ANNA WARDACH data.22.03.2005

Dzień.tyg. WTOREK

WYDZIAŁ TECHNOLOGII ŻYWNOŚCI Godzina 17⁰⁰-20⁰⁰

Ćwiczenie nr. 7

Temat: Badanie drgań wahadła sprężystego

Cel ćwiczenia:

Doświadczenie, które wykonaliśmy miało na celu obserwacje ruchu harmonicznego ciężarka zawieszonego na sprężynie, tzw. wahadła sprężynowego. Do wykonania pomiarów potrzebna nam były informacje o ruchu drgającym harmonicznym. Kolejnym celem było wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyny a także prawa izochronizmu wahadła, masy ciężarka .

WSTĘP TEORETRYCZNY I OPIS ZJAWISKA.

Ruch harmoniczny obserwujemy nie tylko w odniesieniu do wahadła matematycznego, gdzie drganie odbywa się pod wpływem siły ciężkości , ale również w przypadku występowania sił oporu sprężynowego np. przy odkształceniach sprężystych. Wahadło , które drga pod wpływem sił oporu sprężystego, nazywamy wahadłem sprężynowym. Przykładem takiego wahadła może być metalowa kulka (ew. ciężarek) zawieszona na spiralnej sprężynie, której drugi koniec przymocowany jest do pręta (rys. 1).

W stanie równowagi równowagi ciężarek znajduje się w położeniu A. Jeżeli ciężarek odciągniemy do punktu B to na skutek deformacji sprężyny pojawi się siła oporu sprężystego. Jeżeli go puścimy to poruszać się będzie ku punktowi A, minie ten punkt i na chwilę zatrzyma się w punkcie C. W punkcie C będzie ona ściśnięta maksymalnie. Siła oporu sprężystego skierowana jest również przeciwnie niż kierunek deformacji. Kulka będzie się poruszała ku punktowi A, minie go i osiągnie punkt B, skąd zawróci do punktu A itd. Drga więc on ruchem harmonicznym między punktami zwrotnymi B i C. Zgodnie z prawem Hooke`a słuszna jest zależność

F= -kx (ma=-kx)

X -wydłużenie sprężyny, a k -współczynnik proporcjonalności.

Znak „-`' oznacza, że siła F ma kierunek odwrotny niż wychylenie x. Jeżeli uwzględnimy, że przyspieszenie a można wyrazić jako drugą pochodną współrzędnej x po czasie t otrzymamy równanie :

a= d²x/dt² = -kx/m

a z tego x=Acos(ωt +ϕ) .

z równania tej funkcji możemy wywnioskować, że ruch harmoniczny prosty to taki ruch, w którym współrzędna opisująca ruch ciała zmienia się okresowo w sposób sinusoidalny, gdzie A -amplituda-maksymalne wychylenie ciała drgającego od położenia równowagi, ϕ- faza początkowa ruchu, ω-częstość kołowa drgań

ω=2π/T = 2πƒ

gdzie T oznacza okres drgań czyli czas jednego pełnego drgania, ƒ częstotliwość ilość drgań w jednostce czasu.

Prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym :

V=dx/dt = -Aωsin(ωt +ϕ) a= d²x/dt²=-Aω²cos(ωt +ϕ)

Wiemy ,że ω= √k/m

Jeżeli zmierzymy x₀ dla znanej masy m zawieszonej na sprężynie, możemy wyznaczyć współczynnik k

k=mg/x₀

dzięki tym wzorom wyprowadzimy wzór na T

T= 2π√m/k

Z powyższego równania wynika, że okres drgań zależy tylko od masy ciężarka i stałej k, a nie zależy od początkowego odchylenia ciężarka od równowagi.(prawo izohronizmu wahadła sprężynowego).

Wykonanie ćwiczenia:

I Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyny.

• Zawieszamy sprężynę na statywie i do jej końca przymocowujemy plastykowy wskaźnik. Na podziałce liniowej, połączonej ze statywem odczytujemy położenie poziomej kreski .

• Do wskaźnika przyczepiamy odważnik o znanej masie i odczytujemy wydłużenie sprężyny.

