107

Elektronika Praktyczna 4/2006

K U R S

Dyskretne przekształcenie

Fouriera, część 2

W pierwszej części cy-

klu poznaliśmy problemy

pojawiające się podczas

prób estymacji widma za

pomocą oscyloskopu cy-

frowego wyposażonego

w funkcję FFT [1]. Odro-

bina matematyki zasto-

sowana w części bieżącej

jest niezbędna dla łatwego

„przyswojenia” idei trans-

formacji Fouriera i „gład-

ko” wprowadza w zastoso-

wania z użyciem procedu-

ry FFT, które będą zilu-

strowane w artykule zamy-

kającym ten krótki cykl.

W ramach części drugiej

przybliżona zostanie pro-

blematyka przekształcenia

Fouriera sygnału ciągłego

i dyskretnego.

Przekształcenie Fouriera

sygnału ciągłego

Ze względu na złożo-

ność sygnałów występują-

cych we współczesnej te-

lekomunikacji analiza ich

wartości chwilowych sta-

je się kłopotliwa, a cza-

sami wręcz niemożliwa.

Z tego powodu właściwa

reprezentacja analityczna

sygnałów nabiera wręcz

podstawowego znaczenia.

Ogólnie wyróżnia się cią-

głe i dyskretne reprezenta-

cje sygnałów. Reprezenta-

cje ciągłe przyporządkowu-

ją sygnałowi pewną funk-

Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT (Discrete
Fourier Transform) jest, obok procedur filtracji
cyfrowej, jednym z podstawowych, a zarazem
najbardziej skutecznych narzędzi cyfrowego
przetwarzania sygnałów. Poza istotnym
znaczeniem teoretycznym DFT odgrywa ważną
rolę w zagadnieniach związanych z układowymi
realizacjami różnorodnych algorytmów
przetwarzania sygnałów. Wynika to z istnienia
bardzo wydajnego algorytmu obliczania
dyskretnej transformaty Fouriera, zwanego szybką
transformatą Fouriera FFT (Fast Fourier Transform).

cję rzeczywistą lub ze-

spoloną. Przykładem może

być przekształcenie Fourie-

ra. Reprezentacje dyskretne

przyporządkowują rozważa-

nemu sygnałowi skończony

lub przeliczalny ciąg liczb

rzeczywistych lub zespo-

lonych. Jako analogiczny

przykład można wskazać

reprezentację sygnału okre-

sowego za pomocą szere-

gu Fouriera.

Z praktyki bardzo do-

brze znane jest inżynierom

elektronikom przekształce-

nie Laplace’a

o postaci:

(2.1)

w której X

C

(s) oznacza

transformatę Laplace’a

cią-

głego sygnału x

C

(t), okre-

ślonego w dziedzinie cza-

su. Dziedziną transformaty

Laplace’a jest zbiór liczb

zespolonych, a zmienna s,

zwana często pulsacją ze-

spoloną, ma postać

s=σ+jv (2.2)

Przekształcenie Laplace-

’a, będące podstawą tzw.

metody operatorowej

, od-

grywa nieocenioną rolę

w analizie i syntezie ob-

wodów elektrycznych, na-

tomiast w teorii sygnałów

duże znaczenie ma, wy-

wodzące się z niego, prze-

kształcenie Fouriera. Jeśli

w zależności (2.1) podsta-

wimy σ=0, to transforma-

ta Laplace’a nabiera sen-

su widma sygnału. Takie

przekształcenie sygnału –

którego jądrem jest zespo-

lona eksponenta często-

tliwości – po raz pierw-

szy zaprezentował Fourier

w formie tzw. przekształ-

cenia dwustronnego o po-

staci

(2.3)

Zależność (2.3) nosi na-

zwę prostego przekształce-

nia Fouriera

. Rzadziej sto-

sowane w praktyce prze-

kształcenie odwrotne i dys-

kretne przekształcenie od-

wrotne (IDF T – Inverse

Discrete Fourier Transform

),

transformujące widmo sy-

gnału w jego postać czaso-

wą, nie będzie przedmio-

tem naszych rozważań.

Równanie (2.3) definiu-

jące przekształcenie Fourie-

ra ma dość enigmatyczny

charakter i często w trakcie

typowego wykładu aka-

demickiego jest gubiony

jego głęboki, choć w isto-

cie oczywisty sens fizycz-

ny. Aby odczytać z zapi-

su (2.3) jego interpretację

fizyczną, posłużymy się

wzorem Eulera − wiążą-

cym eksponentę zmiennej

urojonej z funkcjami har-

monicznymi − o postaci:

e

–jw

=cosw–jsinw (2.4)

Po zastosowaniu wzoru

Eulera przekształcenie Fo-

uriera przyjmuje postać

(2.5)

Rozdzieliliśmy zespo-

loną eksponentę na skła-

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz. 2
Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT (Discrete Fourier
Transform) jest, obok procedur filtracji cyfrowej, jednym z
podstawowych, a zarazem najbardziej skutecznych narz

�dzi

cyfrowego przetwarzania sygnałów. Poza istotnym znaczeniem
teoretycznym DFT odgrywa wa

�n� rol� w zagadnieniach zwi�zanych

z układowymi realizacjami ró

�norodnych algorytmów

przetwarzania sygnałów. Wynika to z istnienia bardzo wydajnego
algorytmu obliczania dyskretnej transformaty Fouriera, zwanego
szybk

� transformat� Fouriera FFT (Fast Fourier Transform).

W pierwszej cz

��ci cyklu poznali�my problemy pojawiaj�ce si�

podczas prób estymacji widma za pomoc

� oscyloskopu cyfrowego

wyposa

�onego w funkcj� FFT [1]. Odrobina matematyki

zastosowana w cz

��ci bie��cej jest niezb�dna dla łatwego

„przyswojenia” idei transformacji Fouriera i „gładko”
wprowadza w zastosowania z u

�yciem procedury FFT, które b�d�

zilustrowane w artykule zamykaj

�cym ten krótki cykl. W ramach

cz

��ci drugiej przybli�ona zostanie problematyka

przekształcenia Fouriera sygnału ci

�głego i dyskretnego.

