WB I Gr. 6	Tytuł ćwiczenia: Badanie drgań wahadła sprężynowego	Data:
Numer ćwiczenia:	Wykonał: Michał Kułak	Ocena:

1. Wstęp teoretyczny

RUCH HARMONICZNY (DRGAJĄCY PROSTY)

Drganie obciążnika zawieszonego na sprężynie jest przykładem ruchu drgającego prostego- ruch ten jest ruchem okresowym.
Pociągając obciążnik w dół rozciągamy sprężynę, wskutek czego powstają w niej siły sprężystości skierowane do góry i dążące do przywrócenia sprężyny w położenie równowagi.
Pod działaniem tych sił obciążnik porusza się do góry ruchem przyspieszonym i, gdy znajdzie się w położeniu równowagi, ma już max. prędkość, a więc dużą energię kinetyczną. Dlatego obciążnik nie pozostaje w tym położeniu, lecz porusza się dalej wskutek bezwładności powodując ściskanie sprężyny. Teraz siły sprężystości przeciwstawiają się ściskaniu sprężyny (ich zwrot jest przeciwny do zwrotu wektora prędkości obciążnika), wskutek czego obciążnik porusza się ruchem opóźnionym i po osiągnięciu położenia skrajnego zatrzymuje się. Od tej chwili siły sprężystości powodują ruch powrotny obciążnika ku położeniu równowagi.

Ruch drgający prosty – taki ruch drgający, w którym siła, która go powoduje, jest wprost proporcjonalna do wychylenia ciała z położenia równowagi

W ruchu drgającym prostym wartość siły jest więc zmienna (proporcjonalna do wychylenia)
Z tego wynika, że i wartość przyspieszenia w tym ruchu jest też zmienna – wprost proporcjonalna do wychylenia (ponieważ masa ciała jest stała).

W położeniu największego wychylenia sprężyna ma dużą Ep (sprężystości). Gdy obciążnik porusza się ku położeniu równowagi, Ep maleje, lecz wzrasta Ek (wzrasta prędkość ciała), osiągając największą wartość w położeniu równowagi. W ruchu drgającym prostym następuje stała zmiana energii potencjalnej w kinetyczną i odwrotnie.

1. Obliczenia

Masa sprężyny = 0,06221 kg

_dm = 0, 00005

_dl = 0, 001m

_el = 0, 002m

_dt = 0, 3s

_et = 0, 2s

$$u\left( x \right)\sqrt{\frac{\left(_{e}l \right)^{2}{+ \left(_{d}l \right)}^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{0,000001 + 0,000004}{3}} = 0,0013m$$

$$u\left( m \right) = \frac{0,00005}{\sqrt{3}} = 0,000029$$

$$u\left( t \right) = \sqrt{\frac{\left(_{d}t \right) + \left(_{e}t \right)}{3}} = 0,21$$

$$u\left( T \right) = \frac{0,21}{50} = 0,0042$$

$$u\left( g \right) = \frac{0,8}{\sqrt{3}} = 0,461$$

Okres drgań

$T_{1} = \frac{61,3}{50} = 1,226$ $T_{2} = \frac{67,5}{50} = 1,35$ $T_{3} = \frac{75,1}{50} = 1,502$

$T_{4} = \frac{77,8}{50} = 1,556$ $T_{5} = \frac{82,1}{50} = 1,642$ $T_{6} = \frac{85,8}{50} = 1,716$

$T_{7} = \frac{89,7}{50} = 1,794$ $T_{8} = \frac{91,7}{50} = 1,834$ $T_{9} = \frac{95,3}{50} = 1,906$

$$T_{10} = \frac{100,5}{50} = 2,01$$

Obliczam siłe F

F=m×g F₁ = 0, 05458 × 9, 81 = 0, 53543[N] F₂ = 0, 866517[N]

F₃ = 1, 197[N] F₄ = 1, 53[N] F₅ = 1, 856[N] F₆ = 2, 187[N] F₇ = 2, 518[N] F₈ = 2, 848[N] F₉ = 3, 180[N]

Obliczam niepewność złożoną u_c(F)

$$u_{c}\left( F \right) = \sqrt{\left\lbrack g \times u\left( m \right) \right\rbrack^{2}{+ \left\lbrack m \times u\left( g \right) \right\rbrack}^{2}}\ $$

$$u_{c}\left( F_{1} \right) = \sqrt{\left\lbrack 9,81 \times 0,000029 \right\rbrack^{2}{+ \left\lbrack 0,05458 \times 0,461 \right\rbrack}^{2}} = 0,025\lbrack N\rbrack\ $$

u_c(F₂) = 0, 040[N] u_c(F₃) = 0, 056[N] u_c(F₄) = 0, 072[N]

u_c(F₅) = 0, 087[N] u_c(F₆) = 0, 0103[N] u_c(F₇) = 0, 118[N]

u_c(F₈) = 0, 133[N] u_c(F₉) = 0, 149[N]

Obliczam wartość współczynnika k metodą regresji liniowej

$$a = \left\lbrack n\left( \sum_{i = 1}^{n}{F_{i}x_{i}} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}F_{i} \right)\left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right) \right\rbrack \times \frac{1}{X}$$

$$X = n\left( \sum_{i = 1}^{n}F_{i}^{2} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}F_{i} \right)^{2}$$

