Elektronika Praktyczna 5/2006

98

K U R S

Dyskretne przekształcenie

Fouriera

, część 3

Jeśli rozpatrywany sygnał − na-

zwijmy go x

C

1

(

t

) − będzie odwróco-

ny w fazie, to również wystąpi peł-

na korelacja, w tym sensie, że zmia-

nom sygnału x

C

1

(

t

) będą towarzy-

szyły dokładnie przeciwne zmiany

sygnału harmonicznego cos

(2πft

),

względem którego wyznaczamy kore-

lację, co zilustrowano na

rys. 12.

Wyliczmy zatem odpowiednią

całkę

(2.12)

Wynik jest zgodny z oczekiwania-

mi – wartość całki jest taka sama,

lecz ma przeciwny znak.

Przeprowadźmy teraz kolejny

eksperyment. Rozważmy przypadek,

gdy rozpatrywany sygnał − nazwij-

my go x

C

2

(

t

) − będzie przesunięty

o 90°. Taka sytuacja jest przedsta-

wiona na

rys. 13.

Przyjrzyjmy się dokładnie do-

wolnemu pojedynczemu okresowi.

W czasie jednej ćwiartki okresu oby-

dwa sygnały zmieniają się jednakowo

(jednocześnie rosną lub maleją), ale

już w kolejnej zmieniają się przeciw-

nie (tzn. gdy jeden rośnie, to drugi

maleje i vice versa). Odnotowujemy

więc zupełny brak korelacji między

obydwoma sygnałami. Dla pewności

policzmy odpowiednią całkę

(2.13)

Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT (Discrete Fourier Transform)

jest, obok procedur filtracji cyfrowej, jednym z podstawowych,

a zarazem najbardziej skutecznych narzędzi cyfrowego przetwarzania

sygnałów. Poza istotnym znaczeniem teoretycznym DFT odgrywa

ważną rolę w zagadnieniach związanych z układowymi realizacjami

różnorodnych algorytmów przetwarzania sygnałów. Wynika to

z istnienia bardzo wydajnego algorytmu obliczania dyskretnej

transformaty Fouriera, zwanego szybką transformatą Fouriera FFT

(Fast Fourier Transform).

Rys. 12. Odwrócony w fazie sygnał analizowany (linia ciągła) i sygnał
cos

(2πft

) (linia przerywana) – pełna ujemna korelacja

Wynik obliczeń potwierdza nasze

przewidywania, ale i tak jest zaskaku-

jący. Przecież zawartość widmowa sy-

gnału nie zmieniła się!

W tym miejscu ujawnia się potęga

rachunku symbolicznego i geniusz Fo-

uriera. Rozpatrzmy korelację sygnału

x

C

2

(

t

) (przesuniętego o 90°) z sygna-

łem harmonicznym sin

(2πft

). Obydwa

sygnały przedstawione są na

rys. 14.

Widzimy pełną korelację obu sy-

gnałów, którą potwierdza wynik ob-

liczeń części urojonej transformaty

Fouriera

(2.14)

Jak widać, nie ma korelacji z sy-

gnałem cos

(2πft

), ale jest pełna ko-

relacja z sygnałem sin

(2πft

).

Na zakończenie tej części roz-

ważań rozpatrzymy przypadek, gdy

analizowany sygnał jest przesunięty

o 45°. Policzmy pełną transformatę

Fouriera

Rys. 13. Przesunięty o 90°sygnał analizowany (linia ciągła) i sygnał cos

(2πft

)

(linia przerywana) – brak korelacji

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 3

JAK MIESI

�C TEMU

Je

�li rozpatrywany sygnał − nazwijmy go x

C1

( t )

− b�dzie odwrócony w fazie, to równie� wyst�pi

pełna korelacja, w tym sensie,

�e zmianom sygnału x

C1

( t ) b

�d� towarzyszyły dokładnie przeciwne

zmiany sygnału harmonicznego cos (2

πft ), wzgl�dem którego wyznaczamy korelacj�, co zilustro-

wano na rys. 12.

Rys. 12. Odwrócony w fazie sygnał analizowany (linia ci

�gła) i sygnał cos (2πft ) (linia przerywana) –

pełna ujemna korelacja

Wyliczmy zatem odpowiedni

� całk�

( )

(

)

( )

1

d

2

cos

180

2

cos

e

Re

1

−

=

�

�

�

π

⋅

°

−

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.12)

Wynik jest zgodny z oczekiwaniami – warto

�� całki jest taka sama, lecz ma przeciwny znak.

Przeprowad

�my teraz kolejny eksperyment. Rozwa�my przypadek, gdy rozpatrywany sygnał − na-

zwijmy go x

C2

( t )

− b�dzie przesuni�ty o 90°. Taka sytuacja jest przedstawiona na rys. 13.

Rys. 13. Przesuni

�ty o 90°sygnał analizowany (linia ci�gła) i sygnał cos (2πft ) (linia przerywana) –

brak korelacji

Przyjrzyjmy si

� dokładnie dowolnemu pojedynczemu okresowi. W czasie jednej �wiartki okresu

obydwa sygnały zmieniaj

� si� jednakowo (jednocze�nie rosn� lub malej�), ale ju� w kolejnej zmie-

niaj

� si� przeciwnie (tzn. gdy jeden ro�nie, to drugi maleje i vice versa). Odnotowujemy wi�c zu-

pełny brak korelacji mi

�dzy obydwoma sygnałami. Dla pewno�ci policzmy odpowiedni� całk�

( )

(

)

( )

0

d

2

cos

90

2

cos

e

Re

2

=

�

�

�

π

⋅

°

−

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.13)

Wynik oblicze

� potwierdza nasze przewidywania, ale i tak jest zaskakuj�cy. Przecie� zawarto��

widmowa sygnału nie zmieniła si

�!

W tym miejscu ujawnia si

� pot�ga rachunku symbolicznego i geniusz Fouriera. Rozpatrzmy korela-

cj

� sygnału x

C2

( t ) (przesuni

�tego o 90°) z sygnałem harmonicznym sin (2πft ). Obydwa sygnały

przedstawione s

� na rys. 14.

Rys. 14. Przesuni

�ty o 90°sygnał analizowany (linia ci�gła) i sygnał sin (2πft ) (linia przerywana) –

pełna korelacja

Widzimy pełn

� korelacj� obu sygnałów, któr� potwierdza wynik oblicze� cz��ci urojonej transfor-

maty Fouriera

( )

(

) ( )

1

d

2

sin

90

2

cos

e

Im

2

=

�

�

�

π

⋅

°

−

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.14)

Jak wida

�, nie ma korelacji z sygnałem cos (2πft ), ale jest pełna korelacja z sygnałem sin (2πft ).

Na zako

�czenie tej cz��ci rozwa�a� przeanalizujemy przypadek, gdy analizowany sygnał jest prze-

suni

�ty o 45°. Policzmy pełn� transformat� Fouriera

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 3

JAK MIESI

�C TEMU

Je

�li rozpatrywany sygnał − nazwijmy go x

C1

( t )

− b�dzie odwrócony w fazie, to równie� wyst�pi

pełna korelacja, w tym sensie,

�e zmianom sygnału x

C1

( t ) b

�d� towarzyszyły dokładnie przeciwne

zmiany sygnału harmonicznego cos (2

πft ), wzgl�dem którego wyznaczamy korelacj�, co zilustro-

wano na rys. 12.

Rys. 12. Odwrócony w fazie sygnał analizowany (linia ci

�gła) i sygnał cos (2πft ) (linia przerywana) –

pełna ujemna korelacja

Wyliczmy zatem odpowiedni

� całk�

( )

(

)

( )

1

d

2

cos

180

2

cos

e

Re

1

−

=

�

�

�

π

⋅

°

−

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.12)

Wynik jest zgodny z oczekiwaniami – warto

�� całki jest taka sama, lecz ma przeciwny znak.

Przeprowad

�my teraz kolejny eksperyment. Rozwa�my przypadek, gdy rozpatrywany sygnał − na-

zwijmy go x

C2

( t )

− b�dzie przesuni�ty o 90°. Taka sytuacja jest przedstawiona na rys. 13.

Rys. 13. Przesuni

�ty o 90°sygnał analizowany (linia ci�gła) i sygnał cos (2πft ) (linia przerywana) –

brak korelacji

Przyjrzyjmy si

� dokładnie dowolnemu pojedynczemu okresowi. W czasie jednej �wiartki okresu

obydwa sygnały zmieniaj

� si� jednakowo (jednocze�nie rosn� lub malej�), ale ju� w kolejnej zmie-

niaj

� si� przeciwnie (tzn. gdy jeden ro�nie, to drugi maleje i vice versa). Odnotowujemy wi�c zu-

pełny brak korelacji mi

�dzy obydwoma sygnałami. Dla pewno�ci policzmy odpowiedni� całk�

( )

(

)

( )

0

d

2

cos

90

2

cos

e

Re

2

=

�

�

�

π

⋅

°

−

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.13)

Wynik oblicze

� potwierdza nasze przewidywania, ale i tak jest zaskakuj�cy. Przecie� zawarto��

widmowa sygnału nie zmieniła si

�!

W tym miejscu ujawnia si

� pot�ga rachunku symbolicznego i geniusz Fouriera. Rozpatrzmy korela-

cj

� sygnału x

C2

( t ) (przesuni

�tego o 90°) z sygnałem harmonicznym sin (2πft ). Obydwa sygnały

przedstawione s

� na rys. 14.

Rys. 14. Przesuni

�ty o 90°sygnał analizowany (linia ci�gła) i sygnał sin (2πft ) (linia przerywana) –

pełna korelacja

Widzimy pełn

� korelacj� obu sygnałów, któr� potwierdza wynik oblicze� cz��ci urojonej transfor-

maty Fouriera

( )

(

) ( )

1

d

2

sin

90

2

cos

e

Im

2

=

�

�

�

π

⋅

°

−

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.14)

Jak wida

�, nie ma korelacji z sygnałem cos (2πft ), ale jest pełna korelacja z sygnałem sin (2πft ).

Na zako

�czenie tej cz��ci rozwa�a� przeanalizujemy przypadek, gdy analizowany sygnał jest prze-

suni

�ty o 45°. Policzmy pełn� transformat� Fouriera

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 3

JAK MIESI

�C TEMU

Je

�li rozpatrywany sygnał − nazwijmy go x

C1

( t )

− b�dzie odwrócony w fazie, to równie� wyst�pi

pełna korelacja, w tym sensie,

�e zmianom sygnału x

C1

( t ) b

�d� towarzyszyły dokładnie przeciwne

zmiany sygnału harmonicznego cos (2

πft ), wzgl�dem którego wyznaczamy korelacj�, co zilustro-

wano na rys. 12.

Rys. 12. Odwrócony w fazie sygnał analizowany (linia ci

�gła) i sygnał cos (2πft ) (linia przerywana) –

pełna ujemna korelacja

Wyliczmy zatem odpowiedni

� całk�

( )

(

)

( )

1

d

2

cos

180

2

cos

e

Re

1

−

=

�

�

�

π

⋅

°

−

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.12)

Wynik jest zgodny z oczekiwaniami – warto

�� całki jest taka sama, lecz ma przeciwny znak.

Przeprowad

�my teraz kolejny eksperyment. Rozwa�my przypadek, gdy rozpatrywany sygnał − na-

zwijmy go x

C2

( t )

− b�dzie przesuni�ty o 90°. Taka sytuacja jest przedstawiona na rys. 13.

Rys. 13. Przesuni

�ty o 90°sygnał analizowany (linia ci�gła) i sygnał cos (2πft ) (linia przerywana) –

brak korelacji

Przyjrzyjmy si

� dokładnie dowolnemu pojedynczemu okresowi. W czasie jednej �wiartki okresu

obydwa sygnały zmieniaj

� si� jednakowo (jednocze�nie rosn� lub malej�), ale ju� w kolejnej zmie-

niaj

� si� przeciwnie (tzn. gdy jeden ro�nie, to drugi maleje i vice versa). Odnotowujemy wi�c zu-

pełny brak korelacji mi

�dzy obydwoma sygnałami. Dla pewno�ci policzmy odpowiedni� całk�

( )

(

)

( )

0

d

2

cos

90

2

cos

e

Re

2

=

�

�

�

π

⋅

°

−

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.13)

Wynik oblicze

� potwierdza nasze przewidywania, ale i tak jest zaskakuj�cy. Przecie� zawarto��

widmowa sygnału nie zmieniła si

�!

W tym miejscu ujawnia si

� pot�ga rachunku symbolicznego i geniusz Fouriera. Rozpatrzmy korela-

cj

� sygnału x

C2

( t ) (przesuni

�tego o 90°) z sygnałem harmonicznym sin (2πft ). Obydwa sygnały

przedstawione s

� na rys. 14.

Rys. 14. Przesuni

�ty o 90°sygnał analizowany (linia ci�gła) i sygnał sin (2πft ) (linia przerywana) –

pełna korelacja

Widzimy pełn

� korelacj� obu sygnałów, któr� potwierdza wynik oblicze� cz��ci urojonej transfor-

maty Fouriera

( )

(

) ( )

1

d

2

sin

90

2

cos

e

Im

2

=

�

�

�

π

⋅

°

−

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.14)

Jak wida

�, nie ma korelacji z sygnałem cos (2πft ), ale jest pełna korelacja z sygnałem sin (2πft ).