Przekształcenie Fouriera sygnału ci

�głego

Ze wzgl

�du na zło�ono�� sygnałów wyst�puj�cych we współczesnej

telekomunikacji analiza ich warto

�ci chwilowych staje si�

kłopotliwa, a czasami wr

�cz niemo�liwa. Z tego powodu wła�ciwa

reprezentacja analityczna sygnałów nabiera wr

�cz podstawowego

znaczenia. Ogólnie wyró

�nia si� ci�głe i dyskretne

reprezentacje sygnałów. Reprezentacje ci

�głe przyporz�dkowuj�

sygnałowi pewn

� funkcj� rzeczywist� lub zespolon�. Przykładem

mo

�e by� przekształcenie Fouriera. Reprezentacje dyskretne

przyporz

�dkowuj� rozwa�anemu sygnałowi sko�czony lub

przeliczalny ci

�g liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jako

analogiczny przykład mo

�na wskaza� reprezentacj� sygnału

okresowego za pomoc

� szeregu Fouriera.

Z praktyki bardzo dobrze znane jest in

�ynierom elektronikom

przekształcenie Laplace’a o postaci

( )

( )

�

�

�

=

∞

−

0

s

d

e

s

t

t

x

X

t

C

C

(2.1)

w której X

C

(s) oznacza transformat

� Laplace’a ci

�głego sygnału

x

C

(t), okre

�lonego w dziedzinie czasu. Dziedzin� transformaty

Laplace’a jest zbiór liczb zespolonych, a zmienna s, zwana
cz

�sto pulsacj� zespolon�, ma posta�

ω

+

σ

=

j

s

(2.2)

Przekształcenie Laplace’a, b

�d�ce podstaw� tzw. metody

operatorowej, odgrywa nieocenion

� rol� w analizie i syntezie

obwodów elektrycznych, natomiast w teorii sygnałów du

�e

znaczenie ma, wywodz

�ce si� z niego, przekształcenie Fouriera.

Je

�li w zale�no�ci (2.1) podstawimy σ=0, to transformata

Laplace’a nabiera sensu widma sygnału. Takie przekształcenie

sygnału – którego j

�drem jest zespolona eksponenta

cz

�stotliwo�ci – po raz pierwszy zaprezentował Fourier w

formie tzw. przekształcenia dwustronnego o postaci

( )

( )

�

�

�

=

∞

∞

−

π

−

t

t

x

f

X

ft

C

C

d

e

2

j

(2.3)

Zale

�no�� (2.3) nosi nazw� prostego przekształcenia Fouriera.

Rzadziej stosowane w praktyce przekształcenie odwrotne i
dyskretne przekształcenie odwrotne (IDFT – Inverse Discrete
Fourier Transform), transformuj

�ce widmo sygnału w jego posta�

czasow

�, nie b�dzie przedmiotem naszych rozwa�a�.

Równanie (2.3) definiuj

�ce przekształcenie Fouriera ma do��

enigmatyczny charakter i cz

�sto w trakcie typowego wykładu

akademickiego jest gubiony jego gł

�boki, cho� w istocie

oczywisty sens fizyczny. Aby odczyta

� z zapisu (2.3) jego

interpretacj

� fizyczn�, posłu�ymy si� wzorem Eulera − wi���cym

eksponent

� zmiennej urojonej z funkcjami harmonicznymi − o

postaci

ϕ

−

ϕ

=

ϕ

−

sin

j

cos

e

j

(2.4)

Po zastosowaniu wzoru Eulera przekształcenie Fouriera
przyjmuje posta

�

( )

( ) ( )

( ) ( )

�

�

�

π

−

�

�

�

π

=

∞

∞

−

∞

∞

−

t

ft

t

x

t

ft

t

x

f

X

C

C

C

d

2

sin

j

d

2

cos

(2.5)

Rozdzielili

�my zespolon� eksponent� na składow� rzeczywist� i

urojon

�. Mo�emy stwierdzi�, �e całka Fouriera daje w efekcie

składow

� rzeczywist� − wskazuj�c� na stopie� korelacji

analizowanego sygnału z funkcj

� cos(2πft) i składow� urojon� −

skorelowan

� z funkcj� sin(2πft). W tym momencie pojawia si�

pytanie – jak nale

�y rozumie� wzmiankowan� wy�ej korelacj�?

Rozwa

�my, dla przejrzysto�ci, tylko składow� rzeczywist�

transformaty Fouriera

( )

( ) ( )

�

�

�

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

t

x

f

X

C

C

d

2

cos

Re

(2.6)

Widzimy,

�e dla danej cz�stotliwo�ci f cz��� rzeczywista

transformaty Fouriera jest całk

� po czasie, w zakresie ±∞, z

iloczynu rozpatrywanego sygnału ci

�głego x

C

(t) i sygnału

kosinusoidalnego o cz

�stotliwo�ci f.

Wyobra

�my sobie, �e sygnał x

C

(t) jest identyczny z sygnałem

harmonicznym cos(2

πft), czyli

( )

( )

ft

t

x

C

π

=

2

cos

(2.7)

Wówczas, jako

�e obie funkcje s� całkowicie skorelowane (tzn.,

gdy jedna ro

�nie, to druga równie� − w sposób identyczny −

ro

�nie oraz, gdy jedna maleje, to – podobnie jak poprzednio –

druga równie

� maleje), wynik całki jest maksymalny, ale

niestety, co łatwo wykaza

�, równy

sygnału – którego j

�drem jest zespolona eksponenta

cz

�stotliwo�ci – po raz pierwszy zaprezentował Fourier w

formie tzw. przekształcenia dwustronnego o postaci

( )

( )

�

�

�

=

∞

∞

−

π

−

t

t

x

f

X

ft

C

C

d

e

2

j

(2.3)

Zale

�no�� (2.3) nosi nazw� prostego przekształcenia Fouriera.

Rzadziej stosowane w praktyce przekształcenie odwrotne i
dyskretne przekształcenie odwrotne (IDFT – Inverse Discrete
Fourier Transform), transformuj

�ce widmo sygnału w jego posta�

czasow

�, nie b�dzie przedmiotem naszych rozwa�a�.