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( r_{i} - aF_{i} - b \right)^{2}}{n - 2}}$$

$$S_{a} = \sigma\sqrt{\frac{n}{X}}$$

$$\sum_{i = 1}^{9}{F_{i} = 16,907}$$

$$\sum_{i = 1}^{9}x_{i} = 2,75$$

$$\sum_{i = 1}^{10}F_{i}^{2} = 37,559$$

$$\sum_{i = 1}^{10}x_{i}^{2} = 1,068$$

$$\sum_{i = 1}^{10}{F_{i}x_{i}} = 6,323$$

X = 52, 2

a=0,199

σ = 0, 006

S_a = 0, 003

$$k = \frac{1}{a} = 5,025\frac{N}{m}$$

$$u\left( k \right) = 0,075\frac{N}{m}$$

Obliczam wartość współczynnika k ze wzoru $k = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\left( m + \frac{m_{s}}{3} \right)$

$$k_{1} = \frac{4\pi^{2}}{{1,35}^{2}}\left( 0,05458 + \frac{0,06221}{3} \right) = 1,631\ \frac{N}{m}$$

$k_{2} = 1,908\frac{N}{m}$ $k_{3} = 2,327\frac{N}{m}$ $k_{4} = 2,582\frac{N}{m}$ $k_{5} = 2,185\frac{N}{m}$

$k_{6} = 2,988\frac{N}{m}$ k₇ = 3, 255 $\frac{N}{m}$ k₈=3,383$\frac{N}{m}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }k_{9} = 3,501\frac{N}{m}$

$$\overset{\overline{}}{k} = 2,639\ \frac{N}{m}$$

$$u\left( k \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{9}\left( k_{i} - \overset{\overline{}}{k} \right)^{2}}{72}} = 0,225\ \frac{N}{m}$$

Obliczam niepewność rozszerzoną dla współczynnika k obliczonego metodą regresji liniowej oraz dla wyliczonego ze wzoru

1. Dla regresji liniowej

u(k) = 0, 075 × 2 = 0, 150

1. Dla współczynnika k wyliczonego ze wzoru

u(k) = 0, 225 × 2 = 0, 450

1. Wnioski:

Celem doświadczenia było zbadanie drgań wahadła sprężynowego, w którym otrzymywane bezpośrednio wielkości x, m, oraz t pozwolił ustalić takie wielkości jak siła F oraz okres T, a te z kolei przyczyniły się do obliczenia współczynnika sprężystości k, który jest równy co do wartości sile powodującej jednostkowe wychylenie.

Obliczając wartość współczynnika k metodą: regresji liniowej otrzymano $k = \left( 5,025 \pm 0,150 \right)\frac{N}{m}$, oraz ze wzoru $k = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\left( m + \frac{m_{s}}{3} \right)$ otrzymano $k = \left( 2,639 \pm 0,450 \right)\frac{N}{m}$.

Nr płytki	Łączna masa	Siła	Wydłużenie sprężyny	Czas 50 drgań	Okres drgań
0	0,021	0,20601	0,177	28,43	0,5686
1	0,05458	0,53543	0,058	37,8	0,756
2	0,08833	0,866517	0,121	44,82	0,8964
3	0,12199	1,196722	0,183	50,8	1,016
4	0,15563	1,52673	0,244	56,6	1,132
5	0,18924	1,856444	0,306	59,00	1,18
6	0,22292	2,186845	0,367	66,23	1,3246
7	0,25663	2,51754	0,428	70,7	1,414
8	0,29036	2,848432	0,490	74,83	1,4966
9	0,32412	3,179617	0,553	78,44	1,5688

Obliczam wartość współczynnika k

$$k = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\left( m + \frac{m_{s}}{3} \right)$$

$$k_{1} = \frac{4\pi^{2}}{{1,35}^{2}}\left( 0,05458 + \frac{0,06221}{3} \right) = 3,871\ \frac{N}{m}$$

$k_{2} = 5,41\frac{N}{m}$ $k_{3} = 5,595\frac{N}{m}$ $k_{4} = 5,433\frac{N}{m}$ $k_{5} = 5,953\frac{N}{m}$

$k_{6} = 5,520\frac{N}{m}$ k₇ = 5, 476 $\frac{N}{m}$ k₈=5,483$\frac{N}{m}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }k_{9} = 5,531\frac{N}{m}$

$$\overset{\overline{}}{k} = 5,363\ \frac{N}{m}$$

$$u\left( k \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{9}\left( k_{i} - \overset{\overline{}}{k} \right)^{2}}{72}} = 0,194\ \frac{N}{m}$$

niepewność rozszerzona dla współczynnika k

u(k) = 0, 194 × 2 = 0, 388

Wnioski:

Celem doświadczenia było zbadanie drgań wahadła sprężynowego, w którym otrzymywane bezpośrednio wielkości x, m, oraz t pozwolił ustalić takie wielkości jak siła F oraz okres T, a te z kolei przyczyniły się do obliczenia współczynnika sprężystości k, który jest równy co do wartości sile powodującej jednostkowe wychylenie.

Obliczając wartość współczynnika k metodą: regresji liniowej otrzymano $k = \left( 5,025 \pm 0,150 \right)\frac{N}{m}$, oraz ze wzoru $k = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\left( m + \frac{m_{s}}{3} \right)$ otrzymano $k = \left( 5,363 \pm 0,388 \right)\frac{N}{m}$.

Jak da się zauważyć wartość