Na zako

�czenie tej cz��ci rozwa�a� przeanalizujemy przypadek, gdy analizowany sygnał jest prze-

suni

�ty o 45°. Policzmy pełn� transformat� Fouriera

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 3

JAK MIESI

�C TEMU

Je

�li rozpatrywany sygnał − nazwijmy go x

C1

( t )

− b�dzie odwrócony w fazie, to równie� wyst�pi

pełna korelacja, w tym sensie,

�e zmianom sygnału x

C1

( t ) b

�d� towarzyszyły dokładnie przeciwne

zmiany sygnału harmonicznego cos (2

πft ), wzgl�dem którego wyznaczamy korelacj�, co zilustro-

wano na rys. 12.

Rys. 12. Odwrócony w fazie sygnał analizowany (linia ci

�gła) i sygnał cos (2πft ) (linia przerywana) –

pełna ujemna korelacja

Wyliczmy zatem odpowiedni

� całk�

( )

(

)

( )

1

d

2

cos

180

2

cos

e

Re

1

−

=

�

�

�

π

⋅

°

−

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.12)

Wynik jest zgodny z oczekiwaniami – warto

�� całki jest taka sama, lecz ma przeciwny znak.

Przeprowad

�my teraz kolejny eksperyment. Rozwa�my przypadek, gdy rozpatrywany sygnał − na-

zwijmy go x

C2

( t )

− b�dzie przesuni�ty o 90°. Taka sytuacja jest przedstawiona na rys. 13.

Rys. 13. Przesuni

�ty o 90°sygnał analizowany (linia ci�gła) i sygnał cos (2πft ) (linia przerywana) –

brak korelacji

Przyjrzyjmy si

� dokładnie dowolnemu pojedynczemu okresowi. W czasie jednej �wiartki okresu

obydwa sygnały zmieniaj

� si� jednakowo (jednocze�nie rosn� lub malej�), ale ju� w kolejnej zmie-

niaj

� si� przeciwnie (tzn. gdy jeden ro�nie, to drugi maleje i vice versa). Odnotowujemy wi�c zu-

pełny brak korelacji mi

�dzy obydwoma sygnałami. Dla pewno�ci policzmy odpowiedni� całk�

( )

(

)

( )

0

d

2

cos

90

2

cos

e

Re

2

=

�

�

�

π

⋅

°

−

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.13)

Wynik oblicze

� potwierdza nasze przewidywania, ale i tak jest zaskakuj�cy. Przecie� zawarto��

widmowa sygnału nie zmieniła si

�!

W tym miejscu ujawnia si

� pot�ga rachunku symbolicznego i geniusz Fouriera. Rozpatrzmy korela-

cj

� sygnału x

C2

( t ) (przesuni

�tego o 90°) z sygnałem harmonicznym sin (2πft ). Obydwa sygnały

przedstawione s

� na rys. 14.

Rys. 14. Przesuni

�ty o 90°sygnał analizowany (linia ci�gła) i sygnał sin (2πft ) (linia przerywana) –

pełna korelacja

Widzimy pełn

� korelacj� obu sygnałów, któr� potwierdza wynik oblicze� cz��ci urojonej transfor-

maty Fouriera

( )

(

) ( )

1

d

2

sin

90

2

cos

e

Im

2

=

�

�

�

π

⋅

°

−

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.14)

Jak wida

�, nie ma korelacji z sygnałem cos (2πft ), ale jest pełna korelacja z sygnałem sin (2πft ).

Na zako

�czenie tej cz��ci rozwa�a� przeanalizujemy przypadek, gdy analizowany sygnał jest prze-

suni

�ty o 45°. Policzmy pełn� transformat� Fouriera

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 3

JAK MIESI

�C TEMU

Je

�li rozpatrywany sygnał − nazwijmy go x

C1

( t )

− b�dzie odwrócony w fazie, to równie� wyst�pi

pełna korelacja, w tym sensie,

�e zmianom sygnału x

C1

( t ) b

�d� towarzyszyły dokładnie przeciwne

zmiany sygnału harmonicznego cos (2

πft ), wzgl�dem którego wyznaczamy korelacj�, co zilustro-

wano na rys. 12.

Rys. 12. Odwrócony w fazie sygnał analizowany (linia ci

�gła) i sygnał cos (2πft ) (linia przerywana) –

pełna ujemna korelacja

Wyliczmy zatem odpowiedni

� całk�

( )

(

)

( )

1

d

2

cos

180

2

cos

e

Re

1

−

=

�

�

�

π

⋅

°

−

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.12)

Wynik jest zgodny z oczekiwaniami – warto

�� całki jest taka sama, lecz ma przeciwny znak.

Przeprowad

�my teraz kolejny eksperyment. Rozwa�my przypadek, gdy rozpatrywany sygnał − na-

zwijmy go x

C2

( t )

− b�dzie przesuni�ty o 90°. Taka sytuacja jest przedstawiona na rys. 13.

Rys. 13. Przesuni

�ty o 90°sygnał analizowany (linia ci�gła) i sygnał cos (2πft ) (linia przerywana) –

brak korelacji

Przyjrzyjmy si

� dokładnie dowolnemu pojedynczemu okresowi. W czasie jednej �wiartki okresu

obydwa sygnały zmieniaj

� si� jednakowo (jednocze�nie rosn� lub malej�), ale ju� w kolejnej zmie-

niaj

� si� przeciwnie (tzn. gdy jeden ro�nie, to drugi maleje i vice versa). Odnotowujemy wi�c zu-

pełny brak korelacji mi

�dzy obydwoma sygnałami. Dla pewno�ci policzmy odpowiedni� całk�

( )

(

)

( )

0

d

2

cos

90

2

cos

e

Re

2

=

�

�

�

π

⋅

°

−

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.13)

Wynik oblicze

� potwierdza nasze przewidywania, ale i tak jest zaskakuj�cy. Przecie� zawarto��

widmowa sygnału nie zmieniła si

�!

W tym miejscu ujawnia si

� pot�ga rachunku symbolicznego i geniusz Fouriera. Rozpatrzmy korela-

cj

� sygnału x

C2

( t ) (przesuni

�tego o 90°) z sygnałem harmonicznym sin (2πft ). Obydwa sygnały

przedstawione s

� na rys. 14.

Rys. 14. Przesuni

�ty o 90°sygnał analizowany (linia ci�gła) i sygnał sin (2πft ) (linia przerywana) –

pełna korelacja

Widzimy pełn

� korelacj� obu sygnałów, któr� potwierdza wynik oblicze� cz��ci urojonej transfor-

maty Fouriera

( )

(

) ( )

1

d

2

sin

90

2

cos

e

Im

2

=

�

�

�

π

⋅

°

−

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.14)

Jak wida

�, nie ma korelacji z sygnałem cos (2πft ), ale jest pełna korelacja z sygnałem sin (2πft ).

Na zako

�czenie tej cz��ci rozwa�a� przeanalizujemy przypadek, gdy analizowany sygnał jest prze-

suni

�ty o 45°. Policzmy pełn� transformat� Fouriera

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 3

JAK MIESI

�C TEMU

Je

�li rozpatrywany sygnał − nazwijmy go x

C1

( t )

− b�dzie odwrócony w fazie, to równie� wyst�pi

pełna korelacja, w tym sensie,

�e zmianom sygnału x

C1

( t ) b

�d� towarzyszyły dokładnie przeciwne

zmiany sygnału harmonicznego cos (2

πft ), wzgl�dem którego wyznaczamy korelacj�, co zilustro-

wano na rys. 12.

Rys. 12. Odwrócony w fazie sygnał analizowany (linia ci

�gła) i sygnał cos (2πft ) (linia przerywana) –

pełna ujemna korelacja

Wyliczmy zatem odpowiedni

� całk�

( )

(

)

( )

1

d

2

cos

180

2

cos

e

Re

1

−

=

�

�

�

π

⋅

°

−

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.12)

Wynik jest zgodny z oczekiwaniami – warto

�� całki jest taka sama, lecz ma przeciwny znak.

Przeprowad

�my teraz kolejny eksperyment. Rozwa�my przypadek, gdy rozpatrywany sygnał − na-

zwijmy go x

C2

( t )

− b�dzie przesuni�ty o 90°. Taka sytuacja jest przedstawiona na rys. 13.

Rys. 13. Przesuni

�ty o 90°sygnał analizowany (linia ci�gła) i sygnał cos (2πft ) (linia przerywana) –

brak korelacji

Przyjrzyjmy si

� dokładnie dowolnemu pojedynczemu okresowi. W czasie jednej �wiartki okresu

obydwa sygnały zmieniaj

� si� jednakowo (jednocze�nie rosn� lub malej�), ale ju� w kolejnej zmie-

niaj

� si� przeciwnie (tzn. gdy jeden ro�nie, to drugi maleje i vice versa). Odnotowujemy wi�c zu-

pełny brak korelacji mi

�dzy obydwoma sygnałami. Dla pewno�ci policzmy odpowiedni� całk�

( )

(

)

( )

0

d

2

cos

90

2

cos

e

Re

2

=

�

�

�

π

⋅

°

−

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.13)

Wynik oblicze

� potwierdza nasze przewidywania, ale i tak jest zaskakuj�cy. Przecie� zawarto��

widmowa sygnału nie zmieniła si

�!

W tym miejscu ujawnia si

� pot�ga rachunku symbolicznego i geniusz Fouriera. Rozpatrzmy korela-

cj

� sygnału x

C2

( t ) (przesuni

�tego o 90°) z sygnałem harmonicznym sin (2πft ). Obydwa sygnały

przedstawione s

� na rys. 14.

Rys. 14. Przesuni

�ty o 90°sygnał analizowany (linia ci�gła) i sygnał sin (2πft ) (linia przerywana) –

pełna korelacja

Widzimy pełn

� korelacj� obu sygnałów, któr� potwierdza wynik oblicze� cz��ci urojonej transfor-

maty Fouriera

( )

(

) ( )

1

d

2

sin

90

2

cos

e

Im

2

=

�

�

�

π

⋅

°

−

π

=

�

�

�

�

�

�

∞

∞

−

−

t

ft

ft

f

X

t

C

(2.14)

Jak wida

�, nie ma korelacji z sygnałem cos (2πft ), ale jest pełna korelacja z sygnałem sin (2πft ).

Na zako

�czenie tej cz��ci rozwa�a� przeanalizujemy przypadek, gdy analizowany sygnał jest prze-

suni

�ty o 45°. Policzmy pełn� transformat� Fouriera

2

( )

(

) (

)

(

) (

)

°

−

∞

∞

−

−

∞

∞

−

−

=

−

=

=

�

�

�

π

°

−

π

−

�

�

�

π

°

−

π

=

45

j

3

e

1

707

,

0

j

707

,

0

d

2

sin

45

2

cos

e

j

d

2

cos

45

2

cos

e

t

ft

ft

t

ft

ft

f

X

t

t

C

(2.15)

Wynik oblicze

� wskazuje, �e moduł transformaty jest równy jedno�ci, a ró�ny od zera wykładnik

informuje o przesuni

�ciu fazowym sygnału poddanego transformacji wzgl�dem sygnału odniesienia

cos (2

πft ).

Na podstawie pokazanych przypadków, wykorzystuj

�c odrobin� dedukcji, dochodzimy do wniosku,

�e je�li kształt sygnału nie zmienia si�, to niezale�nie od jego przesuni�cia fazowego, moduł trans-

formaty Fouriera jest zawsze jednakowy, a zmienia si

� jedynie jej faza, okre�laj�c poło�enie sygna-

łu wzgl

�dem składowej kosinusoidalnej.

Je

�li analizowany sygnał b�dzie sum� kilku składowych harmonicznych, to moduł transformaty

Fouriera b

�dzie osi�gał lokalnie maksymalne warto�ci dla cz�stotliwo�ci równych cz�stotliwo�ciom

tych składowych. Wynika to z faktu,

�e tylko dla tych składowych istnieje korelacja mi�dzy anali-

zowanym sygnałem i odpowiednim harmonicznym sygnałem odniesienia.

Przekształcenie Fouriera sygnału dyskretnego
Jak mogli

�my si� przekona�, transformata Fouriera sygnału ci�głego ma bardzo klarown� i intu-

icyjn

� interpretacj� fizyczn�. Obecnie rozpatrzymy proces transformacji Fourierowskiej sygnału o

czasie dyskretnym. Na pocz

�tku usystematyzujemy poj�cia zwi�zane z sygnałami ci�głymi, dys-

kretnymi i cyfrowymi oraz rzucimy nieco

�wiatła na sam proces próbkowania.

W wyniku próbkowania sygnałów ci

�głych otrzymujemy sygnały o czasie dyskretnym nazywane w

literaturze polskiej sygnałami dyskretnymi. Z kolei sygnał dyskretny poddany kwantyzacji warto

�ci

chwilowej i zapisowi w postaci ci

�gu liczb nosi nazw� sygnału cyfrowego. Sygnał cyfrowy jest

wi

�c sygnałem dyskretnym zarówno w czasie, jak i − ze wzgl�du na sko�czon� ilo�� poziomów

kwantowania

− w warto�ci. Sygnał cyfrowy, b�d�cy z programowego punktu widzenia wektorem

1

,

mo

�e by� bezpo�rednio poddawany procedurom cyfrowego przetwarzania sygnałów.

Proces próbkowania polega na pomiarze warto

�ci sygnału w �ci�le okre�lonych momentach czaso-

wych. W najprostszym przypadku mamy do czynienia z próbkowaniem równomiernym [3, 4], któ-
rego zasady s

� okre�lone przez twierdzenie Kotielnikowa − Shannona. Proces próbkowania ma z

reguły miejsce w wi

�kszo�ci współczesnych przyrz�dów pomiarowych oraz w programach do ana-

lizy układów elektronicznych.
W pierwszym przypadku próbkowanie jest realizowane w celu pó

�niejszego zastosowania wybra-

nych algorytmów CPS oraz archiwizacji danych pomiarowych. W drugim

− „próbkowanie” odby-

wa si

� „przypadkiem” w wyniku realizacji procedur całkowania numerycznego. Słowo próbkowa-

nie zostało wzi

�te w cudzysłów, gdy� nie mamy tu do czynienia z pomiarem, lecz predykcj� warto-

�ci przebiegu w wybranych momentach czasowych.

