III 19.10.2010 Sprzeczność i niesprzeczność /dziękujemy Julii!/

Niech J będzie dowolnym, ale ustalonym językiem peirwszego rzędu. Niech X będzie dowolnym zbiorem formuł języka J, zaś A jego dowolną formułą.

DEFINICJA 1 Niesprzeczność/sprzeczność w ujęciu tradycyjnym

1. zbiór formuł X jest niesprzeczny (X є NSP) wtw nie istnieje formuła A taka, że A є C_nL(X) i zarazem (~A) є C_nL(X)

2. zbiór formuł X jest sprzeczny (X є NSP) wtw istnieje formuła A taka, że A є C_nL(X) i zarazem (~A) є C_nL(X)

WŁASNOŚCI NIESPRZECZNOŚCI

TWIERDZENIE 1

X є NSP wtw C_nL(X) є NSP

pozwala to pojęcie niesprzeczności odnosić do aksjomatyki lub całej teorii, oba twierdzenia się równoważą.

DOWÓD

-> Przypuśćmy, że X є NSP, oraz nie ma takiej A, że A є C_nL(X) i (~A) є C_nL(X). Ponieważ C_nL(X) = C_nL(C_nL(X)) i (~A) є C_nL(C_{n L}(X)), co znaczy, że C_nL(X) є NSP.

<- Przypuśćmy, że C_nL(X) є NSP, wtedy nie ma takiej A, że A є C_nL(C_nL(X)) i

(~A) є C_nL(C_nL(X)) gdyż C_nL(X) = C_nL(C_nL(X)), zatem nie istnieje takie A, że

A є C_nL(X) i (~A) є C_nL(X), to zaś znaczy, że X є NSP.

TWIERDZENIE 2 O dziedziczności niesprzeczności przez podzbiory

Jeżeli X c Y oraz Y є NSP to X є NSP

Każdy podzbiór zbioru niesprzecznego jest niesprzeczny.

DOWÓD

Załóżmy, że X ⊆ Y, Y є NSP oraz X є NPS. Skoro X ⊆ Y, więc C_nL(X) ⊆ C_nL(Y) (*) (monotoniczność C_nL). Gdyby zbiór X był sprzeczny, to istniałaby taka formuła A, że A є C_nL(X) oraz (~A) є C_nL(X). Z uwagi na (*) mamy A є C_nL(Y) i (~A) є C_nL(Y). To jednak znaczyłoby, że Y є NSP, co jest sprzeczne za założeniami.

TWIERDZENIE 3 Syntaktyczne twierdzenie o zwartości

Zbiór X jest niesprzeczny wtw kiedy każdy skończony podzbiór zbioru X jest niesprzeczny.

DOWÓD

-> Wniosek z twierdzenia 2: jeżeli X є NSP, to każdy podzbiór zbioru X jest niesprzeczny, a więc i skończony.

<- Załóżmy, że każdy skończony podzbiór X jest niesprzeczny oraz X є NSP (nwp). Jeśli

X є NSP to znaczy, że istnieje takie A, że A є C_nL(X) i (~A) є C_nL(X). Z uwagi na finitystyczność operacji C_nL istnieją skończone zbiory Y₁ c X i Y₂ c X takie, że A є C_nL(Y₁) zaś (~A) є C_nL(Y₂). (Y₁ U Y₂) jest skończonym podzbiorem zbioru X i przy tym

A є C_nL(Y₁ U Y₂) oraz (~A) є C_nL(Y₁ U Y₂). Znaczy to zaś, że pewien skończony podzbiór zbioru X jest sprzeczny, co jest wbrew założeniom.

Z twierdzenia 3 otrzymujemy wniosek:

zbiór X jest sprzeczny wtw istnieje skończony podzbiór zbioru X, który jest sprzeczny.

TWIERDZENIE 4

X є NSP wtw istnieje przynajmniej jedna formuła A є C_nL(X).

DOWÓD

-> Załóżmy, że X є NSP i rozważmy dowolne A. Z definicji niesprzeczności wynika, że A є C_nL(X) lub (~A) є C_nL(X).

<- Załóżmy przynajmniej jedną A є C_nL(X) oraz że X є NSP (nwp). Wtedy istnieje B takie, że: B є C_nL(X) i (~B) є C_nL(X). Wobec prawa przepełnienia mamy: dla dowolnje formuły C:

B → (~B → C) є L (jest tezą KRP) oraz:

B → (~B → C) є C_nL(X) (bo L ⊆ C_nL(X))

Stosując dwukrotnie syntaktyczne twierdzenie o odrywaniu (*) otrzymujemy: C є C_nL(X). Wobec dowolności C wnosimy, że każda formuła należy do C_nL(X), co jest wbrew założeniu twierdzenia. Jeśli więc istnieje formuła, która nie należy do zbioru C_nL(X), to zbiór X jest niesprzeczny.

