Semantyka logiczna 23. 11. 2010r

Definicja prawdy przez spełnianie:

Formalnie poprawną definicję pewnego wyrażenia oznaczającego pewien zbiór zdań języka przedmiotowego J, sformułowaną w jego metajęzyku MJ można uważać za merytorycznie trafną definicję pojęcia prawdy, jeśli pozwala ona udowodnić w MJ wszystkie równoważności powstające ze schematu (T):

(T) Prawdziwe(A) ↔ A^MJ

gdzie a reprezentuje nazwę jednostkową zdania A, a A^MJ jego przekład na metajęzyk MJ.

Mamy dwa cele:

• zdefiniować pojęcie prawdy dla formuł dowolnego, ustalonego języka pierwszego rzędu.

• Przy pomocy poj. Prawdy zdefiniować dalsze ważne pojęcia logiczne, m.in. pojęcia tautologii i konsekwencji semantycznej.

Aby zablokować antynomie budujemy je w metajęzyku.

Definicja, która zostanie podana pochodzi od Alfreda Tarskiego.

J - język przedmiotowy → w pełni i jednoznacznie języki zinterpretowane

/intepretacja j. Pierwszego rzędu:
1. wskazanie niepustego zbioru → dziedzina/uniwerum (U) interpretacji;
2. Na zwiazaniu z rozważanym językiem określonej funkcji interpretującej (/_\ → delta, przyporządkowuje stałej nazwowej pewien obiekt indywidualny. Funkcja denotowania);
3. Przyjęcie, że zmienne indywiduowe przebiegają/reprezentują elementy zbioru U i ograniczeniu kwantyfikatorów do tego zbioru (\-/ wyróżnia cały zbiór; 3 wyróżnia niepuste podzbiory zbioru U/

/ <U, /_\ > = M → <J, M> /

Def. 1 (interpretacja semantyczna) Interpretacja semantyczną danego języka pierwszego rzędu nazywamy dowolną parę uporządkowaną M = <M, /_\> taką, że U jest dowolnym zbiorem niepustym (zwanym uniwersum interpretacji), zaś /_\ jest funkcją przyporządkowyjącą stałym pozalogicznym rozważanego języka elementu zbioru U lub konstrukcje z tych elementów w sposób spełniający zasadę kategioralnej zgodności (zwaną funkcją denotowania):

1. Dla każdego n - argumentowego predykatu P_tⁿ, /_\ (P ⁿ_i ) jest n-członową relacją zachodzącą między elementami zbioru U (symbolicznie: /_\(Pni) _c Uⁿ)

2. dla każdego n-argumentowego symbolu funkcyjnego fnk, /_\(f_iⁿ) jest n-argumentową funkcją o argumentach i wartościach w zbiorze U;

3. dla każdego stałej indywiduowej a_i, /_\

Dygresja:

1. interpretacja spójników jest ustalona w rachunku zdań /zafiksowana/
   

2. nie jest konieczne aby każdy element z uniwersum U był wartością dunkcji denotowania /_\ dla jakiejś stałej indywiduowej, tzn. dopuszcza się istnienie bezimiennych elementów uniwersum.
   

3. Ponieważ definicji ta wymaga od uniwersum tylko niepustości, zaś od funkcji denotowania delta tylko spełniania określonych warunków, więc dopuszcza się istnienie nieskończenie wielu różnych interpretacji danego języka. Można nawet mówić o pewnej gradacji interpretacji:

- interpretacja możliwa (całkowicie dowolna)
- interpretacja standardowa (zgodna z sensem stałych logicznych i terminów matematycznych)

- interpretacja zamierzona albo właściwa (zgodna z sensem wszystkich terminów danego języka).

Dygresja:

Korzystając z faktu, ze j. Rozumiany jako system znaków może być na nieskończenie wiele sposób zinterpretowanych i akt komunikacji jest aktem między odbiorcą a nadawcą komunikatu - w jaki sposób ludzie dochodzą do porozumienia w przypadku nauki nowego języka.

Interpretator tworzy na swój użytek interpretacje języka nadawca, pod wpływem komunikowania z większą ilością świadectw, może interpretacja może ulec zmianie.

Przykład: Niech L będzie językiem, którego słownik zawiera:

• zmienne indywiduowe x1, x2, x3, …

• stałe indywiduowe: Mars, Phobos

• predykaty: Planeta (1-argumentowy), Okrąża (2 - argumentowy)

• stałe logiczne ~, ^, v, \-/,

• znaki techniczne: ),(

Predykat wraz z odpowiednią liczbą argumentów bez udziały jakichkolwiek stałych logicznych tworzy formułę atomową: np. Planeta(x1), Planeta...