W przeciwie

�stwie do przyrz�dów pomiarowych, programy realizuj�ce analiz� czasow� układów

elektronicznych z reguły nie „próbkuj

�” sygnału równomiernie, ale praktycznie, za pomoc� proce-

dur interpolacji wielomianowej (najcz

��ciej liniowej), daj� w efekcie ko�cowym sygnał spróbko-

wany równomiernie [2]. Z tego powodu dalsze rozwa

�ania ograniczymy do przypadku sygnału

dyskretnego z jednakowym odst

�pem czasowym mi�dzy s�siednimi próbkami.

Na samym pocz

�tku rozwa�a� w �wiecie sygnałów dyskretnych pojawia si� pytanie – Jak taki sy-

gnał zapisa

� analitycznie? Z pomoc� przychodzi nam teoria dystrybucji z tzw. delt� Diraca δ(t).

Nie wgł

�biaj�c si� w zawiło�ci matematyczne, przyjmijmy do wiadomo�ci, �e delta Diraca ma nie-

sko

�czenie du�� warto�� w momencie t = 0, a w pozostałym czasie jest równa zeru. Ponadto całka

1

Czyli uporz

�dkowanym ci�giem liczb o wspólnej nazwie.

2

( )

(

) (

)

(

) (

)

°

−

∞

∞

−

−

∞

∞

−

−

=

−

=

=

�

�

�

π

°

−

π

−

�

�

�

π

°

−

π

=

45

j

3

e

1

707

,

0

j

707

,

0

d

2

sin

45

2

cos

e

j

d

2

cos

45

2

cos

e

t

ft

ft

t

ft

ft

f

X

t

t

C

(2.15)

Wynik oblicze

� wskazuje, �e moduł transformaty jest równy jedno�ci, a ró�ny od zera wykładnik

informuje o przesuni

�ciu fazowym sygnału poddanego transformacji wzgl�dem sygnału odniesienia

cos (2

πft ).

Na podstawie pokazanych przypadków, wykorzystuj

�c odrobin� dedukcji, dochodzimy do wniosku,

�e je�li kształt sygnału nie zmienia si�, to niezale�nie od jego przesuni�cia fazowego, moduł trans-

formaty Fouriera jest zawsze jednakowy, a zmienia si

� jedynie jej faza, okre�laj�c poło�enie sygna-

łu wzgl

�dem składowej kosinusoidalnej.

Je

�li analizowany sygnał b�dzie sum� kilku składowych harmonicznych, to moduł transformaty

Fouriera b

�dzie osi�gał lokalnie maksymalne warto�ci dla cz�stotliwo�ci równych cz�stotliwo�ciom

tych składowych. Wynika to z faktu,

�e tylko dla tych składowych istnieje korelacja mi�dzy anali-

zowanym sygnałem i odpowiednim harmonicznym sygnałem odniesienia.

Przekształcenie Fouriera sygnału dyskretnego
Jak mogli

�my si� przekona�, transformata Fouriera sygnału ci�głego ma bardzo klarown� i intu-

icyjn

� interpretacj� fizyczn�. Obecnie rozpatrzymy proces transformacji Fourierowskiej sygnału o

czasie dyskretnym. Na pocz

�tku usystematyzujemy poj�cia zwi�zane z sygnałami ci�głymi, dys-

kretnymi i cyfrowymi oraz rzucimy nieco

�wiatła na sam proces próbkowania.

W wyniku próbkowania sygnałów ci

�głych otrzymujemy sygnały o czasie dyskretnym nazywane w

literaturze polskiej sygnałami dyskretnymi. Z kolei sygnał dyskretny poddany kwantyzacji warto

�ci

chwilowej i zapisowi w postaci ci

�gu liczb nosi nazw� sygnału cyfrowego. Sygnał cyfrowy jest

wi

�c sygnałem dyskretnym zarówno w czasie, jak i − ze wzgl�du na sko�czon� ilo�� poziomów

kwantowania

− w warto�ci. Sygnał cyfrowy, b�d�cy z programowego punktu widzenia wektorem

1

,

mo

�e by� bezpo�rednio poddawany procedurom cyfrowego przetwarzania sygnałów.

Proces próbkowania polega na pomiarze warto

�ci sygnału w �ci�le okre�lonych momentach czaso-

wych. W najprostszym przypadku mamy do czynienia z próbkowaniem równomiernym [3, 4], któ-
rego zasady s

� okre�lone przez twierdzenie Kotielnikowa − Shannona. Proces próbkowania ma z

reguły miejsce w wi

�kszo�ci współczesnych przyrz�dów pomiarowych oraz w programach do ana-

lizy układów elektronicznych.
W pierwszym przypadku próbkowanie jest realizowane w celu pó

�niejszego zastosowania wybra-

nych algorytmów CPS oraz archiwizacji danych pomiarowych. W drugim

− „próbkowanie” odby-

wa si

� „przypadkiem” w wyniku realizacji procedur całkowania numerycznego. Słowo próbkowa-

nie zostało wzi

�te w cudzysłów, gdy� nie mamy tu do czynienia z pomiarem, lecz predykcj� warto-

�ci przebiegu w wybranych momentach czasowych.

W przeciwie

�stwie do przyrz�dów pomiarowych, programy realizuj�ce analiz� czasow� układów

elektronicznych z reguły nie „próbkuj

�” sygnału równomiernie, ale praktycznie, za pomoc� proce-

dur interpolacji wielomianowej (najcz

��ciej liniowej), daj� w efekcie ko�cowym sygnał spróbko-

wany równomiernie [2]. Z tego powodu dalsze rozwa

�ania ograniczymy do przypadku sygnału

dyskretnego z jednakowym odst

�pem czasowym mi�dzy s�siednimi próbkami.

Na samym pocz

�tku rozwa�a� w �wiecie sygnałów dyskretnych pojawia si� pytanie – Jak taki sy-

gnał zapisa

� analitycznie? Z pomoc� przychodzi nam teoria dystrybucji z tzw. delt� Diraca δ(t).

Nie wgł

�biaj�c si� w zawiło�ci matematyczne, przyjmijmy do wiadomo�ci, �e delta Diraca ma nie-

sko

�czenie du�� warto�� w momencie t = 0, a w pozostałym czasie jest równa zeru. Ponadto całka

1

Czyli uporz

�dkowanym ci�giem liczb o wspólnej nazwie.

2

( )

(

) (

)

(

) (

)

°

−

∞

∞

−

−

∞

∞

−

−

=

−

=

=

�

�

�

π

°

−

π

−

�

�

�

π

°

−

π

=

45

j

3

e

1

707

,

0

j

707

,

0

d

2

sin

45

2

cos

e

j

d

2

cos

45

2

cos

e

t

ft

ft

t

ft

ft

f

X

t

t

C

(2.15)

Wynik oblicze

� wskazuje, �e moduł transformaty jest równy jedno�ci, a ró�ny od zera wykładnik

informuje o przesuni

�ciu fazowym sygnału poddanego transformacji wzgl�dem sygnału odniesienia

cos (2

πft ).

Na podstawie pokazanych przypadków, wykorzystuj

�c odrobin� dedukcji, dochodzimy do wniosku,

�e je�li kształt sygnału nie zmienia si�, to niezale�nie od jego przesuni�cia fazowego, moduł trans-

formaty Fouriera jest zawsze jednakowy, a zmienia si

� jedynie jej faza, okre�laj�c poło�enie sygna-

łu wzgl

�dem składowej kosinusoidalnej.

Je

�li analizowany sygnał b�dzie sum� kilku składowych harmonicznych, to moduł transformaty

Fouriera b

�dzie osi�gał lokalnie maksymalne warto�ci dla cz�stotliwo�ci równych cz�stotliwo�ciom

tych składowych. Wynika to z faktu,

�e tylko dla tych składowych istnieje korelacja mi�dzy anali-

zowanym sygnałem i odpowiednim harmonicznym sygnałem odniesienia.

Przekształcenie Fouriera sygnału dyskretnego
Jak mogli

�my si� przekona�, transformata Fouriera sygnału ci�głego ma bardzo klarown� i intu-

icyjn

� interpretacj� fizyczn�. Obecnie rozpatrzymy proces transformacji Fourierowskiej sygnału o

czasie dyskretnym. Na pocz

�tku usystematyzujemy poj�cia zwi�zane z sygnałami ci�głymi, dys-

kretnymi i cyfrowymi oraz rzucimy nieco

�wiatła na sam proces próbkowania.

W wyniku próbkowania sygnałów ci

�głych otrzymujemy sygnały o czasie dyskretnym nazywane w

literaturze polskiej sygnałami dyskretnymi. Z kolei sygnał dyskretny poddany kwantyzacji warto

�ci

chwilowej i zapisowi w postaci ci

�gu liczb nosi nazw� sygnału cyfrowego. Sygnał cyfrowy jest

wi

�c sygnałem dyskretnym zarówno w czasie, jak i − ze wzgl�du na sko�czon� ilo�� poziomów

kwantowania

− w warto�ci. Sygnał cyfrowy, b�d�cy z programowego punktu widzenia wektorem

1

,

mo

�e by� bezpo�rednio poddawany procedurom cyfrowego przetwarzania sygnałów.

Proces próbkowania polega na pomiarze warto

�ci sygnału w �ci�le okre�lonych momentach czaso-

wych. W najprostszym przypadku mamy do czynienia z próbkowaniem równomiernym [3, 4], któ-
rego zasady s

� okre�lone przez twierdzenie Kotielnikowa − Shannona. Proces próbkowania ma z

reguły miejsce w wi

�kszo�ci współczesnych przyrz�dów pomiarowych oraz w programach do ana-

lizy układów elektronicznych.
W pierwszym przypadku próbkowanie jest realizowane w celu pó

�niejszego zastosowania wybra-

nych algorytmów CPS oraz archiwizacji danych pomiarowych. W drugim

− „próbkowanie” odby-

wa si

� „przypadkiem” w wyniku realizacji procedur całkowania numerycznego. Słowo próbkowa-

nie zostało wzi

�te w cudzysłów, gdy� nie mamy tu do czynienia z pomiarem, lecz predykcj� warto-

�ci przebiegu w wybranych momentach czasowych.

W przeciwie

�stwie do przyrz�dów pomiarowych, programy realizuj�ce analiz� czasow� układów

elektronicznych z reguły nie „próbkuj

�” sygnału równomiernie, ale praktycznie, za pomoc� proce-

dur interpolacji wielomianowej (najcz

��ciej liniowej), daj� w efekcie ko�cowym sygnał spróbko-

wany równomiernie [2]. Z tego powodu dalsze rozwa

�ania ograniczymy do przypadku sygnału

dyskretnego z jednakowym odst

�pem czasowym mi�dzy s�siednimi próbkami.

Na samym pocz

�tku rozwa�a� w �wiecie sygnałów dyskretnych pojawia si� pytanie – Jak taki sy-

gnał zapisa

� analitycznie? Z pomoc� przychodzi nam teoria dystrybucji z tzw. delt� Diraca δ(t).

Nie wgł

�biaj�c si� w zawiło�ci matematyczne, przyjmijmy do wiadomo�ci, �e delta Diraca ma nie-

sko

�czenie du�� warto�� w momencie t = 0, a w pozostałym czasie jest równa zeru. Ponadto całka

1

Czyli uporz

�dkowanym ci�giem liczb o wspólnej nazwie.

2

( )

(

) (

)

(

) (

)

°

−

∞

∞

−

−

∞

∞

−

−

=

−

=

=

�

�

�

π

°

−

π

−

�

�

�

π

°

−

π

=

45

j

3

e

1

707

,

0

j

707

,

0

d

2

sin

45

2

cos

e

j

d

2

cos

45

2

cos

e

t

ft

ft

t

ft

ft

f

X

t

t

C

(2.15)

Wynik oblicze

� wskazuje, �e moduł transformaty jest równy jedno�ci, a ró�ny od zera wykładnik

informuje o przesuni

�ciu fazowym sygnału poddanego transformacji wzgl�dem sygnału odniesienia

cos (2

πft ).

Na podstawie pokazanych przypadków, wykorzystuj

�c odrobin� dedukcji, dochodzimy do wniosku,

�e je�li kształt sygnału nie zmienia si�, to niezale�nie od jego przesuni�cia fazowego, moduł trans-

formaty Fouriera jest zawsze jednakowy, a zmienia si

� jedynie jej faza, okre�laj�c poło�enie sygna-

łu wzgl

�dem składowej kosinusoidalnej.

Je

�li analizowany sygnał b�dzie sum� kilku składowych harmonicznych, to moduł transformaty

Fouriera b

�dzie osi�gał lokalnie maksymalne warto�ci dla cz�stotliwo�ci równych cz�stotliwo�ciom

tych składowych. Wynika to z faktu,

�e tylko dla tych składowych istnieje korelacja mi�dzy anali-

zowanym sygnałem i odpowiednim harmonicznym sygnałem odniesienia.

Przekształcenie Fouriera sygnału dyskretnego
Jak mogli

�my si� przekona�, transformata Fouriera sygnału ci�głego ma bardzo klarown� i intu-

icyjn

� interpretacj� fizyczn�. Obecnie rozpatrzymy proces transformacji Fourierowskiej sygnału o

czasie dyskretnym. Na pocz

�tku usystematyzujemy poj�cia zwi�zane z sygnałami ci�głymi, dys-

kretnymi i cyfrowymi oraz rzucimy nieco

�wiatła na sam proces próbkowania.