(*) Jeżeli (A → B) є C_nL(X) i A є C_nL(X), to B є C_nL(X)

Z uwagi na twierdzenie 4 można zdefiniować niesprzeczność w następujący sposób:

DEFINICJA 2 Niesprzeczność/sprzeczność w sensie Posta

1. Zbiór fromuł X jest niesprzeczny w sensie Posta (nietrywialny) wtw C_nL(X) ≠ J

2. Zbiór formuł X jest sprzeczny w sensie Posta (trywialny) wtw C_nL(X) = J

DYGRESJA

1. taka niesprzeczność nie zależy od żadnych stałych logicznych np. Teorie wyrażone w języku bez (~). Mając stałą falsum (┴) (dowolny fałsz logiczny) negację można zdefiniować:

~A = _df → A ┴

2. intuicyjnie pojęcie Posta jest mocniejsze od poprzedniego - wśród wszystkich formuł danego języka wystepują też formuły sprzeczne. Równoważność obu określeń sprzeczności jest metalogiczną konsekwencją prawa przepełnienia.

logiki parakonsystentne - kwestionują zasadę, że ze sprzeczności wynika cokolwiek (ex contradictione qudolibet), logika jest parakonsystentna wtw jej relacja konsekwencji nie eksploduje w wyniku sprzeczności tj. nieprawda, że dla dowolnej B, B є C_nL ({A}, {~A}). Na gruncie tych logik można odróżnić teporie sprzeczne od trywialnych.

logika klasyczna: sprzeczność = trywialność

logiki parakonsystente: sprzeczność ≠ trywialność

TWIERDZENIE 5

Jeżeli A jest zdaniem oraz (~A) є C_nL(X) to Xu{A} є NSP.

DOWÓD

Załóżmy, że A jest zdaniem a (~A) є C_nL(X) oraz że Xu{A} є NSP (nwp). Istnieje wówczas B takie, że B є C_nL(Xu{A}) i (~B) є C_nL(Xu{A}). Równocześnie:

B → (~B → B i ~B) є L oraz

B → (~B → B i ~B) є C_nL(Xu{A}) (bo L ⊆ C_nL(Xu{A})

Stosując dwukrotnie syntaktyczne twierdzenie o dorywaniu otrzymujemy:

(B i ~B) є C_nL(Xu{A}) stąd na mocy twierdzenia o dedukcji: (A→ B i ~B) є C_nL(X) a równocześnie ((A → B i ~B) → ~A) є C_nL(X). Stosując ponownie syntaktyczne twierdzenie o odrywaniu otrzymujemy (~A) є C_nL(X), co przeczy jednemu z założeń twierdzenia.

FILOZOFICZNY ASPEKT POJĘCIA SPRZECZNOŚCI

Eksplozyjność C_nL B є C_nL({A,~A}) (z zespołu zdań sprzecznych wynika dowolne zdanie)

Teorie trywialne są praktycznie bezużyteczne (na każde pytanie - "czy A?" - kopakpa odpowiedzą twiedząco).

Czy sprzeczność może być racjonalna? W jakim sensie nauka powinna respektować dyktat logiki?

Prawo simplifikacji Prawo Dunsa Szkota (p i ~p → q)

P(F) i ~P(F) → P(F) P(F) i ~P(F) → P(Z)

P(F) i ~P(F) → ~P(F) P(F) i ~P(F) → ~P(Z)

zasada relewancji - przesłanki i wnioske powinien łączyć związek treściowy.

logiki relewantne - w schemacie wynikania przesłanki formuły musza mieć wspólną podformułę, odrzucenie sacrum, że każda sprzeczność jest fałszywa.

Wg twórców logiki klasycznej (Arystoteles) żadna sprzeczność nie może być prawdziwa.

dialetheia - prawdziwa sprzeczność, prawda, która ma prawdziwą negację (zdania antynomialne, zmiany, zdania ontologicznie nieostre), uznanie istnienia prawdziwych sprzeczności to dialetyzm (Routley, Priest)

granice iteracji - operacje, których nie da się zakończyć

granice poznania - radykalne stwierdzenia np. "wiem, że nic nie wiem"

Granice wikłania się w sprzeczności wyznacza praktyczne zastosowanie danej teorii (np. Odkrycie antynomi Russela nie spowodowało porzucenie teorii mnogości). Sprzeczności można się pozbyć reinterpretując teorię i jej terminy.

niesprzeczność ontologiczna - dotyczy uposażenia jakościowego przedmiotu

Nieprzeczność wykorzystuje się również do badnia prawdziwości, np. koherencyjna teoria prawdy.

IV 26.10.2010

1. UDOWODNIENIE NIESPRZECZNOŚCI KRP

TWIERDZENIE 6 Ogólna metoda dowodzenia niesprzeczności teorii elementarnych

Niech X będzie teorią w języku J₁, a Y teorią w języku J₂. Jeżeli:

• H jest funkcją przekształcającą zbiór X w zbiór Y (H:X → Y) taką, że zachowuje negację tj. spełnia warunek: H(~A) = ~H(A) dla dowolnej formuły A є X i przy tym:

• Y є NSP

to także X є NSP.