Równanie (2.3) definiuj

�ce przekształcenie Fouriera ma do��

enigmatyczny charakter i cz

�sto w trakcie typowego wykładu

akademickiego jest gubiony jego gł

�boki, cho� w istocie

oczywisty sens fizyczny. Aby odczyta

� z zapisu (2.3) jego

interpretacj

� fizyczn�, posłu�ymy si� wzorem Eulera − wi���cym

eksponent

� zmiennej urojonej z funkcjami harmonicznymi − o

postaci

ϕ

−

ϕ

=

ϕ

−

sin

j

cos

e

j

(2.4)

Po zastosowaniu wzoru Eulera przekształcenie Fouriera
przyjmuje posta

�

( )

( ) ( )

( ) ( )

�

�

�

π

−

�

�

�

π

=

∞

∞

−

∞

∞

−

t

ft

t

x

t

ft

t

x

f

X

C

C

C

d

2

sin

j

d

2

cos

(2.5)

Rozdzielili

�my zespolon� eksponent� na składow� rzeczywist� i

urojon

�. Mo�emy stwierdzi�, �e całka Fouriera daje w efekcie

składow

� rzeczywist� − wskazuj�c� na stopie� korelacji

analizowanego sygnału z funkcj

� cos(2πft) i składow� urojon� −

skorelowan

� z funkcj� sin(2πft). W tym momencie pojawia si�

pytanie – jak nale

�y rozumie� wzmiankowan� wy�ej korelacj�?

Rozwa

�my, dla przejrzysto�ci, tylko składow� rzeczywist�

transformaty Fouriera

( )

( ) ( )

�

�

�

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

t

x

f

X

C

C

d

2

cos

Re

(2.6)

Widzimy,

�e dla danej cz�stotliwo�ci f cz��� rzeczywista

transformaty Fouriera jest całk

� po czasie, w zakresie ±∞, z

iloczynu rozpatrywanego sygnału ci

�głego x

C

(t) i sygnału

kosinusoidalnego o cz

�stotliwo�ci f.

Wyobra

�my sobie, �e sygnał x

C

(t) jest identyczny z sygnałem

harmonicznym cos(2

πft), czyli

( )

( )

ft

t

x

C

π

=

2

cos

(2.7)

Wówczas, jako

�e obie funkcje s� całkowicie skorelowane (tzn.,

gdy jedna ro

�nie, to druga równie� − w sposób identyczny −

ro

�nie oraz, gdy jedna maleje, to – podobnie jak poprzednio –

druga równie

� maleje), wynik całki jest maksymalny, ale

niestety, co łatwo wykaza

�, równy

sygnału – którego j

�drem jest zespolona eksponenta

cz

�stotliwo�ci – po raz pierwszy zaprezentował Fourier w

formie tzw. przekształcenia dwustronnego o postaci

( )

( )

�

�

�

=

∞

∞

−

π

−

t

t

x

f

X

ft

C

C

d

e

2

j

(2.3)

Zale

�no�� (2.3) nosi nazw� prostego przekształcenia Fouriera.

Rzadziej stosowane w praktyce przekształcenie odwrotne i
dyskretne przekształcenie odwrotne (IDFT – Inverse Discrete
Fourier Transform), transformuj

�ce widmo sygnału w jego posta�

czasow

�, nie b�dzie przedmiotem naszych rozwa�a�.

Równanie (2.3) definiuj

�ce przekształcenie Fouriera ma do��

enigmatyczny charakter i cz

�sto w trakcie typowego wykładu

akademickiego jest gubiony jego gł

�boki, cho� w istocie

oczywisty sens fizyczny. Aby odczyta

� z zapisu (2.3) jego

interpretacj

� fizyczn�, posłu�ymy si� wzorem Eulera − wi���cym

eksponent

� zmiennej urojonej z funkcjami harmonicznymi − o

postaci

ϕ

−

ϕ

=

ϕ

−

sin

j

cos

e

j

(2.4)

Po zastosowaniu wzoru Eulera przekształcenie Fouriera
przyjmuje posta

�

( )

( ) ( )

( ) ( )

�

�

�

π

−

�

�

�

π

=

∞

∞

−

∞

∞

−

t

ft

t

x

t

ft

t

x

f

X

C

C

C

d

2

sin

j

d

2

cos

(2.5)

Rozdzielili

�my zespolon� eksponent� na składow� rzeczywist� i

urojon

�. Mo�emy stwierdzi�, �e całka Fouriera daje w efekcie

składow

� rzeczywist� − wskazuj�c� na stopie� korelacji

analizowanego sygnału z funkcj

� cos(2πft) i składow� urojon� −

skorelowan

� z funkcj� sin(2πft). W tym momencie pojawia si�

pytanie – jak nale

�y rozumie� wzmiankowan� wy�ej korelacj�?

Rozwa

�my, dla przejrzysto�ci, tylko składow� rzeczywist�

transformaty Fouriera

( )

( ) ( )

�

�

�

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

t

x

f

X

C

C

d

2

cos

Re

(2.6)

Widzimy,

�e dla danej cz�stotliwo�ci f cz��� rzeczywista

transformaty Fouriera jest całk

� po czasie, w zakresie ±∞, z

iloczynu rozpatrywanego sygnału ci

�głego x

C

(t) i sygnału

kosinusoidalnego o cz

�stotliwo�ci f.

Wyobra

�my sobie, �e sygnał x

C

(t) jest identyczny z sygnałem

harmonicznym cos(2

πft), czyli

( )

( )

ft

t

x

C

π

=

2

cos

(2.7)

Wówczas, jako

�e obie funkcje s� całkowicie skorelowane (tzn.,

gdy jedna ro

�nie, to druga równie� − w sposób identyczny −

ro

�nie oraz, gdy jedna maleje, to – podobnie jak poprzednio –

druga równie

� maleje), wynik całki jest maksymalny, ale

niestety, co łatwo wykaza

�, równy

dową rzeczywistą i urojo-

ną. Możemy stwierdzić, że

całka Fouriera daje w efek-

cie składową rzeczywistą −

wskazującą na stopień ko-

relacji analizowanego sy-

gnału z funkcją cos(2πft)

i składową urojoną − skore-

lowaną z funkcją sin(2πft).