W wyniku próbkowania sygnałów ci

�głych otrzymujemy sygnały o czasie dyskretnym nazywane w

literaturze polskiej sygnałami dyskretnymi. Z kolei sygnał dyskretny poddany kwantyzacji warto

�ci

chwilowej i zapisowi w postaci ci

�gu liczb nosi nazw� sygnału cyfrowego. Sygnał cyfrowy jest

wi

�c sygnałem dyskretnym zarówno w czasie, jak i − ze wzgl�du na sko�czon� ilo�� poziomów

kwantowania

− w warto�ci. Sygnał cyfrowy, b�d�cy z programowego punktu widzenia wektorem

1

,

mo

�e by� bezpo�rednio poddawany procedurom cyfrowego przetwarzania sygnałów.

Proces próbkowania polega na pomiarze warto

�ci sygnału w �ci�le okre�lonych momentach czaso-

wych. W najprostszym przypadku mamy do czynienia z próbkowaniem równomiernym [3, 4], któ-
rego zasady s

� okre�lone przez twierdzenie Kotielnikowa − Shannona. Proces próbkowania ma z

reguły miejsce w wi

�kszo�ci współczesnych przyrz�dów pomiarowych oraz w programach do ana-

lizy układów elektronicznych.
W pierwszym przypadku próbkowanie jest realizowane w celu pó

�niejszego zastosowania wybra-

nych algorytmów CPS oraz archiwizacji danych pomiarowych. W drugim

− „próbkowanie” odby-

wa si

� „przypadkiem” w wyniku realizacji procedur całkowania numerycznego. Słowo próbkowa-

nie zostało wzi

�te w cudzysłów, gdy� nie mamy tu do czynienia z pomiarem, lecz predykcj� warto-

�ci przebiegu w wybranych momentach czasowych.

W przeciwie

�stwie do przyrz�dów pomiarowych, programy realizuj�ce analiz� czasow� układów

elektronicznych z reguły nie „próbkuj

�” sygnału równomiernie, ale praktycznie, za pomoc� proce-

dur interpolacji wielomianowej (najcz

��ciej liniowej), daj� w efekcie ko�cowym sygnał spróbko-

wany równomiernie [2]. Z tego powodu dalsze rozwa

�ania ograniczymy do przypadku sygnału

dyskretnego z jednakowym odst

�pem czasowym mi�dzy s�siednimi próbkami.

Na samym pocz

�tku rozwa�a� w �wiecie sygnałów dyskretnych pojawia si� pytanie – Jak taki sy-

gnał zapisa

� analitycznie? Z pomoc� przychodzi nam teoria dystrybucji z tzw. delt� Diraca δ(t).

Nie wgł

�biaj�c si� w zawiło�ci matematyczne, przyjmijmy do wiadomo�ci, �e delta Diraca ma nie-

sko

�czenie du�� warto�� w momencie t = 0, a w pozostałym czasie jest równa zeru. Ponadto całka

1

Czyli uporz

�dkowanym ci�giem liczb o wspólnej nazwie.

(2.15)

99

Elektronika Praktyczna 5/2006

K U R S

Wynik obliczeń wskazuje, że

moduł transformaty jest równy jed-

ności, a różny od zera wykład-

nik informuje o przesunięciu fazo-

wym sygnału poddanego transfor-

macji względem sygnału odniesie-

nia cos

(2πft

).

Na podstawie pokazanych przy-

padków, wykorzystując odrobinę de-

dukcji, dochodzimy do wniosku, że

jeśli kształt sygnału nie zmienia

się, to niezależnie od jego przesu-

nięcia fazowego, moduł transforma-

ty Fouriera jest zawsze jednakowy,

a zmienia się jedynie jej faza, okre-

ślająca położenie sygnału względem

składowej kosinusoidalnej.

Jeśli analizowany sygnał będzie

sumą kilku składowych harmonicz-

nych, to moduł transformaty Fo-

uriera będzie osiągał lokalnie mak-

symalne wartości dla częstotliwo-

ści równych częstotliwościom tych

składowych. Wynika to z faktu, że

tylko dla tych składowych istnieje

korelacja między analizowanym sy-

gnałem i odpowiednim harmonicz-

nym sygnałem odniesienia.

Przekształcenie Fouriera

sygnału dyskretnego

Jak mogliśmy się przekonać,

transformata Fouriera sygnału cią-

głego ma bardzo klarowną i intu-

icyjną interpretację fizyczną. Obec-

nie rozpatrzymy proces transforma-

cji Fourierowskiej sygnału o czasie

dyskretnym. Na początku usystema-

tyzujemy pojęcia związane z sygna-

łami ciągłymi, dyskretnymi i cyfro-

wymi oraz rzucimy nieco światła

na sam proces próbkowania.

W wyniku próbkowania sygnałów

ciągłych otrzymujemy sygnały o cza-

sie dyskretnym nazywane w litera-

turze polskiej sygnałami dyskretny-

mi

. Z kolei sygnał dyskretny pod-

dany kwantyzacji wartości chwilo-

wej i zapisowi w postaci ciągu liczb

nosi nazwę sygnału cyfrowego. Sy-

gnał cyfrowy jest więc sygnałem

dyskretnym zarówno w czasie, jak

i − ze względu na skończoną ilość

poziomów kwantowania − w warto-

ści. Sygnał cyfrowy, będący z pro-

gramowego punktu widzenia wekto-

rem

1

, może być bezpośrednio pod-

dawany procedurom cyfrowego prze-

twarzania sygnałów.

Proces próbkowania polega na

pomiarze wartości sygnału w ściśle

określonych momentach czasowych.

W najprostszym przypadku mamy

do czynienia z próbkowaniem rów-

nomiernym [3, 4], którego zasady są

Rys. 15. Proces próbkowania. a) oryginalny sygnał ciągły, b) funkcja próbku-
jąca, c) sygnał dyskretny (na najmniejszych impulsach – ze względu na czy-
telność rysunku – nie zaznaczono grotów strzałek)

określone przez twierdzenie Kotielni-

kowa −

Shannona. Proces próbkowa-

nia ma z reguły miejsce w większo-

ści współczesnych przyrządów po-

miarowych oraz w programach do

analizy układów elektronicznych.

W pierwszym przypadku próbko-

wanie jest realizowane w celu póź-

niejszego zastosowania wybranych

algorytmów CPS oraz archiwizacji

danych pomiarowych. W drugim −

„próbkowanie” odbywa się „przy-

padkiem” w wyniku realizacji pro-

cedur całkowania numerycznego.

Słowo próbkowanie zostało wzięte

w cudzysłów, gdyż nie mamy tu do

czynienia z pomiarem, lecz predyk-

cją wartości przebiegu w wybranych

momentach czasowych.

W przeciwieństwie do przyrzą-

dów pomiarowych, programy re-

alizujące analizę czasową układów

elektronicznych z reguły nie „prób-

kują” sygnału równomiernie, ale

praktycznie, za pomocą procedur

interpolacji wielomianowej (najczę-

ściej liniowej), dają w efekcie koń-

cowym sygnał spróbkowany równo-

miernie [2]. Z tego powodu dalsze

rozważania ograniczymy do przy-

padku sygnału dyskretnego z jedna-

Rys. 14. Przesunięty o 90°sygnał analizowany (linia ciągła) i sygnał sin

(2πft

) (li-

nia przerywana) – pełna korelacja

Elektronika Praktyczna 5/2006

100

K U R S

kowym odstępem czasowym między

sąsiednimi próbkami.

Na samym początku rozważań

w świecie sygnałów dyskretnych po-

jawia się pytanie – Jak taki sy-

gnał zapisać analitycznie? Z pomocą

przychodzi nam teoria dystrybucji

z tzw. deltą Diraca δ(t). Nie wgłę-

biając się w zawiłości matematycz-

ne, przyjmijmy do wiadomości, że

delta Diraca ma nieskończenie dużą

wartość w momencie t = 0, a w po-

zostałym czasie jest równa zeru.

Ponadto całka po czasie z impulsu

Diraca w granicach ±∞ jest równa

jedności. Z tego powodu delta Di-

raca nie jest funkcją w klasycznym

sensie, lecz tzw. dystrybucją.

Formalnie dystrybucję Diraca

opisuje się następująco

(2.16)

Dystrybucję δ(t) przedstawia się

graficznie jako wąski prążek za-

kończony strzałką o wysokości rów-

nej polu pod wykresem dystrybucji,

a więc równej jedności, umieszczo-

ny w punkcie t = 0.

Na bazie dystrybucji δ(t) moż-

na utworzyć tzw. funkcję próbkują-

cą o postaci

(2.17)

Funkcja ta reprezentuje ciąg im-

pulsów Diraca o jednostkowej wy-

sokości, ułożonych na osi czasu

w jednakowych odstępach, równych

okresowi próbkowania T

S

(sampling).

Spróbkowana wersja x

(

t

) sygna-

łu ciągłego x

C

(

t

) może być przed-

stawiona jako iloczyn sygnału x

C

(

t

)

i funkcji próbkującej

Cały proces próbkowania, prze-

prowadzony zgodnie z twierdzeniem

Kotielnikowa − Shannona, jest zilu-

strowany na

rys. 15.

Ponieważ funkcja próbkująca,

a tym samym sygnał x

(

t

), są określo-

ne w dyskretnych momentach czasu

często stosuje się zapis wyraźnie

wskazujący, że mamy do czynienia

z wektorem

Stosując klasyczną transforma-

tę Fouriera do sygnału dyskretnego

x

(

n

), możemy napisać

(2.20)

Zmieniając kolejność całkowania

i sumowania, otrzymujemy

(2.21)

Ponieważ

(2.22)

ostatecznie otrzymujemy

(2.23)

W punktach t = nT

S

zachodzi

równość

3

po czasie z impulsu Diraca w granicach

±∞ jest równa jedno�ci. Z tego powodu delta Diraca nie jest

funkcj

� w klasycznym sensie, lecz tzw. dystrybucj�.

Formalnie dystrybucj

� Diraca opisuje si� nast�puj�co

( )

( )

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

=

δ

�

�

�

≠

=

∞

=

δ

∞

∞

-

1

d

0

dla

0

0

dla

t

t

t

t

t

(2.16)

Dystrybucj

� δ(t) przedstawia si� graficznie jako w�ski pr��ek zako�czony strzałk� o wysoko�ci

równej polu pod wykresem dystrybucji, a wi

�c równej jedno�ci, umieszczony w punkcie t = 0.

Na bazie dystrybucji

δ(t) mo�na utworzy� tzw. funkcj� próbkuj�c� o postaci

( )

(

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

-

n

S

nT

t

t

(2.17)

Funkcja ta reprezentuje ci

�g impulsów Diraca o jednostkowej wysoko�ci, uło�onych na osi czasu w

jednakowych odst

�pach, równych okresowi próbkowania T

S

(sampling).

Spróbkowana wersja x ( t ) sygnału ci

�głego x

C

( t ) mo

�e by� przedstawiona jako iloczyn sygnału

x

C

( t ) i funkcji próbkuj

�cej

( )

( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

=

-

n

S

C

C

nT

t

t

x

t

t

x

t

x

(2.18)

Cały proces próbkowania, przeprowadzony zgodnie z twierdzeniem Kotielnikowa

− Shannona, jest

zilustrowany na rys. 15.

Rys. 15. Proces próbkowania. a) oryginalny sygnał ci

�gły, b) funkcja próbkuj�ca, c) sygnał dyskretny

(na najmniejszych impulsach – ze wzgl

�du na czytelno�� rysunku – nie zaznaczono grotów strzałek)

Poniewa

� funkcja próbkuj�ca, a tym samym sygnał x ( t ), s� okre�lone w dyskretnych momentach

czasu

...

,

2

,

1

,

0

,

±

±

=

=

n

nT

t

S

cz

�sto stosuje si� zapis wyra�nie wskazuj�cy, �e mamy do czynienia z wektorem

( ) ( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

=

=

-

n

S

S

C

S

nT

t

nT

x

n

x

nT

x

t

x

(2.19)

Stosuj

�c klasyczn� transformat� Fouriera do sygnału dyskretnego x ( n ), mo�emy napisa�

( )

( ) (

)

( )

(

)

�

�

�

−

δ

=

�

�

�

−

δ

=

∞

∞

−

∞

−∞

=

π

−

∞

∞

−

π

−

∞

−∞

=

�

�

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

n

S

nT

f

S

C

nT

f

n

S

S

C

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.20)

Zmieniaj

�c kolejno�� całkowania i sumowania, otrzymujemy

( )

( )

(

)

( )

(

)

�

�

∞

−∞

=

∞

−∞

=

∞

∞

−

π

−

π

−

∞

∞

−

�

�

�

−

δ

=

−

δ

�

�

�

=

n

n

S

nT

f

S

C

S

nT

f

S

C

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.21)

Poniewa

�

(

)

1

d

=

�

�

�

−

δ

∞

∞

−

t

nT

t

S

(2.22)

ostatecznie otrzymujemy

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

nT

f

S

C

S

nT

x

f

X

2

j

e

(2.23)

W punktach t = nT

S

zachodzi równo

��

3

po czasie z impulsu Diraca w granicach

±∞ jest równa jedno�ci. Z tego powodu delta Diraca nie jest

funkcj

� w klasycznym sensie, lecz tzw. dystrybucj�.

