Dyskretne przekształcenie Fouriera

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia było nabycie praktycznych umiejętności w obliczaniu dyskretnego przekształcenia Fouriera.

Opis teoretyczny

Dyskretne przekształcenie Fouriera jest procedurą używana do analizy częstotliwościowej sygnału dyskretnego. DFT przekształca skończony ciąg próbek sygnału w ciąg harmonicznych zgodnie ze wzorem: $X\left( n \right) = \ \sum_{k = 0}^{N - 1}{x(k)e^{- 2\pi ikn/N}}$, gdzie:

• i - jednostka urojona

• k - numer harmonicznej

• n - numer próbki sygnału

• x(k) - ciąg próbek wejściowych

• N - liczba próbek

Przy przeprowadzaniu DFT trzeba zwrócić uwagę na zjawisko przecieku widma. Zjawisko to występuje, gdy badany ciąg x(k) powstał przez spróbkowanie analogowego sygnału x(t), w którego widmie istnieją składowe o pulsacjach różnych od prążków DFT.

1. Pomiary i obliczenia

   1. Pomiarów dokonywałem dla różnych częstotliwości sygnału oraz próbkowania.

Tabela -wyniki

Można zauważyć zależność, że im większa częstotliwość próbkowania tym większa jest rozdzielczość widma.

Między amplitudami zmierzonymi a wyznaczonymi występuje zależność taka, że Wt(f1) = W(f1)/2

1. W kolejnym etapie wygenerowałem ciąg próbek wartości chwilowych używając wybranych częstotliwości próbkowania. Zwracałem uwagę czy występuje zjawisko przecieku.

Wzór: u(t) = Usin(2πft + φ₀). 

Częstotliwość 1Hz, amplituda 1V i częstotliwość próbkowania 3Hz. Do wygenerowania wykresu użyłem 8 próbek.

Tabela -tabela współczynników dla sygnału sinusoidalnego

$$x_{k} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 0 \\ 0,87 \\ - 0,87 \\ \end{matrix} \\ 0 \\ 0,87 \\ - 0,87 \\ 0 \\ 0,87 \\ \end{bmatrix}$$

Tabela -wektor próbek

Obliczyłem wartość prążków ze wzoru X_n = C • x_k.

$$X_{n} = \begin{bmatrix} 0,87 \\ 0,9831 + i0,2523 \\ 1,74 + i0,87 \\ - 2,7231 - i1,4877 \\ - 0,87 \\ - 2,7231 + i1,4877 \\ 1,74 - i0,87 \\ 0,9831 + i1,4877 \\ \end{bmatrix}$$

W tym przypadku nastąpiło zjawisko przecieku.

Wzór: u(t) = Ucos(2πft + φ₀). 

Częstotliwość 1Hz, amplituda 1V i częstotliwość próbkowania 3Hz. Do wygenerowania wykresu użyłem 8 próbek.

Tabela -tabela współczynników dla sygnału cosinusoidalnego

$$x_{k} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ - 0,5 \\ - 0,5 \\ \end{matrix} \\ 1 \\ - 0,5 \\ - 0,5 \\ 1 \\ - 0,5 \\ \end{bmatrix}$$

Tabela 4-wektor próbek

Obliczyłem wartość prążków ze wzoru X_n = C • x_k.

$$X_{n} = \begin{bmatrix} 0,5 \\ 0,435 - i0,565 \\ i1,5 \\ 2,565 - i2,565 \\ 1,5 \\ 2,565 + i2,565 \\ - 1,5 \\ 0,435 + i0,565 \\ \end{bmatrix}$$

W tym przypadku wystąpiło zjawisko przecieku.

Wzór: u(t) = Usin(2πft + φ₀). 

Częstotliwość 1Hz, amplituda 1V i częstotliwość próbkowania 4Hz. Do wygenerowania wykresu użyłem 8 próbek.

$$x_{k} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ - 1 \\ \end{bmatrix}$$

Tabela 5-wektor próbek

Obliczyłem wartość prążków ze wzoru X_n = C • x_k.

$$X_{n} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ - 4i \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 4i \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$

W tym sygnale zjawisko przecieku nie wystąpiło.

Wzór: u(t) = Ucos(2πft + φ₀). 

Częstotliwość 1Hz, amplituda 1V i częstotliwość próbkowania 4Hz. Do wygenerowania wykresu użyłem 8 próbek.

$$x_{k} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$

Tabela 6-wektor próbek

Obliczyłem wartość prążków ze wzoru X_n = C • x_k.

$X_{n} = \begin{bmatrix} 0 \\ i \\ 4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \\ 2i \\ \end{bmatrix}$ Wystąpiło zjawisko przecieku.

1. Generowanie sygnału złożonego

Sygnał 1: częstotliwość 3Hz, amplituda 1V

Sygnał 2: częstotliwość 5Hz, amplituda 1V

Częstotliwość próbkowania 12Hz, ilość próbek N=8.

Wzór: u(t) = Usin(2πft + φ₀). 

Tabela 7-tabela współczynników dla sygnału sinusoidalnego

$x_{k} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1,5 \\ - 0,87 \\ 0 \\ - 0,87 \\ 1,5 \\ 0 \\ - 1,5 \\ \end{bmatrix}$ Wektor próbek

Obliczyłem wartość prążków ze wzoru X_n = C • x_k.

$$X_{n} = \begin{bmatrix} - 0,24 \\ - 0,195 - 0,195i \\ - 4,5i \\ 1,935 - 1,935i \\ - 3,24 \\ 1,935 + 1,935i \\ 4,5i \\ - 0,195 + 1,935i \\ \end{bmatrix}$$

Tak jak można było się spodziewać zaszło zjawisko przecieku.

Wnioski

Analizują przeprowadzone ćwiczenie zauważyłem, że wartości prążków są zgodne z oczekiwaniami. Wartości rzeczywiste są opisywane funkcją cosinus, a wartości urojone funkcją sinus. W większości przypadków można było zaobserwować zjawisko przecieku.