W tym momencie pojawia

się pytanie – jak należy

rozumieć wzmiankowaną

wyżej korelację?

Rozważmy, dla przej-

rzystości, tylko składową

rzeczywistą transformaty

Fouriera

(2.6)

Widzimy, że dla danej

częstotliwości f część rze-

czywista transformaty Fo-

uriera jest całką po cza-

sie, w zakresie ±∞, z ilo-

czynu rozpatrywanego sy-

gnału ciągłego x

C

(t) i sy-

gnału kosinusoidalnego

o częstotliwości f.

Wyobraźmy sobie, że

sygnał x

C

(t) jest identycz-

ny z sygnałem harmonicz-

nym cos(2πft), czyli

x

C

(t)=cos(2πft) (2.7)

Wówczas, jako że obie

funkcje są całkowicie sko-

relowane (tzn., gdy jedna

rośnie, to druga również −

w sposób identyczny − ro-

śnie oraz, gdy jedna male-

je, to – podobnie jak po-

przednio – druga również

maleje), wynik całki jest

maksymalny, ale niestety,

co łatwo wykazać, równy

(2.8)

Wynika z tego, że prze-

kształcenia Fouriera w sen-

sie zwykłym – o jakim

cały czas mowa – nie

sygnału – którego j

�drem jest zespolona eksponenta

cz

�stotliwo�ci – po raz pierwszy zaprezentował Fourier w

formie tzw. przekształcenia dwustronnego o postaci

( )

( )

�

�

�

=

∞

∞

−

π

−

t

t

x

f

X

ft

C

C

d

e

2

j

(2.3)

Zale

�no�� (2.3) nosi nazw� prostego przekształcenia Fouriera.

Rzadziej stosowane w praktyce przekształcenie odwrotne i
dyskretne przekształcenie odwrotne (IDFT – Inverse Discrete
Fourier Transform), transformuj

�ce widmo sygnału w jego posta�

czasow

�, nie b�dzie przedmiotem naszych rozwa�a�.

Równanie (2.3) definiuj

�ce przekształcenie Fouriera ma do��

enigmatyczny charakter i cz

�sto w trakcie typowego wykładu

akademickiego jest gubiony jego gł

�boki, cho� w istocie

oczywisty sens fizyczny. Aby odczyta

� z zapisu (2.3) jego

interpretacj

� fizyczn�, posłu�ymy si� wzorem Eulera − wi���cym

eksponent

� zmiennej urojonej z funkcjami harmonicznymi − o

postaci

ϕ

−

ϕ

=

ϕ

−

sin

j

cos

e

j

(2.4)

Po zastosowaniu wzoru Eulera przekształcenie Fouriera
przyjmuje posta

�

( )

( ) ( )

( ) ( )

�

�

�

π

−

�

�

�

π

=

∞

∞

−

∞

∞

−

t

ft

t

x

t

ft

t

x

f

X

C

C

C

d

2

sin

j

d

2

cos

(2.5)

Rozdzielili

�my zespolon� eksponent� na składow� rzeczywist� i

urojon

�. Mo�emy stwierdzi�, �e całka Fouriera daje w efekcie

składow

� rzeczywist� − wskazuj�c� na stopie� korelacji

analizowanego sygnału z funkcj

� cos(2πft) i składow� urojon� −

skorelowan

� z funkcj� sin(2πft). W tym momencie pojawia si�

pytanie – jak nale

�y rozumie� wzmiankowan� wy�ej korelacj�?

Rozwa

�my, dla przejrzysto�ci, tylko składow� rzeczywist�

transformaty Fouriera

( )

( ) ( )

�

�

�

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

t

x

f

X

C

C

d

2

cos

Re

(2.6)

Widzimy,

�e dla danej cz�stotliwo�ci f cz��� rzeczywista

transformaty Fouriera jest całk

� po czasie, w zakresie ±∞, z

iloczynu rozpatrywanego sygnału ci

�głego x

C

(t) i sygnału

kosinusoidalnego o cz

�stotliwo�ci f.

Wyobra

�my sobie, �e sygnał x

C

(t) jest identyczny z sygnałem

harmonicznym cos(2

πft), czyli

( )

( )

ft

t

x

C

π

=

2

cos

(2.7)

Wówczas, jako

�e obie funkcje s� całkowicie skorelowane (tzn.,

gdy jedna ro

�nie, to druga równie� − w sposób identyczny −

ro

�nie oraz, gdy jedna maleje, to – podobnie jak poprzednio –

druga równie

� maleje), wynik całki jest maksymalny, ale

niestety, co łatwo wykaza

�, równy

sygnału – którego j

�drem jest zespolona eksponenta

cz

�stotliwo�ci – po raz pierwszy zaprezentował Fourier w

formie tzw. przekształcenia dwustronnego o postaci

( )

( )

�

�

�

=

∞

∞

−

π

−

t

t

x

f

X

ft

C

C

d

e

2

j

(2.3)

Zale

�no�� (2.3) nosi nazw� prostego przekształcenia Fouriera.

Rzadziej stosowane w praktyce przekształcenie odwrotne i
dyskretne przekształcenie odwrotne (IDFT – Inverse Discrete
Fourier Transform), transformuj

�ce widmo sygnału w jego posta�

czasow

�, nie b�dzie przedmiotem naszych rozwa�a�.