Formalnie dystrybucj

� Diraca opisuje si� nast�puj�co

( )

( )

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

=

δ

�

�

�

≠

=

∞

=

δ

∞

∞

-

1

d

0

dla

0

0

dla

t

t

t

t

t

(2.16)

Dystrybucj

� δ(t) przedstawia si� graficznie jako w�ski pr��ek zako�czony strzałk� o wysoko�ci

równej polu pod wykresem dystrybucji, a wi

�c równej jedno�ci, umieszczony w punkcie t = 0.

Na bazie dystrybucji

δ(t) mo�na utworzy� tzw. funkcj� próbkuj�c� o postaci

( )

(

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

-

n

S

nT

t

t

(2.17)

Funkcja ta reprezentuje ci

�g impulsów Diraca o jednostkowej wysoko�ci, uło�onych na osi czasu w

jednakowych odst

�pach, równych okresowi próbkowania T

S

(sampling).

Spróbkowana wersja x ( t ) sygnału ci

�głego x

C

( t ) mo

�e by� przedstawiona jako iloczyn sygnału

x

C

( t ) i funkcji próbkuj

�cej

( )

( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

=

-

n

S

C

C

nT

t

t

x

t

t

x

t

x

(2.18)

Cały proces próbkowania, przeprowadzony zgodnie z twierdzeniem Kotielnikowa

− Shannona, jest

zilustrowany na rys. 15.

Rys. 15. Proces próbkowania. a) oryginalny sygnał ci

�gły, b) funkcja próbkuj�ca, c) sygnał dyskretny

(na najmniejszych impulsach – ze wzgl

�du na czytelno�� rysunku – nie zaznaczono grotów strzałek)

Poniewa

� funkcja próbkuj�ca, a tym samym sygnał x ( t ), s� okre�lone w dyskretnych momentach

czasu

...

,

2

,

1

,

0

,

±

±

=

=

n

nT

t

S

cz

�sto stosuje si� zapis wyra�nie wskazuj�cy, �e mamy do czynienia z wektorem

( ) ( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

=

=

-

n

S

S

C

S

nT

t

nT

x

n

x

nT

x

t

x

(2.19)

Stosuj

�c klasyczn� transformat� Fouriera do sygnału dyskretnego x ( n ), mo�emy napisa�

( )

( ) (

)

( )

(

)

�

�

�

−

δ

=

�

�

�

−

δ

=

∞

∞

−

∞

−∞

=

π

−

∞

∞

−

π

−

∞

−∞

=

�

�

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

n

S

nT

f

S

C

nT

f

n

S

S

C

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.20)

Zmieniaj

�c kolejno�� całkowania i sumowania, otrzymujemy

( )

( )

(

)

( )

(

)

�

�

∞

−∞

=

∞

−∞

=

∞

∞

−

π

−

π

−

∞

∞

−

�

�

�

−

δ

=

−

δ

�

�

�

=

n

n

S

nT

f

S

C

S

nT

f

S

C

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.21)

Poniewa

�

(

)

1

d

=

�

�

�

−

δ

∞

∞

−

t

nT

t

S

(2.22)

ostatecznie otrzymujemy

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

nT

f

S

C

S

nT

x

f

X

2

j

e

(2.23)

W punktach t = nT

S

zachodzi równo

��

3

po czasie z impulsu Diraca w granicach

±∞ jest równa jedno�ci. Z tego powodu delta Diraca nie jest

funkcj

� w klasycznym sensie, lecz tzw. dystrybucj�.

Formalnie dystrybucj

� Diraca opisuje si� nast�puj�co

( )

( )

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

=

δ

�

�

�

≠

=

∞

=

δ

∞

∞

-

1

d

0

dla

0

0

dla

t

t

t

t

t

(2.16)

Dystrybucj

� δ(t) przedstawia si� graficznie jako w�ski pr��ek zako�czony strzałk� o wysoko�ci

równej polu pod wykresem dystrybucji, a wi

�c równej jedno�ci, umieszczony w punkcie t = 0.

Na bazie dystrybucji

δ(t) mo�na utworzy� tzw. funkcj� próbkuj�c� o postaci

( )

(

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

-

n

S

nT

t

t

(2.17)

Funkcja ta reprezentuje ci

�g impulsów Diraca o jednostkowej wysoko�ci, uło�onych na osi czasu w

jednakowych odst

�pach, równych okresowi próbkowania T

S

(sampling).

Spróbkowana wersja x ( t ) sygnału ci

�głego x

C

( t ) mo

�e by� przedstawiona jako iloczyn sygnału

x

C

( t ) i funkcji próbkuj

�cej

( )

( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

=

-

n

S

C

C

nT

t

t

x

t

t

x

t

x

(2.18)

Cały proces próbkowania, przeprowadzony zgodnie z twierdzeniem Kotielnikowa

− Shannona, jest

zilustrowany na rys. 15.

Rys. 15. Proces próbkowania. a) oryginalny sygnał ci

�gły, b) funkcja próbkuj�ca, c) sygnał dyskretny

(na najmniejszych impulsach – ze wzgl

�du na czytelno�� rysunku – nie zaznaczono grotów strzałek)

Poniewa

� funkcja próbkuj�ca, a tym samym sygnał x ( t ), s� okre�lone w dyskretnych momentach

czasu

...

,

2

,

1

,

0

,

±

±

=

=

n

nT

t

S

cz

�sto stosuje si� zapis wyra�nie wskazuj�cy, �e mamy do czynienia z wektorem

( ) ( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

=

=

-

n

S

S

C

S

nT

t

nT

x

n

x

nT

x

t

x

(2.19)

Stosuj

�c klasyczn� transformat� Fouriera do sygnału dyskretnego x ( n ), mo�emy napisa�

( )

( ) (

)

( )

(

)

�

�

�

−

δ

=

�

�

�

−

δ

=

∞

∞

−

∞

−∞

=

π

−

∞

∞

−

π

−

∞

−∞

=

�

�

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

n

S

nT

f

S

C

nT

f

n

S

S

C

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.20)

Zmieniaj

�c kolejno�� całkowania i sumowania, otrzymujemy

( )

( )

(

)

( )

(

)

�

�

∞

−∞

=

∞

−∞

=

∞

∞

−

π

−

π

−

∞

∞

−

�

�

�

−

δ

=

−

δ

�

�

�

=

n

n

S

nT

f

S

C

S

nT

f

S

C

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.21)

Poniewa

�

(

)

1

d

=

�

�

�

−

δ

∞

∞

−

t

nT

t

S

(2.22)

ostatecznie otrzymujemy

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

nT

f

S

C

S

nT

x

f

X

2

j

e

(2.23)

W punktach t = nT

S

zachodzi równo

��

3

po czasie z impulsu Diraca w granicach

±∞ jest równa jedno�ci. Z tego powodu delta Diraca nie jest

funkcj

� w klasycznym sensie, lecz tzw. dystrybucj�.

Formalnie dystrybucj

� Diraca opisuje si� nast�puj�co

( )

( )

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

=

δ

�

�

�

≠

=

∞

=

δ

∞

∞

-

1

d

0

dla

0

0

dla

t

t

t

t

t

(2.16)

Dystrybucj

� δ(t) przedstawia si� graficznie jako w�ski pr��ek zako�czony strzałk� o wysoko�ci

równej polu pod wykresem dystrybucji, a wi

�c równej jedno�ci, umieszczony w punkcie t = 0.

Na bazie dystrybucji

δ(t) mo�na utworzy� tzw. funkcj� próbkuj�c� o postaci

( )

(

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

-

n

S

nT

t

t

(2.17)

Funkcja ta reprezentuje ci

�g impulsów Diraca o jednostkowej wysoko�ci, uło�onych na osi czasu w

jednakowych odst

�pach, równych okresowi próbkowania T

S

(sampling).

Spróbkowana wersja x ( t ) sygnału ci

�głego x

C

( t ) mo

�e by� przedstawiona jako iloczyn sygnału

x

C

( t ) i funkcji próbkuj

�cej

( )

( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

=

-

n

S

C

C

nT

t

t

x

t

t

x

t

x

(2.18)

Cały proces próbkowania, przeprowadzony zgodnie z twierdzeniem Kotielnikowa

− Shannona, jest

zilustrowany na rys. 15.

Rys. 15. Proces próbkowania. a) oryginalny sygnał ci

�gły, b) funkcja próbkuj�ca, c) sygnał dyskretny

(na najmniejszych impulsach – ze wzgl

�du na czytelno�� rysunku – nie zaznaczono grotów strzałek)

Poniewa

� funkcja próbkuj�ca, a tym samym sygnał x ( t ), s� okre�lone w dyskretnych momentach

czasu

...

,

2

,

1

,

0

,

±

±

=

=

n

nT

t

S

cz

�sto stosuje si� zapis wyra�nie wskazuj�cy, �e mamy do czynienia z wektorem

( ) ( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

=

=

-

n

S

S

C

S

nT

t

nT

x

n

x

nT

x

t

x

(2.19)

Stosuj

�c klasyczn� transformat� Fouriera do sygnału dyskretnego x ( n ), mo�emy napisa�

( )

( ) (

)

( )

(

)

�

�

�

−

δ

=

�

�

�

−

δ

=

∞

∞

−

∞

−∞

=

π

−

∞

∞

−

π

−

∞

−∞

=

�

�

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

n

S

nT

f

S

C

nT

f

n

S

S

C

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.20)

Zmieniaj

�c kolejno�� całkowania i sumowania, otrzymujemy

( )

( )

(

)

( )

(

)

�

�

∞

−∞

=

∞

−∞

=

∞

∞

−

π

−

π

−

∞

∞

−

�

�

�

−

δ

=

−

δ

�

�

�

=

n

n

S

nT

f

S

C

S

nT

f

S

C

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.21)

Poniewa

�

(

)

1

d

=

�

�

�

−

δ

∞

∞

−

t

nT

t

S

(2.22)

ostatecznie otrzymujemy

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

nT

f

S

C

S

nT

x

f

X

2

j

e

(2.23)

W punktach t = nT

S

zachodzi równo

��

(2.18)

3

po czasie z impulsu Diraca w granicach

±∞ jest równa jedno�ci. Z tego powodu delta Diraca nie jest

funkcj

� w klasycznym sensie, lecz tzw. dystrybucj�.

Formalnie dystrybucj

� Diraca opisuje si� nast�puj�co

( )

( )

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

=

δ

�

�

�

≠

=

∞

=

δ

∞

∞

-

1

d

0

dla

0

0

dla

t

t

t

t

t

(2.16)

Dystrybucj

� δ(t) przedstawia si� graficznie jako w�ski pr��ek zako�czony strzałk� o wysoko�ci

równej polu pod wykresem dystrybucji, a wi

�c równej jedno�ci, umieszczony w punkcie t = 0.

Na bazie dystrybucji

δ(t) mo�na utworzy� tzw. funkcj� próbkuj�c� o postaci

( )

(

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

-

n

S

nT

t

t

(2.17)

Funkcja ta reprezentuje ci

�g impulsów Diraca o jednostkowej wysoko�ci, uło�onych na osi czasu w

jednakowych odst

�pach, równych okresowi próbkowania T

S

(sampling).

Spróbkowana wersja x ( t ) sygnału ci

�głego x

C

( t ) mo

�e by� przedstawiona jako iloczyn sygnału

x

C

( t ) i funkcji próbkuj

�cej

( )

( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

=

-

n

S

C

C

nT

t

t

x

t

t

x

t

x

(2.18)

Cały proces próbkowania, przeprowadzony zgodnie z twierdzeniem Kotielnikowa

− Shannona, jest

zilustrowany na rys. 15.

Rys. 15. Proces próbkowania. a) oryginalny sygnał ci

�gły, b) funkcja próbkuj�ca, c) sygnał dyskretny

(na najmniejszych impulsach – ze wzgl

�du na czytelno�� rysunku – nie zaznaczono grotów strzałek)

Poniewa

� funkcja próbkuj�ca, a tym samym sygnał x ( t ), s� okre�lone w dyskretnych momentach

czasu

...

,

2

,

1

,

0

,

±

±

=

=

n

nT

t

S

cz

�sto stosuje si� zapis wyra�nie wskazuj�cy, �e mamy do czynienia z wektorem

( ) ( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

=

=

-

n

S

S

C

S

nT

t

nT

x

n

x

nT

x

t

x

(2.19)

Stosuj

�c klasyczn� transformat� Fouriera do sygnału dyskretnego x ( n ), mo�emy napisa�

( )

( ) (

)

( )

(

)

�

�

�

−

δ

=

�

�

�

−

δ

=

∞

∞

−

∞

−∞

=

π

−

∞

∞

−

π

−

∞

−∞

=

�

�

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

n

S

nT

f

S

C

nT

f

n

S

S

C

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.20)

Zmieniaj

�c kolejno�� całkowania i sumowania, otrzymujemy

( )

( )

(

)

( )

(

)

�

�

∞

−∞

=

∞

−∞

=

∞

∞

−

π

−

π

−

∞

∞

−

�

�

�

−

δ

=

−

δ

�

�

�

=

n

n

S

nT

f

S

C

S

nT

f

S

C

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.21)

Poniewa

�

(

)

1

d

=

�

�

�

−

δ

∞

∞

−

t

nT

t

S

(2.22)

ostatecznie otrzymujemy

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

nT

f

S

C

S

nT

x

f

X

2

j

e

(2.23)

W punktach t = nT

S

zachodzi równo

��

3

po czasie z impulsu Diraca w granicach

±∞ jest równa jedno�ci. Z tego powodu delta Diraca nie jest

funkcj

� w klasycznym sensie, lecz tzw. dystrybucj�.

