje, oznaczamy
i nazywamy pochodną kierunkową. Oczywiście
.

Pochodna funkcji - w analizie matematycznej, narzędzie służące do badania przebiegu zmienności wartości funkcji, określonej na pewnym przedziale o wartościach rzeczywistych, przy zmianie jej argumentów. Z punktu widzenia analizy funkcjonalnej, pochodna jest operatorem liniowym. Pojęcie pochodnej było uogólniane, na przykład na przestrzenie unormowane. Proces odnajdywania pochodnej nazywamy różniczkowaniem, a dział matematyki zajmujący się pochodnymi, ich własnościami i zastosowaniami rachunkiem różniczkowy.

Sedno definicji (Riemana)

Ciąg sum Riemanna. Liczby w prawym górnym rogu są polami obszaru szarych prostokątów i zbiegają one do całki funkcji.

Całkę funkcji f można opisać jako liczbę otrzymaną w wyniku następującego procesu:

1. Bierzemy pod uwagę dowolny podział przedziału [a,b] punktami
   na przedziały [t_i,t_{i + 1}]; następnie w każdym z takich przedziałów obieramy dowolnie punkt ξ_i.

2. Obliczamy wszystkie iloczyny f(ξ_i)(t_{i + 1} − t_i)

3. Sumujemy tak obliczone wielkości

4. Przechodzimy do granicy ze względu na N dążące do nieskończoności oraz ze względu na maksymalną długość przedziału [t_i,t_{i + 1}] dążącą do zera; jeśli granica ta istnieje, to ona właśnie jest szukaną całką funkcji f w sensie Riemanna.

Łatwo zauważyć, że w przypadku funkcji o wartościach dodatnich, geometrycznie powyższa procedura oznacza przybliżanie pola powierzchni pod krzywą sumą pól pewnych prostokątów; jeśli przybliżenia te są zbieżne, to właśnie granicę owej sumy nazywamy całką Riemanna. Przedstawiony tu opis, a ściślej mówiąc przejście graniczne opisane w punkcie czwartym, wymaga pewnej formalizacji.

Równanie różniczkowe jest to równanie, które wyznacza zależność między nieznaną funkcją a jej pochodnymi.Rozwiązanie równania różniczkowego polega na znalezieniu funkcji y, której pochodne spełniają to równanie. Na przykład równanie różniczkowe y'' + y = 0 ma ogólne rozwiązanie w postaci y = Acosx + Bsinx, gdzie A i B są stałymi wyznaczonymi z warunków brzegowych.

- zmienne rozdzielone

Równania postaci y'(x)=p(x)

---