Równanie (2.3) definiuj

�ce przekształcenie Fouriera ma do��

enigmatyczny charakter i cz

�sto w trakcie typowego wykładu

akademickiego jest gubiony jego gł

�boki, cho� w istocie

oczywisty sens fizyczny. Aby odczyta

� z zapisu (2.3) jego

interpretacj

� fizyczn�, posłu�ymy si� wzorem Eulera − wi���cym

eksponent

� zmiennej urojonej z funkcjami harmonicznymi − o

postaci

ϕ

−

ϕ

=

ϕ

−

sin

j

cos

e

j

(2.4)

Po zastosowaniu wzoru Eulera przekształcenie Fouriera
przyjmuje posta

�

( )

( ) ( )

( ) ( )

�

�

�

π

−

�

�

�

π

=

∞

∞

−

∞

∞

−

t

ft

t

x

t

ft

t

x

f

X

C

C

C

d

2

sin

j

d

2

cos

(2.5)

Rozdzielili

�my zespolon� eksponent� na składow� rzeczywist� i

urojon

�. Mo�emy stwierdzi�, �e całka Fouriera daje w efekcie

składow

� rzeczywist� − wskazuj�c� na stopie� korelacji

analizowanego sygnału z funkcj

� cos(2πft) i składow� urojon� −

skorelowan

� z funkcj� sin(2πft). W tym momencie pojawia si�

pytanie – jak nale

�y rozumie� wzmiankowan� wy�ej korelacj�?

Rozwa

�my, dla przejrzysto�ci, tylko składow� rzeczywist�

transformaty Fouriera

( )

( ) ( )

�

�

�

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

t

x

f

X

C

C

d

2

cos

Re

(2.6)

Widzimy,

�e dla danej cz�stotliwo�ci f cz��� rzeczywista

transformaty Fouriera jest całk

� po czasie, w zakresie ±∞, z

iloczynu rozpatrywanego sygnału ci

�głego x

C

(t) i sygnału

kosinusoidalnego o cz

�stotliwo�ci f.

Wyobra

�my sobie, �e sygnał x

C

(t) jest identyczny z sygnałem

harmonicznym cos(2

πft), czyli

( )

( )

ft

t

x

C

π

=

2

cos

(2.7)

Wówczas, jako

�e obie funkcje s� całkowicie skorelowane (tzn.,

gdy jedna ro

�nie, to druga równie� − w sposób identyczny −

ro

�nie oraz, gdy jedna maleje, to – podobnie jak poprzednio –

druga równie

� maleje), wynik całki jest maksymalny, ale

niestety, co łatwo wykaza

�, równy

( )

( )

( )

∞

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

ft

f

X

C

d

2

cos

2

cos

Re

(2.8)

Wynika z tego,

�e przekształcenia Fouriera w sensie zwykłym –

o jakim cały czas mowa – nie mo

�na zastosowa� do wszystkich

sygnałów.
Mo

�na wykaza�, �e warunkiem dostatecznym istnienia dla ka�dej

cz

�stotliwo�ci f prostej transformaty Fouriera jest

bezwzgl

�dna całkowalno�� sygnału [5], czyli transformowany

sygnał musi spełnia

� warunek

( )

∞

<

�

�

�

∞

∞

−

t

t

x

C

d

(2.9)

Jest to powa

�na wada tego przekształcenia, gdy� nie obejmuje

ono tak wa

�nych sygnałów teoretycznych jak cosω

0

t, (co pokazano

powy

�ej), sinω

0

t, 1(t), exp(j

ω

0

t) itp. Warto w tym miejscu

uzmysłowi

� sobie fakt, �e harmoniczny sygnał rzeczywisty,

który obserwujemy np. na oscyloskopie –

�ci�le rzecz ujmuj�c –

nie mo

�e by� opisany funkcj� sinus, b�d� kosinus, gdy� sygnał

ten formalnie musiałby trwa

� od –∞ do ∞. Z problemem tym

poradzono sobie, definiuj

�c przekształcenie Fouriera w sensie

granicznym [5], które koncepcyjnie przypomina definicj

�

dystrybucji obowi

�zuj�c� w ramach elementarnej teorii

dystrybucji.
Z uwagi na fakt,

�e rzeczywiste przebiegi s� zawsze sygnałami

o ograniczonej energii, spełniaj

�cymi warunek (2.9), w

praktyce transformata (2.5) zawsze osi

�ga warto�� sko�czon�.

Załó

�my przykładowo, �e analizowanym sygnałem jest narastaj�cy

i malej

�cy do zera sygnał harmoniczny o cz�stotliwo�ci f,

przedstawiony na rys. 11, dany wzorem

( )

(

)

t

f

t

x

t

C

π

=

2

cos

e

-

0

(2.10)

Sygnał ten osi

�ga maksimum dla t=0 i jest oczywiste, �e jego

widmo zawiera składow

� o cz�stotliwo�ci f. Obliczmy zatem

cz

��� rzeczywist� transformaty Fouriera

( )

( )

( )

1

d

2

cos

2

cos

e

Re

0

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.11)

Jednostkowy wynik nie jest reguł

� i nie mo�e by� uto�samiany

ze współczynnikiem korelacji, b

�d�cym �cisł� miar� korelacji

obu sygnałów. Gdyby współczynnik tłumienia sygnału
harmonicznego był ró

�ny od jedno�ci, rozpatrywana całka

równie

� miałaby inn� warto��. Dla nas sygnał x

C0

(t) jest

przykładowym sygnałem, który posłu

�y nam do badania zale�no�ci

fazowych.
Je

�li rozpatrywany sygnał − nazwijmy go x

C1

(t)

− b

�dzie

odwrócony w fazie, to równie

� wyst�pi pełna korelacja, w tym

sensie,

�e zmianom sygnału x

C1

(t) b

�d� towarzyszyły dokładnie

( )

( )

( )

∞

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

ft

f

X

C

d

2

cos

2

cos

Re

(2.8)

Wynika z tego,

�e przekształcenia Fouriera w sensie zwykłym –

o jakim cały czas mowa – nie mo

�na zastosowa� do wszystkich

sygnałów.
Mo

�na wykaza�, �e warunkiem dostatecznym istnienia dla ka�dej

cz

�stotliwo�ci f prostej transformaty Fouriera jest

bezwzgl

�dna całkowalno�� sygnału [5], czyli transformowany

sygnał musi spełnia

� warunek

( )

∞

<

�

�

�

∞

∞

−

t

t

x

C

d

(2.9)