Formalnie dystrybucj

� Diraca opisuje si� nast�puj�co

( )

( )

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

=

δ

�

�

�

≠

=

∞

=

δ

∞

∞

-

1

d

0

dla

0

0

dla

t

t

t

t

t

(2.16)

Dystrybucj

� δ(t) przedstawia si� graficznie jako w�ski pr��ek zako�czony strzałk� o wysoko�ci

równej polu pod wykresem dystrybucji, a wi

�c równej jedno�ci, umieszczony w punkcie t = 0.

Na bazie dystrybucji

δ(t) mo�na utworzy� tzw. funkcj� próbkuj�c� o postaci

( )

(

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

-

n

S

nT

t

t

(2.17)

Funkcja ta reprezentuje ci

�g impulsów Diraca o jednostkowej wysoko�ci, uło�onych na osi czasu w

jednakowych odst

�pach, równych okresowi próbkowania T

S

(sampling).

Spróbkowana wersja x ( t ) sygnału ci

�głego x

C

( t ) mo

�e by� przedstawiona jako iloczyn sygnału

x

C

( t ) i funkcji próbkuj

�cej

( )

( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

=

-

n

S

C

C

nT

t

t

x

t

t

x

t

x

(2.18)

Cały proces próbkowania, przeprowadzony zgodnie z twierdzeniem Kotielnikowa

− Shannona, jest

zilustrowany na rys. 15.

Rys. 15. Proces próbkowania. a) oryginalny sygnał ci

�gły, b) funkcja próbkuj�ca, c) sygnał dyskretny

(na najmniejszych impulsach – ze wzgl

�du na czytelno�� rysunku – nie zaznaczono grotów strzałek)

Poniewa

� funkcja próbkuj�ca, a tym samym sygnał x ( t ), s� okre�lone w dyskretnych momentach

czasu

...

,

2

,

1

,

0

,

±

±

=

=

n

nT

t

S

cz

�sto stosuje si� zapis wyra�nie wskazuj�cy, �e mamy do czynienia z wektorem

( ) ( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

=

=

-

n

S

S

C

S

nT

t

nT

x

n

x

nT

x

t

x

(2.19)

Stosuj

�c klasyczn� transformat� Fouriera do sygnału dyskretnego x ( n ), mo�emy napisa�

( )

( ) (

)

( )

(

)

�

�

�

−

δ

=

�

�

�

−

δ

=

∞

∞

−

∞

−∞

=

π

−

∞

∞

−

π

−

∞

−∞

=

�

�

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

n

S

nT

f

S

C

nT

f

n

S

S

C

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.20)

Zmieniaj

�c kolejno�� całkowania i sumowania, otrzymujemy

( )

( )

(

)

( )

(

)

�

�

∞

−∞

=

∞

−∞

=

∞

∞

−

π

−

π

−

∞

∞

−

�

�

�

−

δ

=

−

δ

�

�

�

=

n

n

S

nT

f

S

C

S

nT

f

S

C

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.21)

Poniewa

�

(

)

1

d

=

�

�

�

−

δ

∞

∞

−

t

nT

t

S

(2.22)

ostatecznie otrzymujemy

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

nT

f

S

C

S

nT

x

f

X

2

j

e

(2.23)

W punktach t = nT

S

zachodzi równo

��

3

po czasie z impulsu Diraca w granicach

±∞ jest równa jedno�ci. Z tego powodu delta Diraca nie jest

funkcj

� w klasycznym sensie, lecz tzw. dystrybucj�.

Formalnie dystrybucj

� Diraca opisuje si� nast�puj�co

( )

( )

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

=

δ

�

�

�

≠

=

∞

=

δ

∞

∞

-

1

d

0

dla

0

0

dla

t

t

t

t

t

(2.16)

Dystrybucj

� δ(t) przedstawia si� graficznie jako w�ski pr��ek zako�czony strzałk� o wysoko�ci

równej polu pod wykresem dystrybucji, a wi

�c równej jedno�ci, umieszczony w punkcie t = 0.

Na bazie dystrybucji

δ(t) mo�na utworzy� tzw. funkcj� próbkuj�c� o postaci

( )

(

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

-

n

S

nT

t

t

(2.17)

Funkcja ta reprezentuje ci

�g impulsów Diraca o jednostkowej wysoko�ci, uło�onych na osi czasu w

jednakowych odst

�pach, równych okresowi próbkowania T

S

(sampling).

Spróbkowana wersja x ( t ) sygnału ci

�głego x

C

( t ) mo

�e by� przedstawiona jako iloczyn sygnału

x

C

( t ) i funkcji próbkuj

�cej

( )

( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

=

-

n

S

C

C

nT

t

t

x

t

t

x

t

x

(2.18)

Cały proces próbkowania, przeprowadzony zgodnie z twierdzeniem Kotielnikowa

− Shannona, jest

zilustrowany na rys. 15.

Rys. 15. Proces próbkowania. a) oryginalny sygnał ci

�gły, b) funkcja próbkuj�ca, c) sygnał dyskretny

(na najmniejszych impulsach – ze wzgl

�du na czytelno�� rysunku – nie zaznaczono grotów strzałek)

Poniewa

� funkcja próbkuj�ca, a tym samym sygnał x ( t ), s� okre�lone w dyskretnych momentach

czasu

...

,

2

,

1

,

0

,

±

±

=

=

n

nT

t

S

cz

�sto stosuje si� zapis wyra�nie wskazuj�cy, �e mamy do czynienia z wektorem

( ) ( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

=

=

-

n

S

S

C

S

nT

t

nT

x

n

x

nT

x

t

x

(2.19)

Stosuj

�c klasyczn� transformat� Fouriera do sygnału dyskretnego x ( n ), mo�emy napisa�

( )

( ) (

)

( )

(

)

�

�

�

−

δ

=

�

�

�

−

δ

=

∞

∞

−

∞

−∞

=

π

−

∞

∞

−

π

−

∞

−∞

=

�

�

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

n

S

nT

f

S

C

nT

f

n

S

S

C

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.20)

Zmieniaj

�c kolejno�� całkowania i sumowania, otrzymujemy

( )

( )

(

)

( )

(

)

�

�

∞

−∞

=

∞

−∞

=

∞

∞

−

π

−

π

−

∞

∞

−

�

�

�

−

δ

=

−

δ

�

�

�

=

n

n

S

nT

f

S

C

S

nT

f

S

C

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.21)

Poniewa

�

(

)

1

d

=

�

�

�

−

δ

∞

∞

−

t

nT

t

S

(2.22)

ostatecznie otrzymujemy

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

nT

f

S

C

S

nT

x

f

X

2

j

e

(2.23)

W punktach t = nT

S

zachodzi równo

��

3

po czasie z impulsu Diraca w granicach

±∞ jest równa jedno�ci. Z tego powodu delta Diraca nie jest

funkcj

� w klasycznym sensie, lecz tzw. dystrybucj�.

Formalnie dystrybucj

� Diraca opisuje si� nast�puj�co

( )

( )

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

=

δ

�

�

�

≠

=

∞

=

δ

∞

∞

-

1

d

0

dla

0

0

dla

t

t

t

t

t

(2.16)

Dystrybucj

� δ(t) przedstawia si� graficznie jako w�ski pr��ek zako�czony strzałk� o wysoko�ci

równej polu pod wykresem dystrybucji, a wi

�c równej jedno�ci, umieszczony w punkcie t = 0.

Na bazie dystrybucji

δ(t) mo�na utworzy� tzw. funkcj� próbkuj�c� o postaci

( )

(

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

-

n

S

nT

t

t

(2.17)

Funkcja ta reprezentuje ci

�g impulsów Diraca o jednostkowej wysoko�ci, uło�onych na osi czasu w

jednakowych odst

�pach, równych okresowi próbkowania T

S

(sampling).

Spróbkowana wersja x ( t ) sygnału ci

�głego x

C

( t ) mo

�e by� przedstawiona jako iloczyn sygnału

x

C

( t ) i funkcji próbkuj

�cej

( )

( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

=

-

n

S

C

C

nT

t

t

x

t

t

x

t

x

(2.18)

Cały proces próbkowania, przeprowadzony zgodnie z twierdzeniem Kotielnikowa

− Shannona, jest

zilustrowany na rys. 15.

Rys. 15. Proces próbkowania. a) oryginalny sygnał ci

�gły, b) funkcja próbkuj�ca, c) sygnał dyskretny

(na najmniejszych impulsach – ze wzgl

�du na czytelno�� rysunku – nie zaznaczono grotów strzałek)

Poniewa

� funkcja próbkuj�ca, a tym samym sygnał x ( t ), s� okre�lone w dyskretnych momentach

czasu

...

,

2

,

1

,

0

,

±

±

=

=

n

nT

t

S

cz

�sto stosuje si� zapis wyra�nie wskazuj�cy, �e mamy do czynienia z wektorem

( ) ( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

=

=

-

n

S

S

C

S

nT

t

nT

x

n

x

nT

x

t

x

(2.19)

Stosuj

�c klasyczn� transformat� Fouriera do sygnału dyskretnego x ( n ), mo�emy napisa�

( )

( ) (

)

( )

(

)

�

�

�

−

δ

=

�

�

�

−

δ

=

∞

∞

−

∞

−∞

=

π

−

∞

∞

−

π

−

∞

−∞

=

�

�

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

n

S

nT

f

S

C

nT

f

n

S

S

C

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.20)

Zmieniaj

�c kolejno�� całkowania i sumowania, otrzymujemy

( )

( )

(

)

( )

(

)

�

�

∞

−∞

=

∞

−∞

=

∞

∞

−

π

−

π

−

∞

∞

−

�

�

�

−

δ

=

−

δ

�

�

�

=

n

n

S

nT

f

S

C

S

nT

f

S

C

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.21)

Poniewa

�

(

)

1

d

=

�

�

�

−

δ

∞

∞

−

t

nT

t

S

(2.22)

ostatecznie otrzymujemy

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

nT

f

S

C

S

nT

x

f

X

2

j

e

(2.23)

W punktach t = nT

S

zachodzi równo

��

(2.19)

3

po czasie z impulsu Diraca w granicach

±∞ jest równa jedno�ci. Z tego powodu delta Diraca nie jest

funkcj

� w klasycznym sensie, lecz tzw. dystrybucj�.

Formalnie dystrybucj

� Diraca opisuje si� nast�puj�co

( )

( )

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

=

δ

�

�

�

≠

=

∞

=

δ

∞

∞

-

1

d

0

dla

0

0

dla

t

t

t

t

t

(2.16)

Dystrybucj

� δ(t) przedstawia si� graficznie jako w�ski pr��ek zako�czony strzałk� o wysoko�ci

równej polu pod wykresem dystrybucji, a wi

�c równej jedno�ci, umieszczony w punkcie t = 0.

Na bazie dystrybucji

δ(t) mo�na utworzy� tzw. funkcj� próbkuj�c� o postaci

( )

(

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

-

n

S

nT

t

t

(2.17)

Funkcja ta reprezentuje ci

�g impulsów Diraca o jednostkowej wysoko�ci, uło�onych na osi czasu w

jednakowych odst

�pach, równych okresowi próbkowania T

S

(sampling).

Spróbkowana wersja x ( t ) sygnału ci

�głego x

C

( t ) mo

�e by� przedstawiona jako iloczyn sygnału

x

C

( t ) i funkcji próbkuj

�cej

( )

( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

=

-

n

S

C

C

nT

t

t

x

t

t

x

t

x

(2.18)

Cały proces próbkowania, przeprowadzony zgodnie z twierdzeniem Kotielnikowa

− Shannona, jest

zilustrowany na rys. 15.

Rys. 15. Proces próbkowania. a) oryginalny sygnał ci

�gły, b) funkcja próbkuj�ca, c) sygnał dyskretny

(na najmniejszych impulsach – ze wzgl

�du na czytelno�� rysunku – nie zaznaczono grotów strzałek)

Poniewa

� funkcja próbkuj�ca, a tym samym sygnał x ( t ), s� okre�lone w dyskretnych momentach

czasu

...

,

2

,

1

,

0

,

±

±

=

=

n

nT

t

S

cz

�sto stosuje si� zapis wyra�nie wskazuj�cy, �e mamy do czynienia z wektorem

( ) ( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

=

=

-

n

S

S

C

S

nT

t

nT

x

n

x

nT

x

t

x

(2.19)

Stosuj

�c klasyczn� transformat� Fouriera do sygnału dyskretnego x ( n ), mo�emy napisa�

( )

( ) (

)

( )

(

)

�

�

�

−

δ

=

�

�

�

−

δ

=

∞

∞

−

∞

−∞

=

π

−

∞

∞

−

π

−

∞

−∞

=

�

�

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

n

S

nT

f

S

C

nT

f

n

S

S

C

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.20)

Zmieniaj

�c kolejno�� całkowania i sumowania, otrzymujemy

( )

( )

(

)

( )

(

)

�

�

∞

−∞

=

∞

−∞

=

∞

∞

−

π

−

π

−

∞

∞

−

�

�

�

−

δ

=

−

δ

�

�

�

=

n

n

S

nT

f

S

C

S

nT

f

S

C

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.21)

Poniewa

�

(

)

1

d

=

�

�

�

−

δ

∞

∞

−

t

nT

t

S

(2.22)

ostatecznie otrzymujemy

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

nT

f

S

C

S

nT

x

f

X

2

j

e

(2.23)

W punktach t = nT

S

zachodzi równo

��

3

po czasie z impulsu Diraca w granicach

±∞ jest równa jedno�ci. Z tego powodu delta Diraca nie jest

funkcj

� w klasycznym sensie, lecz tzw. dystrybucj�.