Interpretacja:

Uniwersum U intepretacji M (języka L) jest zbiór wszystkich ciał niebieskich:

U = {u: u jest ciałem niebieskim} = {…, MARS, PHOBOS, SŁOŃCE,...}

Funkcja denotowania /_\ spełnia warunki:

/_\(Mars) = MARS

/_\(Phobos) = PHOBOS

/_\(Planeta) = PLANETA (tj. zbiór planet z U);

np. MARS e /_\(Planeta), a PHOBOS e/ /_\(Planeta)

/_\(Okrąża) = OKRĄŻA (tj. zbiór wszystkich par <u, w> e U² takich, że obiekt u okrąża obiekt w);

np. <PHOBOS, MARS> e /_\(Okrąża) a słońce <SŁOŃCE, MARS> e/ /_\(Okrąża).

Zdanie atomowe U |Pi(a1, …, an)| jest prawdziwe przy interpretacji

M = <U, /_\> wtw </_\(a1), …, /_\(an) e /_\(Pi)

(tj. gdy elementy przyporządkowane przez funkcję denotowania nazwom a1, …, an powiązane są relacją, którą funkcja denotowania przyporządkowuje predykatowi Pi).

Np. Zdanie |Planeta(Mars)| jest prawdziwe przy M = <U, /_\> wtw /_\(Mars) e /_\(Planeta) wtw MARS e PLANETA.

Zdanie |Okrąża(Phobos, Mars)| jest prawdziwe przy M = <U, /_\> wtw </_\(Phobos), /_\(Mars)> e /_\(Okrąża)...

Zdanie |~(A)| jest prawdziwe przy intepretacji M = <U, /_\> wtw A nie jest prawdziwe przy tejże interpretacji.

W powżyszym zdaniu występują dwie negację: ~ - j. Przedmiotowy; nie - metajęzyk.

np. zdanie |~Planeta(Phobos)| jest prawdziwe przy M=<U, /_\> wtw nie jest tak, że /_\(Phobos) e /_\(Planeta) wtw PHOBOS e/ PLANETA.

Zdanie |(A) ^ (B)| jest prawdziwe przy interpretacji M = <U, /_\> wtw oba zdania A i B są prawdziwe przy tejże interpretacji.

Zdanie |\-/xiA(xi)| jest prawdziwe przy interpretacji M = <U, /_\> wtw dla każdej nazwy a, zdanie A(xi/a) jest prawdziwe przy tejże interpretacji.

Zarzut: pojęcie prawdy w ten sposób określone wymaga aby każdy element uniwersum U interpretacji M posiadał w języku swoją nazwę (nie ma elementów „bezimiennych”) → definicja ta nie jest wystarczająco ogólna.

Cała strona formalna konstrukcji Tarskiego dotyczy podana definicja spełniania takiej, że:

• będzie dotyczyła ona zarówno funkcji zdaniowych jak i zdań;

• będzie miała postać definicji rekurencyjnej względem budowy formuł, tj. spełnianie formuł złożonych będzie w sposób jednoznaczny określone przez spełnianie prostszych formuł składowych;

• pozwoli zdefiniować prawdziwość zgodnie z konwencją T.

Funkcja wartościowania /przyporządkowuje termom języka pewne obiekty z uniwersum interpretacji jako wartości semantyczne/.

Rozważmy formułę: x+1=y,

ze zmiennymi w tej formule można skorelować różne ciągi liczb, np.

c = <7, 8, 9,...>,

s = <6, 4, 2, ...>

Ciąg c koreluje ze zmienną x pierwszy swój wyraz, czyli liczbę 7, a ze zmienną y drugi swój wyraz (8). Natomiast ciąg s koreluje ze zmienną x liczbę 6, a ze zmienną y liczbę 4. Obiekty skorelowane w ten sposób ze zmiennymi nazywa się ich wartościami, a ciąg który poszczególnym zmiennym przyporządkowuje wartości nazwy się wartościowaniem.

Wniosek: wartośc zmiennej nie jest zmienna, lecz zmienia się od jednego wartościowania do drugiego. Natomiast wartość nazwy jest stała (niezależnie od wartościowania), tj. przy każdym wartościowaniu wartością danej nazwy jest przedmiot przyporządkowany jej przez funkcję dentowania.

---