III 19.10.2010 Sprzeczność i niesprzeczność /dziękujemy Julii!/

Niech J będzie dowolnym, ale ustalonym językiem peirwszego rzędu. Niech X będzie dowolnym zbiorem formuł języka J, zaś A jego dowolną formułą.

DEFINICJA 1 Niesprzeczność/sprzeczność w ujęciu tradycyjnym

1. zbiór formuł X jest niesprzeczny (X є NSP) wtw nie istnieje formuła A taka, że A є C_nL(X) i zarazem (~A) є C_nL(X)

2. zbiór formuł X jest sprzeczny (X є NSP) wtw istnieje formuła A taka, że A є C_nL(X) i zarazem (~A) є C_nL(X)

WŁASNOŚCI NIESPRZECZNOŚCI

TWIERDZENIE 1

X є NSP wtw C_nL(X) є NSP

pozwala to pojęcie niesprzeczności odnosić do aksjomatyki lub całej teorii, oba twierdzenia się równoważą.

DOWÓD

-> Przypuśćmy, że X є NSP, oraz nie ma takiej A, że A є C_nL(X) i (~A) є C_nL(X). Ponieważ C_nL(X) = C_nL(C_nL(X)) i (~A) є C_nL(C_{n L}(X)), co znaczy, że C_nL(X) є NSP.

<- Przypuśćmy, że C_nL(X) є NSP, wtedy nie ma takiej A, że A є C_nL(C_nL(X)) i

(~A) є C_nL(C_nL(X)) gdyż C_nL(X) = C_nL(C_nL(X)), zatem nie istnieje takie A, że

A є C_nL(X) i (~A) є C_nL(X), to zaś znaczy, że X є NSP.

TWIERDZENIE 2 O dziedziczności niesprzeczności przez podzbiory

Jeżeli X c Y oraz Y є NSP to X є NSP

Każdy podzbiór zbioru niesprzecznego jest niesprzeczny.

DOWÓD

Załóżmy, że X ⊆ Y, Y є NSP oraz X є NPS. Skoro X ⊆ Y, więc C_nL(X) ⊆ C_nL(Y) (*) (monotoniczność C_nL). Gdyby zbiór X był sprzeczny, to istniałaby taka formuła A, że A є C_nL(X) oraz (~A) є C_nL(X). Z uwagi na (*) mamy A є C_nL(Y) i (~A) є C_nL(Y). To jednak znaczyłoby, że Y є NSP, co jest sprzeczne za założeniami.

TWIERDZENIE 3 Syntaktyczne twierdzenie o zwartości

Zbiór X jest niesprzeczny wtw kiedy każdy skończony podzbiór zbioru X jest niesprzeczny.

DOWÓD

-> Wniosek z twierdzenia 2: jeżeli X є NSP, to każdy podzbiór zbioru X jest niesprzeczny, a więc i skończony.

<- Załóżmy, że każdy skończony podzbiór X jest niesprzeczny oraz X є NSP (nwp). Jeśli

X є NSP to znaczy, że istnieje takie A, że A є C_nL(X) i (~A) є C_nL(X). Z uwagi na finitystyczność operacji C_nL istnieją skończone zbiory Y₁ c X i Y₂ c X takie, że A є C_nL(Y₁) zaś (~A) є C_nL(Y₂). (Y₁ U Y₂) jest skończonym podzbiorem zbioru X i przy tym

A є C_nL(Y₁ U Y₂) oraz (~A) є C_nL(Y₁ U Y₂). Znaczy to zaś, że pewien skończony podzbiór zbioru X jest sprzeczny, co jest wbrew założeniom.

Z twierdzenia 3 otrzymujemy wniosek:

zbiór X jest sprzeczny wtw istnieje skończony podzbiór zbioru X, który jest sprzeczny.

TWIERDZENIE 4

X є NSP wtw istnieje przynajmniej jedna formuła A є C_nL(X).

DOWÓD

-> Załóżmy, że X є NSP i rozważmy dowolne A. Z definicji niesprzeczności wynika, że A є C_nL(X) lub (~A) є C_nL(X).

<- Załóżmy przynajmniej jedną A є C_nL(X) oraz że X є NSP (nwp). Wtedy istnieje B takie, że: B є C_nL(X) i (~B) є C_nL(X). Wobec prawa przepełnienia mamy: dla dowolnje formuły C:

B → (~B → C) є L (jest tezą KRP) oraz:

B → (~B → C) є C_nL(X) (bo L ⊆ C_nL(X))

Stosując dwukrotnie syntaktyczne twierdzenie o odrywaniu (*) otrzymujemy: C є C_nL(X). Wobec dowolności C wnosimy, że każda formuła należy do C_nL(X), co jest wbrew założeniu twierdzenia. Jeśli więc istnieje formuła, która nie należy do zbioru C_nL(X), to zbiór X jest niesprzeczny.