Formalnie dystrybucj

� Diraca opisuje si� nast�puj�co

( )

( )

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

=

δ

�

�

�

≠

=

∞

=

δ

∞

∞

-

1

d

0

dla

0

0

dla

t

t

t

t

t

(2.16)

Dystrybucj

� δ(t) przedstawia si� graficznie jako w�ski pr��ek zako�czony strzałk� o wysoko�ci

równej polu pod wykresem dystrybucji, a wi

�c równej jedno�ci, umieszczony w punkcie t = 0.

Na bazie dystrybucji

δ(t) mo�na utworzy� tzw. funkcj� próbkuj�c� o postaci

( )

(

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

-

n

S

nT

t

t

(2.17)

Funkcja ta reprezentuje ci

�g impulsów Diraca o jednostkowej wysoko�ci, uło�onych na osi czasu w

jednakowych odst

�pach, równych okresowi próbkowania T

S

(sampling).

Spróbkowana wersja x ( t ) sygnału ci

�głego x

C

( t ) mo

�e by� przedstawiona jako iloczyn sygnału

x

C

( t ) i funkcji próbkuj

�cej

( )

( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

=

-

n

S

C

C

nT

t

t

x

t

t

x

t

x

(2.18)

Cały proces próbkowania, przeprowadzony zgodnie z twierdzeniem Kotielnikowa

− Shannona, jest

zilustrowany na rys. 15.

Rys. 15. Proces próbkowania. a) oryginalny sygnał ci

�gły, b) funkcja próbkuj�ca, c) sygnał dyskretny

(na najmniejszych impulsach – ze wzgl

�du na czytelno�� rysunku – nie zaznaczono grotów strzałek)

Poniewa

� funkcja próbkuj�ca, a tym samym sygnał x ( t ), s� okre�lone w dyskretnych momentach

czasu

...

,

2

,

1

,

0

,

±

±

=

=

n

nT

t

S

cz

�sto stosuje si� zapis wyra�nie wskazuj�cy, �e mamy do czynienia z wektorem

( ) ( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

=

=

-

n

S

S

C

S

nT

t

nT

x

n

x

nT

x

t

x

(2.19)

Stosuj

�c klasyczn� transformat� Fouriera do sygnału dyskretnego x ( n ), mo�emy napisa�

( )

( ) (

)

( )

(

)

�

�

�

−

δ

=

�

�

�

−

δ

=

∞

∞

−

∞

−∞

=

π

−

∞

∞

−

π

−

∞

−∞

=

�

�

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

n

S

nT

f

S

C

nT

f

n

S

S

C

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.20)

Zmieniaj

�c kolejno�� całkowania i sumowania, otrzymujemy

( )

( )

(

)

( )

(

)

�

�

∞

−∞

=

∞

−∞

=

∞

∞

−

π

−

π

−

∞

∞

−

�

�

�

−

δ

=

−

δ

�

�

�

=

n

n

S

nT

f

S

C

S

nT

f

S

C

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.21)

Poniewa

�

(

)

1

d

=

�

�

�

−

δ

∞

∞

−

t

nT

t

S

(2.22)

ostatecznie otrzymujemy

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

nT

f

S

C

S

nT

x

f

X

2

j

e

(2.23)

W punktach t = nT

S

zachodzi równo

��

3

po czasie z impulsu Diraca w granicach

±∞ jest równa jedno�ci. Z tego powodu delta Diraca nie jest

funkcj

� w klasycznym sensie, lecz tzw. dystrybucj�.

Formalnie dystrybucj

� Diraca opisuje si� nast�puj�co

( )

( )

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

=

δ

�

�

�

≠

=

∞

=

δ

∞

∞

-

1

d

0

dla

0

0

dla

t

t

t

t

t

(2.16)

Dystrybucj

� δ(t) przedstawia si� graficznie jako w�ski pr��ek zako�czony strzałk� o wysoko�ci

równej polu pod wykresem dystrybucji, a wi

�c równej jedno�ci, umieszczony w punkcie t = 0.

Na bazie dystrybucji

δ(t) mo�na utworzy� tzw. funkcj� próbkuj�c� o postaci

( )

(

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

-

n

S

nT

t

t

(2.17)

Funkcja ta reprezentuje ci

�g impulsów Diraca o jednostkowej wysoko�ci, uło�onych na osi czasu w

jednakowych odst

�pach, równych okresowi próbkowania T

S

(sampling).

Spróbkowana wersja x ( t ) sygnału ci

�głego x

C

( t ) mo

�e by� przedstawiona jako iloczyn sygnału

x

C

( t ) i funkcji próbkuj

�cej

( )

( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

=

-

n

S

C

C

nT

t

t

x

t

t

x

t

x

(2.18)

Cały proces próbkowania, przeprowadzony zgodnie z twierdzeniem Kotielnikowa

− Shannona, jest

zilustrowany na rys. 15.

Rys. 15. Proces próbkowania. a) oryginalny sygnał ci

�gły, b) funkcja próbkuj�ca, c) sygnał dyskretny

(na najmniejszych impulsach – ze wzgl

�du na czytelno�� rysunku – nie zaznaczono grotów strzałek)

Poniewa

� funkcja próbkuj�ca, a tym samym sygnał x ( t ), s� okre�lone w dyskretnych momentach

czasu

...

,

2

,

1

,

0

,

±

±

=

=

n

nT

t

S

cz

�sto stosuje si� zapis wyra�nie wskazuj�cy, �e mamy do czynienia z wektorem

( ) ( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

=

=

-

n

S

S

C

S

nT

t

nT

x

n

x

nT

x

t

x

(2.19)

Stosuj

�c klasyczn� transformat� Fouriera do sygnału dyskretnego x ( n ), mo�emy napisa�

( )

( ) (

)

( )

(

)

�

�

�

−

δ

=

�

�

�

−

δ

=

∞

∞

−

∞

−∞

=

π

−

∞

∞

−

π

−

∞

−∞

=

�

�

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

n

S

nT

f

S

C

nT

f

n

S

S

C

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.20)

Zmieniaj

�c kolejno�� całkowania i sumowania, otrzymujemy

( )

( )

(

)

( )

(

)

�

�

∞

−∞

=

∞

−∞

=

∞

∞

−

π

−

π

−

∞

∞

−

�

�

�

−

δ

=

−

δ

�

�

�

=

n

n

S

nT

f

S

C

S

nT

f

S

C

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.21)

Poniewa

�

(

)

1

d

=

�

�

�

−

δ

∞

∞

−

t

nT

t

S

(2.22)

ostatecznie otrzymujemy

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

nT

f

S

C

S

nT

x

f

X

2

j

e

(2.23)

W punktach t = nT

S

zachodzi równo

��

3

po czasie z impulsu Diraca w granicach

±∞ jest równa jedno�ci. Z tego powodu delta Diraca nie jest

funkcj

� w klasycznym sensie, lecz tzw. dystrybucj�.

Formalnie dystrybucj

� Diraca opisuje si� nast�puj�co

( )

( )

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

=

δ

�

�

�

≠

=

∞

=

δ

∞

∞

-

1

d

0

dla

0

0

dla

t

t

t

t

t

(2.16)

Dystrybucj

� δ(t) przedstawia si� graficznie jako w�ski pr��ek zako�czony strzałk� o wysoko�ci

równej polu pod wykresem dystrybucji, a wi

�c równej jedno�ci, umieszczony w punkcie t = 0.

Na bazie dystrybucji

δ(t) mo�na utworzy� tzw. funkcj� próbkuj�c� o postaci

( )

(

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

-

n

S

nT

t

t

(2.17)

Funkcja ta reprezentuje ci

�g impulsów Diraca o jednostkowej wysoko�ci, uło�onych na osi czasu w

jednakowych odst

�pach, równych okresowi próbkowania T

S

(sampling).

Spróbkowana wersja x ( t ) sygnału ci

�głego x

C

( t ) mo

�e by� przedstawiona jako iloczyn sygnału

x

C

( t ) i funkcji próbkuj

�cej

( )

( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

=

-

n

S

C

C

nT

t

t

x

t

t

x

t

x

(2.18)

Cały proces próbkowania, przeprowadzony zgodnie z twierdzeniem Kotielnikowa

− Shannona, jest

zilustrowany na rys. 15.

Rys. 15. Proces próbkowania. a) oryginalny sygnał ci

�gły, b) funkcja próbkuj�ca, c) sygnał dyskretny

(na najmniejszych impulsach – ze wzgl

�du na czytelno�� rysunku – nie zaznaczono grotów strzałek)

Poniewa

� funkcja próbkuj�ca, a tym samym sygnał x ( t ), s� okre�lone w dyskretnych momentach

czasu

...

,

2

,

1

,

0

,

±

±

=

=

n

nT

t

S

cz

�sto stosuje si� zapis wyra�nie wskazuj�cy, �e mamy do czynienia z wektorem

( ) ( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

=

=

-

n

S

S

C

S

nT

t

nT

x

n

x

nT

x

t

x

(2.19)

Stosuj

�c klasyczn� transformat� Fouriera do sygnału dyskretnego x ( n ), mo�emy napisa�

( )

( ) (

)

( )

(

)

�

�

�

−

δ

=

�

�

�

−

δ

=

∞

∞

−

∞

−∞

=

π

−

∞

∞

−

π

−

∞

−∞

=

�

�

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

n

S

nT

f

S

C

nT

f

n

S

S

C

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.20)

Zmieniaj

�c kolejno�� całkowania i sumowania, otrzymujemy

( )

( )

(

)

( )

(

)

�

�

∞

−∞

=

∞

−∞

=

∞

∞

−

π

−

π

−

∞

∞

−

�

�

�

−

δ

=

−

δ

�

�

�

=

n

n

S

nT

f

S

C

S

nT

f

S

C

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.21)

Poniewa

�

(

)

1

d

=

�

�

�

−

δ

∞

∞

−

t

nT

t

S

(2.22)

ostatecznie otrzymujemy

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

nT

f

S

C

S

nT

x

f

X

2

j

e

(2.23)

W punktach t = nT

S

zachodzi równo

��

3

po czasie z impulsu Diraca w granicach

±∞ jest równa jedno�ci. Z tego powodu delta Diraca nie jest

funkcj

� w klasycznym sensie, lecz tzw. dystrybucj�.

Formalnie dystrybucj

� Diraca opisuje si� nast�puj�co

( )

( )

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

=

δ

�

�

�

≠

=

∞

=

δ

∞

∞

-

1

d

0

dla

0

0

dla

t

t

t

t

t

(2.16)

Dystrybucj

� δ(t) przedstawia si� graficznie jako w�ski pr��ek zako�czony strzałk� o wysoko�ci

równej polu pod wykresem dystrybucji, a wi

�c równej jedno�ci, umieszczony w punkcie t = 0.

Na bazie dystrybucji

δ(t) mo�na utworzy� tzw. funkcj� próbkuj�c� o postaci

( )

(

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

-

n

S

nT

t

t

(2.17)

Funkcja ta reprezentuje ci

�g impulsów Diraca o jednostkowej wysoko�ci, uło�onych na osi czasu w

jednakowych odst

�pach, równych okresowi próbkowania T

S

(sampling).

Spróbkowana wersja x ( t ) sygnału ci

�głego x

C

( t ) mo

�e by� przedstawiona jako iloczyn sygnału

x

C

( t ) i funkcji próbkuj

�cej

( )

( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

=

-

n

S

C

C

nT

t

t

x

t

t

x

t

x

(2.18)

Cały proces próbkowania, przeprowadzony zgodnie z twierdzeniem Kotielnikowa

− Shannona, jest

zilustrowany na rys. 15.

Rys. 15. Proces próbkowania. a) oryginalny sygnał ci

�gły, b) funkcja próbkuj�ca, c) sygnał dyskretny

(na najmniejszych impulsach – ze wzgl

�du na czytelno�� rysunku – nie zaznaczono grotów strzałek)

Poniewa

� funkcja próbkuj�ca, a tym samym sygnał x ( t ), s� okre�lone w dyskretnych momentach

czasu

...

,

2

,

1

,

0

,

±

±

=

=

n

nT

t

S

cz

�sto stosuje si� zapis wyra�nie wskazuj�cy, �e mamy do czynienia z wektorem

( ) ( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

=

=

-

n

S

S

C

S

nT

t

nT

x

n

x

nT

x

t

x

(2.19)

Stosuj

�c klasyczn� transformat� Fouriera do sygnału dyskretnego x ( n ), mo�emy napisa�

( )

( ) (

)

( )

(

)

�

�

�

−

δ

=

�

�

�

−

δ

=

∞

∞

−

∞

−∞

=

π

−

∞

∞

−

π

−

∞

−∞

=

�

�

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

n

S

nT

f

S

C

nT

f

n

S

S

C

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.20)

Zmieniaj

�c kolejno�� całkowania i sumowania, otrzymujemy

( )

( )

(

)

( )

(

)

�

�

∞

−∞

=

∞

−∞

=

∞

∞

−

π

−

π

−

∞

∞

−

�

�

�

−

δ

=

−

δ

�

�

�

=

n

n

S

nT

f

S

C

S

nT

f

S

C

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.21)

Poniewa

�

(

)

1

d

=

�

�

�

−

δ

∞

∞

−

t

nT

t

S

(2.22)

ostatecznie otrzymujemy

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

nT

f

S

C

S

nT

x

f

X

2

j

e

(2.23)

W punktach t = nT

S

zachodzi równo

��

3

po czasie z impulsu Diraca w granicach

±∞ jest równa jedno�ci. Z tego powodu delta Diraca nie jest

funkcj

� w klasycznym sensie, lecz tzw. dystrybucj�.

