Dyskretna transformata Fouriera zadania na ćwiczenia

Zad. 1. Udowodnij, że jeśli FN : ( yk) → ( Yn), to a) FN : ( y−k) → ( Y−n) , b) FN : ( yk) → ( Yn) , c) FN : ( y−k) → ( Yn) .

Zad. 2. Wykaż, że jeśli FN : ( yk) → ( Yn), to zachodzą własności: a) ( yk) jest parzysty (nieparzysty) ⇐⇒ ( Yn) jest parzysty (nieparzysty), b) ( yk) jest rzeczywisty ⇐⇒ Y−n = Yn dla każdego n ∈ Z, c) ( yk) jest parzystym ciągiem liczb rzeczywistych ⇐⇒ ( Yn) jest parzystym cią-

giem liczb rzeczywistych,

d) ( yk) jest nieparzystym ciągiem liczb rzeczywistych ⇐⇒ ( Yn) jest nieparzystym ciągiem liczb czysto urojonych.

Zad. 3. Niech ( xk) i ( yk) będą dwoma zespolonymi ciągami o okresie N i niech ( Xk) i ( Yk) oznaczają ich DFT. Udowodnij, że

a) transformata splotu cyklicznego, tzn. ciągu zdefiniowanego wzorem N − 1

z

X

k =

xqyk−q,

k ∈ Z ,

q=0

ma postać

FN : ( zk) → ( Zn = N XnYn) , b) transformata iloczynu ciągów ( xk) i ( yk) ma postać N − 1

F

X

N : ( pk = xk yk ) → ( Pn =

XqYn−q) .

q=0

Zad. 4. Udowodnij, że jeśli FN : ( yk) → ( Yn), to N − 1

N − 1

X |y

X

k | 2 = N

|Yn| 2 .

k=0

n=0

Zad. 5. Wyznacz dyskretną transformatę Fouriera ciągu xk = k;

k = 0 , 1 , . . . , N − 1 .

1