Jest to powa

�na wada tego przekształcenia, gdy� nie obejmuje

ono tak wa

�nych sygnałów teoretycznych jak cosω

0

t, (co pokazano

powy

�ej), sinω

0

t, 1(t), exp(j

ω

0

t) itp. Warto w tym miejscu

uzmysłowi

� sobie fakt, �e harmoniczny sygnał rzeczywisty,

który obserwujemy np. na oscyloskopie –

�ci�le rzecz ujmuj�c –

nie mo

�e by� opisany funkcj� sinus, b�d� kosinus, gdy� sygnał

ten formalnie musiałby trwa

� od –∞ do ∞. Z problemem tym

poradzono sobie, definiuj

�c przekształcenie Fouriera w sensie

granicznym [5], które koncepcyjnie przypomina definicj

�

dystrybucji obowi

�zuj�c� w ramach elementarnej teorii

dystrybucji.
Z uwagi na fakt,

�e rzeczywiste przebiegi s� zawsze sygnałami

o ograniczonej energii, spełniaj

�cymi warunek (2.9), w

praktyce transformata (2.5) zawsze osi

�ga warto�� sko�czon�.

Załó

�my przykładowo, �e analizowanym sygnałem jest narastaj�cy

i malej

�cy do zera sygnał harmoniczny o cz�stotliwo�ci f,

przedstawiony na rys. 11, dany wzorem

( )

(

)

t

f

t

x

t

C

π

=

2

cos

e

-

0

(2.10)

Sygnał ten osi

�ga maksimum dla t=0 i jest oczywiste, �e jego

widmo zawiera składow

� o cz�stotliwo�ci f. Obliczmy zatem

cz

��� rzeczywist� transformaty Fouriera

( )

( )

( )

1

d

2

cos

2

cos

e

Re

0

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.11)

Jednostkowy wynik nie jest reguł

� i nie mo�e by� uto�samiany

ze współczynnikiem korelacji, b

�d�cym �cisł� miar� korelacji

obu sygnałów. Gdyby współczynnik tłumienia sygnału
harmonicznego był ró

�ny od jedno�ci, rozpatrywana całka

równie

� miałaby inn� warto��. Dla nas sygnał x

C0

(t) jest

przykładowym sygnałem, który posłu

�y nam do badania zale�no�ci

fazowych.
Je

�li rozpatrywany sygnał − nazwijmy go x

C1

(t)

− b

�dzie

odwrócony w fazie, to równie

� wyst�pi pełna korelacja, w tym

sensie,

�e zmianom sygnału x

C1

(t) b

�d� towarzyszyły dokładnie

Elektronika Praktyczna 4/2006

108

K U R S

wsze osiąga wartość skoń-

czoną. Załóżmy przykła-

dowo, że analizowanym

sygnałem jest narastający

i malejący do zera sygnał

harmoniczny o częstotli-

wości f, przedstawiony na

rys. 11, dany wzorem

(2.10)

Sygnał ten osiąga mak-

simum dla t=0 i jest oczy-

wiste, że jego widmo za-

wiera składową o częstotli-

wości f. Obliczmy zatem

część rzeczywistą transfor-

maty Fouriera

(2.11)

Jednostkowy wynik nie

jest regułą i nie może być

m o ż n a z a s t o s o w a ć d o

wszystkich sygnałów.

Można wykazać, że wa-

runkiem dostatecznym ist-

nienia dla każdej częstotli-

wości f prostej transforma-

ty Fouriera jest bezwzględ-

na całkowalność sygnału

[5], czyli transformowany

sygnał musi spełniać wa-

runek:

(2.9)

Jest to poważna wada

tego przekształcenia, gdyż

nie obejmuje ono tak

ważnych sygnałów teore-

tycznych jak cosω

0

t,

(co

pokazano powyżej), sinω

0

t

,

1(t), exp(jω

0

t

) itp. War-

to w tym miejscu uzmy-

słowić sobie fakt, że har-

moniczny sygnał rzeczy-

wisty, który obserwujemy

np. na oscyloskopie – ści-

śle rzecz ujmując – nie

może być opisany funk-

cją sinus, bądź kosinus,

gdyż sygnał ten formalnie

musiałby trwać od –∞ do

∞. Z problemem tym po-

radzono sobie, definiując

przekształcenie Fouriera

w sensie granicznym [5],

które koncepcyjnie przy-

pomina definicję dystry-

bucji obowiązującą w ra-

mach elementarnej teorii

dystrybucji.

Z uwagi na fakt, że

rzeczywiste przebiegi są

zawsze sygnałami o ograni-

czonej energii, spełniający-

mi warunek (2.9), w prak-

tyce transformata (2.5) za-

utożsamiany ze współ-

czynnikiem korelacji, bę-

dącym ścisłą miarą kore-

lacji obu sygnałów. Gdy-

by współczynnik tłumie-

nia sygnału harmoniczne-

go był różny od jedności,

rozpatrywana całka rów-

nież miałaby inną war-

tość. Dla nas sygnał x

C

0

(t)

jest przykładowym sygna-

Rys. 11. Analizowany sygnał (linia ciągła) i sygnał cos(2πft) (linia przerywana) – łatwo za-
uważyć pełną korelację

( )

( )

( )

∞

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

ft

f

X

C

d

2

cos

2

cos

Re

(2.8)

Wynika z tego,

�e przekształcenia Fouriera w sensie zwykłym –

o jakim cały czas mowa – nie mo

�na zastosowa� do wszystkich

sygnałów.
Mo

�na wykaza�, �e warunkiem dostatecznym istnienia dla ka�dej

cz

�stotliwo�ci f prostej transformaty Fouriera jest

bezwzgl

�dna całkowalno�� sygnału [5], czyli transformowany

sygnał musi spełnia

� warunek

( )

∞

<

�

�

�

∞

∞

−

t

t

x

C

d

(2.9)

Jest to powa

�na wada tego przekształcenia, gdy� nie obejmuje

ono tak wa

�nych sygnałów teoretycznych jak cosω

0

t, (co pokazano

powy

�ej), sinω

0

t, 1(t), exp(j

ω

0

t) itp. Warto w tym miejscu

uzmysłowi

� sobie fakt, �e harmoniczny sygnał rzeczywisty,

który obserwujemy np. na oscyloskopie –

�ci�le rzecz ujmuj�c –

nie mo

�e by� opisany funkcj� sinus, b�d� kosinus, gdy� sygnał

ten formalnie musiałby trwa

� od –∞ do ∞. Z problemem tym

poradzono sobie, definiuj

�c przekształcenie Fouriera w sensie

granicznym [5], które koncepcyjnie przypomina definicj

�

dystrybucji obowi

�zuj�c� w ramach elementarnej teorii

dystrybucji.
Z uwagi na fakt,

�e rzeczywiste przebiegi s� zawsze sygnałami

o ograniczonej energii, spełniaj

�cymi warunek (2.9), w

praktyce transformata (2.5) zawsze osi

�ga warto�� sko�czon�.

