Przekształcenie
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław
Papir

•Okresowość szeregu Fouriera

•Graniczne zachowanie szeregu Fouriera

•Graniczna postać szeregu Fouriera

•Para przekształceń Fouriera

•Warunek istnienia transformaty
Fouriera

Okresowość szeregu
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 









T

e

X

T

t

x

e

X

t

x

n

T

t

jn

n

n

t

jn

n









2

,

o

o

o





























Graniczne zachowanie
szeregu Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

x(t)

czas t

-T/2

x

T

(t)

okresowe przedłużenie okna sygnału x

T

(t)

przez szereg Fouriera

+T/2

 

 

t

x

t

x

T

T



 







Graniczne zachowanie szeregu
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Graniczne zachowanie szeregu
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 





T

e

jn

T

T

X

T

n







2

,

1

1

1

1

o

o















   

t

e

t

t

x



1

Graniczne zachowanie szeregu
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 





T

e

jn

T

T

X

T

n







2

,

1

1

1

1

o

o















 

0

0

2

o



 





 













T

n

T

T

X

T





Graniczne zachowanie szeregu
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 

0

4

1

2

2

1



 















T

T

T

e

T

X



Graniczne zachowanie szeregu
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 

2

2

2

4

1

n

T

e

T

X

T

n











Graniczne zachowanie szeregu
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 

2

2

2

4

1

n

T

e

T

X

T

n











Graniczne zachowanie szeregu
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 

2

2

2

4

1

n

T

e

T

X

T

n











Graniczne zachowanie szeregu
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 

2

2

2

4

1

n

T

e

T

X

T

n











Graniczne zachowanie szeregu
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 

 









j

X

j

e

T

TX

T

n

T

n







 















1

1

1

1

Ścieśnianie prążków szeregu Fouriera:

Zanikanie prążków szeregu Fouriera:

 

 

n

T

n

T

n

j

e

T

TX

jn

e

T

TX

n

n







































1

1

1

1

o

o

Suma całkowa
Całka oznaczona Riemanna

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

a

b

x

f(x
)

n

x



 

n

x

f

 

 



























b

a

n

x

n

n

n

dx

x

f

x

x

f

S

n

0

max

Graniczna postać szeregu
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Współczynniki szeregu Fouriera:

 

 

 

 

















2

2

2

2

o

1

T

T

t

j

T

T

t

jn

n

dt

e

t

x

T

TX

dt

e

t

x

T

T

X

n

n







 

 

 



















dt

e

t

x

X

T

TX

t

j

T

n







lim

PROSTE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA:

Graniczna postać szeregu
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Szereg Fouriera:

   

 



























d

e

X

t

x

t

x

t

j

T

T

1

lim

ODWROTNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA:

 

 

 

 

 



























n

n

n

t

j

T

n

t

jn

n

n

t

jn

n

T

e

T

TX

t

x

e

T

TX

e

T

X

t

x



















2

1

2

1

o

o

o

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 

 

 

 

 

 









































































 

 





































n

T

t

t

t

j

n

t

jn

T

t

t

jn

n

t

jn

T

t

t

jn

d

e

x

t

x

e

d

e

x

t

x

e

d

e

x

T

t

x

n

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

1

2

1

1

0











n

t

jn

n

e

X

t

x

0

)

(











T

t

t

t

jn

n

dt

e

t

X

T

X

0

0

0

)

(

1



Twierdzenie całkowe
Fouriera

Proste przekształcenie Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 

 





























 













n

T

t

t

t

j

d

e

x

t

x

n

0

0

2

1

 

 

















d

d

e

x

t

x

t

j

 



























2

1

 

 













dt

e

t

x

X

t

j





 

 













d

e

d

e

x

t

x

t

j

j

 

























2

1

Twierdzenie całkowe Fouriera

Proste
przekształcenie
Fouriera

Odwrotne przekształcenie
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 

 













d

d

e

x

e

t

x

j

t

j





























2

1

 

 

dt

e

t

x

X

t

j

















Odwrotne
przekształcenie
Fouriera

 

 









d

e

X

t

x

t

j











2

1

Para przekształceń
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

PRZEKSZTAŁCENIE

 

 













dt

e

t

x

X

t

j





 

 





















d

e

X

t

x

t

j

1

ODWROTNE

PROSTE

PARA
PRZEKSZTAŁCEŃ

 

 



X

t

x 

 

 

 

 

 









X

t

x

t

x

X

1







F

F

Para przekształceń Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 

 

 













j

dt

e

dt

e

e

X

e

t

t

e

t

t

x

t

j

t

j

t

t

t











































1

1

0

,

0

,

0

o

1

o

1

PROSTE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA:

 



j

e

t

t







1

1

1

Para przekształceń Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 

 

 













j

dt

e

dt

e

e

X

e

t

t

e

t

t

x

t

j

t

j

t

t

t











































1

1

0

,

0

,

0

o

1

o

1

 



j

e

t

t







1

1

1

PARA TRANSFORMAT:

   

t

e

t

t

x



1

Para przekształceń Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 

 

 

 

 

x

x

x

T

T

dt

e

X

t

T

t

T

t

t

x

T

T

t

j

T

sin

Sa

,

2

Sa

2

,

1

2

,

0

2

2

-

































 

2

Sa

T

T

t

T







PARA TRANSFORMAT:

 

fT

T

t

x





Sa

2

Sa





T/2

-T/2

1

 

t

T



Para przekształceń Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 

 

 

 

 

 

x

x

x

T

T

dt

e

t

X

t

T

t

T

t

T

t

t

x

t

j

T

T

sin

Sa

,

4

Sa

2

1

2

,

2

1

2

,

0

2

-









































 

4

Sa

2

1

2

T

T

t

T







PARA TRANSFORMAT:

T/2

-T/2

 

t

T



 

2

Sa

4

Sa

2

2

fT

T

t

x









„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Warunek istnienia
transformaty Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Warunki Dirichleta
są warunkami
wystarczającymi
dla istnienia transformaty
Fouriera.

• Sygnał x(t) może posiadać skończoną liczbę ekstremów oraz
nieciągłości I rodzaju w przedziale [–, + ].

• Sygnał x(t) może posiadać nieciągłości II rodzaju pod
warunkiem, że jest bezwzględnie całkowalny:

 













dt

t

x

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Podsumowanie

•

Szereg Fouriera reprezentuje

sygnały okresowe

bądź stanowi okresowe

przedłużenie sygnału nieokresowego.

•

Przekształcenie Fouriera (transformacja Fouriera) jest narzędziem

pozwalającym wyznaczyć częstotliwościową reprezentację

sygnału

nieokresowego

.

•

Transformata Fouriera jest granicznym przypadkiem szeregu Fouriera,

gdy horyzont obserwacji sygnału jest wydłużany do nieskończoności.

•

Warunki Dirichleta są warunkami wystarczającymi istnienia

transformaty Fouriera.

•

W zastosowaniach praktycznych można przyjąć, że warunkiem

wystarczającym istnienia transformaty Fouriera jest to, aby sygnał
był energetyczny.