DOWÓD NWP

Załóżmy, że X=C_nL(X), Y=C_nL(Y), H(~A) = ~H(A), Y є NSP i X є NSP. Wówczas istnieje taka formuła A, że A є X i ~A є X. Ponieważ funkcja H zachowuje negację, więc wśród jej wartości dla argumentów należących do teorii X znajdują się dwie formuły sprzeczne H(A) i ~H(A). Znaczy to, że Y є NSP, co jest wbrew założeniu.

WADY TEJ METODY

Wymaga ona posiadania "banku" teorii o udowodnionej niesprzeczności, poprzestawanie na wynikach względnych (X jest niesprzeczna o ile Y jest niesprzeczna, Y jest niesprzeczna o ile Z jest niesprzeczna etc.)

funkcja H - językowi KRP przyporządkowuje język KRZ

DEFINICJA

1. H(┌ P_k(t₁,...,t_n) ┐) = ┌ p ┐

2. H(┌ ~A ┐) = ~H(A) ┐

3. H(┌ A ☺ B ┐) = ┌ H(A) ☺ H(B) ┐ gdzie ☺ to i, lub, jeżeli, wtw

4. H(┌ Q_x1(A) ┐) = ┌ H(A) ┐ gdzie Q_x1 to A lub E (kwantyfikatory)

np. H(┌ ∀xP(x) v ~∃xP(x) ┐) = H(┌ ∀xP(x) ┐) v H(┌ ~∃xP(x) ┐)

= H(┌ ∀xP(x) ┐) v ~H(┌ ∃xP(x) ┐)

= H(┌ P(x) ┐) v ~H(┌ P(x) ┐)

= p v ~p

LEMAT 7

Jeżeli A є L (jest tezą rachunku zdań, gdzie L = C_nL(Arp)) to H(A) = Trz (tautologia rachunku zdań)

(dow Batóg, s. 168)

TWIERDZENIE 8 O niesprzeczności KRZ

Nie istnieje formuła A taka, że A є L i (~A) є L.

DOWÓD NWP

Przypuśćmy, że A є L i (~A) є L. Na mocy lematu 6 H(A) є Trz i H(~A) є Trz. Ponieważ H(~A) = ~H(A), to H(A) є Trz i ~H(A) є Trz, co jest niemożliwe, bo gdy jakaś formuła jest tautologią rachunku zdań, to jej negacja nie może być również tautologią.

2. NIEZALEŻNOŚĆ KRP

Każdy aksjomat powienien być niezależny od reszty aksjomatów.

DEFINICJA 1 O niezależności

1. zbiór formuł X jest niezależny (X є NZL) wtw dla dowolnej formuły A, gdy A є X, A є C_nL(X-{A})

2. formuła A jest niezależna względem zbioru X wtw A є C_nL(X)

Niezależność w sensie b) to niewyprowadzalność formuły ze zbioru.

Niezależność nie jest tak ważną własnością, jak niesprzeczność. Aksjomat zależny od reszty można bez problemu usunąć, niezależność jest raczej postulatem estetycznym.

TWIERDZENIE 1

Jeżeli Xu{~A} є NSP to A є C_nL(X)

A є C_nL(X) A jest niezależna względem X

DOWÓD NWP

Załóżmy, że Xu{~A} є NSP oraz A є C_nL(X) (A jest uniwersalnym domknięciem formuły A) ponieważ XcXu{~A}, więc A є C_nL(Xu{~A}) (monotoniczność C_nL) oraz A є CnL(Xu{~A}) (twierdzenie o generalizacji). Z drugiej strony (~A) є C_nL(Xu{~A}). To oznacza, że Xu{~A} є NSP, co jest wbrew założeniom.

Jeżeli A jest zdaniem i jego negacja jest niezależna względem zbioru X, to Xu{A} є NSP. Gdy istnieje A i Xu{A} є NSP i Xu{~A} є NSP, to mówimy, że zbiór X jest rozgałęzialny.

Zbiór jest rozgałęzialny wtw jest niezupełny.

(elementy Euklidesa, hipoteza kąta ostrego, hipoteza kąta rozwartego, geometrai hiperboliczna o krzywiźnie ujemnej, geometria eliptyczna, G. Sazheri)

3. ZUPEŁNOŚĆ KRP

DEFINICJA 1 W sensie klasycznym

1. zbiór formuł X jest zupełny (X є ZUP) wtw dla każdego zdania A albo A є C_nL(X) albo (~A) є C_nL(X)

2. zbiór formuł X jest niezupełny (X є ZUP) wtw istnieje zdanie A takie, że A є C_nL(X) i zarazem (~A) є C_nL(X)

Niezupełność oznacza, że pewne zdanie języka teorii nie może być na podstawie jej aksjomatów ani udowodnione, ani obalone (czy A? - może tak, może nie). Możemy do teorii dołączyć zdanie A i zdanie ~A, nie popadając w sprzeczność.

TWIERDZENIE 1

X є ZUP wtw CnL(X) є ZUP

TWIERDZENIE 2

Dla dowolnego zbioru formuł X jeżeli X є ZUP to X є NSP.

Każdy zbiór niezupełny jest niesprzeczny.

Każdy zbiór sprzeczny jest zupełny.

---