Załó

�my przykładowo, �e analizowanym sygnałem jest narastaj�cy

i malej

�cy do zera sygnał harmoniczny o cz�stotliwo�ci f,

przedstawiony na rys. 11, dany wzorem

( )

(

)

t

f

t

x

t

C

π

=

2

cos

e

-

0

(2.10)

Sygnał ten osi

�ga maksimum dla t=0 i jest oczywiste, �e jego

widmo zawiera składow

� o cz�stotliwo�ci f. Obliczmy zatem

cz

��� rzeczywist� transformaty Fouriera

( )

( )

( )

1

d

2

cos

2

cos

e

Re

0

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.11)

Jednostkowy wynik nie jest reguł

� i nie mo�e by� uto�samiany

ze współczynnikiem korelacji, b

�d�cym �cisł� miar� korelacji

obu sygnałów. Gdyby współczynnik tłumienia sygnału
harmonicznego był ró

�ny od jedno�ci, rozpatrywana całka

równie

� miałaby inn� warto��. Dla nas sygnał x

C0

(t) jest

przykładowym sygnałem, który posłu

�y nam do badania zale�no�ci

fazowych.
Je

�li rozpatrywany sygnał − nazwijmy go x

C1

(t)

− b

�dzie

odwrócony w fazie, to równie

� wyst�pi pełna korelacja, w tym

sensie,

�e zmianom sygnału x

C1

(t) b

�d� towarzyszyły dokładnie

( )

( )

( )

∞

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

ft

f

X

C

d

2

cos

2

cos

Re

(2.8)

Wynika z tego,

�e przekształcenia Fouriera w sensie zwykłym –

o jakim cały czas mowa – nie mo

�na zastosowa� do wszystkich

sygnałów.
Mo

�na wykaza�, �e warunkiem dostatecznym istnienia dla ka�dej

cz

�stotliwo�ci f prostej transformaty Fouriera jest

bezwzgl

�dna całkowalno�� sygnału [5], czyli transformowany

sygnał musi spełnia

� warunek

( )

∞

<

�

�

�

∞

∞

−

t

t

x

C

d

(2.9)

Jest to powa

�na wada tego przekształcenia, gdy� nie obejmuje

ono tak wa

�nych sygnałów teoretycznych jak cosω

0

t, (co pokazano

powy

�ej), sinω

0

t, 1(t), exp(j

ω

0

t) itp. Warto w tym miejscu

uzmysłowi

� sobie fakt, �e harmoniczny sygnał rzeczywisty,

który obserwujemy np. na oscyloskopie –

�ci�le rzecz ujmuj�c –

nie mo

�e by� opisany funkcj� sinus, b�d� kosinus, gdy� sygnał

ten formalnie musiałby trwa

� od –∞ do ∞. Z problemem tym

poradzono sobie, definiuj

�c przekształcenie Fouriera w sensie

granicznym [5], które koncepcyjnie przypomina definicj

�

dystrybucji obowi

�zuj�c� w ramach elementarnej teorii

dystrybucji.
Z uwagi na fakt,

�e rzeczywiste przebiegi s� zawsze sygnałami

o ograniczonej energii, spełniaj

�cymi warunek (2.9), w

praktyce transformata (2.5) zawsze osi

�ga warto�� sko�czon�.

Załó

�my przykładowo, �e analizowanym sygnałem jest narastaj�cy

i malej

�cy do zera sygnał harmoniczny o cz�stotliwo�ci f,

przedstawiony na rys. 11, dany wzorem

( )

(

)

t

f

t

x

t

C

π

=

2

cos

e

-

0

(2.10)

Sygnał ten osi

�ga maksimum dla t=0 i jest oczywiste, �e jego

widmo zawiera składow

� o cz�stotliwo�ci f. Obliczmy zatem

cz

��� rzeczywist� transformaty Fouriera

( )

( )

( )

1

d

2

cos

2

cos

e

Re

0

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.11)

Jednostkowy wynik nie jest reguł

� i nie mo�e by� uto�samiany

ze współczynnikiem korelacji, b

�d�cym �cisł� miar� korelacji

obu sygnałów. Gdyby współczynnik tłumienia sygnału
harmonicznego był ró

�ny od jedno�ci, rozpatrywana całka

równie

� miałaby inn� warto��. Dla nas sygnał x

C0

(t) jest

przykładowym sygnałem, który posłu

�y nam do badania zale�no�ci

fazowych.
Je

�li rozpatrywany sygnał − nazwijmy go x

C1

(t)

− b

�dzie

odwrócony w fazie, to równie

� wyst�pi pełna korelacja, w tym

sensie,

�e zmianom sygnału x

C1

(t) b

�d� towarzyszyły dokładnie

( )

( )

( )

∞

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

ft

f

X

C

d

2

cos

2

cos

Re

(2.8)

Wynika z tego,

�e przekształcenia Fouriera w sensie zwykłym –

o jakim cały czas mowa – nie mo

�na zastosowa� do wszystkich

sygnałów.
Mo

�na wykaza�, �e warunkiem dostatecznym istnienia dla ka�dej

cz

�stotliwo�ci f prostej transformaty Fouriera jest

bezwzgl

�dna całkowalno�� sygnału [5], czyli transformowany

sygnał musi spełnia

� warunek

( )

∞

<

�

�

�

∞

∞

−

t

t

x

C

d

(2.9)