• Obliczamy ciężar właściwy zawieszonej masy

a) 0,02 kg P₁= m₁g P₁= 0.02*10 = 0.196 N

b) 0,05 kg P₂= m₂g P₂= 0.05*10 = 0.490 N

c) 0,1 kg P₃= m₃g P₃= 0.1*10 = 0.981 N

• Obliczamy wydłużenie sprężyny (m)

1. 0,02 kg x₀₁= 0.210-0,201= 0,009 m

2. 0,05 kg x₀₂= 0,223-0,201= 0,022 m

3. 0,1 kg x₀₃= 0,243-0,201= 0,042 m

• Pomiar wykonujemy dla odważników 20 50 i 100g

• Obliczamy wartość k dla trzech ciężarków k=
  

a) 0,02 kg k =

21,77 N/m

b) 0,05 kg k=

22,27 N/m

c) 0,1 kg k=

23,35 N/m

Wyznaczam k średnie k=(k₁+k₂+k₃) / 3

k =(21,77+22,27+ 23,35) /3= 22,4 N/m

II Sprawdzanie prawa izochronizmu wahadła

Obciążamy sprężynę odważnikiem, odciągamy go w dół i mierzymy czas kilkudziesięciu pełnych drgań.

Pomiar powtarzamy trzykrotnie i obliczamy średni czas drgań

Pomiary powtarzamy dla dwóch innych amplitud drgań.

Przyjmujemy czas n = 10 drgań

Po trzykrotnym dokonaniu pomiarów 10 drgań dla każdej z trzech amplitud wyznaczam T średni.

T₁= 6,97 / 10 = 0,3485 s

T₂= 7,17 / 10 = 0,3583 s

T₃= 6,61 / 10 = 0,3306 s

T_śr = (T₁ + T₂+ T₃)/3 =0,3458

III Wyznaczanie masy ciężarka

Ważymy sprężynę (m_s) a także wskaźnik (m_w)

m_s= 0,0068 kg

m_w= 0,0056 kg

Obliczamy masę ciężarka według wzoru :

m_x = m - m_w = kT² / 4π- 1/3m_s-m_w

m_x =22,45*0,1195/39,4784-0,0068/3-0,0055

m_x = 0,06795-0,0027-0,0055

m_x ≈ 0,06018 kg

Ważymy ciężarek na wadze laboratoryjnej o dokładności do 10 mg

Masa ciężarka wynosi m= 0,0506 kg

IV Obliczam rachunek błędu :

Dla okresu T :

ΔT = max|0,36-0,35|=0,010

ΔT = max|0,36-0,347|=0,013

ΔT = max|0,36-0,378|=0,018 największy błąd

Dla stałej k :

Δk = max|21,65-21,696|=0,046

Δk = max|21,65-22,44|= 0,790

Δk = max|21,65-20,833|= 0,817 największa różnica

Zatem przystępujemy do oszacowania błędu pomiaru masy m_x.

Δ m_x=T²*Δk/4π²+k*2T*ΔT/4π²+1/3m_s+Δm_w

Δ m_x=

Obliczam błąd względny dzieląc błąd bezwzględny przez wartosć masy ciężarka i mnożąc przez 100%.

*100 % ≈ 16,9%

WNIOSKI

Badając drgania wahadła sprężynowego doszliśmy do wniosku, że współczynnik proporcjonalności nie zależy od masy ciężarka lecz od rodzaju sprężyny. Stwierdziliśmy także że okres nie zależy od początkowego odchylenia ciężarka od położenia równowagi. Przy tak pozornie łatwym doświadczeniu napotkaliśmy wiele trudności i rozumiemy ,że podane przez nas wyniki noszą inne przypadki błędu do jakich można zaliczyć czas jaki potrzebuje impuls energetyczny kierujący naszymi mięśniami przy włączaniu i zatrzymywaniu stopera .A także nie doskonale kąt prosty podczas mierzenia wychylenia obciążonej sprężyny. Niewielkie trudności przysporzyło dobranie odpowiedniej wagi ciężarka potrzebnej do obliczenia okresu. Dzięki takiemu doświadczenie poznaliśmy nie tylko prawa rządzące wahadłami lecz także trudności jakie napotykają naukowcy podczas ustalania dokładności pomiarów.

---