(*) Jeżeli (A → B) є C_nL(X) i A є C_nL(X), to B є C_nL(X)

Z uwagi na twierdzenie 4 można zdefiniować niesprzeczność w następujący sposób:

DEFINICJA 2 Niesprzeczność/sprzeczność w sensie Posta

1. Zbiór fromuł X jest niesprzeczny w sensie Posta (nietrywialny) wtw C_nL(X) ≠ J

2. Zbiór formuł X jest sprzeczny w sensie Posta (trywialny) wtw C_nL(X) = J

DYGRESJA

1. taka niesprzeczność nie zależy od żadnych stałych logicznych np. Teorie wyrażone w języku bez (~). Mając stałą falsum (┴) (dowolny fałsz logiczny) negację można zdefiniować:

~A = _df → A ┴

2. intuicyjnie pojęcie Posta jest mocniejsze od poprzedniego - wśród wszystkich formuł danego języka wystepują też formuły sprzeczne. Równoważność obu określeń sprzeczności jest metalogiczną konsekwencją prawa przepełnienia.

logiki parakonsystentne - kwestionują zasadę, że ze sprzeczności wynika cokolwiek (ex contradictione qudolibet), logika jest parakonsystentna wtw jej relacja konsekwencji nie eksploduje w wyniku sprzeczności tj. nieprawda, że dla dowolnej B, B є C_nL ({A}, {~A}). Na gruncie tych logik można odróżnić teporie sprzeczne od trywialnych.

logika klasyczna: sprzeczność = trywialność

logiki parakonsystente: sprzeczność ≠ trywialność

TWIERDZENIE 5

Jeżeli A jest zdaniem oraz (~A) є C_nL(X) to Xu{A} є NSP.

DOWÓD

Załóżmy, że A jest zdaniem a (~A) є C_nL(X) oraz że Xu{A} є NSP (nwp). Istnieje wówczas B takie, że B є C_nL(Xu{A}) i (~B) є C_nL(Xu{A}). Równocześnie:

B → (~B → B i ~B) є L oraz

B → (~B → B i ~B) є C_nL(Xu{A}) (bo L ⊆ C_nL(Xu{A})

Stosując dwukrotnie syntaktyczne twierdzenie o dorywaniu otrzymujemy:

(B i ~B) є C_nL(Xu{A}) stąd na mocy twierdzenia o dedukcji: (A→ B i ~B) є C_nL(X) a równocześnie ((A → B i ~B) → ~A) є C_nL(X). Stosując ponownie syntaktyczne twierdzenie o odrywaniu otrzymujemy (~A) є C_nL(X), co przeczy jednemu z założeń twierdzenia.

FILOZOFICZNY ASPEKT POJĘCIA SPRZECZNOŚCI

Eksplozyjność C_nL B є C_nL({A,~A}) (z zespołu zdań sprzecznych wynika dowolne zdanie)

Teorie trywialne są praktycznie bezużyteczne (na każde pytanie - "czy A?" - kopakpa odpowiedzą twiedząco).

Czy sprzeczność może być racjonalna? W jakim sensie nauka powinna respektować dyktat logiki?

Prawo simplifikacji Prawo Dunsa Szkota (p i ~p → q)

P(F) i ~P(F) → P(F) P(F) i ~P(F) → P(Z)

P(F) i ~P(F) → ~P(F) P(F) i ~P(F) → ~P(Z)

zasada relewancji - przesłanki i wnioske powinien łączyć związek treściowy.

logiki relewantne - w schemacie wynikania przesłanki formuły musza mieć wspólną podformułę, odrzucenie sacrum, że każda sprzeczność jest fałszywa.

Wg twórców logiki klasycznej (Arystoteles) żadna sprzeczność nie może być prawdziwa.

dialetheia - prawdziwa sprzeczność, prawda, która ma prawdziwą negację (zdania antynomialne, zmiany, zdania ontologicznie nieostre), uznanie istnienia prawdziwych sprzeczności to dialetyzm (Routley, Priest)

granice iteracji - operacje, których nie da się zakończyć

granice poznania - radykalne stwierdzenia np. "wiem, że nic nie wiem"

Granice wikłania się w sprzeczności wyznacza praktyczne zastosowanie danej teorii (np. Odkrycie antynomi Russela nie spowodowało porzucenie teorii mnogości). Sprzeczności można się pozbyć reinterpretując teorię i jej terminy.

niesprzeczność ontologiczna - dotyczy uposażenia jakościowego przedmiotu

Nieprzeczność wykorzystuje się również do badnia prawdziwości, np. koherencyjna teoria prawdy.

---