Jest to powa

�na wada tego przekształcenia, gdy� nie obejmuje

ono tak wa

�nych sygnałów teoretycznych jak cosω

0

t, (co pokazano

powy

�ej), sinω

0

t, 1(t), exp(j

ω

0

t) itp. Warto w tym miejscu

uzmysłowi

� sobie fakt, �e harmoniczny sygnał rzeczywisty,

który obserwujemy np. na oscyloskopie –

�ci�le rzecz ujmuj�c –

nie mo

�e by� opisany funkcj� sinus, b�d� kosinus, gdy� sygnał

ten formalnie musiałby trwa

� od –∞ do ∞. Z problemem tym

poradzono sobie, definiuj

�c przekształcenie Fouriera w sensie

granicznym [5], które koncepcyjnie przypomina definicj

�

dystrybucji obowi

�zuj�c� w ramach elementarnej teorii

dystrybucji.
Z uwagi na fakt,

�e rzeczywiste przebiegi s� zawsze sygnałami

o ograniczonej energii, spełniaj

�cymi warunek (2.9), w

praktyce transformata (2.5) zawsze osi

�ga warto�� sko�czon�.

Załó

�my przykładowo, �e analizowanym sygnałem jest narastaj�cy

i malej

�cy do zera sygnał harmoniczny o cz�stotliwo�ci f,

przedstawiony na rys. 11, dany wzorem

( )

(

)

t

f

t

x

t

C

π

=

2

cos

e

-

0

(2.10)

Sygnał ten osi

�ga maksimum dla t=0 i jest oczywiste, �e jego

widmo zawiera składow

� o cz�stotliwo�ci f. Obliczmy zatem

cz

��� rzeczywist� transformaty Fouriera

( )

( )

( )

1

d

2

cos

2

cos

e

Re

0

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.11)

Jednostkowy wynik nie jest reguł

� i nie mo�e by� uto�samiany

ze współczynnikiem korelacji, b

�d�cym �cisł� miar� korelacji

obu sygnałów. Gdyby współczynnik tłumienia sygnału
harmonicznego był ró

�ny od jedno�ci, rozpatrywana całka

równie

� miałaby inn� warto��. Dla nas sygnał x

C0

(t) jest

przykładowym sygnałem, który posłu

�y nam do badania zale�no�ci

fazowych.
Je

�li rozpatrywany sygnał − nazwijmy go x

C1

(t)

− b

�dzie

odwrócony w fazie, to równie

� wyst�pi pełna korelacja, w tym

sensie,

�e zmianom sygnału x

C1

(t) b

�d� towarzyszyły dokładnie

( )

( )

( )

∞

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

t

ft

ft

f

X

C

d

2

cos

2

cos

Re

(2.8)

Wynika z tego,

�e przekształcenia Fouriera w sensie zwykłym –

o jakim cały czas mowa – nie mo

�na zastosowa� do wszystkich

sygnałów.
Mo

�na wykaza�, �e warunkiem dostatecznym istnienia dla ka�dej

cz

�stotliwo�ci f prostej transformaty Fouriera jest

bezwzgl

�dna całkowalno�� sygnału [5], czyli transformowany

sygnał musi spełnia

� warunek

( )

∞

<

�

�

�

∞

∞

−

t

t

x

C

d

(2.9)

Jest to powa

�na wada tego przekształcenia, gdy� nie obejmuje

ono tak wa

�nych sygnałów teoretycznych jak cosω

0

t, (co pokazano

powy

�ej), sinω

0

t, 1(t), exp(j

ω

0

t) itp. Warto w tym miejscu

uzmysłowi

� sobie fakt, �e harmoniczny sygnał rzeczywisty,

który obserwujemy np. na oscyloskopie –

�ci�le rzecz ujmuj�c –

nie mo

�e by� opisany funkcj� sinus, b�d� kosinus, gdy� sygnał

ten formalnie musiałby trwa

� od –∞ do ∞. Z problemem tym

poradzono sobie, definiuj

�c przekształcenie Fouriera w sensie

granicznym [5], które koncepcyjnie przypomina definicj

�

dystrybucji obowi

�zuj�c� w ramach elementarnej teorii

dystrybucji.
Z uwagi na fakt,

�e rzeczywiste przebiegi s� zawsze sygnałami

o ograniczonej energii, spełniaj

�cymi warunek (2.9), w

praktyce transformata (2.5) zawsze osi

�ga warto�� sko�czon�.

Załó

�my przykładowo, �e analizowanym sygnałem jest narastaj�cy

i malej

�cy do zera sygnał harmoniczny o cz�stotliwo�ci f,

przedstawiony na rys. 11, dany wzorem

( )

(

)

t

f

t

x

t

C

π

=

2

cos

e

-

0

(2.10)

Sygnał ten osi

�ga maksimum dla t=0 i jest oczywiste, �e jego

widmo zawiera składow

� o cz�stotliwo�ci f. Obliczmy zatem

cz

��� rzeczywist� transformaty Fouriera

( )

( )

( )

1

d

2

cos

2

cos

e

Re

0

=

�

�

�

π

⋅

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.11)

Jednostkowy wynik nie jest reguł

� i nie mo�e by� uto�samiany

ze współczynnikiem korelacji, b

�d�cym �cisł� miar� korelacji

obu sygnałów. Gdyby współczynnik tłumienia sygnału
harmonicznego był ró

�ny od jedno�ci, rozpatrywana całka

równie

� miałaby inn� warto��. Dla nas sygnał x

C0

(t) jest

przykładowym sygnałem, który posłu

�y nam do badania zale�no�ci

fazowych.
Je

�li rozpatrywany sygnał − nazwijmy go x

C1

(t)

− b

�dzie

odwrócony w fazie, to równie

� wyst�pi pełna korelacja, w tym

sensie,

�e zmianom sygnału x

C1

(t) b

�d� towarzyszyły dokładnie

łem, który posłuży nam

do badania zależności fa-

zowych.

Tematykę tę będziemy

kontynuować w następ-

nym odcinku.

Andrzej Dobrowolski

[e-mail]

http://adobrowolski.wel.

wat.edu.pl