Formalnie dystrybucj

� Diraca opisuje si� nast�puj�co

( )

( )

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

=

δ

�

�

�

≠

=

∞

=

δ

∞

∞

-

1

d

0

dla

0

0

dla

t

t

t

t

t

(2.16)

Dystrybucj

� δ(t) przedstawia si� graficznie jako w�ski pr��ek zako�czony strzałk� o wysoko�ci

równej polu pod wykresem dystrybucji, a wi

�c równej jedno�ci, umieszczony w punkcie t = 0.

Na bazie dystrybucji

δ(t) mo�na utworzy� tzw. funkcj� próbkuj�c� o postaci

( )

(

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

-

n

S

nT

t

t

(2.17)

Funkcja ta reprezentuje ci

�g impulsów Diraca o jednostkowej wysoko�ci, uło�onych na osi czasu w

jednakowych odst

�pach, równych okresowi próbkowania T

S

(sampling).

Spróbkowana wersja x ( t ) sygnału ci

�głego x

C

( t ) mo

�e by� przedstawiona jako iloczyn sygnału

x

C

( t ) i funkcji próbkuj

�cej

( )

( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

=

-

n

S

C

C

nT

t

t

x

t

t

x

t

x

(2.18)

Cały proces próbkowania, przeprowadzony zgodnie z twierdzeniem Kotielnikowa

− Shannona, jest

zilustrowany na rys. 15.

Rys. 15. Proces próbkowania. a) oryginalny sygnał ci

�gły, b) funkcja próbkuj�ca, c) sygnał dyskretny

(na najmniejszych impulsach – ze wzgl

�du na czytelno�� rysunku – nie zaznaczono grotów strzałek)

Poniewa

� funkcja próbkuj�ca, a tym samym sygnał x ( t ), s� okre�lone w dyskretnych momentach

czasu

...

,

2

,

1

,

0

,

±

±

=

=

n

nT

t

S

cz

�sto stosuje si� zapis wyra�nie wskazuj�cy, �e mamy do czynienia z wektorem

( ) ( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

=

=

-

n

S

S

C

S

nT

t

nT

x

n

x

nT

x

t

x

(2.19)

Stosuj

�c klasyczn� transformat� Fouriera do sygnału dyskretnego x ( n ), mo�emy napisa�

( )

( ) (

)

( )

(

)

�

�

�

−

δ

=

�

�

�

−

δ

=

∞

∞

−

∞

−∞

=

π

−

∞

∞

−

π

−

∞

−∞

=

�

�

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

n

S

nT

f

S

C

nT

f

n

S

S

C

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.20)

Zmieniaj

�c kolejno�� całkowania i sumowania, otrzymujemy

( )

( )

(

)

( )

(

)

�

�

∞

−∞

=

∞

−∞

=

∞

∞

−

π

−

π

−

∞

∞

−

�

�

�

−

δ

=

−

δ

�

�

�

=

n

n

S

nT

f

S

C

S

nT

f

S

C

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.21)

Poniewa

�

(

)

1

d

=

�

�

�

−

δ

∞

∞

−

t

nT

t

S

(2.22)

ostatecznie otrzymujemy

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

nT

f

S

C

S

nT

x

f

X

2

j

e

(2.23)

W punktach t = nT

S

zachodzi równo

��

3

po czasie z impulsu Diraca w granicach

±∞ jest równa jedno�ci. Z tego powodu delta Diraca nie jest

funkcj

� w klasycznym sensie, lecz tzw. dystrybucj�.

Formalnie dystrybucj

� Diraca opisuje si� nast�puj�co

( )

( )

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

=

δ

�

�

�

≠

=

∞

=

δ

∞

∞

-

1

d

0

dla

0

0

dla

t

t

t

t

t

(2.16)

Dystrybucj

� δ(t) przedstawia si� graficznie jako w�ski pr��ek zako�czony strzałk� o wysoko�ci

równej polu pod wykresem dystrybucji, a wi

�c równej jedno�ci, umieszczony w punkcie t = 0.

Na bazie dystrybucji

δ(t) mo�na utworzy� tzw. funkcj� próbkuj�c� o postaci

( )

(

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

-

n

S

nT

t

t

(2.17)

Funkcja ta reprezentuje ci

�g impulsów Diraca o jednostkowej wysoko�ci, uło�onych na osi czasu w

jednakowych odst

�pach, równych okresowi próbkowania T

S

(sampling).

Spróbkowana wersja x ( t ) sygnału ci

�głego x

C

( t ) mo

�e by� przedstawiona jako iloczyn sygnału

x

C

( t ) i funkcji próbkuj

�cej

( )

( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

σ

=

-

n

S

C

C

nT

t

t

x

t

t

x

t

x

(2.18)

Cały proces próbkowania, przeprowadzony zgodnie z twierdzeniem Kotielnikowa

− Shannona, jest

zilustrowany na rys. 15.

Rys. 15. Proces próbkowania. a) oryginalny sygnał ci

�gły, b) funkcja próbkuj�ca, c) sygnał dyskretny

(na najmniejszych impulsach – ze wzgl

�du na czytelno�� rysunku – nie zaznaczono grotów strzałek)

Poniewa

� funkcja próbkuj�ca, a tym samym sygnał x ( t ), s� okre�lone w dyskretnych momentach

czasu

...

,

2

,

1

,

0

,

±

±

=

=

n

nT

t

S

cz

�sto stosuje si� zapis wyra�nie wskazuj�cy, �e mamy do czynienia z wektorem

( ) ( ) ( )

( ) (

)

�

∞

∞

=

−

δ

=

=

=

-

n

S

S

C

S

nT

t

nT

x

n

x

nT

x

t

x

(2.19)

Stosuj

�c klasyczn� transformat� Fouriera do sygnału dyskretnego x ( n ), mo�emy napisa�

( )

( ) (

)

( )

(

)

�

�

�

−

δ

=

�

�

�

−

δ

=

∞

∞

−

∞

−∞

=

π

−

∞

∞

−

π

−

∞

−∞

=

�

�

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

n

S

nT

f

S

C

nT

f

n

S

S

C

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.20)

Zmieniaj

�c kolejno�� całkowania i sumowania, otrzymujemy

( )

( )

(

)

( )

(

)

�

�

∞

−∞

=

∞

−∞

=

∞

∞

−

π

−

π

−

∞

∞

−

�

�

�

−

δ

=

−

δ

�

�

�

=

n

n

S

nT

f

S

C

S

nT

f

S

C

t

nT

t

nT

x

t

nT

t

nT

x

f

X

S

S

d

e

d

e

2

j

2

j

(2.21)

Poniewa

�

(

)

1

d

=

�

�

�

−

δ

∞

∞

−

t

nT

t

S

(2.22)

ostatecznie otrzymujemy

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

nT

f

S

C

S

nT

x

f

X

2

j

e

(2.23)

W punktach t = nT

S

zachodzi równo

��

więc

(2.25)

Ponieważ w wykładniku w miej-

scu t pojawił się iloczyn nT

S

, mo-

żemy stwierdzić, że widmo sygna-

łu spróbkowanego jest okresowe,

a okres jest równy T

S

. Maksymalna

częstotliwość, dla której sensowne

jest badanie widma

2

, jest więc rów-

na częstotliwości próbkowania (sam-

pling frequency

) określonej wzorem

(2.26)

Skoro dotarliśmy aż tutaj, śmia-

ło możemy przystąpić do lektu-

ry ostatniej części cyklu omawia-

jącej dyskretne przekształcenia Fo-

uriera (DFT) i przykład jego realiza-

cji praktycznej.

Andrzej Dobrowolski

http://adobrowolski.wel.wat.edu.pl

Literatura

1. Cooley J., Tuckey J., „An algo-

rithm for the machine compu-

tation of complex Fourier se-

ries

”, Math. Comput., vol. 19

(90), 1965

2. Dobrowolski A., „Pod maską

SPICE’a. Metody i algorytmy

analizy układów elektronicz-

nych

”, BTC, Warszawa, 2004

3. Lyons R. G., „Wprowadze-

nie do cyfrowego przetwarza-

nia sygnałów

”, WKŁ, Warsza-

wa, 1999

4. Oppenheim A. V., Schafer R.

W., „Cyfrowe przetwarzanie

sygnałów

”, WKŁ, Warszawa,

1979

5. Szabatin J., „Podstawy teorii

sygnałów

”, WKŁ, Warszawa,

2000

1

Czyli uporządkowanym ciągiem

liczb o wspólnej nazwie.

2

W przypadku sygnału okresowe-

go jego widmo powtarza się po-

wyżej częstotliwości będącej od-

4

( ) ( )

S

S

C

nT

x

nT

x

=

(2.24)

wi

�c

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

nT

f

S

S

nT

x

f

X

2

j

e

(2.25)

Poniewa

� w wykładniku w miejscu t pojawił si� iloczyn nT

S

, mo

�emy stwierdzi�, �e widmo sygna-

łu spróbowanego jest okresowe, a okres jest równy T

S

. Maksymalna cz

�stotliwo��, dla której sen-

sowne jest badanie widma

1

, jest wi

�c równa cz�stotliwo�ci próbkowania (sampling frequency)

okre

�lonej wzorem

S

S

T

f

1

=

(2.26)

Skoro dotarli

�my a� tutaj, �miało mo�emy przyst�pi� do lektury ostatniej cz��ci cyklu omawiaj�cej

dyskretne przekształcenia Fouriera (DFT) i przykład jego realizacji praktycznej.
Andrzej Dobrowolski
+ STRONA JAK MIESIAC TEMU

Literatura
1. Cooley J., Tuckey J., „An algorithm for the machine computation of complex Fourier series”,
Math. Comput., vol. 19 (90), 1965
2. Dobrowolski A., „Pod mask

� SPICE’a. Metody i algorytmy analizy układów elektronicznych”,

BTC, Warszawa, 2004
3. Lyons R. G., „Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów”, WKŁ, Warszawa, 1999
4. Oppenheim A. V., Schafer R. W., „Cyfrowe przetwarzanie sygnałów”, WKŁ, Warszawa, 1979
5.

Szabatin J., „Podstawy teorii sygnałów”, WKŁ, Warszawa, 2000

1

W przypadku sygnału okresowego jego widmo powtarza si

� powy�ej cz�stotliwo�ci b�d�cej odwrotno�ci� okresu.

4

( ) ( )

S

S

C

nT

x

nT

x

=

(2.24)

wi

�c

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

nT

f

S

S

nT

x

f

X

2

j

e

(2.25)

Poniewa

� w wykładniku w miejscu t pojawił si� iloczyn nT

S

, mo

�emy stwierdzi�, �e widmo sygna-

łu spróbowanego jest okresowe, a okres jest równy T

S

. Maksymalna cz

�stotliwo��, dla której sen-

sowne jest badanie widma

1

, jest wi

�c równa cz�stotliwo�ci próbkowania (sampling frequency)

okre

�lonej wzorem

S

S

T

f

1

=

(2.26)

Skoro dotarli

�my a� tutaj, �miało mo�emy przyst�pi� do lektury ostatniej cz��ci cyklu omawiaj�cej

dyskretne przekształcenia Fouriera (DFT) i przykład jego realizacji praktycznej.
Andrzej Dobrowolski
+ STRONA JAK MIESIAC TEMU

Literatura
1. Cooley J., Tuckey J., „An algorithm for the machine computation of complex Fourier series”,
Math. Comput., vol. 19 (90), 1965
2. Dobrowolski A., „Pod mask

� SPICE’a. Metody i algorytmy analizy układów elektronicznych”,

BTC, Warszawa, 2004
3. Lyons R. G., „Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów”, WKŁ, Warszawa, 1999
4. Oppenheim A. V., Schafer R. W., „Cyfrowe przetwarzanie sygnałów”, WKŁ, Warszawa, 1979
5.

Szabatin J., „Podstawy teorii sygnałów”, WKŁ, Warszawa, 2000

1

W przypadku sygnału okresowego jego widmo powtarza si

� powy�ej cz�stotliwo�ci b�d�cej odwrotno�ci� okresu.

(2.24)

4

( ) ( )

S

S

C

nT

x

nT

x

=

(2.24)

wi

�c

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

nT

f

S

S

nT

x

f

X

2

j

e

(2.25)

Poniewa

� w wykładniku w miejscu t pojawił si� iloczyn nT

S

, mo

�emy stwierdzi�, �e widmo sygna-

łu spróbowanego jest okresowe, a okres jest równy T

S

. Maksymalna cz

�stotliwo��, dla której sen-

sowne jest badanie widma

1

, jest wi

�c równa cz�stotliwo�ci próbkowania (sampling frequency)

okre

�lonej wzorem

S

S

T

f

1

=

(2.26)

Skoro dotarli

�my a� tutaj, �miało mo�emy przyst�pi� do lektury ostatniej cz��ci cyklu omawiaj�cej

dyskretne przekształcenia Fouriera (DFT) i przykład jego realizacji praktycznej.
Andrzej Dobrowolski
+ STRONA JAK MIESIAC TEMU

Literatura
1. Cooley J., Tuckey J., „An algorithm for the machine computation of complex Fourier series”,
Math. Comput., vol. 19 (90), 1965
2. Dobrowolski A., „Pod mask

� SPICE’a. Metody i algorytmy analizy układów elektronicznych”,

BTC, Warszawa, 2004
3. Lyons R. G., „Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów”, WKŁ, Warszawa, 1999
4. Oppenheim A. V., Schafer R. W., „Cyfrowe przetwarzanie sygnałów”, WKŁ, Warszawa, 1979
5.

Szabatin J., „Podstawy teorii sygnałów”, WKŁ, Warszawa, 2000

1

W przypadku sygnału okresowego jego widmo powtarza si

� powy�ej cz�stotliwo�ci b�d�cej odwrotno�ci� okresu.

forum.ep.com.pl